Тюменцев Ю.В. Оптимальное управление. Лекции-Слайды

Подождите немного. Документ загружается.

Оптимальное управление

Slide 241

Формирование обучающего множества (VII)

В терминах задачи (155) при аппроксимации математической

модели объекта управления неравенства (160) принимают вид:

min

6 V

max

min

6 ω

max

(163)

неравенство (161) запишется как

min

ст

6 ϕ

ст

6 ϕ

max

ст

, (164)

а сетка (162) переписывается в форме:

∆

)

: V

)

= V

min

+ s

∆V

, s

= 0, 1, . . . , N

∆

(ω

)

: ω

)

= ω

min

+ s

∆ω

, s

= 0, 1, . . . , N

∆

(ϕ

ст

)

: ϕ

(p)

ст

= ϕ

min

ст

+ p

ст

∆ϕ

ст

, p

ст

= 0, 1, . . . , M

ст

(165)

Slide 242

Формирование обучающего множества (VIII)

Как уже отмечалось выше, каждый из узлов сетки (162)

используется в качестве начального значения

= x(t

), u

= u(t

) для системы уравнений (145); с этими

начальными значениями в ыполняется один шаг интегрирования

величиной ∆t.

Указанные начальные значения x(t

), u(t

) сос тавляют входной

вектор в обучающем примере, а полу ченное значение

x(t

+ ∆t) — целевой вектор, т. е. вектор-образец,

показывающий нейросети, каким должно быть значение выхода

НС при данных стартовых условиях x(t

), u(t

Ю. В. Тюменцев 121

Оптимальное управление

Slide 243

Формирование обучающего множества (IX)

Формирование обучающего набора для решения задачи

нейросетевой аппроксимации динамической системы (145) (в

частности, в ее конкретном варианте (155)) является

нетривиальной задачей. Как показал вычислительный

эксперимент, сходимость процесса обучения чувствительна к

шагу сетки ∆x

, ∆u

и шагу по времени ∆t.

Slide 244

Формирование обучающего множества (X)

Поясним чувствительность процесса обучения к шагу сетки и

шагу по времени на примере системы (155), когда

∆x

= ∆V

, ∆x

= ∆ω

, ∆u

= ∆ϕ

ст

Изобразим часть сетки {∆

)

, ∆

(ω

)

}, узлы которой

используются в качеств е начальных значений (входная часть

обучающего примера) для получения целевой части обучающего

примера.

Будем обозначать узел сетки кружком, а крестиком — состояние

системы (155), полученное интегрированием ее уравнений за ш аг

времени ∆t с начальными условиями (V

(i)

, ω

(j)

), для

фиксированного положения стабилизатора ϕ

(k)

ст

Ю. В. Тюменцев 122

Оптимальное управление

Slide 245

Формирование обучающего множества (XI)

)T'

)

Фрагмент сетки {∆

)

, ∆

(ω

)

} при ϕ

ст

= const: ◦ — стартовый узел

сетки; × — целевая точка сетки; ∆V

, ∆ω

— шаг сетки по переменным

состояния V

и ω

, соответственно; ∆V

′

, ∆ω

′

— смещение целевой

точки по отношению к породившему ее узлу сетки.

Slide 246

Формирование обучающего множества (XII)

В серии вычислительных экспериментов было установлено, что

при ∆t = const условиями сходимости процесса обучения НС

(??) или (??) будут следующие:

+ ∆t) − V

) < ∆V

+ ∆t) − ω

) < ∆ω

(166)

где ∆V

, ∆ω

— шаг сетки (165) по соответствующим

переменным состояния для заданного фиксированного значения

ст

Ю. В. Тюменцев 123

Оптимальное управление

Slide 247

Формирование обучающего множества (XIII)

30 25 20 15 10 5 0 5 10 15

, м/с

, град/с

Slide 248

Формирование обучающего множества (XIV)

Графическое изображение сетки {∆

)

, ∆

(ω

)

}, построенной

при ϕ

ст

= const и совмещенной с целевыми точками, показано

на предыдущем слайде. Данный лист сетки построен при

ст

= −8

Здесь же изображены (крестиками) и соответствующие целевые

точки для каж дого из узлов сетки. Совокупность («пачка») таких

изображений, каждое для своего значения ϕ

(p)

ст

∈ ∆

(ϕ

ст

)

, дает

важную информацию о структуре обучающего набора для

системы (155), позволяя, в ряде случаев , резко сократить объем

данного на бора.

