Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 2007 Вып.13

Подождите немного. Документ загружается.

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ,

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

Межвузовский тематический сборник трудов

Выпуск 13

Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Б. Г. Вагера

Санкт-Петербург

2007

2 3

УДК 66.048.05.004.6; 504.3.054; 517.929; 518.924; 519.24; 539.3; 539.213.3; 621.311;

621.311.1; 621.891; 621.315.1.001.63; 624.012.3; 629.113.004.5; 630.32;

658.012.011.56; 658.012.011.56; 666.97.033; 681.325; 681.325.5; 630.3:51.7; 697.1;

624.073–422.11:624.042.62; 519.7; 519.3; 541.12.012.2:539.213

Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. Вып.13 / СПбГАСУ. – СПб.,

2007. – 208 с.

Рассматривается применение методов математического моделирования,

численных методов и комплексов программ к решению задач строительства,

экологии и педагогики высшей школы. Изложены оригинальные исследования,

имеющие как теоретическое, так и прикладное (или методическое) значение.

Представлены статьи сотрудников: Филиала ГОУВПО «МЭИ (ТУ)»

(г. Смоленск); СПбГТИ (ТУ); СПбГПУ; СПбГАСУ; СЗИП СПбГУТД; ГОУ ВПО

«ПИМаш (ЛМЗ-ВТУЗ)»; БрГУ

Табл. 10. Ил. 46. Библиогр.: 84 назв.

Редакционная коллегия:

д-р физ.-мат. наук, проф. Б. Г. Вагер (отв. редактор, СПбГАСУ),

д-р техн. наук, проф. В. В. Карпов (СПбГАСУ),

канд. техн. наук, доцент А. Б. Исько (БрГТУ),

д-р техн. наук, проф. В. В. Иваницкий (СПбГУТД)

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. А. С. Гаврилов (РГГМУ),

д-р техн. наук, проф. П. В. Герасименко (ПГУПС)

ã Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет,

2007

СОДЕРЖАНИЕ

КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

Л. А. Парфенова. Использование электронного учебника для изучения

дисциплины «Основы проектирования и эксплуатации технологического

оборудования» .................................................................................................................7

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ЭКОЛОГИИ

В. Н. Цветков. Прохождение инфракрасной радиации через оконное стекло ......9

Г. Д. Гаспарян. Математическое моделирование колебательной системы

установки для ультразвуковой окорки лесоматериалов. .........................................15

И. А. Гаранина. Модель распределения ионов при наличии аэрозолей и источников

ионизации в приземном слое атмосферы ..................................................................22

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ

СТРОИТЕЛЬСТВА

О. А. Калаш, Г. В. Коваленко, Р. П. Курамшина. Алгоритм описания программы

по исследованию НДС железобетонных ферм с учетом нелинейного характера

их деформирования......................................................................................................26

С. А. Жердева, И. В. Дудина, Е. А. Чевская. Моделирование напряженно-

деформированного состояния несущих стеновых панелей при

кратковременном нагружении......................................................................................29

С. Н. Герасимов, А. С. Беспрозванных, Р. В. Назаров. Определение основных

параметров лопастных бетоноотделочных машин вибрационного типа...............33

Д. Е. Мухин. Математические модели деформирования пологих оболочек

ступенчато-переменной толщины с учетом упругопластических деформаций.....38

А. Н. Панин. Математические модели деформирования ребристых пологих

железобетонных оболочек с учетом ползучести материала....................................44

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

Е. В. Седунов, Е. А. Седунова. Управление динамическим экспериментом

на множестве элементарных операторов....................................................................49

М. И. Самохина, Ю. Ю. Стебенькова. Новый подход к моделированию

для поддержки принятия решений.............................................................................52

М. В. Макаренко. Расчет параметров схем замещения и моделирование

случайных изменений нагрузки для исследования работы устройств

оперативного регулирования напряжения..................................................................62

4 5

А. С. Ларионов. К вопросу о дифференциальных неравенствах для

нелинейных функционально-дифференциальных уравнений...............................66

