Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере

Подождите немного. Документ загружается.

ɆɨɞɄ-02 Ɂɚɬɭɯɚɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

241

ȼɚɪɢ-

ɚɧɬ

ɋɪɟɞɚ Ɇɚɫɫɚ

ɬɟɥɚ

ȼɚɪɢ-

ɚɧɬ

ɋɪɟɞɚ Ɇɚɫɫɚ

ɬɟɥɚ

Ⱥɰɟɬɨɧ (50qɋ)

0,08 ɝ 43

Ⱥɰɟɬɨɧ (50qɋ)

0,05 ɝ

18 ɗɬɢɥɚɰɟɬɚɬ

(60qɋ)

0,08 ɝ 44 ɗɬɢɥɚɰɟɬɚɬ

(60qɋ)

0,05 ɝ

Ȼɟɧɡɨɥ (80qɋ)

0,08 ɝ 45

Ȼɟɧɡɨɥ (80qɋ)

0,05 ɝ

Ⱥɰɟɬɨɧ (20qɋ)

0,08 ɝ 46

Ⱥɰɟɬɨɧ (20qɋ)

0,05 ɝ

21 ɗɬɢɥɛɟɧɡɨɥ

(80qɋ)

0,08 ɝ 47 ɗɬɢɥɛɟɧɡɨɥ

(80qɋ)

0,05 ɝ

Ɍɨɥɭɨɥ (60qɋ)

0,08 ɝ 48

Ɍɨɥɭɨɥ (60qɋ)

0,05 ɝ

Ɇɟɬɚɧɨɥ (50qɋ)

0,08 ɝ 49

Ɇɟɬɚɧɨɥ (50qɋ)

0,05 ɝ

Ƚɟɩɬɚɧ (20qɋ)

0,08 ɝ 50

Ƚɟɩɬɚɧ (20qɋ)

0,05 ɝ

Ȼɟɧɡɨɥ (50qɋ)

0,08 ɝ 51

Ȼɟɧɡɨɥ (50qɋ)

0,05 ɝ

ȼɨɞɚ (60qɋ)

0,08 ɝ 52

ȼɨɞɚ (60qɋ)

0,05 ɝ

4. ɉɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ

4.1. Ʉɪɚɬɤɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɯɨɞɚ ɪɚɛɨɬɵ

1. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɫɪɟɞɭ (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ).

2. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ ɬɟɥɚ (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ).

3. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɩɪɭɠɢɧɭ ɫ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɣ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶ.

4. ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɟɥɚ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɢ ɢɡ-

ɦɟɪɶɬɟ ɜɪɟɦɹ, ɡɚ ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɚɹɬɧɢɤ ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ ɩɹɬɶ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.

5. ɂɡɦɟɪɶɬɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɭ ɞɜɭɯ ɦɚɤɫɢɦɭɦɨɜ ɢ ɞɜɭɯ ɦɢɧɢɦɭɦɨɜ.

6. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɩɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.

7. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ

ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɞɜɭɯ ɦɚɤɫɢ-

ɦɭɦɨɜ ɢ ɞɜɭɯ ɦɢɧɢɦɭɦɨɜ.

8. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɶ ɢ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɣ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚ-

ɧɢɹ.

9. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ ɢ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ

ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɚ.

10. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɩɪɭɠɢɧɭ ɫ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶɸ ɛɨɥɶɲɟ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ.

11. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɭɧɤɬɚ 4.

12. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ ɞɥɹ ɩɹɬɢ ɩɪɭɠɢɧ ɪɚɡɧɨɣ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ.

13. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ.

Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ

242

14. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɢɡ ɝɪɚɮɢɤɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ

ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɨɬ ɩɟɪɢɨɞɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɚɹɬɧɢ-

ɤɚ.

15. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɭɸ ɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɤɨɷɮ-

ɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ.

16. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ ɤɨ-

ɥɟɛɚɧɢɣ, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ, ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ ɢ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ

ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ.

17. ɋɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞɵ.

4.2. ɉɨɞɪɨɛɧɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɯɨɞɚ ɪɚɛɨɬɵ

ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚ-

ɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɞɟɣɫɬɜɢɣ:

1. Ɋɚɫɤɪɵɜɚɸɳɢɣɫɹ ɫɩɢɫɨɤ «ɋɪɟɞɚ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɚɛɨɪ ɝɚɡɨɜ ɢ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ,

ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɜɹɡɤɨɫɬɹɦɢ: ɜɚɤɭɭɦ, ɜɨɡɞɭɯ (100qɋ), ɷɮɢɪ ɷɬɢɥɨɜɵɣ

(18qɋ), ɚɰɟɬɨɧ (20qɋ), ɚɰɟɬɨɧ (10qɋ), ɛɟɧɡɨɥ (50qɋ), ɜɨɞɚ (60qɋ). ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɫɪɟɞɭ, ɜ

ɤɨɬɨɪɨɣ ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ). Ⱦɥɹ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ

ɫɪɟɞɵ ɩɨɞ ɫɩɢɫɤɨɦ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɜɹɡɤɨɫɬɢ, ɤɨɬɨɪɵɣ

ɧɟ-

ɨɛɯɨɞɢɦ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ.

2. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ ɬɟɥɚ (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ). Ʉɨɷɮɮɢ-

ɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɦɚɫɫɵ ɬɟɥɚ. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɬɟ-

ɥɚ» ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɦɚɫɫɭ ɢ ɧɟ ɦɟɧɹɬɶ ɟɟ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɜɫɟɣ ɪɚɛɨɬɵ. Ɍɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟ-

ɧɢɟ ɦɚɫɫɵ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚɞ ɛɟɝɭɧɤɨɦ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ. Ɍɟɥɨ

ɢɦɟɟɬ ɮɨɪɦɭ ɲɚɪɚ. Ɂɧɚɱɟɧɢɟ

ɪɚɞɢɭɫɚ ɬɟɥɚ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɞ ɛɟɝɭɧɤɨɦ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ.

3. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɨɤ ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ «ɉɪɭɠɢɧɚ» ɜɵɛɟɪɢɬɟ

ɩɪɭɠɢɧɭ ɫ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨ-

ɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɞ ɤɧɨɩɤɚɦɢ.

4. ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɟɥɚ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɢ ɢɡɦɟɪɶɬɟ

ɜɪɟɦɹ, ɡɚ ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɚɹɬɧɢɤ ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ

ɩɹɬɶ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.

ɇɚɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ «ɇɚɱɚɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». ɇɚɱɧɺɬɫɹ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɦɚɹɬɧɢɤɚ,

ɜɤɥɸɱɢɬɫɹ ɫɟɤɭɧɞɨɦɟɪ. Ɉɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɝɪɚɮɢɤ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɟɥɚ ɨɬ ɜɪɟɦɟ-

ɧɢ. ɋɩɢɫɨɤ ɫɪɟɞ, ɤɧɨɩɤɢ ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ ɢ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɬɟɥɚ»

ɫɬɚɧɭɬ ɧɟɞɨɫɬɭɩɧɵɦɢ. ɉɪɨɞɨɥɠɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ 50 ɫɟɤɭɧɞ. Ʉɨɝɞɚ ɬɟɥɨ ɫɨ-

ɜɟɪɲɢɬ ɩɹɬɶ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɫɟɤɭɧɞɨɦɟɪ ɨɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ.

ȿɫɥɢ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ȼɵ ɜɫɩɨɦɧɢɥɢ, ɱɬɨ

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨ ɭɫɬɚɧɨɜɢɥɢ

ɤɚɤɭɸ-ɥɢɛɨ ɜɟɥɢɱɢɧɭ (ɜɵɛɪɚɥɢ ɫɪɟɞɭ, ɩɪɭɠɢɧɭ ɢɥɢ ɦɚɫɫɭ ɝɪɭɡɚ), ɧɚɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ

«Ɉɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». Ɍɟɥɨ ɢ ɫɟɤɭɧɞɨɦɟɪ ɨɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ. ɋɩɢɫɨɤ ɫɪɟɞ, ɤɧɨɩɤɢ

ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ ɢ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɬɟɥɚ» ɫɬɚɧɭɬ ɞɨɫɬɭɩɧɵɦɢ. ɉɨ-

ɫɥɟ ɷɬɨɝɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɜɬɨɪɢɬɶ ɨɩɵɬ.

5. ɂɡɦɟɪɶɬɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɟɥɚ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɞɜɭɦ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚɦ ɢ ɞɜɭɦ

ɦɢɧɢɦɭɦɚɦ.

ɉɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɟ

ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɩɪɭɠɢɧɧɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ

ɪɚɜɧɨ 1,5 ɫɦ. Ɂɚ ɨɞɢɧ ɩɟɪɢɨɞ ɝɪɚɮɢɤ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɢɦɟɟɬ ɨɞɢɧ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɢ

ɆɨɞɄ-02 Ɂɚɬɭɯɚɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

243

ɨɞɢɧ ɦɢɧɢɦɭɦ. Ɂɚ ɜɪɟɦɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɦɚɹɬɧɢɤ ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ,

ɝɪɚɮɢɤ ɢɦɟɟɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɨɜ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɨɜ.

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «ɂɡɦɟɪɟɧɢɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ» ɫɨɜɦɟɫɬɢɬɟ ɢɡɦɟ-

ɪɢɬɟɥɶɧɭɸ ɥɢɧɢɸ ɫ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟɦ ɤɚɤɨɝɨ-ɥɢɛɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɢɥɢ ɦɢɧɢɦɭɦɚ ɝɪɚɮɢɤɚ.

Ⱦɥɹ ɛɨɥɟɟ ɬɨɱɧɨɝɨ ɫɨɜɦɟɳɟɧɢɹ ɢɫɩɨɥɶɡɭɣɬɟ ɫɤɪɨɥɥɢɧɝ ɦɵɲɢ. Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɚ ɢɡɦɟɪɢ-

ɬɟɥɶɧɨɣ ɥɢɧɢɢ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɹɞɨɦ ɫ ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɜ ɜɢɞɟ: «Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɚ

x, ɫɦ: *.**».

ɂɡɦɟɪɶɬɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɞɜɭɯ ɦɚɤɫɢɦɭɦɨɜ ɢ ɞɜɭɯ ɦɢɧɢɦɭɦɨɜ. Ⱦɥɹ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ

ɜɵɛɢɪɚɣɬɟ ɬɚɤɢɟ ɦɚɤɫɢɦɭɦɵ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɵ, ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɤɨɬɨɪɵɯ ɛɥɢɡɤɢ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɩɟɪ-

ɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ (0,75 ɫɦ).

ɉɨ ɝɪɚɮɢɤɭ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ, ɫɩɭɫɬɹ ɤɚɤɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɢɨɞɨɜ (ɰɟɥɨɟ ɢɥɢ ɩɨɥɭ-

ɰɟɥɨɟ) ɧɚɛɥɸɞɚɥɫɹ ɤɚɠɞɵɣ, ɜɵɛɪɚɧɧɵɣ ȼɚɦɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦ.

ɊȿɁɍɅɖɌȺɌɕ ɂɁɆȿɊȿɇɂɃ ɁȺɉɂɒɂɌȿ ȼ ɌȺȻɅɂɐɍ.

ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɩɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.

ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɩɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ – ɷɬɨ ɜɪɟɦɹ ɨɞɧɨɝɨ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ.

ɑɬɨɛɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɟɪɢɨɞ T ɧɚɞɨ ɜɪɟɦɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ t ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɧɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ

ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

N :

7. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɞɜɭɯ ɦɚɤɫɢɦɭɦɨɜ ɢ

ɞɜɭɯ ɦɢɧɢɦɭɦɨɜ.

ɉɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢɡɜɟɫɬɟɧ. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ, ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɪɟɦɟɧɢ

max

t ɢ

min

t , ɤɨɝɞɚ

ɧɚɛɥɸɞɚɥɢɫɶ ɜɵɛɪɚɧɧɵɟ ȼɚɦɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦɵ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɵ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɩɟɪɢɨɞ ɧɚɞɨ ɭɦ-

ɧɨɠɢɬɶ ɧɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɢɨɞɨɜ, ɩɪɨɲɟɞɲɢɯ ɫ ɧɚɱɚɥɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ

nTt

minmax,

. Ⱦɥɹ

ɦɚɤɫɢɦɭɦɨɜ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɢɨɞɨɜ

n – ɰɟɥɨɟ, ɞɥɹ ɦɢɧɢɦɭɦɨɜ – ɩɨɥɭɰɟɥɨɟ.

ɇɚɱɚɥɶɧɚɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ

= 1,5 ɫɦ.

ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ E ɩɨ ɜɫɟɦ ɢɡɦɟɪɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɤɨɨɪ-

ɞɢɧɚɬ ɬɟɥɚ ɜ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚɯ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɚɯ:

)(

max

E ;

)(

min

t 

E .

Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡɦɟɪɟɧɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɚ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟ

ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɶ ɢ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɣ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ:

nTx

)(



)(

nTx

T .

ɊȿɄɈɆȿɇȾȺɐɂə. Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

nTx

)(

ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɣɬɟɫɶ ɮɨɪɦɭ-

ɥɨɣ ))ln(exp( xyx

. Ɍɨɝɞɚ

)(

exp

)(

nTx

Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ

244

9. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ ɢ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɟɤɪɟ-

ɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɚ.

10.

ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɩɪɭɠɢɧɭ ɫ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶɸ ɛɨɥɶɲɟ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ.

Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨ-

ɩɨɤ ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ

«ɉɪɭɠɢɧɚ» ɜɵɛɟɪɢɬɟ ɩɪɭɠɢɧɭ ɫ ɞɪɭɝɢɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧ-

ɬɨɦ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ, ɛɨɥɶɲɟ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɠɟɫɬ-

ɤɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɞ ɤɧɨɩɤɚɦɢ.

ɉɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ. Ɇɚɤɫɢɦɭɦɵ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɵ ɛɭɞɭɬ ɧɚ-

ɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɜ ɞɪɭɝɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɪɟɦɟɧɢ.

11.

ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɭɧɤɬɚ 4.

ɑɬɨɛɵ ɢɡɦɟɪɢɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɟɥɚ ɜ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚɯ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɚɯ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ

ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ. ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɨ, ɱɬɨɛɵ ɩɟɪɟɤɥɸɱɚɬɟɥɶ (ɮɥɚɠɨɤ)

«ɋɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤ»

ɛɵɥ ɜɤɥɸɱɟɧ (ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧ). Ƚɪɚɮɢɤ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ

ɛɭɞɟɬ ɫɬɪɨɢɬɶɫɹ ɩɨɜɟɪɯ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɝɪɚɮɢɤɚ.

ɇɚɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ

«ɇɚɱɚɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». Ɉɩɵɬ ɧɚɱɧɟɬɫɹ ɡɚɧɨɜɨ.

12.

ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ ɞɥɹ ɩɹɬɢ ɩɪɭɠɢɧ ɪɚɡɧɨɣ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ.

ɉɨɥɭɱɚɬɫɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɤɪɢɜɵɯ ɧɚ ɨɞɧɨɦ ɝɪɚɮɢɤɟ. ɋɪɢɫɭɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤ ɢɥɢ ɫɨɯɪɚ-

ɧɢɬɟ ɜ ɜɢɞɟ bmp-ɮɚɣɥɚ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɤɢ

«ɋɨɯɪɚɧɢɬɶ».

ɑɬɨɛɵ ɭɦɟɧɶɲɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɲɢɛɤɢ ɩɪɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɬɟɥɚ ɜ

ɦɚɤɫɢɦɭɦɚɯ ɢ ɦɢɧɢɦɭɦɚɯ, ɇȿ ɋɌɊɈɃɌȿ ɧɚ ɨɞɧɨɦ ɝɪɚɮɢɤɟ ɛɨɥɶɲɟ ɌɊȬɏ ɄɊɂ-

ȼɕɏ. ɋɨɬɪɢɬɟ ɝɪɚɮɢɤ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɤɢ «Ɉɱɢɫɬɢɬɶ» ɢ ɩɪɨɞɨɥɠɚɣɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ.

13.

ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ.

ɑɬɨɛɵ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɧɚɞɨ ɫɥɨɠɢɬɶ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ E

, E

, … E

, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɜɨ ɜɫɟɯ ɨɩɵɬɚɯ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬ ɪɚɡɞɟ-

ɥɢɬɶ ɧɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ

ɫɪ

EEE

14.

