Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере
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ɆɨɞɄ-04 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
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8. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɱɚɫɬɨɬɭ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.
9. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɱɚɫɬɨɬɭ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɨɬɧɨɲɟ-
ɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɛɵɥɨ ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɞɪɭɝɢɯ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ.
10. ɉɨɥɭɱɢɬɟ 8-10 ɡɚɦɤɧɭɬɵɯ ɮɢɝɭɪ Ʌɢɫɫɚɠɭ.
11. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ.
12. ɋɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.
3.2. ɉɨɞɪɨɛɧɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɯɨɞɚ ɪɚɛɨɬɵ
ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚ-
ɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɞɟɣɫɬɜɢɣ:
1. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɨɤ ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ «Ɇɚɹɬɧɢɤ» ɜɵɛɟɪɢɬɟ ɦɚɹɬ-
ɧɢɤ (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ). ɉɨɞ ɤɧɨɩɤɚɦɢ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɭɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟ-
ɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ ɢ ɦɚɫɫɚ ɬɟɥɚ. ɗɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵ ɞɥɹ
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɱɚɫɬɨɬɵ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ (ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ) ɤɨɥɟ-
ɛɚɧɢɣ.
2. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɨɥɡɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «ɑɚɫɬɨɬɚ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ
ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ɍɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɧɚɞ ɩɨɥɡɭɧɤɨɦ ɩɪɨɤɪɭɬɤɚ ɜ ɜɢɞɟ: «ɑɚɫɬɨɬɚ (ɪɚɞ/ɫ): *.**».
3. ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɸ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ.
ɇɚɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ «ɇɚɱɚɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». ɇɚɱɧɟɬɫɹ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɦɚɹɬɧɢɤɚ.
Ɉɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɫɬɪɨɹɬɫɹ ɝɪɚɮɢɤɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɬɟɥɚ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ (x = x(t), y = y(t)) ɢ ɬɪɚ-
ɟɤɬɨɪɢɢ y = y(x). Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɜɪɟɦɟɧɢ. Ʉɧɨɩɤɢ
ɧɚ
ɩɚɧɟɥɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ ɢ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «ɑɚɫɬɨɬɚ» ɫɬɚɧɭɬ ɧɟɞɨɫɬɭɩɧɵɦɢ. Ʉɨ-
ɝɞɚ ɜɪɟɦɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɡɚɤɨɧɱɢɬɫɹ, ɦɚɹɬɧɢɤ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɨɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ.
ȿɫɥɢ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ȼɵ ɜɫɩɨɦɧɢɥɢ, ɱɬɨ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨ ɭɫɬɚɧɨɜɢɥɢ
ɤɚɤɭɸ-ɥɢɛɨ ɜɟɥɢɱɢɧɭ (ɜɵɛɪɚɥɢ ɦɚɹɬɧɢɤ ɢɥɢ ɱɚɫɬɨɬɭ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ), ɧɚ-
ɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ «Ɉɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». Ɇɚɹɬɧɢɤ ɨɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ. Ʉɧɨɩɤɢ ɧɚ ɩɚ-
ɧɟɥɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ ɢ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «
ɑɚɫɬɨɬɚ» ɫɬɚɧɭɬ ɞɨɫɬɭɩɧɵɦɢ. ɉɨɫɥɟ ɷɬɨɝɨ
ɦɨɠɧɨ ɩɨɜɬɨɪɢɬɶ ɨɩɵɬ.
4. ɇɚɛɥɸɞɚɣɬɟ ɡɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɟɣ ɬɟɥɚ. əɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢ ɨɧɚ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ?
Ɍɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ, ɟɫɥɢ ɡɚ ɜɪɟɦɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɬɟɥɨ ɦɧɨɝɨ-
ɤɪɚɬɧɨ ɩɨɜɬɨɪɹɟɬ ɨɞɢɧ ɢ ɬɨɬ ɠɟ ɩɭɬɶ. Ɍɨɥɳɢɧɚ ɝɪɚɮɢɤɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɧɟ ɞɨɥɠɧɚ ɦɟ-
ɧɹɬɶɫɹ.
5. ȿɫɥɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ, ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɧɨɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨ-
ɬɵ
ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɭɧɤɬɚ 3.
