Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 2007 Вып.13

Подождите немного. Документ загружается.

120 121

(

)

]

YYYZ

[

YZYZ

(

)

]

[

СA

BС

YZYZYYYZ

(

)

]

[

BС

YZYZYYYZ

(

)

]

YYYZ

[

СA

YZYZ

(

)

]

[

BС

YZYZYYYZ

(

)

]

[

YZYZYYYZ

(

)

]

YYYZ

;

– изображения на комплексной плоскости первичных

параметров однородного участка анализируемой ЛЭП на частоте

-й

гармонической составляющей напряжения и тока.

Шестая степень характеристического уравнения (1) трехфазной

трехпроводной ЛЭП свидетельствует о том, что в каждом линейном про-

воде присутствует шесть волн электромагнитного поля: три падающих

и три отраженных. Постоянные распределения этих волн определятся в

результате решения этого уравнения.

Для решения характеристического уравнения (1) следует принять,

что

. Тогда оно предстанет в виде

. (2)

Чтобы решить уравнение (2), есть смысл применить формулу Кар-

дано. Для этого нужно выполнить замену неизвестного

y +l=

Тогда уравнение (2) перепишется иначе:

=++ qpyy

, (3)

где

; (4)

aba

q +-=

. (5)

Дискриминант полученного уравнения можно определить из

равенства

D +=

. (6)

С учетом равенств (5) и (6) дискриминант уравнения (4) определится

так:

972

2433619162

232234

cbbacaba

++++

Согласно рекомендациям математической теории корни уравнения

(3) следует определять так:

;

123

где

u +-=

;

--=u

;

2,1

j±-

В этом случае корни уравнения (3) получаются такими:

abca

abcaa

y --+---++--=-=l

;

+--+---++---=-=l

622762272

abca

abcaa

-+---++--+

62276227

3 D

abca

;

---+---++---=-=l

622762272

abca

abcaa

-+---++---

62276227

3 D

abca

Корни характеристического уравнения (1) можно определить по

формулам

12,1

362276227

--+--+++--±=l±=

abca

;

122 123

+--+---++---±=l±=

62276227

24,3

abca

62276227

-+---++--+ D

abca

;

---+---++---±=l±=

62276227

36,5

abca

62276227

-+---++--- D

abca

Величины постоянных распределения каждой пары волн электро-

магнитного поля определятся следующим образом:

2,11

x=g

;

4,32

x=g

6,53

x=g

Получается, что постоянные распределения

сдвину-

ты в пространстве на угол

, что подтверждает трехфазный характер

распределения электрической энергии.

Таким образом, анализ характеристического уравнения однород-

ного участка трехфазной трехпроводной ЛЭП позволяет оценить физи-

ческую сущность электромагнитных процессов, происходящих в конст-

руктивных элементах линии электропередач.

Список литературы

1. Большанин Г. А. Способ прогнозирования гармонических состав-

ляющих электрической энергии по неразветвленным участкам электро-

энергетической системы: Патент 2210154, Россия, МКИ

Н 02 J 3/01/ –

№ 2001106402. Заявл. 06.03.01; опубл. 10.08.03.

2. Большанин Г. А. Способ количественной оценки субгармоничес-

кий и дробных высших гармонических периодически изменяемых вели-

чин: Патент № 2122186, Россия, МКИ 6 G 01 J 3/28 / Г. А. Большанин,

И. Н. Охлопков, С. В. Видерников, Е. А. Безносов, А. В. Манахов,

С. А. Зимарев, М. А. Алферов. – Братский индустриальный институт.

№ 96112228/25, заявл. 14.06.96, опубл. 20.11.98.

3. Большанин Г. А. Распределение электрической энергии пониженно-

го качества по участкам электроэнергетической системы. // Труды Братского

государственного университета: Сер. Естественные и инженерные науки –

развитию регионов Сибири. Т. 2. – Братск: БрГУ, 2006. – С. 129–140.

Получено 4 апреля 2007 года.