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɢɡ ɝɪɚɮɢɤɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɥɨɝɚɪɢɮ-

ɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɨɬ ɩɟɪɢɨɞɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɚɹɬɧɢɤɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɩɨɥɭ-

ɱɟɧɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ, ɩɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚ-

ɮɢɤ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ

)(TT T ɨɬ ɩɟɪɢɨɞɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɚɹɬɧɢɤɚ. Ƚɪɚɮɢɤ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ

ɫɬɪɨɢɬɶ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɦɚɫɲɬɚɛɟ: ɩɟɪɢɨɞ – 0,01 ɫ = 1 ɦɦ; ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɣ ɞɟɤɪɟ-

ɦɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ – 0,001 = 1 ɦɦ (ɞɥɹ ɜɨɡɞɭɯɚ – 0,0001 = 1 ɦɦ). Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɞɨɥɠɧɚ

ɧɨɫɢɬɶ ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ

TE T . ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ

ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɜɟɥɢɤɚ, ɩɨɷɬɨɦɭ, ɩɪɨɜɨɞɹ ɩɪɹɦɭɸ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɨɦɧɢɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɹɦɚɹ

ɞɨɥɠɧɚ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɧɚɱɚɥɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɷɬɨ ɩɨɦɨɠɟɬ ɛɨɥɟɟ ɬɨɱɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɤɨ-

ɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ). ɉɨ ɬɚɧɝɟɧɫɭ ɭɝɥɚ ɧɚɤɥɨɧɚ ɝɪɚɮɢɤɚ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ

ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ

ɝɪ

15.

ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɭɸ ɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ

ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ.

16.

ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ,

ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ, ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ ɢ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ.

ɆɨɞɄ-02 Ɂɚɬɭɯɚɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

245

Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɦɚɫɫɨɣ

ɬɟɥɚ

ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ

k :

Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜɹɡɤɨɫɬɶɸ

ɫɪɟɞɵ

, ɦɚɫɫɨɣ m ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ

ɬɟɥɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ K

ɑɚɫɬɨɬɚ ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

EZ Z , ɩɟɪɢɨɞ

Ʌɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɣ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ

TE T .

Ⱦɨɛɪɨɬɧɨɫɬɶ

E



ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɨ, ɱɬɨɛɵ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɦɟɥɢ ɛɵ ɫɬɨɥɶɤɨ ɠɟ ɡɧɚɱɚɳɢɯ

ɰɢɮɪ, ɤɚɤ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɟ.

17.

ɋɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞɵ.

Ɂɚɜɢɫɢɬ ɥɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɨɬ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɩɪɭɠɢɧɵ?

Ɇɨɠɧɨ ɥɢ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɫɪɟɞɵ ɩɪɨ-

ɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɫɤɨɪɨɫɬɢ?

ɋɨɜɩɚɞɚɸɬ ɥɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ

ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ? ɑɬɨ ɛɨɥɶɲɟ, ɪɚɡɧɢɰɚ ɦɟɠɞɭ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɦ ɡɧɚɱɟ-

ɧɢɟɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɢɥɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ?

ɋɨɜɩɚɞɚɸɬ ɥɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ ɢ

ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ?

Ɍɚɛɥɢɰɚ

ʋ ɩ/ɩ

ɀɟɫɬɤɨɫɬɶ ɩɪɭɠɢɧɵ,

ɇ/ɦ

ȼɪɟɦɹ ɩɹɬɢ ɩɨɥɧɵɯ

ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɫ

ɉɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɫ

Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɚ ɬɟɥɚ ɜ

ɦɢɧɢɦɭɦɟ ɢɥɢ

ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ, ɫɦ

Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟɪɢɨɞɨɜ ɨɬ

ɧɚɱɚɥɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɤɨɝɞɚ

ɧɚɛɥɸɞɚɥɫɹ min ɢɥɢ max

ȼɪɟɦɹ ɩɪɨɯɨɠɞɟɧɢɹ

ɦɢɧɢɦɭɦɚ ɢɥɢ

ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ, ɫ

Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ,

-1

Ʌɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɣ

ɞɟɤɪɟɦɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ

Ⱦɨɛɪɨɬɧɨɫɬɶ

ɋɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɞɥɹ ɩɪɭɠɢɧɵ:

…

ɋɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɞɥɹ ɩɪɭɠɢɧɵ:

ɋɪɟɞɧɢɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ, ɫ

-1

Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ

246

5. Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɵɟ ɜɨɩɪɨɫɵ

1. Ʉɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɦɢ?

2. Ʉɚɤɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ? Ʉɚɤ

ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ?

3. Ʉɚɤɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ?

4. ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɣ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ?

5. ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɶ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ?

6. Ʉɚɤɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɫɪɟ-

ɞɵ?

7. Ʉɚɤ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɫɜɹɡɚɧ ɫ ɜɹɡɤɨɫɬɶɸ ɫɪɟɞɵ

, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ?

8. Ʉɚɤ ɢɡ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ?

9. Ʉɚɤ ɢɡ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɢɣ ɞɟɤɪɟɦɟɧɬ ɡɚ-

ɬɭɯɚɧɢɹ?

10. Ʉɚɤ ɢɡ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɶ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɣ

ɫɢɫɬɟɦɵ?

11. Ɉɩɢɲɢɬɟ ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ.

–––––––––––––––––

ɉɪɢ ɫɨɡɞɚɧɢɢ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɚɜɬɨɪɵ ɨɩɢɪɚɥɢɫɶ ɧɚ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ ɦɨ-

ɞɟɥɢɪɭɸɳɟɣ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ «Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɩɪɢ ɧɚɥɢɱɢɢ ɫɨɩɪɨɬɢɜ-

ɥɟɧɢɹ

», ɧɚɩɢɫɚɧɧɨɣ Ʉ.Ȼ. Ʉɨɪɨɬɱɟɧɤɨ, ɘ.Ⱥ. ɋɢɜɨɜɵɦ ɜ 1996-98 ɝɝ.

247

ɅȺȻɈɊȺɌɈɊɇȺə ɊȺȻɈɌȺ ʋ ɆɨɞɄ-03

ɉɈ ɂɁɍɑȿɇɂɘ ɆɈȾȿɅȿɃ ɎɂɁɂɑȿɋɄɂɏ

ɉɊɈɐȿɋɋɈȼ ɂ əȼɅȿɇɂɃ ɇȺ ɄɈɆɉɖɘɌȿɊȿ

ȼɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ: ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɟɣ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɨɝɨ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶ-

ɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ. ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɪɟɡɨɧɚɧɫɧɨɣ ɤɪɢɜɨɣ. Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ

ɪɟɡɨɧɚɧɫɚ.

1. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ

1.1. ȼɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

ɑɬɨɛɵ ɜ ɪɟɚɥɶɧɨɣ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɧɟɡɚɬɭɯɚɸɳɢɟ

ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ, ɧɚɞɨ ɤɨɦɩɟɧɫɢɪɨɜɚɬɶ ɩɨɬɟɪɢ ɷɧɟɪɝɢɢ, ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɢɟ ɡɚ ɫɱɟɬ

ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɫɪɟɞɵ. Ɍɚɤɚɹ ɤɨɦɩɟɧɫɚɰɢɹ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɚ ɜɜɟ-

ɞɟɧɢɟɦ ɤɚɤɨɝɨ-ɥɢɛɨ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ. ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɦɟ-

ɯɚɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɨɥɶ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɢɝɪɚ-

ɟɬ ɜɧɟɲɧɹɹ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɚɹ ɫɢɥɚ

)(t

. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ, ɤɚɤ ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ ɞɜɢ-

ɠɟɧɢɟ ɩɪɭɠɢɧɧɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɦɚɫɫɨɣ

m ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ

ɩɪɭɠɢɧɵ

(ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ

ɭɩɪ

) ɜ ɫɪɟɞɟ ɫ ɤɨɷɮɮɢɰɢ-

ɟɧɬɨɦ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ

(ɫɢɥɚ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɫɪɟɞɵ

ɫɪ

ɩɪɨɩɨɪɰɢɨ-

ɧɚɥɶɧɚ ɫɤɨɪɨɫɬɢ) ɩɨɞ ɜɨɡɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɜɧɟɲɧɟɣ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ

tFtF : cos)(

, ɢɡɦɟɧɹɸɳɟɣɫɹ ɩɨ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ

ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ

F . ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɇɶɸɬɨɧɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɜɢ-

ɠɟɧɢɹ ɩɪɭɠɢɧɧɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ

)(tFFFma

ɭɩɪɫɪ

 .