О. В. Куликов, Д. О. Куликов. Разработка программного комплекса построения

регрессионной модели многоуровневого управления .............................................70

И. В. Игнатьев, А. Е. Ковров. Методика координации настроек автоматических

регуляторов возбуждения в сложных электроэнергетических системах ..............74

И. В. Игнатьев, Е. Д. Пьянников. Программный комплекс для исследования

влияния настроек автоматических регуляторов возбуждения генераторов

на статическую устойчивость электроэнергетических систем...............................79

А. А. Бушин. Использование итерационного метода при анализе распределения

высших гармоник в промышленных электрических сетях ....................................83

Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин. Особенности

построения математической модели однородного участка трехфазной

трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии...85

Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин. Особенности построения

математической модели однородного участка районной сети в условиях

пониженного качества электрической энергии .........................................................90

Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин. Характеристическое

уравнение однородного участка районной сети в условиях пониженного

качества электрической энергии .................................................................................96

Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин. Оптимизация

математической модели однородного симметричного участка трехфазной

трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии...105

Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, С. И. Харин. Оптимизация математической

модели симметричного однородного участка районной сети в условиях

пониженного качества электрической энергии.......................................................110

Г. А. Большанин, Л. Ю. Большанина, Т. Г. Коробова, С. И. Харин.

Характеристическое уравнение однородного участка трехфазной

трехпроводной ЛЭП в условиях пониженного качества электрической энергии....117

Н. Г. Петров. Оценка нормы обратного оператора при условии

существования оператора

- HH)P(I

.................................................................123

Е. Ю. Дулепова, Е. В. Кравченко. Исследование схем с памятью методом

эмуляции.......................................................................................................................125

В. М. Крылов. Исследование процесса переноса субстанции на основе

параболической и гиперболической математической модели в образцах

конечных геометрических размеров.........................................................................128

А. Г. Певнева. Модификации алгоритма Чичинадзе ..............................................132

Д. А. Краснобородько, А. Е. Пунин, В. А. Холоднов, К. Хартманн. Синтез систем

ректификационных колонн с использованием нечетких множеств.....................137

Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, В. Н. Чепикова.

Математическое моделирование ректификационной колонны для

исследования ряда возмущений................................................................................143

Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, Э. В. Шепелевская.

Математическое моделирование процесса разделения смеси

бензол-толуол-ксилол с целью управления ректификационной колонной..........149

К. В. Григорьева. Построение кодифференциального отображения одного

функционала.................................................................................................................156

С. А. Видюшенков, Е. В. Соколов. Круглая пластинка, лежащая на

колоннах, расположенных на окружности с центром в полюсе пластинки........166

П. М. Огар, Е. А. Ключев, О. В. Максимова. Определение упругой

характеристики слоистого полупространства.........................................................174

П. М. Огар, А. А. Дайнеко, С. С. Клюс. Определение начала пластической

деформации при моделировании контакта шероховатых поверхностей..............182

М. Ю. Лебедева. Некоторые аспекты использования факторного анализа

в маркетинговых исследованиях................................................................................192

М. Ю. Лебедева. Применение методов многоцелевой оптимизации

в задачах обоснования маркетинговых решений....................................................194

М. Ю. Лебедева. Многофакторная модель анализа динамических

показателей маркетингового исследования...............................................................197

И. В. Леонова, М. Ю Лебедева, Ю. П. Черемисина, В. А. Холоднов.

Компьютерные технологии для интервального регрессионного анализа.............203

6 7

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

Введение

В сборнике представлены статьи, относящиеся к математическому

моделированию работы строительных конструкций, задач экологии, не-

которых производственных и технологических процессов. Второе на-

правление статей касается разработки новых численных методов реше-

ния задач математической физики и применения известных методов

к решению конкретных технических и производственных задач. Боль-

шое число статей посвящено применению средств вычислительной тех-

ники к решению самых разнообразных технических и технологических

задач и разработке программных комплексов для этих целей. Кроме того,

часть работ касается применения ЭВМ в учебном процессе высших учеб-

ных заведений.

