Тюменцев Ю.В. Оптимальное управление. Лекции-Слайды

Подождите немного. Документ загружается.

Оптимальное управление

Slide 181

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXII)

Адаптивное управление по состоянию

нелинейным объектом – 4

В уравнении Ляпунова (n × n)-матрица A имеет вид

A =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

0 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 1

−α

n−1

−α

n−2

. . . −α

, (136)

Элементами последней строки матрицы A являются коэффициенты уравнения

эталонной модели с обратными знаками.

Slide 182

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXIII)

Адаптивное управление по состоянию

нелинейным объектом – 5

Утверждение. Алгоритмом адаптивного управления с эталонной моделью (135)

для линейного объекта (134), обеспечивающим глобальную устойчивость и

сходимость оши бки e(t) = y(t) − y

(t) при t → ∞, является

u = a

v, (137)

a = −sign(a

)ΓvB

P x, (138)

где a = (a

. . . a

)

— (n + 1)-вектор варьируемых параметров

регулятора, v = (z f

. . . f

)

— (n + 1)-вектор сигналов,

z = β

g(t) − (α

(n−1)

y + α

(n−2)

y + . . . + α

), Γ — произвольная

положительно определенная (n + 1) × ( n + 1 )-матрица,

x = (e ˙e . . .

(n−1)

e )

— вектор состояния.

Ю. В. Тюменцев 91

Оптимальное управление

Slide 183

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXIV)

Адаптивное управление и робастность – 1

Все рассмотренные алгоритмы адаптивного управления были получены при

условии, что имеется только параметрическая неопределенность.

Другими словами, принималось, что неопределенность обусловлена только

наличием неизвестных постоянных параметров.

В действительности неопределенность может быть обусловлена множеством

других факторов, в их числе, например:

❑ неточность используемой модели объекта;

❑ наличие измерительных шумов;

❑ внешние возмущающие воздействия;

❑ ошибки округления и запаздывания, обусловленные использо-

ванием цифровых устройств;

❑ изменение параметров во времени.

Все неучтенные факторы, обусловливающие неопределенность, выступают как

возмущения.

Slide 184

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXV)

Адаптивное управление и робастность – 2

Выводы об устойчивости, ограниченности переменных и сходимости к нулю

ошибки слежения были сделаны при идеальных условиях, т.е. при условии, что

возмущения отсутствуют.

Однако в действительности любая система функционирует в условиях действия

всех или части указанных возмущений.

Поэтому пригодные на практике системы управления должны обладать свойством

робастности (грубости), т.е. их свойства не должны каче ст венно изменяться при

наличии не очень больших возмущений.

Алгоритмы адаптивного управления, при которых адаптивная система управления

обладает свойством робастности, называют ро бастными.

Ю. В. Тюменцев 92

Оптимальное управление

Slide 185

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXVI)

Адаптивное управление и робастность – 3

Если алгоритм а дапти вного управления не является робастн ым, надо его

модифицировать, чтобы обеспечить ему робастность.

Простейший метод модификац и и — метод мертвой зоны.

Метод прост и эффективен, часто используется на практике.

Он заключается в том, что когда ошибка слежения мала и на результат адаптации

преобладающее влияние оказывает возмущающее воздействие, процесс

адаптации при останавливается.

Это достигается заменой алгоритм а адаптации

a = −γve

на алгоритм вида

a =

−γve, |e| > ∆,

0, |e| 6 ∆,

где ∆ — размер мертвой зоны.

Slide 186

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXVII)

Адаптивное управление и робастность – 4

Другой метод модификации адаптивной системы — метод замены регрессора.

Под регрессором понимается вектор сигналов v.

Идея метода: вектор сигналов находится путем обработки измеренных з начений

выхода y. Поэтому он подвержен влиянию шума измерения n(t). Но так как

алгоритм адаптации включает произведение v и e(t), скорость обновления

параметров зависит от квадрата шума наблюдения (измерения), что может стать

причиной неустойчивости.

Ю. В. Тюменцев 93

Оптимальное управление

Slide 187

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ (XXXVIII)

Адаптивное управление и робастность – 5

Например, в присутствии шума измерения n(t) в а лгоритм а даптации

= −sign(b

)γye

вместо y ну жно подставить y + n(t):

= −sign(b

)γ[y + n(t)][y + n(t) − y

] =

−sign(b

)γ[y(y − y

) + n(t)(y − y

) + n

(t)]

В правой части последнего равенства первый член содержит информаци ю о

параметрах, второй член определяет усредненную величину полезного сигнала и

шума, третий член включает только шум, он является основной причиной дрейфа

параметра k

и, соответственно, неустойчивости адаптивной системы управления.

