Тюменцев Ю.В. Оптимальное управление. Лекции-Слайды

Подождите немного. Документ загружается.

Оптимальное управление

Slide 161

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XII)

Алгоритм адаптивного управления линейным объектом

первого порядка – 11

Параметрическая сходимость – 2

Параметрическая сходимость зависит от структуры («сложности») задающего

воздействия.

Если з адающее воздействие g(t) простое, например, константа, то по окончании процесса

адаптации варьируемые пере менные, в зависимости от начальных условий, могут принять

различные значения.

Однако когда задающее воздействие g(t) обладает таким свойством, что выполняется так

называемое условие постоянного возбуждения, то сходимость к нулю ошибки слеж ения

влечет за собой параметрическую сходимость.

Определение. Условие постоянного возбуждения n-векторного сигнала v(t) выпол-

няется, если существуют положительные константы T и α такие, что при любом t > 0

t+T

v(t)v

(t) > αI

, (122)

где I

— единичная матрица порядка n.

Покажем, что в случае рассмотренной адаптивной системы с объектом 1-го порядка при

выполнении условия (122) имеется параметрическая сходимость.

Slide 162

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XIII)

Алгоритм адаптивного управления линейным объектом

первого порядка – 12

Параметрическая сходимость – 3

Используя векторные обозначения ∆k = (∆k

∆k

)

и v = (y g)

, уравнение,

которое получается из (120)

˙e = −α

e + b

(∆k

y + ∆k

g).

при e(t) = ˙e(t) = 0, можно записать в виде

∆k

v = 0.

Умножив последнее равенство справа на v

и проинтегрировав от t до t + T , получим

t+T

∆k

(τ )v(τ)v

(τ )dτ = 0.

Ю. В. Тюменцев 81

Оптимальное управление

Slide 163

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XIV)

Алгоритм адаптивного управления линейным объектом

первого порядка – 13

Параметрическая сходимость – 4

По окончании проце сса адаптации, т.е. при достаточно большом t, вектор ∆k становится

постоянным и его можно вынести за знак интеграла:

∆k

t+T

v(τ)v

(τ )dτ = 0.

Отсюда следует, что если выполняется условие постоянного возбуждения сигнала (122)

t+T

v(t)v

(t) > αI

то

∆k

= 0.

или

= k

∗

, k

= k

∗

Slide 164

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XV)

Адаптивное управление линейным объектом

по состоянию – 1

Постановка задачи. Пусть линейный объект описывается уравнением

(n)

y + a

(n−1)

y + a

y = u,

(n)

y =

, (123)

y — выход, u — управление, a

(i = 0, 1 , . . . , n) — неизвестные параметры;

знак a

известен. Эталонная модель задается уравнением

(n)

+ α

(n−1)

+ α

= β

g(t),

(n)

. (124)

Здесь y

— выход эталонной модели, α

(i = 0, 1, . . . , n) и β

— известн ые

положительные постоянные, g(t) — задающее воздействие.

Ю. В. Тюменцев 82

Оптимальное управление

Slide 16 5

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XVI)

Адаптивное управление линейным объектом

по состоянию – 2

Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально

устойчива и ошибка слежения e(t) = y(t) − y

(t) стремится к нулю при t → ∞. Ниже

при записи решения используется (n × 1)-матрица

B = 0 0 . . . 1

(125)

и (n × n)-матрица P , которая является решением уравнения Ляпунова

P A + A

P = −Q, (126)

где Q — положительно определенная матрица, A — есть (n × n)-матрица

A =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

0 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 1

−α

n−1

−α

n−2

. . . −α

, (127)

в которой элементами последней строки являются коэффициен ты уравнения эталонной

модели.

Slide 166

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XVII)

Адаптивное управление линейным объектом

по состоянию – 3

Утверждение. Алгоритмом адаптивного управления с эталонной моделью (124) для линейного

объекта (123), обеспечивающим глобальную устойчивость и сходимость ошибки

e(t) = y(t) − y

(t) при t → ∞, является

u = k

g(t) + k

(n−1)

y + . . . + k

y = k

v, (128)

k = −sign(a

)ΓvB

P x, (129)

где k = (k

. . . k

)

— (n + 1)-вектор варьируемых параметров р егулятора,

v = (g

(n−1)

y . . . y)

— (n + 1)-вектор сигналов, Γ — произвольная положительно

определенная (n + 1) × (n + 1)-матрица, x = (e ˙e . . .

(n−1)

e )

— вектор состояния.

Если в качестве Q принимается матрица qI

(q > 0, I

— единичная матрица n-го

порядка), то, не нарушая общности, можно при записи уравнения Ляпунова (126) принять

q = 1, т.е. рассмотреть уравнение

P A + A

P = −I

и значение q учесть при выборе матрицы Γ.