Все работы являются законченными исследованиями, содержат

новые результаты и представляют научный и практический интерес.

УДК 629.113.004.5

Л. А. Парфенова (БрГУ)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО УЧЕБНИКА ДЛЯ

ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

И ЭКСПЛУАТАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ»

Излагаются разработка и результаты применения электронного учебника для

изучения специальной технической дисциплины в вузе.

Электронный учебник разработан на основе учебного пособия

«Основы проектирования и эксплуатации технологического оборудо-

вания», авторами которого являются Е. П. Ясенков, Л. А. Парфёнова,

и рекомендованного Сибирским региональным учебно-методическим

центром высшего профессионального образования для межвузовского

использования в качестве учебного пособия для студентов, обучающих-

ся по специальностям «Автомобили и автомобильное хозяйство», «Ма-

шины и оборудование лесного комплекса», «Подъемно-транспортные,

строительные, дорожные машины и оборудование». В пособии отра-

жены все разделы теоретического материала, необходимого для изуче-

ния данной дисциплины.

В связи с тем, что в настоящее время нет базового учебника по дан-

ной дисциплине, это пособие позволит компенсировать его отсутствие

в технических вузах страны.

Данный электронный учебник рассматривается как базовое посо-

бие по курсу и состоит из следующих разделов:

Введение.

1. Предмет и содержание курса.

2. Основы проектирования технологического оборудования.

3. Проектирование моечно-очистного оборудования для АТП.

4. Проектирование оборудования для разборочно-сборочных и ре-

монтных работ.

5. Проектирование оборудования для механизации подъемно-транс-

портных работ.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

8 9

6. Система и организация технического обслуживания и ремонта

технологического оборудования.

7. Основы материаловедения на автомобильном транспорте.

8. Автоматизация расчета элементов технологического оборудова-

ния с помощью ЭВМ.

Кроме основного текста, учебник содержит список рекомендуемой

литературы.

Для создания электронного учебника был использован

объектно-ориентированный язык программирования VISUAL BASIC 6.0,

который имеет для пользователя удобный интерфейс. В учебник встав-

лены изображения, оптимизированные в программе Adobe Photoshop CS.

Эти изображения выделены по размеру и по цвету с помощью програм-

мы ACD FotoCanvas 2.0.

Доступ к электронному учебнику осуществляется непосредствен-

но с диска или путем копирования его на компьютер.

Учебник прост в использовании и представляет собой последова-

тельность слайдов-кадров с учебной информацией, темпом обучения

управляет сам обучаемый. Он имеет возможность перейти к следующе-

му или вернуться к предшествующему кадру учебника путем использо-

вания кнопок «Вперед» или «Назад», расположенных на каждой страни-

це учебника.

Таким образом, наряду с традиционными учебными пособиями

существенно возрастает актуальность разработки электронных учебни-

ков, которые могут оказать неоценимую помощь студентам и препода-

вателям при организации дистанционного обучения.

В заключение следует отметить, что электронный учебник на ла-

зерном диске в настоящее время можно использовать для самообразова-

ния в качестве методического обеспечения любого курса более эффек-

тивно, чем обычный учебник.

Получено 3 апреля 2007 года.

УДК 697.1

В. Н. Цветков (СПбГАСУ)

ПРОХОЖДЕНИЕ ИНФРАКРАСНОЙ РАДИАЦИИ ЧЕРЕЗ

ОКОННОЕ СТЕКЛО

В практическом аспекте рассмотрено проникновение солнечной радиации

через оконное стекло.

Оконные проемы – необходимый элемент всех зданий. Их влияние

на тепловой режим помещений бесспорно. Обладая малым термичес-

ким сопротивлением (по сравнению со стеной), окно зимой вызывает

значительное охлаждение помещений, а летом часто приводит с солнеч-

ному перегреву и перерасходу электроэнергии на кондиционирование

воздуха. Поэтому постоянно идет поиск новых прогрессивных решений,

улучшающих характеристики оконных заполнений. Среди них прочное

место занимают металлические пленки, которые наносятся на поверх-

ность оконного стекла.