УДК 518.924

Н. Г. Петров (СПбГПУ)

ОЦЕНКА НОРМЫ ОБРАТНОГО ОПЕРАТОРА ПРИ УСЛОВИИ

СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПЕРАТОРА

- HH)P(I

Получена двусторонняя оценка нормы оператора, обратного оператору

I – H, при использовании перекрестного оператора P

Теорема. Пусть H – линейный ограниченный оператор, отобража-

ющий банахово пространство U в банахово пространство U, и пусть при

некотором натуральном значении n выполнены следующие условия:

1. Существует линейный ограниченный оператор

)(

- HHPI

)( CHHPI

£-

.1)()(

<£--

CHHHPHHPI

Тогда оператор I – H обратим и имеет место следующая оценка:

)(

)(1

IIKHI

£-£

--+

Доказательство. Оператор I – H представим в следующем виде:

.HHHPHHPIHI

Тогда, используя условие 1, получаем

.)]()([)(

HHHPHHPIIHHPIHI

--++-=-

(1)

Рассмотрим соотношение (1). При учете условия 3 по теореме Ба-

наха получаем, что оператор

)()(

HHHPHHPII

--+

обратим

и имеет место оценка

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

124 125

)]()([

HHHPHHPII

£--+

(2)

Оператор

HHPI

обратим согласно условию 1. Тогда по теореме

об оценке нормы оператора, являющегося произведением двух обрати-

мых операторов [1], получаем при учете условия 2 и соотношения (2)

)(

HI =

£-

Оценим слева

)(

- HI

Так как разность норм двух операторов не превосходит нормы их

разности, то получаем

)()(

--£-- HIIKHIIK

. (3)

Оператор

)(

-- HIIK

представим в виде

.)[()(

)()()()(

IIKHIHI

HIIKHIHIHIIK

---=

=----=--

Так как норма произведения двух операторов не превосходит

произведения их норм, то получаем

.)()()(

IIKHIHIHIIK --×-£--

(4)

Подставим соотношение (4) в соотношение (3). Получим

.)()()(

IIKHIHIHIIK --×-£--

Отсюда

)(1

)(

IIKHI

--+

£-

Список литературы

1. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная матема-

тика. – М.: Мир, 1969. – 447 с.

Получено 4 апреля 2007 года.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

УДК 681.325

Е. Ю. Дулепова, Е. В. Кравченко (БрГУ)

ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМ С ПАМЯТЬЮ МЕТОДОМ

ЭМУЛЯЦИИ

Исследование схем с памятью методом эмуляции предполагает учет тактов

и моментов дискретного времени при моделировании функционирования запоми-

нающих элементов исследуемой схемы. Далее будет рассмотрена процедура ис-

следования двухступенчатых JK-триггеров с инверсной динамической синхрони-

зацией и входами начальной установки.

Функция переходов

-триггера с учетом состояний входов началь-

ной установки

имеет вид

)()()1( SQRSQSRSRQSRtQ Ú=Ú=Ú=+

В приведенной формуле на запрещенном наборе

состоя-

ние

)

(

принято равным (доопределено) единице, на пассивном на-

боре

функция

)

(

будет определена состоянием информа-а-

ционных входов

и состоянием

)

(

)()()1( tQKtQJtQ Ú=+

Программа эмуляции (рис. 1) отображает таблицу переходов, ус-

ловное изображение триггера, принципиальную схему и временную ди-

аграмму функционирования триггера. Связь реального времени

с мо-

ментами

и тактами

...

дискретного времени показана на рис. 2.

Программа эмуляции вычисляет и отображает состояние всех па-

раметров триггера, определяющих его функционирование: состояние

входов и выходов элементов схемы, состояние связей между элемента-

ми, значение моментов и тактов дискретного времени.

Процедура исследования состоит в выполнении двух этапов.

Первый этап:

1) задать в спецстолбце таблицы переходов клавиатурой или с по-

мощью входов

начальное состояние триггера

)

(

;

2) отобразить состояние

в четырех из восьми наборов

KJQ

;

3) установить через время

пассивный набор

;

4) задать в таблице переходов с помощью

набор

KJQ

126 127

Рис. 1. Схема эксперимента

Рис. 2. Такты

и моменты

дискретного времени

Второй этап:

1) задать в таблице переходов через

такт

;

2) задать (см. рис. 1 и 2) временной диаграммой изменения значе-

ний сигнала синхронизации

)

(

в течение такта

;

3) вычислить по схеме и записать в таблицу значение

)

(

;

4) переписать в спецстолбец

)

(

после

)

(

;

5) преобразовать через время

состояние

)

(

)

(

и задатьть

)

(

в четырех наборах

KJQ

таблицы переходов;

6) перейти к пп. 1 первого и второго этапов.