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɨɥɡɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «ɑɚɫɬɨɬɚ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɧɨɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫ-
ɬɨɬɵ ɜɧɟɲɧɟɣ ɫɢɥɵ. Ɍɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚɞ ɩɨɥɡɭɧɤɨɦ ɩɪɨɤɪɭɬ-
ɤɚ ɜ ɜɢɞɟ: «ɑɚɫɬɨɬɚ (ɪɚɞ/ɫ): *.**». Ɋɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɢɡɦɟɧɹɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪ-
ɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɚ 0,01 ɪɚɞ/ɫ. Ⱦɥɹ ɛɨɥɟɟ ɬɨɱɧɨɝɨ ɡɚɞɚɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɣɬɟ
ɫɤɪɨɥɥɢɧɝ
ɦɵɲɢ.
6. ɉɨɜɬɨɪɹɣɬɟ ɨɩɵɬ, ɩɨɤɚ ɧɟ ɩɨɥɭɱɢɬɟ ɡɚɦɤɧɭɬɭɸ ɮɢɝɭɪɭ Ʌɢɫɫɚɠɭ.
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
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ȼɨ ɜɪɟɦɹ ɩɨɢɫɤɚ ɩɟɪɜɨɣ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɛɢɪɚɬɶ
ɱɚɫɬɨɬɵ ɜ ɞɢɚɩɚɡɨɧɟ 1,00 – 1,50 ɪɚɞ/ɫ ɫ ɲɚɝɨɦ 0,01 ɪɚɞ/ɫ. Ⱦɥɹ ɛɨɥɟɟ ɬɨɱɧɨɝɨ ɡɚɞɚɧɢɹ
ɱɚɫɬɨɬɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɣɬɟ ɫɤɪɨɥɥɢɧɝ ɦɵɲɢ.
7. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɬɟ ɝɪɚɮɢɤ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ y = y(x).
ɉɪɨɜɟɞɢɬɟ ɦɵɫɥɟɧɧɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɭɸ ɩɪɹɦɭɸ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɨɧɚ
ɇȿ ɉɊɈɏɈȾɂɅȺ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɝɪɚɮɢɤɚ ɫɚɦɨɝɨ ɫ ɫɨɛɨɣ. ɉɨɫɱɢɬɚɣɬɟ ɤɨ-
ɥɢɱɟɫɬɜɨ n
x
ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɝɪɚɮɢɤɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɫ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ.
ɉɪɨɜɟɞɢɬɟ ɦɵɫɥɟɧɧɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɭɸ ɩɪɹɦɭɸ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɨɧɚ
ɇȿ ɉɊɈɏɈȾɂɅȺ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɝɪɚɮɢɤɚ ɫɚɦɨɝɨ ɫ ɫɨɛɨɣ. ɉɨɫɱɢɬɚɣɬɟ ɤɨ-
ɥɢɱɟɫɬɜɨ n
y
ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɝɪɚɮɢɤɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɫ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ.
Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ Z
x
ɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ Z
y
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɨ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɝɪɚɮɢɤɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɫ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ n
y
ɢ ɝɨɪɢ-
ɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ n
x
ɩɪɹɦɵɦɢ:
x
y
y
x
n
n
Z
Z
.
8. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɱɚɫɬɨɬɭ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.
Ɂɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɭ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
y
ɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ, ɥɟɝɤɨ ɧɚɣɬɢ
ɱɚɫɬɨɬɭ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ (ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ) ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ:
y
x
y
x
n
n
Z Z
.
ɑɚɫɬɨɬɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
y
ɦɨɠɟɬ ɦɟɧɹɬɶɫɹ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ 0,01 ɪɚɞ/ɫ,
ɩɨɷɬɨɦɭ ɱɚɫɬɨɬɭ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
x
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ
ɬɪɢ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɯ ɡɧɚɤɚ ɩɨɫɥɟ ɡɚɩɹɬɨɣ.
ɊȿɁɍɅɖɌȺɌɕ ɂɁɆȿɊȿɇɂɃ ɁȺɉɂɒɂɌȿ ȼ ɌȺȻɅɂɐɍ.
9. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɱɚɫɬɨɬɭ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫ-
ɬɨɬ ɛɵɥɨ ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɞɪɭɝɢɯ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ.
Ɏɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɡɚɦɤɧɭɬɵɦɢ, ɤɨɝɞɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɪɚɜɧɨ ɨɬ-
ɧɨɲɟɧɢɸ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ. ȿɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɇȿȻɈɅɖɒɂɏ
ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɨ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɢɦɟɸɬ ɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɣ ɜɢɞ. Ɋɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɩɪɨɜɨ-
ɞɢɬɶ ɨɩɵɬ ɞɥɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɱɚɫɬɨɬ
x
y
Z
Z
: 1:5; 1:4; 1:3; 2:5; 1:2; 3:5; 2:3; 3:4;
4:5; 1:1; 6:5; 5:4; 4:3; 3:2; 5:3; 2:1; 5:2; 3:1.
Ɂɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɭ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɭɸ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɨɩɵ-
ɬɚ, ɜɵɱɢɫɥɢɬɟ ȼɋȿ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɦɨɝɭɬ ɩɨɥɭɱɢɬɶ-
ɫɹ ɡɚɦɤɧɭɬɵɟ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ.
Ɉɛɪɚɬɢɬɟ ɜɧɢɦɚɧɢɟ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɜ
ɞɢɚɩɚɡɨɧɟ 1–6 ɪɚɞ/ɫ ɢ ɢɦɟɬɶ ɬɪɢ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɯ ɡɧɚɤɚ ɩɨɫɥɟ ɡɚɩɹɬɨɣ. ȿɫɥɢ ɬɪɟɬɢɣ ɞɟɫɹ-
ɬɢɱɧɵɣ ɡɧɚɤ ɨɬɥɢɱɟɧ ɨɬ ɧɭɥɹ, ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɡɚɦɤɧɭɬɭɸ ɮɢɝɭɪɭ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɧɟ ɭɞɚɫɬɫɹ, ɩɨ-
ɬɨɦɭ ɱɬɨ ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɨɠɟɬ ɦɟɧɹɬɶɫɹ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ 0,01 ɪɚɞ/ɫ (ɜ
ɞɚɧɧɨɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ).
ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɨɞɧɨ ɢɡ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɩɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɭɧɤ-
ɬɚ 3.
ɆɨɞɄ-04 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
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10. ɉɨɥɭɱɢɬɟ 8–10 ɡɚɦɤɧɭɬɵɯ ɮɢɝɭɪ Ʌɢɫɫɚɠɭ. ȼɫɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɡɚɦɤɧɭɬɵɟ
ɮɢɝɭɪɵ ɡɚɪɢɫɭɣɬɟ ɢɥɢ ɫɨɯɪɚɧɢɬɟ ɜ ɜɢɞɟ bmp-ɮɚɣɥɚ. ɑɬɨɛɵ ɫɨɯɪɚɧɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ, ɧɚ-
ɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ «ɋɨɯɪɚɧɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ».
11. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ.
ɉɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ k ɩɪɭɠɢɧɵ ɢ ɦɚɫɫɵ m ɬɟɥɚ ɜɵɱɢɫ-
ɥɢɬɟ ɱɚɫɬɨɬɭ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ (ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ) ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɚɹɬɧɢɤɚ
m
k
x
Z .
ɑɚɫɬɨɬɭ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
x
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ
ɬɪɢ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɯ ɡɧɚɤɚ ɩɨɫɥɟ ɡɚɩɹɬɨɣ.
12. ɋɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.
əɜɥɹɸɬɫɹ ɥɢ ɡɚɦɤɧɭɬɵɟ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦɢ?
Ʉɚɤɨɣ ɫɢɦɦɟɬɪɢɟɣ ɨɛɥɚɞɚɸɬ ɡɚɦɤɧɭɬɵɟ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ, ɟɫɥɢ: ɚ) ɱɚɫɬɨɬɚ
ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ? ɛ) ɱɚɫɬɨ-
ɬɚ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ? ɜ) ɱɚɫ-
ɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɵ?
Ɇɨɠɧɨ ɥɢ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɢɝɭɪ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɨɞɧɭ ɢɡ ɱɚɫɬɨɬ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
ɬɟɥɚ, ɟɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɞɪɭɝɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ?
ɋɨɜɩɚɞɚɟɬ ɥɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ ɫ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ? ɑɬɨ ɛɨɥɶɲɟ, ɪɚɡɧɢɰɚ ɦɟɠɞɭ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɢ ɷɤɫ-
ɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɱɚɫɬɨɬɵ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢɥɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚɹ
ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ?
4. Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɵɟ ɜɨɩɪɨɫɵ
1. Ʉɚɤɨɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɥɨɠɟɧɢɟɦ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ?