Рассмотрим влияние металлической пленки на характеристики

оконного стекла.

Общеизвестно, что солнечный спектр состоит из ультрафиолето-

вых, инфракрасных лучей (УФК, ИКЛ) и видимого спектра. Оконное

стекло пропускает лишь видимые и ИК-лучи с длиной волны до

2.5–5 микрон. Последних очень мало в рассеянном свете.

Проникая в помещение, солнечные лучи поглощаются его поверх-

ностями и нагревают их вследствие перехода электромагнитной энер-

гии лучей в тепловую. Нагрев обеспечивают ИКЛ. Нагретые поверхнос-

ти сами становятся источниками длинноволнового ИК излучения, но его

уже не может выпустить стекло. Кроме того, от этих поверхностей на-

гревается воздух. В помещении возникает «тепличный», или «оранже-

рейный эффект».

Тепловой эффект инсоляции (проникновение прямых солнечных

лучей) уменьшают либо затенением проемов, либо использованием, как

уже отмечалось, в проемах стекол с металлической пленкой, отражаю-

щей ИКЛ, но хорошо пропускающей видимый свет (до 93–97 %).

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

10 11

ИК-излучение интенсивностью I

, взаимодействуя со стеклом,

в общем случае разделяется на три части: отраженную I

, поглощенную

и пропущенную I

стеклом.

В итоге мы имеем общее излучение

= I

+ I

. (1)

Деление равенства (1) на I

даст,

1 = I

/ I

+ I

/ I

+ I

/ I

или

1 = r + a + t, (2)

где соответственно r – коэффициент отражения; a – поглощения;

t – пропускания.

Коэффициент пропускания t зависит от толщины стекла d

и состояния его поверхности. Металлическая пленка, резко увеличивая

отражение от себя ИКЛ, снижает тем самым пропускание и, как

следствие, перегрев помещения инсоляцией.

Измерение коэффициента пропускания выполнялось на установке,

изображенной на рис. 1.

Рис. 1. Схема установки

Источником излучения, имитирующим солнце, служит зеркальная

лампа – термоизлучатель 1 мощностью 500 Вт. Ее нить накала имеет

рабочую температуру около 2200 К, а поверхность солнца – 6000 К, от-

чего спектр излучения лампы отличается от солнечного спектра. Однако

измеряемые коэффициенты – это относительные величины, что искупа-

ет неточность измерения.

Излучение, прошедшее через испытуемый образец 2, установлен-

ный на отверстие в столике 3, попадает в актинометр 4, предназначен-

ный для измерения в природе прямой солнечной радиации. Прямые лучи

из падающего потока выделяются диафрагмами, размещенными внутри

корпуса прибора, имеющего вид гильзы. На дне гильзы зачерненный диск

поглощает лучи и нагревается. Снизу к диску подклеены внутренние (го-

рячие) спаи термоэлектрической батарейки, имеющей вид звездочки.

Внешние (холодные) спаи вмонтированы в корпус. Термобатарейка пре-

вращает электромагнитную энергию поглощенной радиации в электри-

ческую.

Возникающая сила тока измеряется гальванометром 5, показания

которого прямо пропорциональны интенсивности поглощенной радиации.

Для нахождения коэффициента пропускания t достаточно измерить

интенсивность падающей радиации (без образца) I

и прошедшей через

установленный на столике образец I

Тогда

. (3)

Измерить интенсивность отраженной радиации I

на установке на-

прямую не представляется возможным, поэтому мы пошли окольным

путем и стали снимать зависимость коэффициента пропускания от тол-

щины образца, т. е.

)

(

. С этой целью при каждом последующем

измерении наращивали стопку образцов на столике методом подклады-

вания, сохраняя плоскость отражения неизменной. График снятой зави-

симости иллюстрирует линия 1 на рис. 2.

Наслоение образцов создало плоскости соприкосновения, от кото-

рых могли возникнуть путевые отражения, снижающие пропускание.