Ɍɨɝɞɚ

)(t

kxbma  v

ɢɥɢ

tFkx

m : cos

ɉɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɟɝɤɨ ɫɜɟɫɬɢ ɤ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɦɭ ɞɢɮɮɟɪɟɧ-

ɰɢɚɥɶɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɜɢɞɚ

: ZE cos2

Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ

248

ɂɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɬɚ-

ɤɨɝɨ ɜɢɞɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɫɭɦɦɭ ɨɛɳɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ. Ɉɞɧɨɪɨɞɧɨɟ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

ZE x

ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ

ɢɦɟɟɬ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɜɢɞɚ

)cos(

MZ

E

teAx

ɢɥɢ

)sin(

MZ

E

teAx

ɢ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɟ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɩɪɭɠɢɧɧɨɝɨ ɦɚɹɬ-

ɧɢɤɚ ɫ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ

A , ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɮɚɡɨɣ

M , ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ

ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ

ɢ ɱɚɫɬɨɬɨɣ

EZ Z , ɝɞɟ

– ɱɚɫɬɨɬɚ

ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ (ɧɟɡɚɬɭɯɚɸɳɢɯ) ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɬɨɝɨ ɠɟ ɦɚɹɬɧɢɤɚ.

ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɭɞɨɛɧɨ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɭɸ ɫɢɥɭ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥɵ ɗɣɥɟɪɚ





titi

::

 : eecos

. Ɍɨɝɞɚ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟ-

ɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ



titi

::

 ZE ee

ɂɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜ-

ɧɟɧɢɹ ɬɚɤɨɝɨ ɬɢɩɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɫɤɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ

titi

CCx

OO

 ee

ɝɞɟ

C ,

C , O – ɢɫɤɨɦɵɟ ɤɨɧɫɬɚɧɬɵ. ȼɵɱɢɫɥɢɜ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɢ ɩɪɢɜɟɞɹ

ɩɨɞɨɛɧɵɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ

e)2(e)2(

titi

CiCi

::

OO



ZEOOZEOO

Ⱦɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɟ ɬɨɥɶɤɨ, ɟɫɥɢ

: O . Ɍɨɝɞɚ

)2(

Z:E:

;

)2(

Z:E:

ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɢɦ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɜ ɜɢɞɟ

ɆɨɞɄ-03 ȼɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

249



.ee2ee)(

)4)((

22222

titititi

::::

:E:Zu

:E:Z

ɉɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥ ɗɣɥɟɪɚ





titi

: 

::

cos2ee ɢ





titi

: 

::

sin2ee ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ

ɨɛɪɚɡɨɦ



x ::E::Z

:E:Z

sin2cos)(

)4)((

22222

ɢɥɢ

)cos(

4)(

22222

M:

:E:Z

ɝɞɟ ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɮɚɡɚ

)(

arctg

:Z

 M

ɉɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɨɩɢ-

ɫɵɜɚɟɬ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ ɫ ɩɨ-

ɫɬɨɹɧɧɨɣ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ, ɧɨ ɫɦɟɳɟɧɧɨɟ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɫɢɥɨɣ ɧɚ ɮɚɡɭ

ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ

)cos()cos(

M:MZ

E

tAteAx

ɢɥɢ

)cos()sin(

M:MZ

E

tAteAx

ɝɞɟ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ

22222

4)(

:E:Z

ɂɡ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɨɛɨɣ ɫɭɦɦɭ ɞɜɭɯ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɣ: ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɯ

ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ

Z, ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɤɨɬɨɪɵɯ ɭɛɵɜɚɟɬ ɩɨ ɷɤɫɩɨɧɟɧɰɢ-

ɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ, ɢ ɧɟɡɚɬɭɯɚɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ

ɢ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ

. ɋɨɜɦɟɫɬɧɵɣ ɜɤɥɚɞ ɷɬɢɯ ɞɜɭɯ ɤɨ-

ɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɣ ɢ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɫɥɨɠɧɨɟ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɩɪɭɠɢɧɧɨɝɨ

ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɜɧɟɲɧɟɣ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɥɵ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɭɫɥɨɜɧɨ

ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɛɢɬɶ ɧɚ ɪɹɞ ɷɬɚɩɨɜ (ɪɢɫ. 1).

