Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере
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ɆɨɞɄ-03 ȼɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
261
Ɍɚɛɥɢɰɚ
ɋɪɟɞɚ
ɑɚɫɬɨɬɚ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ
ɫɢɥɵ, ɪɚɞ/ɫ
Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɚ ɭɫɬɚɧɨ-
ɜɢɜɲɢɯɫɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ,
ɫɦ
Ʉɨɧɟɱɧɚɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚ
ɬɟɥɚ, ɫɦ
ɉɨɥɭɩɟɪɢɨɞ, ɜ ɤɨɬɨ-
ɪɨɦ ɧɚɛɥɸɞɚɥɚɫɶ ɤɨ-
ɨɪɞɢɧɚɬɚ
Ɏɚɡɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɜ ɩɨ-
ɫɥɟɞɧɟɦ ɩɟɪɢɨɞɟ, ɪɚɞ
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɨɥɧɵɯ
ɩɟɪɢɨɞɨɜ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɉɨɥɧɚɹ ɮɚɡɚ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ, ɪɚɞ
Ɋɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɜ ɟɞɢɧɢ-
ɰɚɯ S
4. Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɵɟ ɜɨɩɪɨɫɵ
1. Ʉɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɦɢ?
2. Ʉɚɤɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ? Ʉɚɤ
ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ?
3. Ʉɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɭɫɬɚɧɨɜɢɜɲɢɦɢɫɹ ɢ ɩɨɱɟɦɭ?
4. ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ ɪɟɡɨɧɚɧɫɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɢ ɪɟɡɨɧɚɧɫɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ?
5. Ɉɩɢɲɢɬɟ ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ.
______________
ɉɪɢ ɫɨɡɞɚɧɢɢ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɚɜɬɨɪɵ ɨɩɢɪɚɥɢɫɶ ɧɚ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ ɦɨ-
ɞɟɥɢɪɭɸɳɟɣ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ «ȼɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ»,
ɧɚɩɢ-
ɫɚɧɧɨɣ Ʉ.Ȼ. Ʉɨɪɨɬɱɟɧɤɨ, ɘ.Ⱥ. ɋɢɜɨɜɵɦ ɜ 1996-98 ɝɝ.
262
ɅȺȻɈɊȺɌɈɊɇȺə ɊȺȻɈɌȺ ʋ ɆɨɞɄ-04
ɉɈ ɂɁɍɑȿɇɂɘ ɆɈȾȿɅȿɃ ɎɂɁɂɑȿɋɄɂɏ
ɉɊɈɐȿɋɋɈȼ ɂ əȼɅȿɇɂɃ ɇȺ ɄɈɆɉɖɘɌȿɊȿ
ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ: ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɟɣ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ, ɭɱɚɫɬɜɭɸ-
ɳɟɝɨ ɜ ɞɜɭɯ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹɯ. Ɉɩ-
ɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.
1. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ
Ɇɧɨɝɢɟ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɦɨɝɭɬ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɭɱɚɫɬɜɨɜɚɬɶ
ɜ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɚɯ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ. ɉɨɞ ɫɥɨɠɟɧɢɟɦ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɨɧɢɦɚɸɬ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɡɚɤɨɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ, ɭɱɚɫɬɜɭɸɳɟɝɨ
ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɜ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɚɯ.
Ʌɸɛɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɤ ɫɭɦɦɭ ɞɜɭɯ ɢɥɢ ɛɨɥɟɟ
ɞɜɢɠɟɧɢɣ, ɢɦɟɸɳɢɯ ɪɚɡɧɵɟ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ. ɉɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ
ɢ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ
ɫɱɢɬɚɸɬɫɹ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚ-
ɩɪɚɜɥɟɧɧɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ ɜ ɨɞɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜɞɨɥɶ ɩɚɪɚɥ-
ɥɟɥɶɧɵɯ ɩɪɹɦɵɯ. Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɱɢɬɚɸɬɫɹ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɨɧɢ
ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ ɜ ɨɞɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜɞɨɥɶ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɩɪɹ-
ɦɵɯ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɨɞɧɨ ɢɡ
ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɜɟɪɲɚɟɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ OX, ɞɪɭɝɨɟ – ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ OY ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ
ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ. Ʉɨɥɟɛɚɧɢɟ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ
OX ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɝɨɪɢɡɨɧ-
ɬɚɥɶɧɵɦ, ɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɟ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ OY – ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɦ. ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ
ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɟ ɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɦɨɝɭɬ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶɫɹ ɪɚɡɥɢɱ-
ɧɵɦɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚɦɢ
x
A ɢ
y
A
, ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
x
Z ɢ
y
Z
, ɪɚɡɥɢɱ-
ɧɵɦɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɮɚɡɚɦɢ
x
M
ɢ
y
M , ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ
)cos(
xxx
tAx MZ ;
)cos(
yyy
tAy MZ
.
Ɋɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɜɭɦɟɪɧɵɦ. ɇɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ
ɜɪɟɦɟɧɢ ɜɫɟɝɞɚ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɮɚɡɚ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɤɨ-
ɥɟɛɚɧɢɣ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɝɨ) ɛɵɥɚ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ
)cos( tAx
xx
Z
;
)cos( MZ tAy
yy
.
ɆɨɞɄ-04 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
263
ȼɟɥɢɱɢɧɭ
x
x
y
y
M
Z
Z
M M ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɪɚɡɧɨɫɬɶɸ ɮɚɡ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨ-
ɥɟɛɚɧɢɣ.
Ɋɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɬɪɚɟɤ-
ɬɨɪɢɢ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ, ɢɫɤɥɸɱɢɜ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɚ-
ɪɚɦɟɬɪ
t
(ɜɪɟɦɹ).
1.1. ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ
ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɣ ɜɢɞ ɢɦɟɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɟɫɥɢ ɬɟɥɨ ɭɱɚ-
ɫɬɜɭɟɬ ɜ ɞɜɭɯ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹɯ ɫ
ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
Z{Z Z
yx
. Ɍɨɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ
ɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɪɢɦɭɬ ɜɢɞ
)cos( tAx
x
Z ;
)cos( MZ tAy
y
.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɦɢ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚɦɢ, ɩɪɢɜɟɞɟɦ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɤ ɜɢɞɭ
)cos( t
A
x
x
Z ;
MZMZ sin)sin(cos)cos( tt
A
y
y
.
ɂɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
x
A
x
t Z )cos(
, ɚ
2
1)sin(
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
Z
x
A
x
t
.
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɜɨ ɜɬɨɪɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɢ ɜɨɡɜɨɞɹ ɟɝɨ
ɜ ɤɜɚɞɪɚɬ, ɧɟ ɬɪɭɞɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɜ ɜɢɞɟ
M M
2
2
2
2
2
sincos
2
y
yx
x
A
y
AA
xy
A
x
.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɷɥɥɢɩɫɚ. Ɍɨ ɟɫɬɶ
ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɮɨɪɦɭ ɷɥɥɢɩɫɚ. Ɍɚɤɢɟ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɢ ɩɨɥɹɪɢɡɨɜɚɧɧɵɦɢ.
Ɉɪɢɟɧɬɚɰɢɹ ɨɫɟɣ ɷɥɥɢɩɫɚ ɢ ɟɝɨ ɪɚɡɦɟɪɵ ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɬ ɚɦɩɥɢɬɭɞ
ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɮɚɡ
M
.
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
264
ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɤɨɝɞɚ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɤɪɚɬɧɚ S (
S M m
,
!,2,1,0 rr m
),
ɷɥɥɢɩɫ ɜɵɪɨɠɞɚɟɬɫɹ ɜ ɨɬɪɟɡɨɤ ɩɪɹɦɨɣ
x
A
A
y
x
y
ɞɥɹ ɱɟɬɧɵɯ
m
ɢɥɢ
x
A
A
y
x
y
ɞɥɹ ɧɟɱɟɬɧɵɯ m (ɬɚɛɥ.1:
yx
ZZ : = 1:1, M = 0, rS). Ɋɟɡɭɥɶɬɢ-
ɪɭɸɳɟɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɦ – ɬɟɥɨ ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ ɝɚɪɦɨɧɢ-
ɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɜɞɨɥɶ ɩɪɹɦɨɣ ɫ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ
22
yx
AAA
. Ɍɚɤɢɟ ɤɨ-
ɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɨ ɩɨɥɹɪɢɡɨɜɚɧɧɵɦɢ.