Устраняя сомнения, последовательно проследили путем расчета рост t

по формуле, используемой в светотехнике,

t = t

× t

, (4)

где t

– коэффициент пропускания очередного образца.

Результаты расчетов обобщает линия 2 на рис. 2. Она показывает,

что экспериментальный коэффициент пропускания стопкой (линия 1)

оказался выше расчетных значений (линия 2), что указывает на отсут-

ствие путевых отражений, возникновение вторичного излучения от на-

гретого (поглощением) стекла, наблюдаемого в условиях эксплуатации.

Этим-то и отличаются ИКЛ от видимого света.

12 13

Рис. 2. Зависимость

)

(

1 – экспериментальная; 2 – расчетная; 3 – для стекла с отражающей пленкой

Для выявления коэффициента отражения воспользовались законом

поглощения излучения в веществе

= II

(5)

где

– интенсивность излучения, вошедшего в образец;

– интен-

сивность излучения, прошедшего через слой стекла толщиной d;

m – линейный коэффициент поглощения, характеризующий

относительное уменьшение интенсивности излучения на единице

толщины поглотителя.

В уравнении (5) интенсивность

излучения, вошедшего в обра-

зец, равна разности интенсивностей падающего I

и отраженного излу-

чений, т. е.

-= e)(

III

. (6)

Поделив все выражение (6) на I

, получим

-= e)1(

IIII

или

r-=t e)1(

. (7)

Логарифмируя равенство (7), будем иметь

)1(

ln md+

(8)

Получили линейное уравнение прямой (вида y = b + mx)

в координатах d, ln(1/t), в котором

r-1

есть начальная ордината,

а m – угловой коэффициент прямой. Результаты экспериментальных

измерений иллюстрирует рис. 3.

Рис. 3. Зависимость

:)(

ln d=

1 – обычного стекла; 2 – стекла с пленкой;

3 – стекла с пленкой по внешней плоскости

Продолжая прямую до пересечения с осью

при d = 0 имеем

)1(

(9)

что позволяет найти искомый коэффициент отражения r. Он оказался

равным 0.06.

14 15

Для обычных теплообменных процессов степень черноты поверх-

ности стекла

(10)

оказалась равной 0.94, что совпадает со значениями, принимаемыми

в теплотехнических расчетах.

Из графика (см. рис. 3) вытекает значение коэффициента линейного

поглощения

,)1(ln

(11)

которое для обычного стекла (линия 1) составило 0.062 1/мм.

Аналогичные эксперименты (с подкладыванием стекол) были

проведены для образца с пленочным покрытием. В одном случае

покрытие располагалось по тыльной стороне наружного стекла (линия

2), как это делается на практике, а в другом – по внешней поверхности

стекла (линия 3 на рис. 3). Линии 2, 3 доказывают, что место расположения

пленки не оказывает существенного влияния на отражающую

способность оконного заполнения, поскольку линия 2 дает r = 0.68,

а линия 3 – r = 0.69, но практически внутреннее расположение пленки

защищает ее от внешних атмосферных воздействий.

Таким образом, пленочное покрытие отражает 68 % падающего

излучения вместо 6 % при обычном стекле, существенно снижая расходы

на изъятие проникающего через окно тепла в летнее время.

Для зимнего периода инсоляция – желательный фактор, экономящий

энергию на обогрев помещений, поэтому пленочные покрытия не дадут

рекламируемую экономию, хотя они снижают степень черноты лучистого

теплообмена между стеклами в стеклопакете, вычисляемую по формуле

(12)

У обычного стекла

94.0

, а

887

. Плоскость, покрытаяая

пленкой, имеет на поверхности

,31.069.01

а в совокупности

с обычным стеклом мы получаем

304

что повышает термическоее

сопротивление прослойки в 2.9 раза. Но в то же время пленка снижает

поступление прямой энергии от солнца в 3 раза. В пассивном режиме,

когда инсоляция отсутствует (северный фасад, затенение, полярная ночь

и т. п.), пленка все же –теплозащитный фактор, если она не разрушается,

не покрывается росой и инеем, которые доводят поверхность

до изначальной черноты 0.94.