ɇɚ ɩɟɪɜɨɦ ɷɬɚɩɟ, ɤɨɝɞɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɟ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ

ɧɟɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɵɦ, ɧɚɛɥɸɞɚɟɬɫɹ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚ-

ɧɢɣ. ɉɪɨɞɨɥɠɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɩɟɪɜɨɝɨ ɷɬɚɩɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ

E ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ. ȿɫɥɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɟɥɢɤ, ɬɨ ɞɚɧɧɵɣ

ɷɬɚɩ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɧɟɡɚɦɟɬɧɵɦ ɞɥɹ ɧɚɛɥɸɞɚɬɟɥɹ.

Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ

250

ɉɨɫɬɟɩɟɧɧɨ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɢ ɧɚ-

ɱɢɧɚɟɬ ɨɤɚɡɵɜɚɬɶ ɦɟɧɶɲɟɟ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɦɚɹɬɧɢɤɚ, ɜ ɬɨ ɜɪɟɦɹ

ɤɚɤ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɨ-

ɫɬɨɹɧɧɨɣ (ɜɬɨɪɨɣ ɷɬɚɩ). ɇɚ ɩɟɪɜɵɯ ɞɜɭɯ ɷɬɚɩɚɯ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɦɨɠɟɬ ɦɟɧɹɬɶɫɹ.

ɇɚɤɨɧɟɰ, ɧɚɱɢɧɚɹ

ɫ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ

ɜɪɟɦɟɧɢ, ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɡɚ-

ɬɭɯɚɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɦɧɨɝɨ

ɦɟɧɶɲɟ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɤɨ-

ɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɜɵ-

ɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ



E

(ɬɪɟɬɢɣ

ɷɬɚɩ). Ɍɨ ɟɫɬɶ ɡɚɬɭɯɚɸ-

ɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɩɟɪɟ-

ɫɬɚɸɬ ɨɤɚɡɵɜɚɬɶ ɜɥɢɹ-

ɧɢɟ ɧɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɦɚɹɬ-

ɧɢɤɚ. Ɇɚɹɬɧɢɤ ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɫɨɜɟɪɲɚɬɶ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫ ɩɨɫɬɨ-

ɹɧɧɨɣ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ ɢ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ. Ɍɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚ-

ɡɵɜɚɸɬ

ɭɫɬɚɧɨɜɢɜɲɢɦɢɫɹ. ɉɟɪɜɵɟ ɞɜɚ ɷɬɚɩɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɭɫɬɚ-

ɧɨɜɥɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ⱦɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɤɨɷɮɮɢɰɢ-

ɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɨɬ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

A ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɭɫɬɚɧɨɜɢɜɲɢɯɫɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

. ɑɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢ-

ɟɧɬ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ, ɬɟɦ ɛɵɫɬɪɟɟ ɧɚɫɬɭɩɚɟɬ ɷɬɚɩ ɭɫɬɚɧɨɜɢɜɲɢɯɫɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ.

ɑɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɚɦ-

ɩɥɢɬɭɞɨɣ ɭɫɬɚɧɨɜɢɜɲɢɯɫɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

, ɬɟɦ ɩɪɨɰɟɫɫ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɤɨ-

ɥɟɛɚɧɢɣ ɩɪɨɞɨɥɠɢɬɟɥɶɧɟɟ.

1.2. əɜɥɟɧɢɟ ɪɟɡɨɧɚɧɫɚ

Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɚ ɭɫɬɚɧɨɜɢɜɲɢɯɫɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ

22222

4)(

:E:Z

ɢ ɡɚɜɢɫɢɬ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ

F , ɚ ɬɚɤɠɟ ɡɚ-

ɜɢɫɢɬ ɨɬ ɱɚɫɬɨɬɵ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

Z ɦɚɹɬɧɢɤɚ, ɱɚɫɬɨɬɵ ɜɵɧɭɠ-

ɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ

ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ E . Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ

–A

ɍɫɬɚɧɨɜɢɜɲɢɟɫɹ

ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ

ɉɪɨɰɟɫɫ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ

ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

III ɷɬ ɚɩ

I ɷɬɚɩ

IIɷɬɚɩ

ɦɩɥ ɢɬɭɞ ɚ ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɯ

ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ

Ɋɢɫ. 1