ȼ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɤɪɚɬɧɚ
2S (
2
)12(
S
M m
,
!,2,1,0 rr m ), ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɮɨɪɦɭ ɷɥɥɢɩɫɚ, ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɝɨ ɤ
ɨɫɹɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɨɫɢ ɷɥɥɢɩɫɚ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɫ ɨɫɹɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ)
1
2
2
2
2
yx
A
y
A
x
(ɬɚɛɥ.1:
yx
ZZ : = 1:1, M = r
2
1
S, r
2
3
S). Ʉɨɝɞɚ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ
ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɵ
yx
AA , ɷɥɥɢɩɫ ɜɵ-
ɪɨɠɞɚɟɬɫɹ ɜ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ. Ɍɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɨɥɹɪɢɡɨɜɚɧɧɵ-
ɦɢ ɩɨ ɤɪɭɝɭ.
1.2. ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɫ ɤɪɚɬɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
Ʉɨɝɞɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɥɟ-
ɛɚɧɢɣ
x
Z ɢ
y
Z ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɪɟɡɭɥɶɬɢ-
ɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ, ɤɚɤ ɛɭɞɟɬ ɜɵɝɥɹɞɟɬɶ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɤɨɝɞɚ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
x
Z ɢ
y
Z
ɤɪɚɬɧɵ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɱɚɫɬɨɬɟ Z: Z Z
xx
k ,
Z Z
yy
k
(
x
k ɢ
y
k
–
ɰɟɥɵɟ ɧɟɤɪɚɬɧɵɟ ɱɢɫɥɚ). ɉɭɫɬɶ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ
0 M
. Ɍɨɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨ-
ɥɟɛɚɧɢɣ ɛɭɞɭɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ
)cos( tkAx
xx
Z ;
)cos( tkAy
yy
Z
.
ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɣ ɫɥɭɱɚɣ
x
k
=
y
k ɞɚɟɬ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɨ ɷɥɥɢɩɫɭ, ɪɚɫ-
ɫɦɨɬɪɟɧɧɨɟ ɪɚɧɟɟ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ
1
x
k , 1z
y
k .
ɆɨɞɄ-04 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
265
ȼ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚ, ɜɵɪɚɠɚɸɳɢɟ
Dncos ɱɟ-
ɪɟɡ
Dcos . ɇɚɩɪɢɦɟɪ, 1cos22cos
2
D D , DD D cos3cos43cos
3
,
1cos8cos84cos
24
DD D ɢ ɬ.ɞ. (ɫɦ. ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɫɩɪɚɜɨɱɧɢɤɢ)
ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɸ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ, ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶ-
ɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɜɵɪɚɠɚɸɬ
)cos( tZ ; ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɪɚɫɤɥɚɞɵɜɚɸɬ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɠɞɟɫɬɜ ɧɚ ɫɬɟɩɟɧɢ
)cos( tZ
; ɡɚɬɟɦ ɩɨɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
)cos( tZ
ɢɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ. Ɍɚ-
ɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɜɡɚ-
ɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɜɧɵ:
2:1
y
x
k
k
, 12
2
2
x
y
A
x
A
y
;
3:1
y
x
k
k
,
x
x
y
A
x
A
x
A
y
34
3
3
;
4:1
y
x
k
k
,
188
2
2
4
4
xx
y
A
x
A
x
A
y
.
ȼɢɞ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɣ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ 1 (
yx
ZZ : = 1:2, 1:3,
M = 0, rS).
ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɟɫɥɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ
1z
x
k ,
1
y
k
, ɪɚɫɫɭɠɞɚɹ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ,
ɥɟɝɤɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɜ ɜɢɞɟ
1:2
y
x
k
k
,
12
2
2
y
x
A
y
A
x
;
1:3
y
x
k
k
,
y
y
x
A
y
A
y
A
x
34
3
3
;
1:4
y
x
k
k
,
188
2
2
4
4
yy
x
A
y
A
y
A
x
.
Ȼɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ ɬɟ ɠɟ ɤɪɢɜɵɟ, ɱɬɨ ɢ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɬɨɥɶɤɨ
ɩɨɜɟɪɧɭɬɵɟ ɧɚ 90
q, ɬɨ ɟɫɬɶ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɜɵɛɨɪɚ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
ȿɫɥɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɱɟɪɟɡ ɫɢɧɭɫ,
ɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɪɭɝɨɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ – ɱɟɪɟɡ ɤɨɫɢɧɭɫ, ɬɨ ɭɞɨɛɧɟɟ ɫɧɚɱɚɥɚ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɜɨɡɜɟɫɬɢ ɜ ɤɜɚɞɪɚɬ, ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɫɢɧɭɫ ɱɟɪɟɡ ɤɨɫɢɧɭɫ,
ɚ ɡɚɬɟɦ ɢɫɤɥɸɱɚɬɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɜɪɟɦɟɧɢ
t
ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ
ɬɨɠɞɟɫɬɜ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
)cos( tkAx
xx
Z
ɢ
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
266
)2cos()sin( SZ Z tkAtkAy
yyyy
, ɟɫɥɢ 1
x
k ,
1z
y
k
, 2:1
y
x
k
k
ɩɨ-
ɥɭɱɢɦ
2
2
2
cos
x
A
x
t Z
,
2
2
2
1sin
x
A
x
t Z
;
ɬɨɝɞɚ
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
2
2
2
2
2
14
xxy
A
x
A
x
A
y
.
ȼɢɞ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ 1 (
yx
ZZ : = 1:2,
M = r
2
1
S).
Ɍɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɫ ɞɪɭɝɢɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɱɚɫɬɨɬ ɢɥɢ ɫɞɜɢɝɨɦ ɮɚɡ ɢɦɟ-
ɸɬ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɭɸ ɮɨɪɦɭ ɢ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɵɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ-
ɦɢ. ȼɫɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɵɦ ɦɨɠɟɬ ɞɜɢɝɚɬɶɫɹ ɬɨɱɤɚ, ɭɱɚɫɬɜɭɸɳɚɹ
ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɜ ɞɜɭɯ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹɯ, ɧɚɡɵɜɚ-
ɸɬɫɹ
ɮɢɝɭɪɚɦɢ Ʌɢɫɫɚɠɭ. Ɏɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɡɚɦɤɧɭɬɵɦɢ ɢ
ɧɟɡɚɦɤɧɭɬɵɦɢ. ȿɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɨ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɨ ɧɚɣɞɟɬɫɹ ɨɬɪɟɡɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɡɚ ɤɨɬɨɪɵɣ ɢ
ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɟ, ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɨɜɟɪɲɚɬ ɰɟɥɨɟ (ɜɨɡɦɨɠɧɨ
ɪɚɡɧɨɟ) ɱɢɫɥɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɟɥɨ ɜɟɪɧɟɬɫɹ ɜ ɢɫɯɨɞɧɭɸ ɬɨɱɤɭ. Ɍɪɚ-
ɟɤɬɨɪɢɹ ɛɭɞɟɬ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ. Ɍɚɤɢɟ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɧɚɡɵɜɚ-
ɸɬ ɡɚɦɤɧɭɬɵɦɢ. ȿɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɟ
ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɤɚɤ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɚɤɢɟ ɮɢɝɭɪɵ
Ʌɢɫɫɚɠɭ ɫɱɢɬɚɸɬɫɹ
ɧɟɡɚɦɤɧɭɬɵɦɢ.