Метод замены регрессора состоит в том, что при малой ошибке слежения

переменную y, которая зависит от шума, заменяют на переменную y

, не

зависящую от шума.

Slide 188

Адаптивное управление с идентификатором ( I)

Адаптивные системы с идентификат ор ом

При синтезе адаптивных систем с идентификатором алгоритм упр авления

основного контура строится так же, как и в случае, когда параметры объекта

известны.

Но в этом случае алгоритм управления и параметры регулятора, который его

реализует, зависят о т неизвестных параметров объекта.

Чтобы подстроить параметры регулятора, требуется определить значения

неизвестных параметров объекта в процессе функционирования системы

управления.

Для этой цели в систему вводится идентификатор.

Ю. В. Тюменцев 94

Оптимальное управление

Slide 189

Адаптивное управление с идентификатором ( II)

Идентификация и модель для получения оценки – 1

Идентификация систем ы — построение ее математической модели путем

обработки ее входных и выходных сигналов в процессе эксперимента.

Эксперимент может быть активным, когда он проводится специально для

решения задачи идентификации, или пассивным, когда идентификация

осуществляется в процессе нормального функционирования системы.

Если структура системы задана, то задача идентификации сводится к

определению параметров этой системы.

Идентификация, которую выполняет идентификатор, состоит в получении оценки

неизвестных параметров объекта в реальном времени и в процессе нормального

функционирования адаптивной системы управления. Поэтому ее принято называть

адаптивной идентификацией.

Слож но сть адаптивной идентификации в том, что она происходит одновременно с

процессами адаптации (подстройки параметров регулятора) и управления и

необходимостью в этих условиях обеспечить работоспособность и прежде всего

устойчивость системы управления.

Slide 190

Адаптивное управление с идентификатором ( III)

Идентификация и модель для получения оценки – 2

Модель для получения оценки – 1

Сущность оценки параметров — это вы деление информации о

параметрах из доступных данных, получаемых путем измерения.

Для получения оценки используется идентификационная модель,

которая св язывает возможные данные с неизвестными параметрами.

Довольно общей идентификационной моделью является линейная

параметрическая форма

y = W (t) a, (139)

где y — выходной вектор, a — вектор неизвестных параметров, W (t) —

матричная функция, которая называется сигнальной матрицей.

Ю. В. Тюменцев 95

Оптимальное управление

Slide 191

Адаптивное управление с идентификатором (IV)

Идентификация и модель для получения оценки – 3

Модель для получения оценки – 2

В каждый момент времени идентификационная модель (139)

представляет собой линейную систему уравнений относительно

неизвестных параметров.

Если даны измерения y (t) и W (t) на некотором интервале времени, то

имеется бесконечное число уравнений вида (139).

Если даны значения y(t) и W (t) в l дискретных точках, то имеем

систему из l уравнений.

Получение оценки неизвестны х параметров сводится к решению эт их

избыточных ура внений для r неизвестных параметров.

Slide 192

Адаптивное управление с идентификатором (V)

Идентификация и модель для получения оценки – 4

Модель для получения оценки – 3

При определении оценки в реальном масштабе времени уравнения

решаются рекуррентно, так как данные об y(t) и W (t) обновляются с

течением времени.

Быстрота и точность оценки зависит от двух факторов:

идентификационной модели и метода решения.

Модель (139) является достаточно общей. Любая линейная система

может быть представлена в такой форме после надлежащего

преобразования.

Преобразование сводится к пропусканию измеряемых сигналов через

фильтры, на выходе которых получа ем преобразованные сигналы.

Ю. В. Тюменцев 96

Оптимальное управление

Slide 193

Адаптивное управление с идентификатором (VI)

Идентификация и модель для получения оценки – 5

Идентификац ионна я модель линейного объекта – 1

В общем случае линейный одномерный объект может быть задан уравнением

A(p)y = B(p)u, (140)

где

A(p) = p

+ a

n−1

+ . . . + a

, B(p)b

n−1

+ b

n−2

+ . . . + b

Разделив обе части на операторный полином

(p) = p

+ α

n−1

+ . . . + α

уравнение (140) можно преобразовать к виду

y =

(p) − A(p)

(p)

y +

B(p)

(p)

Здесь

(p) − A(p) = (α

− a

n−1

+ (α

− a

n−2

− a

Slide 194

Адаптивное управление с идентификатором (VII)

Идентификация и модель для получения оценки – 6

Идентификац ионна я модель линейного объекта – 2

Введем новые переменные

i−1

(p)

y, u

i−1

(p)

u, i = 1, 2, . . . , n.

