Тюменцев Ю.В. Оптимальное управление. Лекции-Слайды

Подождите немного. Документ загружается.

Оптимальное управление

Slide 221

Задача корректировки динамических свойств

объекта управления

(XXI)

Конкретизация задачи — 7

Упрощенная математическая модель продольного движения : Описывает

переходные процессы по угловой скорости и углу тангажа, которые возникают

сразу же после нарушения балансировки, соответству ющей установившемуся

горизонтальному полету.

+ V

) = F

˙ω

= M

(154)

Система уравнений (16 9 ) за мкнута, так как угол атаки α, входящий в выражения

для F

и M

, будет равен в рассматриваемом случае углу тангажа ϑ, который

связан с V

следующей кинематической зависимостью:

= −V sin ϑ .

Slide 222

Задача корректировки динамических свойств

объекта управления

(XXII)

Конкретизация задачи — 8

Система ура в нений (169) со слайда 307 в нормальной форме Коши:

− V

dω

(155)

В ( 155) M

= M

(ϕ

ст

), т. е. момент тангажа M

является функцией от

угла отклонения цельноповоротного стабилизатора.

Тогда для рассматриваемого случая состав переменных состояния x и

переменных управления u будет следующим:

x = [V

]

, u = [ϕ

ст

] . (156)

Ю. В. Тюменцев 111

Оптимальное управление

Slide 223

Задача корректировки динамических свойств

объекта управления

(XXIII)

Конкретизация задачи — 9

Нелинейная эталонная модель продольного движения для реализации

непрямого подхода к оценке динамически х свойств самолета.

(э)

− V

(э)

dω

(э)

(157)

В (157) M

(э)

= M

(э)

(ϕ

ст

), т. е. момент тангажа M

является функцией от угла

отклонения ϕ

ст

цельноповоротного стабилизатора. Эталонная модель (157)

отличается от исходной модели (155) видом выражении для момента тангажа

(э)

, где по сравнению с M

в (1 5 5 ) вводится добавочное демпфирование с

тем, чтобы поведение объекта управления стало апериодическим.

Slide 224

Задача корректировки динамических свойств

объекта управления

(XXIV)

Конкретизация задачи — 10

Дополнительные упрощения основной и эталонной моделей:

• будем считать, что значения параметров , характеризую-

щих объект управления (155) и его о порное (невозму-

щенное) движение (э то параметры I

, m, V , H и т. п.)

остаются неизменными.

• примем, что значения коэффициентов настройки w вы-

бираются автономно, фиксируются и в процессе функ-

ционирования управляемой системы не меняются.

Ю. В. Тюменцев 112

Оптимальное управление

Slide 225

Подходы к решению задач у правления

❑ традиционный;

❑ нейросетевой:

• консервативный — нейросеть исполь-

зуется как модуль корректировки неко-

торых параметров системы управления

(например, ее коэффициентов усиле-

ния) в зависимости от условий функ-

ционирования системы);

• радикальный — вся система управле-

ния или же некоторая ее функциональ-

но завершенная часть реализуется как

целостная нейросистема.

Slide 226

Этапы решения задачи управления

• формирование нейросетевой модели

движения самолета без учета привода

стабилизатора;

• формирование нейросетевой модели

движения самолета с учетом привода

стабилизатора;

• формирование эталонной модели;

• синтез нейроконтроллера;

• сравнение поведения самолета, управля-

емого нейроконтроллером, с эталонной

моделью движения.

Ю. В. Тюменцев 113

Оптимальное управление

Slide 227

Структурная схема настройки параметров

корректирующего контроллера

ОУ

КК

Err

ЭМ

(э)

ОУ — объект управления; КК — корректирующий контроллер; ЭМ — эталонная

модель; Err — блок выработки рассогласования между реальным и эталонным

поведением ОУ; x — вектор переменных состояния ОУ; x

(э)

— вектор переменных

состояния ЭМ; u

∗

, ∆u — командная и корректирующая составляющая вектора

управления ОУ; u = u

∗

+ ∆u — вектор переменных управления ОУ; w — набор

подбираемых параметров КК.

Slide 228

Настройка параметров корректирующего

контроллера (I)

Процесс настройки параметров начинается в момент времени t

с одного и того же состояния к ак для ОУ, так и для ЭМ, т. е.

x(t

) = x

(э)

). Затем, на вход ОУ и ЭМ подается одинаковый

командный сигнал u

∗

), предназначенный, например, для

реализации длиннопериодической составляющей требуемого

движения. Качество переходных процессов в

короткопериодиче ском движении, вызванных возникшим

возмущением, должно отвечать для данных x

(э)

) = x(t

) и

∗

) эталонной модели, которая через промежуток времени

∆t = t

i+1

− t

переходит в состояние x

(э)

i+1

); состояние ОУ

к этому же времени станет равным x(t

i+1

Ю. В. Тюменцев 114

Оптимальное управление

Slide 229

Настройка параметров корректирующего

контроллера (II)

Теперь можно найти рассогласование между выходами ОУ и ЭМ

||x(t

i+1

) − x

(э)

i+1

)||

и на этой основе построить функцию ошибки E(w ). Данная операция

осуществляется на основе следующих соображений.