Ю. В. Тюменцев 83

Оптимальное управление

Slide 167

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XVIII)

Адаптивное управление линейным объектом

по состоянию – 4

Пример управления с ЭМ для линейной системы – 1

Пусть объект управления описывается уравнением

¨y + a

˙y + a

y = u,

где a

> 0, a

, a

— неизвестные параметры; уравнение для эталонной

модели имеет вид

¨y

+ 2 ˙y

+ y

= g(t).

Требуется определить алгори т м адаптивного управления, обеспечивающего

ограниченность всех переменных и сходимость ошибки ε = y − y

к нулю при

t → ∞.

Slide 168

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XIX)

Адаптивное управление линейным объектом

по состоянию – 5

Пример управления с ЭМ для линейной системы – 2

Решение. В данном случае α

= 2 и α

= 1, матрицы A и B имеют вид (см. (125), (127))

A =

0 1

−1 −2

, B =

Уравнение Ляпунова

0 1

−1 −2

0 −1

1 −2

= −

1 0

0 1

после перемножения матриц принимает вид

−p

−2p

−p

−2p

−p

− 2p

= −

1 0

0 1

Ю. В. Тюменцев 84

Оптимальное управление

Slide 169

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XX)

Адаптивное управление линейным объектом

по состоянию – 6

Пример управления с ЭМ для линейной системы – 3

Это уравнение, учитывая равенство p

= p

, можно за писать в виде системы

−2p

= −1,

− 2p

− p

= −0,

− 4p

= −1.

Эта система имеет следующее решение:

, p

Поэтому матрица P имеет вид

P =

3/2 1/2

1/2 1/2

3 1

1 1

Slide 170

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXI)

Адаптивное управление линейным объектом

по состоянию – 7

Пример управления с ЭМ для линейной системы – 3

В данном случае v = (g ˙y y)

и x = (e ˙e)

. Для алгоритма адаптивного

управления в соответствии с (128), (129) получаем

u = k

g + k

˙y + k

= −

˙y

(0 1)

3 1

1 1

˙e

= −

γ(e + ˙e)

˙y

Ю. В. Тюменцев 85

Оптимальное управление

Slide 171

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXII)

Адаптивное управление по выходу линейным объектом

с единичным относительным порядком – 1

Ранее был рассмотрен случай, когда в уравнение объекта не входили

производные управления или, что то же самое, когда относительный порядок

передаточной функции был равен ее порядку, а все фазовые координаты

доступны измерению.

Однако обычно не все фазовые координаты доступны измерению. Чтобы получить

их, нужно дифференцировать выходную переменную, что нежелательно из-за

помех, возникающих при этом.

Рассмотрим пример постановки и решения задачи адаптивного управления по

выходу, т.е. такое управление, при котором в алгоритмах управления и адаптации

используются только входной и выходной сигналы объекта, а также сигналы,

получаемые путем их фильтрации.

Slide 172

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXIII)

Адаптивное управление по выходу линейным объектом

с единичным относительным порядком – 2

Постановка задачи. Пусть за дан объект с передаточной функцией

(p) = k

(p)

= k

n−1

+ b

n−2

+ · · · + b

n−1

+ α

n−1

+ · · · + α

(130)

и выбрана эталонная модель с передаточной функ ц ией

(p) = k

(p)

= k

n−1

+ β

n−2

+ · · · + β

n−1

+ α

n−1

+ · · · + α

. (131)

Здесь k

, b

, i = 1, 2, . . . , n − 1; α

, k = 1, 2, . . . , n — неизвестные

параметры объекта, знак k

известен; P

, R

— устойчивые полиномы, а

передаточная функция W

(p) является строго вещественно-положительной, т.е.

она устойчива и Re W(jω) > 0 при всех ω > 0.

Ю. В. Тюменцев 86

Оптимальное управление

Slide 173

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXIV)

Адаптивное управление по выходу линейным объектом

с единичным относительным порядком – 3

Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система

глобально устойчива и ошибка e(t) = y(t) − y

(t) стремится к нулю при

t → ∞.

При этом в алгоритмах управления и адаптации можно использовать только

доступные измерению сигналы (задающее воздействие, входной и выходной

сигналы) и сигналы, которые получаются путем их фильтрации, т.е. сигналы на

выходе фильтров, на вход которых подаются указанные сигналы.