После эксперимента в спецстолбце будет записано обозначение

изменения состояния памяти триггера –

)...

(

)

(

)

(

Значения вели-

чин

отображаются в таблице переходов и на временной

диаграмме, на условных изображениях элементов И–НЕ и триггера. За-

держка времени

введена с целью обеспечения автоматического пере-

хода от такта

после задания начального состояния

)

(

триггера к так-

ту

(исследованию зависимости

)

(

от т

(

) и перехода

затем от такта

к такту

, которые в следующем шаге исследова-а-

ний будут переобозначены через

соответственно.

Достоинством предлагаемой методики исследования является ин-

дикация в реальном масштабе времени

состояний таблицы перехо-

дов, величин

, двумерная индикация состояний сложно свя-

занных между собой элементов и соединений схемы как в статике,

так и в динамике, а также возможность самостоятельного исследова-

ния функционирования простых и сложных схем с обратными связя-

ми (схем с памятью) студентами и неспециалистами по цифровой

схемотехнике.

128 129

Список литературы

1. Дулепов Е. Г. Исследование сложных цифровых схем методом

эмуляции // Математическое моделирование, численные методы и комп-

лексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. – СПб., 2005. –

Вып. 11. – 224 с.

Получено 3 апреля 2007 года.

УДК 539.213.3

В. М. Крылов (СПбГТИ (ТУ))

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА СУБСТАНЦИИ НА

ОСНОВЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ОБРАЗЦАХ КОНЕЧНЫХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ

Получены сравнительные аналитические решения для гиперболической и

параболической моделей переноса субстанции в образцах конечных геометричес-

ких размеров. Приводятся кривые, иллюстрирующие этот процесс переноса.

Известно, что применение закона диффузии Фика при изучении

взаимопроникающих движений сплошных сред приводит к парадоксу

бесконечно большой скорости массопереноса при диффузии так же, как

и применение закона теплопроводности Фурье в процессах теплообме-

на приводит к парадоксу бесконечно большой скорости распростране-

ния тепла. Этот факт требует отказа от таких феноменологических ли-

нейных законов с точки зрения не только общетеоретических позиций,

но и технологической практики. Примером этому служат, в частности,

процессы изменения объема гранул ионообменников в процессах сорб-

ции-десорбции и явления разрушения в таких процессах.

При исследовании высокоинтенсивных нестационарных процессов

необходимо учитывать, что субстанция распространяется с конечной

скоростью

(1)

где

– соответствующий коэффициент переноса;

– время релаксации

процесса.

При этом простейшим обобщением линейных градиентных зако-

нов переноса Фурье и Фика является соотношение, впервые рассмот-

ренное Максвеллом [1],

J-=

(2)

где

– концентрация переносимой субстанции.

С учетом (2) уравнения переноса субстанции принимают вид

ÑJ=

(3)

где

J=Ñ

– оператор Лапласа.

Уравнения вида (3) относятся к гиперболическим уравнениям ма-

тематической физики и учитывают скорость распространения возмуще-

ния. Законы Фика и Фурье, таким образом, являются частным случаем

гиперболического уравнения переноса субстанции.

Обобщения линейного закона теплопроводности, направленные на

исключение бесконечной скорости распространения тепла, известны

с середины прошлого века (Vernotte P., Лыков А. В., Чернышов А. Д.,

Краснюк И. Б., Coleman B., Curtin M. E., Pipkin A. C., Day W. A., Norwood F. R.,

Nunzioto J. W. [2]).

В случае массопереноса использование обобщенного закона Фика,

приводящего к гиперболическому уравнению, встречается существенно

реже (Ганжа В. Л., Журавский Г. И., Симкин Э. М., Буренин А. А., Селе-

менев В. Ф., Шаруда В. А. [2]).