Эталонная модель в используемой схеме фиксирована и ее выход в

момент времени t

i+1

зависит только от состояния ЭМ в момент времени

, т. е. от x

(э)

), а также от значения командного сигнала u

∗

) в тот

же самый момент времени.

В отличие от ЭМ, управляющее воздействие на ОУ складывается из

командного сигнала u

∗

) и добавочного сигнала

∆u(t

) = Ψ(x(t

i−1

), u

∗

)),

в котором характер функции Ψ (·) зависит, как это было принято выше,

от состава и значений параметров w в ней.

Т. о., функция ошибки E(·) зависит от вектора параметров w,

варьируя, можно так выбрать направление их изменения, чтобы функция

E(w) уменьшалась.

Slide 230

Настройка параметров корректирующего

контроллера (III)

Как видно из схемы настройки параметров корректирующего

контроллера, функция ошибки E(w) определена на выходах ОУ. Уже

отмечалось, ч то целью решения задачи корректировки динамических

свойств ОУ является минимизация функции E(w) по параметрам w:

E(w

∗

) = min

E(w) . (158)

Задачу ( 158) можно было бы трактовать как традиционную задачу

оптимизации — задачу нелинейного программирования (НЛП).

Обстоятельство, существенно ограничивающее пра ктическую

применимость такого подхода: вычислительная сложность алгоритмов

такого рода (основанных, например, на градиентном поиске) имеет

порядок O(N

), т. е. она растет пропорционально квадрату числа

переменных в решаемой задаче.

По этой причине решение задач НЛП с большим числом переменных

вызывает обычно серьезные трудности. Такая ситуация для задач

традиционного НЛП может возникнуть уже при значении N

порядка

десяти, особенно в случаях, когда д аже однократное вычисление

целевой функции E(w) требует значительных вычислительных затрат.

Ю. В. Тюменцев 115

Оптимальное управление

Slide 231

Настройка параметров корректирующего

контроллера (IV)

Чтобы отследить сложную нелинейную динамику ОУ, может

потребоваться значительное число «степеней свободы» в используемой

модели, а это число тем больше, чем больше варьируемых переменных в

описании КК.

Вычислительный эксперимент показывает, что даже для относительно

несложных задач потребное число варьируемых переменных может

составить порядка нескольких десятков.

Следовательно, для КК необходима математическая модель, имеющая

меньшую вычислительную сложность при решении задачи (158), чем

традиционная зада ча НЛП.

Один из возможных вариантов — искусственная нейронная сеть (НС);

корректирующий контроллер, реализованный на основе НС , будем

именовать далее нейроконтроллером (НК).

Как будет показано, использование данного подхода для представления

математиче ской модели КК позволяет снизить вычислительную

сложность з адачи (158) со слайда 230 до порядка O(N

), т. е. она

растет пропорционально первой степени от ч исла переменных N

Slide 232

Настройка параметров корректирующего

контроллера (V)

В пр инятой схеме функция ошибки E(w) определена не на выходах

КК, а на в ыходах ОУ.

Однако, для организации пр оцесса подбора параметров НС необходимо

знать ошибку E(w) непосредственно на выходе КК.

Из-за этого возникает необходимость решения следующей задачи.

Пусть выход модели ОУ отличается от желаемого («эталонного»). Надо

уметь ответить на вопрос — как изменить входы модели ОУ, чтобы ее

выходы изменились в сторону уменьшения ошибки E(w)?

Скорректированные таким образом входы модели ОУ становятся

целевыми значениями выходов для НК; параметры w в НК варьируются

так, чтобы минимизировать уклонение текущих в ыходов НК от этих

целевых, т. е. минимизировать ошибку E(w).

Таким образом, возникает необходимость решения обратной задачи

динамики для ОУ. Если модель ОУ представляет собой традиционную

нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, то

решение д анной задачи получить весьма непросто. Альтернативный

вариант — использование в качестве модели ОУ искусственной

нейронной сети, для которой обычно реш ение такой задачи менее

трудоемко.

Ю. В. Тюменцев 116

Оптимальное управление

Slide 233

Настройка параметров корректирующего

контроллера (VI)

Таким образом, нейросетевой подход к решению задачи

корректировки динамических свойств объекта управления требует

использовать две НС:

❑ нейроконтроллер, т. е. нейросеть, реализующую

алгоритм корректировки;

❑ нейросетевую модель о бъекта управления.