Пленочное покрытие бессмысленно на стеклах при устройстве

в домах «солнечных ловушек». «Ловушка» – это остекленный проем, за

которым на относе располагается стена из теплоемкого материала. Стена

накапливает днем энергию проникающих ИКЛ, а ночью возвращает

накопления, сдерживает снижение температуры в помещении. «Ловушки»

целесообразны в зонах с солнечными зимами для домов с пофасадными

и поэтажными системами отопления, обеспеченными автоматикой,

дающими догрев, когда на небе нет солнца.

Получено 5 февраля 2007 года.

УДК 630.32

Г. Д. Гаспарян (БрГУ)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ

СИСТЕМЫ УСТАНОВКИ ДЛЯ УЛЬТРАЗВУКОВОЙ ОКОРКИ

ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ

При окорке лесоматериалов с помощью ультразвукового излучения возни-

кает необходимость оптимизировать параметры элементов колебательной систе-

мы. В данной статье представлена математическая модель ультразвуковой колеба-

тельной системы для оценки качественных геометрических показателей.

При рассмотрении колебаний упругих тел будем полагать, что ма-

териал тела однороден, изотропен и подчиняется закону Гука.

Однако в случае упругих тел вместо нескольких сосредоточенных

масс мы имеем систему, состоящую из бесконечно большого числа час-

тиц, между которыми действуют силы упругости. Для определения по-

ложения такой системы требуется бесконечно большое число коорди-

нат, и поэтому она имеет бесконечно большое число степеней свободы,

так как за возможное или виртуальное перемещение можно принять

любое малое перемещение, удовлетворяющее условию непрерывности,

т. е. не вызывающее разрывов в теле. На этом основании видно, что лю-

бое упругое тело может иметь бесконечно большое число типов соб-

ственных колебаний.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

16 17

В случае тонких стержней и пластинок (длина продольных волн

велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня) задача

колебаний может быть значительно упрощена.

При выводе уравнения движения будем основываться на гипотезе

плоских сечений. Кроме того, будем игнорировать силы инерции, свя-

занные с поперечными движениями частиц стержня при его растяже-

нии-сжатии. Тогда положение каждого поперечного сечения в процессе

движения полностью характеризуется его продольным смещением U.

Рассмотрим элемент стержня, ограниченный двумя поперечными

сечениями.

Обозначим: N – поперечная сила в сечении; dJ – сила инерции;

F(Z) – площадь поперечного сечения; U(Z) – смещение данного попе-

речного сечения вдоль оси бруса Z; Е – модуль упругости материала стер-

жня (модуль Юнга); r – плотность материала стержня; w – круговая час-

тота.

Сила инерции выражается следующим образом:

ZFdJ

)(r-=

. (1)

При стационарных колебаниях с круговой частотой w

.)()(

dZZUZFdJ rw=

(1а)

Рассматривая выделенный участок стержня и применяя принцип

Даламбера (при движении механической системы активная сила и реак-

ция связей вместе с силой инерции составляют равновесную систему

сил для каждой точки системы), можно записать уравнение

.0=-+

+ NdJdZ

(2)

Тогда, подставив в (2) выражение для силы инерции (1а), получим

0)()(

=××rw+

dZZUZFdZ

или после сокращения на dZ

0)()(

=××rw+

ZUZF

. (3)

Второе уравнение системы дифференциальных уравнений, описы-

вающих продольные колебания, записывается в соответствии с законом

Гука.

Левое сечение элемента смещается вдоль оси Z на U, правое – на

величину U + dU. Таким образом, абсолютное удлинение элемента

UdZ

+=D

а относительное

. (4)

Усилие, возникающее в сечении, связано с относительным удлине-

нием законом Гука для одноосного напряженного состояния:

ZEFZEFN

=e= )()(

. (5)

Окончательно система дифференциальных уравнений, описываю-

щая свободные продольные колебания стержней переменного сечения,

запишется в виде

×rw-=

).()(

),(

)(

ZUZF

ZEFZ

(6)

Волновое уравнение продольных колебаний такого стержня имеет

вид

.0)()(

ZEF

(7)

Для нахождения лишь собственных частот, т. е. для решения задачи

на собственные колебания, можно принять, что

cos

)

(

)

(

, (8)

где w – круговая частота.