В настоящее время в литературе [3] решение уравнения (3) приво-

дится для полубесконечного стержня. Применение такого решения для

анализа динамики процессов переноса субстанции в образцах конечно-

го размера в значительной мере затруднено и неправомерно.

Далее приводятся результаты решения уравнения (3) для образца

конечного линейного размера

и радиуса

в декартовой и цилинд-

рической системах координат c соответствующими граничными усло-

виями.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

130 131

Декартова система координат

;

J=Ñ

,0 ;0

где де

– коэффи-

циенты массопередачи и молекулярной диффузии соответственно.

Цилиндрическая система координат

,0 ;0

.0 ;

¥<

Начальные условия задавались следующим образом:

(

)

xcu

или

(

)

., rxcu

Решение искалось для декартовой системы координат в виде

( ) () () ( )

,,const,

021

t+t=

xFxFFxtu

для цилиндрической системы

координат в виде

( ) () () () ( )

.,const,,

0321

t+t=

åå

xFrFxFFrxtu

Результаты решения по уравнениям параболической (кривая 1)

и гиперболической (кривая 2 при

c 3600

) модели переноса субстан-

ции представлены на рис. 1.

0 5

0.1

0.15

105×

0.1

0.05

0.15

Рис. 1. Результаты решения в декартовой системе координат:

– зависимость концентрации субстанции от длины образца при

,ч 100==

15.0 ,0 ,с/м 10 ,м 1.0

uuDL

; б – зависимость концентрации

субстанции от времени на глубине образца

при тех же условиях

Сравнительный анализ кривых 1 и 2 показывает, что в случае ги-

перболической модели переноса субстанции начальное возмущение пе-

редается с конечной скоростью.

На рис. 2 представлены результаты решения уравнения гиперболи-

ческой модели переноса (3) в цилиндрической системе координат при

тех же условиях, что и на рис. 1. При этом радиус исследуемого цилинд-

ра

м.

0 5 L

0.1

102 ×

c,t

0.02

0.04

0.06

0.1

м,R

101

Рис. 2. Результаты решения уравнений гиперболического переноса субстанции в

цилиндрической системе координат:

а – зависимость концентрации субстанции от глубины на оси образца;

б – зависимость концентрации субстанции от времени переноса на оси образца;

в – зависимость концентрации субстанции от радиуса на глубине

в момент времени

Список литературы

1. Maxwell J. C. Phil. Trans. Roy. Soc. – London. – 1867. – V. 157.

P. 253–260.

2. Глухов Е. Д. Некоторые задачи двухконтинуумной гиперболичес-

кой теории массопереноса несжимаемых среда: Автореф. … канд. физ.-

мат. наук. – Владивосток, – 2006.

132 133

3. Новый справочник химика-технолога / Под редакцией проф.

Г. М. Островского. – СПб.: АНОНПО «Профессионал», 2004. – 826 с.

Получено 7 апреля 2007 года.

УДК 541.12.012.2:539.213

А. Г. Певнева (СПбГТИ (ТУ))

МОДИФИКАЦИИ АЛГОРИТМА ЧИЧИНАДЗЕ

Предложен способ адаптации алгоритма глобального поиска Чичинадзе к

поиску экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента. Идея

отсечения монотонных ячеек имеет родство с идеями методов ветвей и границ.

Специфика алгоритма Чичинадзе позволяет вести поиск на множестве, которое

не является односвязным. Методика интервальной оценки значения функции адап-

тирует метод Чичинадзе к поиску экстремума функций, вычисленных со случай-

ной ошибкой орор 043E.

Повышение эффективности алгоритма глобальной оптимизации

Чичинадзе напрямую связано с улучшением аппроксимации обобщен-

ных функций

)

(

)(x

. Функция

)

(

является многомерным ин-

тегралом. Пределы интегрирования определяются с помощью функций

)(x

[2]. Для этого необходимо уделить внимание повышению эффек-

тивности метода Монте-Карло.

Так как в методе Чичинадзе поиска глобального экстремума клю-

чевым моментом является оценивание многомерных интегралов статис-

тическими методами, то использование расслоенной выборки, что дол-

жно существенно повысить эффективность такого алгоритма [1].