Ɂɚɦɤɧɭɬɚɹ ɮɢɝɭɪɚ ɢɦɟɟɬ ɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɣ ɜɢɞ, ɟɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫ-
ɬɨɬ ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɧɟɛɨɥɶɲɢɯ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ. ȼ ɬɚɛɥɢɰɟ 1 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟ-
ɧɵ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ, ɩɨɥɭɱɚɸɳɢɟɫɹ ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
)cos( tAx
xx
Z
ɢ )cos( MZ tAy
yy
, ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɜɧɵ
1:1, 1:2, 1:3, 2:3. Ɋɚɡɧɵɟ ɪɢɫɭɧɤɢ ɨɞɧɨɝɨ ɫɬɨɥɛɰɚ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɤ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ
ɪɚɡɧɨɫɬɹɦ ɮɚɡ (ɨɬ –
S ɞɨ S).
ɋɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɥɢɲɶ ɧɟɦɧɨɝɨ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɨɬ-
ɧɨɲɟɧɢɹ ɩɪɨɫɬɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɫɥɭɱɚɸ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɩɪɨɫɬɵɯ ɱɢɫɟɥ
ɩɪɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɦɟɧɹɸɳɟɣɫɹ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɮɚɡ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɮɢɝɭɪɚ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ
ɆɨɞɄ-04 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
267
Ɍɚɛɥɢɰɚ 1. Ɏɢɝɭɪɵ Ʌɢɫɫɚɠɭ,
ɩɨɥɭɱɚɸɳɢɟɫɹ ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
)cos( tAx
xx
Z ɢ
)cos( MZ tAy
yy
ɞɥɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɱɚɫɬɨɬ
yx
ZZ :
ɩɪɢ ɪɚɡɥɢɱɧɨɣ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɮɚɡ
M.
yx
ZZ : = 1:1
yx
ZZ : = 1:2
yx
ZZ : = 1:3
yx
ZZ : = 2:3
M = –S
M = –
4
3
S
M = –
2
1
S
M = –
4
1
S
M = 0
M =
4
1
S
M =
2
1
S
M =
4
3
S
M = S
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
268
ɦɟɧɹɟɬɫɹ, ɩɪɢɧɢɦɚɹ ɜɫɟ ɮɨɪɦɵ, ɡɚɤɥɸɱɟɧɧɵɟ ɜ ɨɞɧɨɦ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɦ
ɫɬɨɥɛɰɟ. ɑɟɦ ɛɥɢɠɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɰɟ-
ɥɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɟɦ ɦɟɞɥɟɧɧɟɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɮɢɝɭɪ.
ɂɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 1 ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɡɚɦɤɧɭɬɵɯ ɮɢɝɭɪ Ʌɢɫɫɚɠɭ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ
ɱɚɫɬɨɬ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɱɢɫɥɚ ɩɟɪɟ-
ɫɟɱɟɧɢɣ ɮɢɝɭɪ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɫ ɩɪɹɦɵɦɢ, ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵɦɢ ɨɫɹɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
.
ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɨ ɜɢɞɭ ɮɢɝɭɪ Ʌɢɫɫɚɠɭ ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɭɸ ɱɚɫɬɨ-
ɬɭ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɢɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ.
ȼ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɟ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɱɚɫɬɨɬɭ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ
ɩɨɞɛɢɪɚɸɬ ɱɚɫɬɨɬɭ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɮɢɝɭɪɚ Ʌɢɫɫɚ-
ɠɭ ɛɵɥɚ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ. Ɇɵɫɥɟɧɧɨ ɩɪɨɜɨɞɹɬ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɭɸ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶ-
ɧɭɸ ɩɪɹɦɵɟ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ
ɨɧɢ ɢɦɟɥɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ
ɫ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɮɢɝɭɪɨɣ. ɋɱɢɬɚɸɬ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɮɢɝɭɪɵ Ʌɢɫ-
ɫɚɠɭ ɫ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ
x
n ɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ ɬɨɣ ɠɟ ɮɢ-
ɝɭɪɵ ɫ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ
y
n . Ɍɨɝɞɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɨ
x
y
y
x
n
n
Z
Z
. Ɉɬɫɸɞɚ ɥɟɝɤɨ ɧɚɣɬɢ ɱɚɫɬɨɬɭ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
y
x
y
x
n
n
Z Z
.
2. Ɇɨɞɟɥɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɣ ɭɫɬɚɧɨɜɤɢ
ȼ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɪɟɞɫɬɜ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɝɪɚɮɢɤɢ ɦɨ-
ɞɟɥɢɪɭɟɬɫɹ ɩɪɨɰɟɫɫ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ
ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɜɵɫɬɭɩɚɸɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɩɪɭɠɢɧ-
ɧɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ
)cos( tAx
xx
Z . Ɇɚɹɬɧɢɤ ɞɜɢɠɟɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɝɨ-
ɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɛɟɡ ɬɪɟɧɢɹ. ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨ-
ɥɟɛɚɧɢɣ ɜɵɫɬɭɩɚɸɬ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ, ɤɨɬɨɪɚɹ
ɞɜɢɠɟɬɫɹ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ
)sin( tAy
yy
Z . Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɵ ɨɛɨɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɵ
yx
AA = 1 ɫɦ. ɋɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ ɢ ɜɫɟ ɤɨɦɩɟɧɫɢɪɭɸɳɢɟ ɟɟ ɫɢɥɵ ɧɚɩɪɚɜ-
ɥɟɧɵ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɢ ɧɟ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬ
ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɟ.
ȼɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɦɨɝɭɬ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɬɶɫɹ ɫ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ. ɑɬɨɛɵ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɚɹ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɚɹ ɦɨɝɥɚ ɤɨ-
ɥɟɛɚɬɶɫɹ ɫ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɛɟɡ ɩɨɬɟɪɢ ɷɧɟɪɝɢɢ, ɨɧɚ ɞɨɥɠɧɚ ɩɪɢ-
ɆɨɞɄ-04 ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
269
ɜɨɞɢɬɶɫɹ ɜ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɦ. ɍɫɬɪɨɣɫɬɜɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ
ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ. Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɦɨɝɭɬ ɝɟɧɟɪɢɪɨɜɚɬɶ-
ɫɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɷɥɟɤɬɪɨɦɚɝɧɢɬɨɦ, ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚɳɚɸɳɢɦɫɹ ɞɢɫɤɨɦ ɢɥɢ
ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨ ɞɪɭɝɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ. ɏɚɪɚɤɬɟɪ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ, ɫɨɡɞɚɸɳɟɝɨ ɜɟɪɬɢ-
ɤɚɥɶɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ, ɧɟ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɚ ɩɪɨɰɟɫɫ
ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɜɧɟɲɧɢɣ ɜɢɞ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ, ɡɚɫɬɚɜɥɹɸɳɟɝɨ
ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɭɸ ɞɜɢɝɚɬɶɫɹ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢ, ɜ ɪɚɛɨɬɟ
ɧɟ ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹ (ɢɡɭ-
ɱɟɧɢɟ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɰɟɥɶɸ ɪɚɛɨɬɵ). Ɉɞɧɚɤɨ, ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɨ ɬɚɤɨ-
ɜɨ, ɱɬɨ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɚɹ ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ
)sin( tAy
yy
Z
ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɹɦ ɩɪɭɠɢɧɧɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ. ɑɚɫɬɨɬɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɞɥɹ ɪɚɡ-
ɧɵɯ ɨɩɵɬɨɜ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɛɪɚɧɚ ɢɡ ɞɢɚɩɚɡɨɧɚ 1 ɞɨ 6 ɪɚɞ/ɫ ɢ ɧɟ ɦɨɠɟɬ
ɛɵɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɚ ɜɨ ɜɪɟɦɹ ɩɪɨɜɟɞɟɧɢɹ ɨɩɵɬɚ. ȼ ɤɚɠɞɨɦ ɨɩɵɬɟ ɱɚɫɬɨɬɚ
ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ.
ɂɡɦɟɧɹɬɶ ɱɚɫɬɨɬɭ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɜ ɪɚɛɨɬɟ ɦɨɠɧɨ ɜ ɞɢɚ-
ɩɚɡɨɧɟ ɨɬ 1 ɞɨ 6 ɪɚɞ/ɫ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ 0,01 ɪɚɞ/ɫ. ɉɪɢ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ
ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬɵ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɯ (ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ) ɤɨɥɟ-
ɛɚɧɢɣ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɟɬ 0,2 – 1 %.