Принимается, что уравнения фильтров в нормальной форме Коши имеют вид

˙v = Ev + fu, (132)

˙z = Ez + fu. (133)

Здесь v = (v

. . . v

n−1

)

— (n − 1)-мерный вектор переменных,

получаемых путем фильтрации входного сигнала (управления) объекта;

z = (z

. . . z

n−1

)

— (n − 1)-мерный вектор переменных, получаемых

путем фильтрации выходного сигнала объекта.

Slide 174

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXV)

Адаптивное управление по выходу линейным объектом

с единичным относительным порядком – 4

В уравн ениях фильтров (132), (133) используются две матрицы:

E — (n − 1) × (n − 1)-матрица,

F — (n − 1) × 1-матрица, которые имеют следующий в ид:

E =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

0 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 1

−β

n−1

−β

n−2

−β

n−3

. . . −β

, F =

. . .

Здесь в последней строке матрицы E стоят коэффициенты полинома числителя передаточной

функции эталонной модели.

Ю. В. Тюменцев 87

Оптимальное управление

Slide 175

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXVI)

Адаптивное управление по выходу линейным объектом

с единичным относительным порядком – 5

Утверждение. Алгоритмом адаптивного управления с эталонной моделью (131) для линейного

объекта (130), обеспечивающим глобальную устойчивость и сходимость ошибки

e(t) = y(t) − y

(t) к нулю при t → ∞, является

u = k

v + k

z + k

y + k

= −sign(k

)γv e,

= −sign(k

)γze,

= −sign(k

)γye,

= −sign(k

)γge.

Здесь k

= (k

. . . k

vn−1

)

и k

= (k

. . . k

zn−1

)

— векторы

варьируемых параметров регулятора, k

и k

— скалярные варьируемые параметры

регулятора; v = (v

. . . v

n−1

)

и z = (z

. . . z

n−1

)

— выходы фильтров

(132) и (133), соответственно.

Slide 176

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXVII)

Адаптивное управление по выходу линейным объектом

с единичным относительным порядком – 6

Пример. Пусть объект и эталонная модель задаются передаточными функциями

= k

p + b

+ a

p + a

, W

= k

p + 1

+ 3p + 2

где k

, b

, a

— не известные параметры, известен знак k

: k

> 0.

Требуется определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающий глобальную

устойчивость системы и сходимость к нулю разности между выходами системы и эталонной

модели.

Ю. В. Тюменцев 88

Оптимальное управление

Slide 177

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXVIII)

Адаптивное управление по выходу линейным объектом

с единичным относительным порядком – 7

Решение. Передаточная функция эталонной модели является строго

вещественно-положительной, так как она устойчива и веществен ная часть частотной

передаточной функции при любой частоте ω > 0 положительна:

Re W

(jω) = k

2(1 + ω

)

(2 − ω

) + 9ω

> 0

В данном случае n = 2, β

= 1 и уравнения фильтров (132) и (133) приним ают вид

˙v = −v + u, ˙z = −z + y.

Из утверждения на слайде 175 для адаптивного алгоритма управ ления получаем

u = k

v + k

z + k

y + k

= −γve,

= −γze,

= −γye,

= −γge.

Slide 178

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXIX)

Адаптивное управление по состоянию

нелинейным объектом – 1

Нелинейные системы — упрощенный подход.

Особенности подхода:

1) неизвестные параметры входят в уравнение объекта линейно;

2) вектор состояния доступен измерению ;

3) от нелинейности можно избавиться путем соответствующего

выбора закона управления, если параметры изве стн ы.

Ю. В. Тюменцев 89

Оптимальное управление

Slide 179

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXX)

Адаптивное управление по состоянию

нелинейным объектом – 2

Постановка задачи. Пусть объект описывается уравнением

(n)

y +

i=1

(x, t) = u, (134)

где:

x = (y ˙y . . .

(n−1)

y )

— вектор состояния;

(x, t) (i = 1, 2, . . . , n) — известные нелинейные функции, ограниченные при

ограниченном векторе состояния и любом t > t

;

, (i = 1, 2, . . . , n) — неизвестные постоянные параметры, знак a

известен;

все фазовые переменные доступны измерению.

Slide 180

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXI)

Адаптивное управление по состоянию

нелинейным объектом – 3

Эталонная модель задается уравнением

(n)

+ α

(n−1)

+ · · · + α

= β

g(t). (135)

Здесь g(t) — задающее воздействие.

Требуется определить алгори т м адаптивного управления, при котором все

переменные ограничены и ошибка слежения e(t) = y(t) − y

(t) стремится к

нулю при t → ∞.

При записи решения используется (n × 1)-матрица

B = 0 0 . . . 1

и (n × n)-матрица P , которая является решением уравнения Ляпунова

P A + A

P = I

Ю. В. Тюменцев 90