Основной модификацией алгоритма является введение обобщен-

ных функций и

)

(

)(x

. В этом случае средние значения функции

)

(

в точках

находятся по формулеле

))((

)(

=xy

(1)

где x

– точки, в которых выполнено неравенство

F(x

) >

; j = 1,..., P

i = 1,…, K.

Значения координатных функций вычисляются по формуле

x³

.)(,0

)(,1

;

))((

)(

ijlj

LSxF

LSxFx

(2)

Уменьшить число статистических испытаний в методе Монте-Кар-

ло можно сокращением самого множества оптимизации Х. Поиск гло-

бального экстремума методом Чичинадзе проводится на множестве U,

которое может не быть односвязным. Множество U состоит из гранич-

ных ячеек и ячеек, подозрительных на экстремум.

Пусть Г – какая-либо гиперплоскость, лежащая в замыкании мно-

жества Х. Тогда, если Г

, то Х

– граничная ячейка. Обозначим

XG U

–

множество граничных ячеек.

На каждой ячейке строится линейное приближение поверхности

отклика. Если оно не является адекватным, на данной ячейке строится

приближение полиномом 2-й степени, а ячейка классифицируется как

подозрительная на экстремум. Если линейное приближение адекватно,

то ячейку назовем монотонной.

Аппроксимация поверхности отклика на всем множестве Х имеет

вид

>Î

+++

.)()(,при)(

при)(

)(

)()1()1()()1(

)()(

xLxLXXxxL

XxxL

iiiii

(3)

Эта функция имеет разрывы 1-го рода в точках

)1()(

XXx I

Границы

dd ,

доверительного интервала с надежностью

g = 0.95 для прогноза

)

(

xLY

вычисляются по формуле

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

134 135

,D±=d

ср

nDx

++=D

(4)

где t

– квантиль распределения Стьюдента; s – стандартная ошибкаа

регрессии;

ср

– среднее значение точек сетки S; Dx – дисперсия точек

этой сетки.

Пусть для каких-либо двух монотонных соседних ячеек выполнено

неравенство

,)()(

)1()(

RxLxL

³-

(5)

где

)1()(

XXx I

, а R удовлетворяет условию

(6)

Пусть

– нормаль к L

(x);

: (а

, а

, …, а

). Пусть существуетет

такое j, что

,0)cos()cos(

+ jiij

(7)

где

– направляющий косинус нормали.

Глобальная оптимизация поверхности отклика методом Чичинадзе

состоит в шагах I–V.

I. Проводится предварительный вычислительный эксперимент.

Организуется разбиение множества Х на ячейки, при этом выделяются

множества граничных и внутренних ячеек.

II. На каждой ячейке Х

разбиения N раз моделируется распределе-

ние. В полученных N точках проводится вычислительный эксперимент.

По данным этого эксперимента строится аппроксимация (3), проводит-

ся статистический анализ этой аппроксимации. По его результатам каж-

дая ячейка Х

классифицируется как подозрительная на содержание эк-

стремума или как монотонная.

III. Производится сравнение значений аппроксимаций в соседних

ячейках по условиям (4), (6). По результатам этого сравнения объедине-

ние соседних ячеек может классифицироваться как подозрительное на

содержание глобального экстремума. Считаем i = i + 1, повторяем шаги

II и IV.

1. По данным вычислительного эксперимента определяются точки

, т. е. значения линий уровня.

2. На множестве граничных ячеек G и множестве ячеек,

подозрительных на экстремум, организуется расслоенная выборка S,

т. е. на каждой ячейке Х

моделируется равномерное распределение N

раз; в точках этой выборки

, l = 1,..., N

вычисляются значения

функции регрессии, то есть прогноз

)(

; определяется довери-

тельный интервал.

3. Для вычисления значения n, т. е. числа точек

, для которых

выполнено неравенство

,)(

1 k

применяется методика интервальных

оценок, состоящая в следующем: если в очередной точке

прогноз Y

лежит близко к

[

]

ddÎx ;

где

– границы доверительного интервала прогноза Y

, то считаем

s+=

. (8)

имеет нормальное распределение с параметрами

Sm ,0

определяется по эмпирическому правилу

23S

, где Д вычисляется

по формуле (4).