Ю. В. Тюменцев 124

Оптимальное управление

Slide 249

Формирование обучающего множества (XV)

Теперь, после того как сформирована сетка (162) (или (165), для

случая продольного короткопериодического движения),

можно построить обучающий набор, после чего решать задачу

или обучения сети с учителем. Для определенности будем

считать, что решается задача, в которой ошибка сети E(·)

вычисляется по результатам прогона через НС всех обучающих

примеров из используемого обучающ его набора; каждый такой

прогон в процессе обучения НС принято именов ать эпохой.

Slide 250

Аппроксимация модели движения самолета (I)

Конкретизация задачи

Используем полученные результаты для случая продольного

короткопериодического движения самолета и соответствующей

корректировки динамических свойств самолета.

Как уже отмечалось, первое, что требуется для решения данной

задачи — это построить нейросетевую аппроксимацию

традиционной математической модели движения самолета.

Нейросеть, аппроксимирующая модель движения (155),

показанную на слайде 222, после ряда вычислительных

экспериментов получила вид, показанный на следующем слайде.

Ю. В. Тюменцев 125

Оптимальное управление

Slide 25 1

Аппроксимация модели движения самолета (II)

Нейросеть модели продольного движения самолета (1)

)

ст

, ω

— значения переменных состояния самолета в момент времени

; ϕ

ст

— значение угла отклонения стабилизатора в момент времени t

;

∆V

, ∆ω

— приращения значений переменных состояния самолета в

момент времени t

+ ∆t.

Slide 25 2

Аппроксимация модели движения самолета (III)

Нейросеть модели продольного движения самолета (2)

Входами НС на слайде 251 являются две переменные состояния:

вертикальная скорость V

и угловая скорость тангажа ω

в связанной

системе координат в момент времени t

, а также переменная

управления — угол отклонения стабилизатора ϕ

ст

для момента

времени t

Значения переменных состояния V

и ω

поступают на одну группу

нейронов, а значение у правляющей переменной ϕ

ст

— на другую группу

нейронов первого скрытого слоя, являющегося слоем предобработки

входных сигналов. Результаты этой предобработки подаются на все

четыре нейрона второго скрытого слоя.

На выходе НС — величины ∆V

и ∆ω

приращений значений

переменных состояния сам олета к моменту времени t

+ ∆t.

Нейроны скрытых слоев НС на слайде 251 имеют активационные

функции гауссовского типа, нейроны выходного слоя — линейные

активационные функции.

Ю. В. Тюменцев 126

Оптимальное управление

Slide 253

Аппроксимация модели движения самолета (IV)

Нейросеть модели привода стабилизатора (1)

Модель короткопериодического движения самолета (155) в

качестве управл яющей переменной содержит угол отклонения

цельноповоротного стабилизатора ϕ

ст

В модели (155) характер процесса формиров ания значения ϕ

ст

никак не учитывается. Однако, такой процесс, определяемый

динамическими свойства ми привода управ ляемого

стабилизатора (руля высоты), может оказывать существенное

влияние на динамические свойства создаваемой управляемой

системы.

Slide 254

Аппроксимация модели движения самолета (V)

Нейросеть модели привода стабилизатора (2)

Динамика привода стабилизатора в ра ссматриваемой за даче

описывается следующими дифференциальными уравнениями:

˙ϕ

ст

= x ,

˙x =

(ϕ

∗

ст

− 2ξT

x − ϕ

ст

) .

(167)

Здесь ϕ

∗

ст

— командное значение угла отклонения стабилизатора;

— постоянная времени привода; ξ — коэффициент

демпфирования.