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
270
Ɋɚɛɨɬɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɧɚ IBM-ɫɨɜɦɟɫɬɢɦɨɦ ɩɟɪɫɨɧɚɥɶɧɨɦ ɤɨɦɩɶɸ-
ɬɟɪɟ ɜ ɜɢɞɟ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɝɨ Windows-ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɜɵ-
ɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ ɜ ɩɪɨɝɪɚɦɦɟ ɩɪɟɞɭɫɦɨɬɪɟɧɵ ɬɪɢ ɪɚɡɞɟɥɚ: ɤɪɚɬɧɨɟ ɨɩɢ-
ɫɚɧɢɟ ɪɚɛɨɬɵ; ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ. ɉɟɪɟɤɥɸɱɟ-
ɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɪɚɡɞɟɥɚɦɢ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɨɤ «ɏɨɞ ɪɚɛɨɬɵ»
ɢ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». ɇɚɠɚɬɢɟ ɷɬɢɯ ɤɧɨɩɨɤ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɤɨɧɬɟɤɫɬɚ ɪɚ
-
ɛɨɬɵ ɩɪɨɝɪɚɦɦɵ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɥɢɛɨ ɤ ɜɵɡɨɜɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɪɚɡɞɟɥɨɜ,
ɥɢɛɨ ɤ ɜɨɡɜɪɚɳɟɧɢɸ ɜ ɪɚɡɞɟɥ ɨɩɢɫɚɧɢɹ.
Ɋɚɡɞɟɥ ɩɪɨɝɪɚɦɦɵ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ
ɞɥɹ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɩɚɧɟɥɶ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ
ɫ ɤɧɨɩɤɚɦɢ ɞɥɹ ɜɵɛɨɪɚ ɦɚɹɬɧɢɤɚ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɵɟ ɤɧɨɩɤɢ, ɩɨ-
ɡɜɨɥɹɸɳɢɟ ɭɩɪɚɜɥɹɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɨɦ ɢ ɪɟɝɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɩɪɨɰɟɫɫ ɩɨɫɬɪɨɟ-
ɧɢɹ ɝɪɚɮɢɤɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɬɟɥɚ ɨɬ
ɜɪɟɦɟɧɢ ɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɞɜɢ-
ɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ.
ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ
ȼɚɪɢɚɧɬ Ɇɚɹɬɧɢɤ ȼɚɪɢɚɧɬ Ɇɚɹɬɧɢɤ
1. Ɇɚɹɬɧɢɤ 1 5. Ɇɚɹɬɧɢɤ 5
2. Ɇɚɹɬɧɢɤ 2 6. Ɇɚɹɬɧɢɤ 6
3. Ɇɚɹɬɧɢɤ 3 7. Ɇɚɹɬɧɢɤ 7
4. Ɇɚɹɬɧɢɤ 4 8. Ɇɚɹɬɧɢɤ 8
9. Ɇɚɹɬɧɢɤ 9
3. ɉɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ
3.1. Ʉɪɚɬɤɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɯɨɞɚ ɪɚɛɨɬɵ
1. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɦɚɹɬɧɢɤ (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ).
2. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨ-
ɥɟɛɚɧɢɣ.
3. ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɸ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ.
4. ɇɚɛɥɸɞɚɣɬɟ ɡɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɟɣ ɬɟɥɚ. əɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢ ɨɧɚ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ?
5. ȿɫɥɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ, ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɧɨɜɨɟ ɡɧɚ-
ɱɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ
ɩɭɧɤɬɚ 3.
6. ɉɨɜɬɨɪɹɣɬɟ ɨɩɵɬ, ɩɨɤɚ ɧɟ
ɩɨɥɭɱɢɬɟ ɡɚɦɤɧɭɬɭɸ ɮɢɝɭɪɭ Ʌɢɫɫɚ-
ɠɭ.
7. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨ-
ɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.