IV. По формулам (1) и (2) вычисляются значения функции

)(

и координатных функций

)(x

на каждой ячейке X

из множества U. На

всем множестве U, очевидно, значения

)(

вычисляются по формулам

,)()(

kik

kilkl

xx )(

)(

, l = 1,..., n.

Дальнейшие шаги алгоритма совпадают с шагами алгоритма для

аналитической функции в [1]. После определения y

используется релак-

сационный метод локальной оптимизации для уточнения значения гло-

бального экстремума.

Первичное тестирование проводилось на примере кусочно-линей-

ной функции с разрывами 1-го рода, построенной регрессионным мето-

136 137

дом по экспериментальным данным. Множество оптимизации представ-

ляло собой промежуток [1, 4], разбивалось на ячейки в точках разрыва

функции отклика. На рисунке представлены данные эксперимента и ап-

проксимации.

x y

1.099106 10.75808

1.176241 10.76098

1.366315 11.85306

1.787573 13.9272

1.796398 13.43947

1.963108 14.38346

2.07424 10.95959

2.145666 11.21324

2.196342 11.41777

2.325151 11.00977

2.493005 10.76212

2.587505 10.45014

2.896138 10.02973

3.008693 15.31816

3.465628 16.43635

3.490618 16.19752

3.535484 16.27

3.56615 16.46328

3.572679 16.4687

3.636381 15.68643

= 4.3852

+ 5.8047

= 0.9844

= -1.4738

+ 14.354

= 0.8274

= 1.4213

+ 11.191

= 0.4464

0 1 2 3 4

Ряд2

Ряд3

Линейный (y)

Линейный (Ряд2)

Линейный (Ряд3)

Результат вычислительного эксперимента в EXCEL

Очевидно, ячейка [1, 2] и ячейка [2, 3] являются монотонными, но

для ячейки [3, 4] по величине R

= 0.4447 можно предположить недоста-

точную адекватность линейной аппроксимации, поэтому была построе-

на регрессионная функция

Y(x) = 82.527 х

– 826.412 х

+ 2749.6 х – 3054.8,

для которой R

= 0.9388. Эта ячейка классифицируется как подозритель-

ная на экстремум.

Вычислительная реализация была выполнена в комплексе «Опти-

мум», структура и инструментальные средства которого подробно опи-

саны в [3]. Реализация этого метода на ячейке [3, 4] дает следующий

результат: x = 3.5264; у = 16.4652, при этом точное значение экстремума

x = 3.52774, у = 16.436.

Столь точное совпадение объясняется, конечно, простотой иссле-

дуемой функции. Применение описанных в статье методик к задаче эко-

номической оптимизации технологических схем ректификации подроб-

но приведено в [4]. Необходимо заметить, что в многомерных задачах

важнейшее значение приобретает выбор параметров метода.

Список литературы

1. Ермаков С. М., Жиглявский А. А. Математическая теория опти-

мального эксперимента. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

2. Чичинадзе В. К. Решение невыпуклых нелинейных задач опти-

мизации. – М.: Наука, 1983. – 255 с.

3. Ананченко А. Г., Холоднов В. А., Пунин А. Е. Комплекс программ

глобальной оптимизации «Оптимум». Депонировано в ВИНИТИ,

№ 734 – В2004 от 25.03.04.

4. Ананченко А. Г., Холоднов В. А., Пунин А. Е. Глобальная оптими-

зация последовательности экстракторов // Изв. вузов. Химия и химичес-

кая технология. – 2004. – Т. 47. – Вып. 9. – С. 45–53.

Получено 25 апреля 2007 года.

УДК 66.048.05.004.6

Д. А. Краснобородько, А. Е. Пунин, В. А. Холоднов, К. Хартманн

(СПбГТИ(ТУ))

СИНТЕЗ СИСТЕМ РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Используется эвристический метод синтеза экономически оптимальных си-

стем разделения ректификацией, в основе которого лежат пять эвристических пра-

вил, полученных в результате анализа работы промышленных установок. Синтез

ректификационных колонн осуществляется с помощью «нечеткого» алгоритма.