Ю. В. Тюменцев 127

Оптимальное управление

Slide 255

Аппроксимация модели движения самолета (VI)

Нейросеть модели привода стабилизатора (3)

На слайде 256 представлена структура нейросетевой модели

привода стабилизатора, полученная в ходе серии

вычислительных экспериментов. В этой НС входной слой

содержит три нейрона, единственный скрытый слой включает

шесть нейронов с гауссовской активационной функцией, в

выходном слое — один нейрон с линейной активационной

функцией.

Slide 25 6

Аппроксимация модели движения самолета (VII)

Нейросеть модели привода стабилизатора (4)

)

ст

, ˙ϕ

ст

∗

ст

— значение угла отклонения стабилизатора, скорости

отклонения стабилизатора и командного угла отклонения стабилизатора,

соответственно, для момента времени t

; ∆ϕ

ст

— значение приращения

угла отклонения стабилизатора к моменту времени t

+ ∆t.

Ю. В. Тюменцев 128

Оптимальное управление

Slide 257

Аппроксимация модели движения самолета (VIII)

Вычислительный эксперимент

Вычислительные эксперименты при отработке технологии нейросетевой

аппроксимации математических моделей движения вида (155)

проводились применительно к маневренному самолету типа Су-17.

Эксперименты проводились на ПК с процессором Pentium 200 MMX и

оперативной память ю в 96 Мбайт. В качестве программной среды

моделирования использовалась система Matlab 6.0 с пакетом Neural

Networks.

Первая операция, которую необходимо было проделать — создание

обучающего набора. Он представляет собой пару вход-выходных

матриц, первая из которых задает набор всех возможных значений

варьируемых переменных самолета, а вторая — изменение

соответствующих переменных через заданный промежуток времени,

принятый равным 0.01 с.

Slide 25 8

Аппроксимация модели движения самолета (IX)

Данные для вычислительных экспериментов

Значения параметров, считавшихся в модели (169) фиксированными

(линейные и угловые скорости здесь даются в связанной системе

координат):

• H = 5000 м — высота полета;

• P = 0.75 — относительная тяга двигателя;

• V

= 235 м/с — проекция скорости полета V на ось Ox.

Диапазоны изменения переменных:

• ω

= −12 : 1 : 14 град/с;

• V

= −28 : 2 : 12 м/с;

• ϕ

ст

= −26 : 1 : 22 град.

Таким образом, в рассматриваемом случае обучающий набор

представляет собой входную матрицу размерности 3 × 41013 значений и

соответствующую ей выходную 2 × 41013. При этом входом сети

являются ω

, V

, ϕ

ст

, а выходом — изменение ∆ω

и ∆V

через

отрезок времени ∆t = 0.01 с.

Ю. В. Тюменцев 129

Оптимальное управление

Slide 259

Исходные данные вычислительных экспериментов

(I)

В качестве активационной функции в проведенных

экспериментах первоначально была выбрана «сигмоидальная»

функция (гиперболический тангенс), выражение для которой

записывалось следующим образом:

f(V ) =

− e

−V

+ e

−V

т. е. значение коэффициента c, присутствующего в общем

выражении для активационной функции данного вида, принято

здесь равным 1. Область значений рассматриваемой функции

[−1, 1].

Slide 260

Исходные данные вычислительных экспериментов

(II)

Первоначально было опробовано обучение сети с 14 нейронами в

единственном скрытом слое (количество нейронов выбиралось

экспериментально) на уменьшенном обучающем наборе, диапазон

изменения переменных в котором составлял:

• ω

= −12 : 1 : 14 град/с;

• V

= −28 : 2 : 12 м/с;

• ϕ

ст

= −8 : 1 : 1 град.

Сеть достаточно быстро обучилась (25–30 м инут, в за висимости от

начальных значений весов W и смещений b) и, как видно из графиков,

представленных на слайдах 261, показала неплохое качество

приближения, хотя и не достигла целевого знач ения ошибки, как это

видно из слайда 262, где показано изменение величины ошибки сети в

процессе ее обучения (процесс обучения был здесь прерван после 76

эпохи, поскольку сходимость его резко замедлилась).

Ю. В. Тюменцев 130