После подстановки (8) в (7) и некоторых преобразований имеем

,0)()()()(

J+

¢¢

ZUKZUZZU

(9)

где

– волновое число;

)(

;

– скорость звука.а.

Решение уравнения (9) для наиболее важных случаев (экспоненци-

ального и конического рупора) может быть представлено в виде

18 19

[ ]

,'sin'cos

)(

)( ZKBZKA

ZU +=

(10)

где r(Z) – закон изменения радиуса поперечного сечения по длине;

А и В – постоянные интегрирования, зависящие от граничных условий.

Для экспоненциального рупора при r(Z) имеем следующую зави-

симость

),exp()(

ZrZr

где

– размер рупора при Z = 0;

– радиус рупора при Z = l; l – длина

рупора;

;

Причем параметр

определяется как

' b-= KK

Для участков инструмента с постоянной площадью поперечного

сечения, т. е. F = const, решение уравнения (10) имеет вид

[

]

.)cossin()(

,sincos)(

KZBKZAEFKZN

KZBKZAZU

+-=

Считая, что в начале участка при Z = 0 смещение U = U

, а усилие

N = N

, найдем соответственно значения смещения и усилия в конце

участка [0, l].

Очевидно следующее:

.cossin

,sincos

KlNKlEFKNN

KlUU

+-=

(11)1)

Используя векторные обозначения, уравнение (11) можно записать

в более компактной форме:

VAVV

, (12)

где

),( );,(

000

NUVNUV

kkk

– векторы-столбцы; А – матрица (2×2)

вида

KlKlEFK

KlEFKKl

cossin

sin)(cos

которую обычно называют матрицей перехода.

Ультразвуковой узел состоит из участков, в пределах каждого

из которых закон изменения площади поперечного сечения таков, что

может быть аппроксимирован из перечисленных функций. Если концен-

тратор состоит из n участков, то количество произвольных постоянных

в решениях равно 2 n. Указанные постоянные определяются из гранич-

ных условий для конкретного концентратора, обычно это условие вида

0)( и 0)(

000

== zlz

zNzN (свободные края концентратора), а такжее

из так называемых условий стыковки участков, в соответствии с кото-

рыми в силу гипотезы сплошности

)()(

0000

ZUZU

, т. е. продольноее

смещение слева от плоскости стыковки участков равно смещению спра-

ва от указанной плоскости. Аналогично в силу справедливости принци-

па Даламбера при отсутствии сосредоточенных сил имеем

)()(

0000

ZNZN

. Для концентратора из n участков имеем 2(n –1) усло-

вий стыковки и 2 граничных условия, т. е. 2 n условий, которые можно

представить в виде однородной системы из 2 n алгебраических уравне-

ний вида

0)(

ClA

, (13)

где

)(

– матрица коэффициентов размером 2 n×2 n;

– волновоеое

число

)

(

;

),...,(

21 n

СССC

– вектор-столбец неизвестных

коэффициентов;

BСАС

;

(из уравнения (10)).

Нетривиальное решение системы (13) находится из следующего

условия:

0)(det

. (13а)

Варьированием безразмерного параметра

добиваются выпол-

нения условия (13а), резонансная частота системы задана, значит, зада-

но и волновое число a, а варьируется длина k-го участка l

(k £ n) элемен-

та, и тем самым определяется резонансная длина l

k-го участка.

Среди различных причин затухания колебаний механических сис-

тем одной из важнейших является рассеяние энергии внутри самой ко-

лебательной системы (внутреннее трение в материале и в сочленениях).

Достоверные оценки влияния внутреннего трения важны при решении

множества разнообразных задач, особенно для систем, при эксплуата-

ции которых возможны резонансные режимы.

При постановке задач механики деформируемых тел зачастую до-

пустима замена последних идеально упругими моделями. Таковы, на-