Первое, что надо уметь делать для решения задачи

корректировки динамических свойств ОУ предложенным выше

способом — аппроксимировать с помощью НС исходную

систему дифференциальных уравнений (145) со слайда 201 (или,

применительно к рассматриваемой конкретной задаче — с ис тему

(155)) со слайда 222.

Slide 234

Общая схема процесса обучения нейросети (VI)

Реализация процесса обучения с учителем для системы (145),

(150) требует умения сопоставлять желаемое ее поведение с тем,

что получается фактически при том или ином наборе значений

для настраиваемых параметров нейроконтроллера w.

Поведение системы (145), (150) с началь ными условиями

= x(t

) под воздействием управления u(t) — это

многошаговый процесс, если считать, что значения этого

процесса x(t

) наблюдаются в моменты времени t

{x(t

)} , t

= t

+ k∆t ,

k = 0, 1, . . . , N

, ∆t =

− t

(159)

Ю. В. Тюменцев 117

Оптимальное управление

Slide 235

Формирование обучающего множества (I)

В задаче (145), (150) в качестве обучающего примера, можно

было бы использовать пару

h(x

(э)

, u

(э)

(t)), {x

(э)

) , k = 0, 1, . . . , N

}i ,

где (x

(э)

, u

(э)

(t)) есть начальное состояние системы (145) и

отрабатываемый закон управления, соответственно, а

(э)

) , k = 0, 1, . . . , N

} — многошаговый процесс (159),

который должен реализовываться из данного начального

состояния x

(э)

под воздействием некоторого управления u

(э)

(t)

на интервале времени [t

, t

Slide 236

Формирование обучающего множества (II)

Сравнивая желаемый процесс {x

(э)

) , k = 0, 1, . . . , N

} с

фактическим процессом {x(t

) , k = 0, 1, . . . , N

получаемым для тех же с амых начальных условий x

(э)

управления u

(э)

(t) фактически, т. е. для фиксиров анного

значения параметров w, можно было бы тем или иным способом

определять расстояние между требуемым и фактически

реализуемым процессами, а затем пытаться его минимизировать,

варьируя значения параметров w.

Такого рода «прямолинейный» подход ведет к резкому росту

объема вычислений на этапе обучения НС и, в особенности, на

этапе формирования соответствующего обучающего набора.

Ю. В. Тюменцев 118

Оптимальное управление

Slide 237

Формирование обучающего множества (III)

Существует, однако, возможность резко снизить указанные

объемы вычислений, если воспользоваться тем фактом, что

состояние, в которое перейдет система (145), (150) за время

∆t = t

i+1

− t

, за висит только от ее состояния x(t

) в момент

времени t

, а также от значения u(t

) управляющего воздействия

в тот же самый момент времени.

Это обстоятельство дает основание заменить многошаговы й

процесс {x

(э)

) , k = 0, 1, . . . , N

} набором из N

одношаговых процессов, каждый из которых состоит в

выполнении для системы (145), (150) одного шага по времени

длиной ∆t из некоторой начальной точки x(t

Slide 238

Формирование обучающего множества (IV)

Пусть переменные состояния x

, i = 1, . . . , n в уравнении

(145) принимают значения из диапазонов, определенных для

каждой из них:

min

6 x

max

, i = 1, . . . , n . (160)

Аналогичные неравенства имеют место для управляющих

переменных u

, j = 1, . . . , m в (145):

min

6 u

max

, j = 1, . . . , m . (161)

Ю. В. Тюменцев 119

Оптимальное управление

Slide 239

Формирование обучающего множества (V)

Зададим на э тих диапазонах сетку {∆

(i)

, ∆

(j)

∆

(i)

: x

)

= x

min

+ s

∆x

, i = 1, . . . , n; s

= 0, 1, . . . , N

∆

(j)

: u

)

= u

min

+ p

∆u

, j = 1, . . . , m; p

= 0, 1, . . . , M

(162)

В выражениях (162) обозначено:

∆x

max

− x

min

, i = 1, . . . , n ,

∆u

max

− u

min

, j = 1, . . . , m .

Здесь же обозначено: N

— число отрезков, на которое делится

диапазон знач ений для переменной состояния x

, i = 1, . . . , n;

— число отрезков, на которое делится диапазон значений для

управляющей переменной u

, j = 1, . . . , m.

Slide 240

Формирование обучающего множества (VI)

Узлы сетки {∆

(i)

, ∆

(j)

} — это кортежи длиной (n + m) вида

)

, u

)

i ,

где компоненты x

)

, i = 1, . . . , n берутся из

соответствующих ∆

(i)

, а компоненты u

)

, j = 1, . . . , m —

из ∆

(j)

в (162). Если область R

является подмножеством

декартова произведения X × U, то этот факт может быть учтен

путем исключения «лишних» кортежей из сетки.

Ю. В. Тюменцев 120