Уравнение (140) примет вид оценочной модели (139), если положить

W (t) = [y

. . . y

. . . u

a = (α

− a

. . . α

− a

. . . b

)

Здесь A

(p) является собственным оператором фильтров.

Ю. В. Тюменцев 97

Оптимальное управление

Slide 195

Адаптивное управление с идентификатором ( VIII)

Идентификация и модель для получения оценки – 7

Идентификац ионна я модель линейного объекта – 3

В нормальной форме уравнения фильтров можно записать в виде

y = Ay + By,

u = Ay + Bu,

где y = (y

. . . y

)

, u = (u

. . . u

)

, матрицы A и B

определяются соотношениями (127) и (125), соответственно.

Slide 196

Адаптивное управление с идентификатором ( IX)

Идентификация и модель для получения оценки – 8

Градиентный идентификатор – 1

Пусть a(t) является оценкой в момент t вектора неизвестных параметров a в

(139). Оценка выхода

y(t) = W(t)a(t), (141)

которая получается при подстановке в (139) вместо a его оценки, называется

прогнозируемым выходом, а разность

(t) = y(t) − y(t) (142)

именуется прогнозируемой ошибкой.

Очевидно, прогнозируемая ошибка есть не что иное, как невязка. Подставив в

(142) выражения для y(t) из (139) и y(t) из (141), получим

(t) = W(t)a(t) − W(t)a(t). (143)

Ю. В. Тюменцев 98

Оптимальное управление

Slide 197

Адаптивное управление с идентификатором ( X)

Идентификация и модель для получения оценки – 9

Градиентный идентификатор – 2

Рассмотрим алгоритм для получения оценки (алгоритм идентификации),

использующий невязку,

= −γW

(t). (144)

Здесь γ — положительная константа.

Алгоритм (144) является градиентным. При этом алгоритме невязка уменьшается

путем изменения оценок параметров, двигаясь в пространстве параметров вдоль

направления, задаваемого антиградиентом квадрата невязки e

по вектору

параметров a.

Slide 198

Адаптивное управление с идентификатором ( XI)

Идентификация и модель для получения оценки – 1 0

Градиентный идентификатор – 3

Градиентный идентификатор, т.е. идентификатор, использующий градиентный

алгоритм, устойчив по Ляпунову и пара метрическая ошибка при этом

идентификаторе убывает.

Однако будет ли она стремиться к н улю, зависит от сигнальной матрицы W(t),

которая, в свою очередь, зависит от внешних воздействий.

Коэффициент γ в (144 ) оказывает сильное влияние на характер сходимости

алгоритма оценивания.

В случае одного параметра чем больше γ, тем больше и скорость сходимости.

В случае многих параметров связь между γ и скоростью сходимости не такая

простая. На некотором малом интервале увеличение оценочного коэффициента

усиления может привести к увеличению скорости сходимости, но вне указанного

интервала дальнейшее увеличение коэффициента может привести к колебаниям и

более медленной сходимости.

Кроме влияния на скорость сходимости, выбор γ оказывает также влияние на

способность идентификатора следить за изменяющимися параметрами и

противостоять возмущениям.

Ю. В. Тюменцев 99

Оптимальное управление

Slide 199

Прикладной пример, иллюстрирующий

использование нейросетей

Источник: Морозов Н. И., Тюмен це в Ю. В., Яковенко А. В.

Корректировка динамических свойств объекта управления с

использованием ис кусственных нейронных сетей

// Вестник Московского авиационного института. – 2002. –

Том 9, №1. – с. 73–94.

Slide 200

Цели примера

Рассмотрение теоретических и практических возможно-

стей реализации алгоритмов анализа и синтеза управляе-

мого движения перспективных летательных аппаратов на

базе современных информационных технологий, форми-

рование с оответствующих подходов к решению проблем

формирования математических моделей, а также алго-

ритмов управления на их основе.

Демонстрация эффективности применения нейросетевого

подхода для решения задач управления динамическими

объектами на примере управ ления продольным коротко-

периодическим движением маневренного самолета.

Ю. В. Тюменцев 100