Работоспособность алгоритма иллюстрируется на примере синтеза схемы разде-

ления предельных углеводородов. Для других разделяемых соединений необхо-

дима коррекция коэффициентов, лежащих в основе метода.

Правило 1. При синтезе экономически оптимальной системы раз-

деления выделяйте в виде дистиллята компоненты в последовательнос-

ти температур кипения, если выполняются нечеткие критерии.

Критерий a: сумма мольных долей Xi более тяжелых компонентов

в смеси, поступающей на разделение, начиная с Х3, по возможности дол-

жна быть меньше чем 0.5.

Критерий b: относительные летучести разделяемых компонентов

L12 и L23 были не меньше двух (очевидно, что разделение двух компо-

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

138 139

нентов с практически одинаковой летучестью потребует для своего осу-

ществления дополнительных конструкционно-технологических реше-

ний, в связи с этим таких вариантов разделения по возможности следует

избегать). Для численного выражения значения рассматриваемого кри-

терия можно использовать формулу

0393.0

1)(

0912.5

2,1

-=am

(1)

Критерий c: все компоненты требуют одного и того же материала.

Например, можно рассматривать варианты разделения, использующие

колонны из легированной или нелегированной стали. Для данного кри-

терия введен индекс коррозионной активности W, который для i-го ком-

понента принимает следующие значения: агрессивный компонент

= 1, неагрессивный компонент W

= 0.

Если нет агрессивного компонента или самый низкокипящий ком-

понент является агрессивным, то этот критерий выполняется наилуч-

шим образом и функция принадлежности становится равной 1. Во всех

других случаях рассмотренный критерий уменьшает его значимость при

возрастании числа агрессивных компонентов. В качестве аргумента фун-

кции принадлежности используется частное, найденное по формуле

, (2)

где W

– число агрессивных компонентов, а n – общее число компонентов

в текущей смеси.

Критерий d: ни один компонент, кроме первого, не является

избыточным в смеси, поступающей на разделение. Компонент является

избыточным в том случае, если его мольная доля в смеси больше

остальных. Частное от деления мольной доли самого низкокипящего

компонента на мольную долю компонента, который является среди

остальных избыточным, рассчитанное по формуле

)(max

, (3)

должно быть по возможности наибольшим.

Критерий e: разность температур кипения Ts 12 первого и второго

компонента смеси, поступающей на разделение, должна быть как мож-

но большей. При всех прочих равных условиях разделения смесь веществ,

имеющих далеко отстоящие друг от друга температуры кипения, более

легко подвергается разделению, чем смесь веществ, кипящих при прак-

тически одинаковой температуре.

Критерий f: требуется, чтобы реализация правила 1 не противоре-

чила правилу 4, в соответствии с которым трудные разделения должны

находиться в конце цепи деления. Разделение является трудным, если

относительная летучесть между первым и вторым ключевыми компо-

нентами меньше 1.5, а разность температур кипения первого и второго

компонента очень мала.

Этот критерий можно, с одной стороны, охарактеризовать через

относительную летучесть и разность температур кипения, с другой сторо-

ны, числом компонентов, которые еще остались в смеси, по сравнению с

числом компонентов в первоначальной смеси. Выражение (n1–2)/n мож-

но использовать в качестве аргумента функции принадлежности конца

разделения. Аргумент равен 0 для последнего деления смеси, в которой

остались два ключевых компонента. Если в разделяемой смеси осталось

только 3 компонента из первоначальных 20, то аргумент принимает зна-

чение 0.05, а при 3 компонентах из 4 начальных равен 0.25. Начало цепи

разделения выражается величиной, которая стремится к 1.

Для расчета функции принадлежности оказалась подходящей сле-

дующая функция:

))1(1(

))(),(()(

nGM

TsGMGMMINfGM

, (4)

где n1 – число компонентов в текущей смеси; n – число компонентов в

исходной смеси.

Функции принадлежности для расчета нечетких критериев имеют

вид, представленный далее.

Функция принадлежности

)(

×d+

. (5)

Функция принадлежности

1)(

×d+

. (6)

В формулах (5) и (6) d1 и d2 – коэффициенты настройки, полученные

в результате обработки большого числа данных для существующих

систем разделения многокомпонентных смесей; x – аргумент функции