2.
Ʉɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɦɢ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵ-
ɦɢ?
3.
Ʉɚɤ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɸ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ ɫ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ?
4.
Ʉɚɤ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɸ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ ɫ ɤɪɚɬɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ?
5.
ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ?
6.
Ʉɚɤ ɩɨ ɜɢɞɭ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ
ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ?
7.
Ɉɩɢɲɢɬɟ ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ.
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
274
Ɍɚɛɥɢɰɚ
ʋ
ɩ/ɩ
Ɍɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
1.
ɑɚɫɬɨɬɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
y
,
ɪɚɞ/ɫ
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɫ
ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ n
x
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɫ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ
ɩɪɹɦɨɣ n
y
Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ
y
x
x
y
n
n
Z
Z
_ : _
ɑɚɫɬɨɬɚ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
x
,
ɪɚɞ/ɫ
2.
ȼɨɡɦɨɠɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ
x
y
Z
Z
1:5
ɑɚɫɬɨɬɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
y
,
ɪɚɞ/ɫ
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɫ
ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ n
x
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɫ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ
ɩɪɹɦɨɣ n
y
ɑɚɫɬɨɬɚ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
x
,
ɪɚɞ/ɫ
… … … …
10.
ȼɨɡɦɨɠɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ
x
y
Z
Z
3:1
ɑɚɫɬɨɬɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
y
,
ɪɚɞ/ɫ
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɫ
ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ n
x
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɫ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ
ɩɪɹɦɨɣ n
y
ɑɚɫɬɨɬɚ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ Z
x
,
ɪɚɞ/ɫ
______________
ɉɪɢ ɫɨɡɞɚɧɢɢ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɚɜɬɨɪɵ ɨɩɢɪɚɥɢɫɶ ɧɚ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ ɦɨ-
ɞɟɥɢɪɭɸɳɟɣ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ «ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ», ɧɚɩɢɫɚɧɧɨɣ
Ʉ.Ȼ. Ʉɨɪɨɬɱɟɧɤɨ, ɘ.Ⱥ. ɋɢɜɨɜɵɦ ɜ 1996-98 ɝɝ.
275
ɅȺȻɈɊȺɌɈɊɇȺə ɊȺȻɈɌȺ ʋ ɆɨɞɄ-05
ɉɈ ɂɁɍɑȿɇɂɘ ɆɈȾȿɅȿɃ ɎɂɁɂɑȿɋɄɂɏ
ɉɊɈɐȿɋɋɈȼ ɂ əȼɅȿɇɂɃ ɇȺ ɄɈɆɉɖɘɌȿɊȿ
ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ȼɢɟɧɢɹ
ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ: ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɟɣ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ, ɭɱɚɫɬɜɭɸ-
ɳɟɝɨ ɜ ɞɜɭɯ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹɯ. Ɉɩɪɟ-
ɞɟɥɟɧɢɟ ɢɡ ɛɢɟɧɢɣ ɱɚɫɬɨɬɵ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɢ ɚɦɩɥɢ-
ɬɭɞ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.
1. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ
Ɇɧɨɝɢɟ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɦɨɝɭɬ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɭɱɚɫɬɜɨɜɚɬɶ
ɜ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɚɯ. ɉɨɞ ɫɥɨɠɟɧɢɟɦ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɨ-
ɧɢɦɚɸɬ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɡɚɤɨɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ, ɭɱɚɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧ-
ɧɨ ɜ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɚɯ.
Ʌɸɛɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɤ ɫɭɦɦɭ ɞɜɭɯ ɢɥɢ ɛɨɥɟɟ
ɞɜɢɠɟɧɢɣ, ɢɦɟɸɳɢɯ ɪɚɡɧɵɟ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ. ɉɨɞ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟɦ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ ɩɨɧɢɦɚɸɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɳɟɟ ɫ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟɦ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶ-
ɧɨɝɨ ɫɦɟɳɟɧɢɹ
ɤɨɥɟɛɥɸɳɟɣɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢɡ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ. ɉɪɢ
ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɨɞɢ-
ɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ ɥɢɛɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ
ɫɱɢɬɚɸɬɫɹ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ ɜ ɨɞɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ
ɜɞɨɥɶ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɩɪɹɦɵɯ. Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɱɢɬɚɸɬɫɹ ɨɞɢ-
ɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ ɜ ɨɞɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜɞɨɥɶ
ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵɯ ɩɪɹɦɵɯ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ,
ɤɨɬɨɪɵɟ ɫɨɜɟɪɲɚɸɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ OX ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫ
ɚɦɩɥɢɬɭɞɚɦɢ
1
A ɢ
2
A , ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
1
Z ɢ
2
Z , ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɮɚɡɚɦɢ
1
M ɢ
2
M ,
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ
)cos(
1111
MZ tAx ;
)cos(
2222
MZ tAx .
Ɋɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɬɚɤɠɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɦ ɢ ɫɨɜɟɪ-
ɲɚɟɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɬɨɣ ɠɟ OX ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
)cos()cos(
22211121
MZMZ tAtAxxx .
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
276
1.1. ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ
Ⱦɥɹ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɷɮ-
ɮɟɤɬɢɜɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ. Ⱦɥɹ ɩɪɢɦɟ-
ɧɟɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɤɚɠɞɨɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɟ ɜ ɜɢɞɟ ɜɟɤɬɨɪɚ, ɞɥɢɧɚ
A
1
A
2
A
A
1
A
2
A
x
y
O
Ɏ
(
t
)
Ɏ
1
(
t
)
Ɏ
2
(
t
)
Z
1
Z
2
Ɋɢɫ. 1
ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɜɧɚ ɚɦɩɥɢɬɭɞɟ, ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫ
ɱɚɫɬɨɬɨɣ, ɪɚɜɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (ɪɢɫ. 1). ȼ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ
ɜɪɟɦɟɧɢ
t
ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ OX ɪɚɜɟɧ ɮɚɡɟ ɤɨ-
ɥɟɛɚɧɢɣ ɜ ɷɬɨɬ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. Ɍɨɝɞɚ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɞɜɢɠɟɧɢɸ
)cos(
1111
MZ tAx ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɜɟɤɬɨɪ
1
A
G
(ɞɥɢɧɚ ɜɟɤɬɨɪɚ
1
A , ɱɚɫɬɨɬɚ
ɜɪɚɳɟɧɢɹ
1
Z , ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
1
M , ɭɝɨɥ ɩɨ-
ɜɨɪɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
t
ɪɚɜɟɧ
111
)( MZ ) tt ); ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶ-
ɧɨɦɭ ɞɜɢɠɟɧɢɸ
)cos(
2222
MZ tAx ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɜɟɤɬɨɪ
2
A
G
(ɞɥɢɧɚ
ɜɟɤɬɨɪɚ
2
A , ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɪɚɳɟɧɢɹ
2
Z , ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ
ɜɪɟɦɟɧɢ
2
M , ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
t
ɪɚɜɟɧ
222
)( MZ ) tt ). ɉɨɥɨɠɟɧɢɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ.
ɉɪɨɟɤɰɢɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɧɚ ɨɫɶ OX ɞɚɟɬ ɡɚɤɨɧ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬɵ ɤɚɠɞɨɝɨ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ.
Ɋɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɟ ɜ ɥɸɛɨɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɥɟɝɤɨ ɩɨ-
ɫɬɪɨɢɬɶ ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɩɚɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦɚ
21
AAA
GGG
. Ɍɨɝɞɚ ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɫɭɦ-
ɆɨɞɄ-05 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ȼɢɟɧɢɹ
277
ɦɚɪɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ
A
G
ɧɚ ɨɫɶ OX ɞɚɫɬ ɡɚɤɨɧ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɪɟɡɭɥɶ-
ɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
)(cos tA
x
)
.
ɂɡ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɮɚɡɭ
)(t)
ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɭ
A
ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ. Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ
ɜɟɤɬɨɪɚ
)(cos)(cos
)(sin)(sin
)(cos
)(sin
)(tg
2211
2211
tAtA
tAtA
tA
tA
t
))
)
)
)
)
)
.
ɉɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɤɨɫɢɧɭɫɨɜ
)]()(cos[2
1221
2
2
2
1
2
ttAAAAA )) .
1.2. Ʉɨɝɟɪɟɧɬɧɵɟ ɢ ɧɟɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
Ƚɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
1
x ɢ
2
x ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɦɢ,
ɟɫɥɢ ɢɯ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
const)()(
12
)) ') tt .
ɗɬɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ, ɟɫɥɢ ɱɚɫɬɨɬɵ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ
1
Z = Z Z
2
.
Ɍɨɝɞɚ
12121212
)()()()( MM MMZZ )) ') ttt
.
ɉɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸ-
ɳɟɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɬɚɤɠɟ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
)cos(2
1221
2
2
2
1
2
MM AAAAA .
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɠɞɟɫɬɜ ɬɚɧɝɟɧɫ ɮɚɡɵ ɪɟɡɭɥɶ-
ɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)tg(
tgtg1
tgtg
tg MZ
MZ
MZ
) t
t
t
,
ɝɞɟ
2211
2211
coscos
sinsin
tg
MM
MM
M
AA
AA
.
Ɏɚɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɥɢɧɟɣɧɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ.
Ɍɨɝɞɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɦ ɤɨɥɟɛɚɧɢɟɦ
ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɮɚɡɨɣ M
)cos( MZ tA
x
.
ȿɫɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɮɚɡɵ ɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɵ
M M M
21
,
ɬɨ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɚɦɩɥɢɬɭɞ
ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
)cos()(
21
MZ tAAx .
Ƚɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
1
x ɢ
2
x ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɦɢ,
ɟɫɥɢ ɢɯ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
const)()(
12
z)) ') tt .
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
278
ɗɬɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ, ɟɫɥɢ ɱɚɫɬɨɬɵ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɡɥɢɱɧɵ
21
ZzZ . ɉɪɢ
ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɬɚɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɨɥɭɱɚɸɬɫɹ ɧɟɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɪɟɡɭɥɶɬɢ-
ɪɭɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ
') ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɦɟɧɹ-
ɟɬɫɹ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɣ ɧɚ ɜɟɤɬɨɪɚɯ
1
A
G
ɢ
2
A
G
ɩɚɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦ ɧɟɩɪɟ-
ɪɵɜɧɨ ɞɟɮɨɪɦɢɪɭɟɬɫɹ, ɚ ɟɝɨ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶ (ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɢɣ ɜɟɤɬɨɪ
A
G
) ɢɡ-
ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɩɨ ɞɥɢɧɟ ɢ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɫ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ.
)(cos)( ttA
x
) .
ɉɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɧɟɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ
)()(
12
tt )) ') ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ, ɬɨɝɞɚ ɤɨɫɢɧɭɫ ')cos ɢɡ-
ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɨɬ –1 ɞɨ 1, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢ-
ɠɟɧɢɹ ɫ ɬɟɱɟɧɢɟɦ ɜɪɟɦɟɧɢ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɨɬ ɪɚɡɧɨɫɬɢ
21
AA ɞɨ ɫɭɦɦɵ
21
AA ɚɦɩɥɢɬɭɞ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.
Ɏɚɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
)(t) ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɧɟ ɥɢ-
ɧɟɣɧɨ. ɉɨɷɬɨɦɭ, ɧɟɫɦɨɬɪɹ ɧɚ ɬɨ, ɱɬɨ ɜɟɤɬɨɪɚ
1
A
G
ɢ
2
A
G
ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚ-
ɳɚɸɬɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɜɟɤɬɨɪ
A
G
ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɛɭɞɟɬ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɧɟɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ, ɬɨ ɭɫɤɨɪɹɹɫɶ, ɬɨ ɡɚɦɟɞɥɹɹɫɶ.
1.3. Ȼɢɟɧɢɹ
ɇɟɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ, ɩɨɥɭɱɚɸɳɢɟɫɹ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɫɥɨɠɟ-
ɧɢɹ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɛɥɢɡɤɢɦɢ
ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
21
Z|Z , ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɛɢɟɧɢɹɦɢ (ɪɢɫ. 2ɚ). Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ
ɪɚɡɧɢɰɚ ɦɟɠɞɭ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɦɧɨɝɨ
ɦɟɧɶɲɟ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɷɬɢɯ ɱɚɫɬɨɬ:
121
ZZZ ɢ
221
ZZZ (ɤɪɢɬɟ-
ɪɢɣ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɛɢɟɧɢɣ).
Ɂɚ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɢɦɟɦ ɦɨɦɟɧɬ
21
21
0
ZZ
MM
t
, ɤɨɝɞɚ
ɮɚɡɵ ɨɛɨɢɯ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
1
x ɢ
2
x ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɢ ɪɚɜɧɵ
21
2112
0
ZZ
ZMZM
M
. Ⱦɥɹ ɩɪɨɫɬɨɬɵ ɚɧɚɥɢɡɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɞɚɥɟɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ
ɧɚɣɞɟɦ ɫɪɟɞɧɸɸ ɱɚɫɬɨɬɭ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
)(
21
2
1
ZZ Z
ɢ
ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɱɚɫɬɨɬ
12
ZZ Z' . Ɍɚɤ ɤɚɤ ɱɚɫɬɨɬɵ
21
Z|Z ɛɥɢɡɤɢ, ɪɚɡɧɨɫɬɶ
ɱɚɫɬɨɬ 'Z – ɦɚɥɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. ɑɚɫɬɨɬɵ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɨɠɧɨ
ɆɨɞɄ-05 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ȼɢɟɧɢɹ
279
ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɜɜɟɞɟɧɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ:
Z'Z Z
2
1
1
, Z'Z Z
2
1
2
. ɉɪɢ
ɷɬɨɦ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɩɪɢɦɭɬ ɜɢɞ
ttAx Z'MZ
2
1
011
cos ,
ttAx Z'MZ
2
1
022
cos .
ɚ
ɛ
x
x
t
t
x
1
x
2
Ⱥ
T
'
T
:
Ɋɢɫ. 2
Ɍɨɝɞɚ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɥɚɛɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ
ɜɪɟɦɟɧɢ
ttt Z' )) ') )()(
12
. Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɤɨɥɟ-
ɛɚɧɢɹ
)cos(2
21
2
2
2
1
2
tAAAAA Z'
ɦɟɞɥɟɧɧɨ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɠ-
ɞɟɫɬɜ ɬɚɧɝɟɧɫ ɮɚɡɵ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ
ɜɢɞɟ
)tg(
tg)(tg1
tg)(tg
)(tg
0
0
0
MMZ
MMZ
MMZ
)
t
t
t
t
,
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
280
ɝɞɟ
t
AA
AA
Z'
M
2
1
21
12
tgtg .
Ɍɚɧɝɟɧɫ M ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɮɚɡɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢɦɟɟɬ
ɫɥɨɠɧɭɸ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
)()(
0
ttt MMZ ) .
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟ-
ɧɢɟɦ (ɪɢɫ. 2ɛ)
))(cos()(
0
tttAx MMZ ,
ɝɞɟ
)cos(2
21
2
2
2
1
2
tAAAAA Z' ,
t
AA
AA
Z'
M
2
1
21
12
tgtg .
Ⱦɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɣ ɮɚɡɵ M ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
ɭɱɬɟɦ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɨɬɵ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɛɥɢɡɤɢ
21
Z|Z
, ɪɚɡɧɨɫɬɶ
ɱɚɫɬɨɬ 'Z – ɦɚɥɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. Ɇɨɞɭɥɶ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɚɦɩɥɢɬɭɞ ɦɟɧɶɲɟ ɟɞɢ-
ɧɢɰɵ
1
21
12
AA
AA
. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɚɧɝɟɧɫ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɣ ɮɚɡɵ M ɬɨ-
ɠɟ ɦɚɥɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. Ɋɚɡɥɨɠɢɦ ɬɚɧɝɟɧɫ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɢ ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɜ ɪɹɞ ɞɨ
ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɦɚɥɨɫɬɢ (
x
x
|tg )
t
AA
AA
Z'
|M
21
12
2
1
.
Ɍɨɝɞɚ ɩɨɥɧɚɹ ɮɚɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɥɢɧɟɣɧɨ ɡɚɜɢɫɢɬ
ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
0
21
12
0
2
1
)( MZ'
Z|MMZ t
AA
AA
ttt
.
Ɋɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)cos()(
0
M: ttAx ,
ɝɞɟ
)cos(2
21
2
2
2
1
2
tAAAAA Z'
,
ɱɚɫɬɨɬɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
Z
Z'
Z|:
21
12
2
1
1
AA
AA
.
ȼ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞ ɱɚɫɬɨɬɚ : ɪɟɡɭɥɶɬɢ-
ɪɭɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɤɚɤ ɦɟɧɶɲɟ, ɬɚɤ ɢ ɛɨɥɶɲɟ ɫɪɟɞɧɟɣ ɱɚɫ-
ɬɨɬɵ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
Z
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ɉɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ ɫ ɪɚɡɧɵɦɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚɦɢ
21
AA z ɢ ɛɥɢɡɤɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
21
Z|Z ɪɟ-