Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 2007 Вып.13

140 141

принадлежности (определяется по правилам, сформулированным для

каждого из критериев). Значения коэффициентов d1 и d2 для правила 1

приведены в табл. 1.

Таблица 1

Коэффициенты и тип функции принадлежности для

эвристического правила 1

Коэффициенты

Критерий A B R1 R2

Тип

функции

δ1 δ2

a

0.8 0.5 0.1 0.8 F(x)

49.31734

7.62312

b L12 0.2 1.5 0.8 2.0 G(x)

198.790

– 9.6351

b L23 0.5 1.5 0.9 2.0 G(x)

22.10984

– 7.63654

c 0.7 0.05

0.2 0.5 F(x)

7.83246

0.96947

d 0.1 0.8 0.8 1.01 G(x)

0.29145

– 5.41733

e 0.2 5 0.7 20 G(x) 53.25831 – 1.60977

f L12 0.3 1.5 0.7 2.0 G(x) 25.30189 – 5.88357

f Ts12 0.2 5 0.7 20 G(x) 53.25831 – 1.60977

f n1 0.7 0.05

0.3 0.25 F(x) 10.02959 1.0519

Правило 2. Из смеси в первую очередь выделяется количественно

доминирующий компонент. Отметим, что если в смеси, состоящей из n

компонентов, самый низкокипящий или самый высококипящий компо-

нент является избыточным, то правило два дает однозначную инструк-

цию для места деления. В остальных случаях о силе данного правила

можно судить на основе анализа указанных далее нечетких критериев.

Критерий а: в первую очередь следует выделять избыточный ком-

понент, если его мольная доля хотя бы немного больше, чем мольные

доли остальных компонентов (Х1 или Хn > = 0.5).

Критерий b: в первую очередь необходимо выделять избыточный

компонент, если смесь является близко кипящей, т. е. максимум из всех

относительных летучестей Li, i + 1 по возможности меньше чем 2.

Критерий с: в первую очередь целесообразно выделять избыточ-

ный компонент, если все компоненты требуют одного и того же конст-

руктивного материала. Критерий с подробно обсуждался ранее, при рас-

смотрении правила 1.

Значения коэффициентов d1 и d2 для правила 2 приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты и тип функции принадлежности для эвристического

правила 2

Коэффициенты

Критерий R1 A R2 B

Тип

функции

δ1 δ2

a 0.5 0.5 3 0.9 G(x) 0.42738 – 0.22622

b 2 0.7 3 0.3 F(x) 0.02362 4.18069

c 0.05 0.7 0.5 0.2 G(x) 7.83325 0.96961

d 5 0.2 20 0.7 G(x) 53.33962 – 1.61028

e 1.5 0.2 2.0 0.8 G(x) 197.21468

– 9.62362

Правило 3. Необходима организация эквимолярного разделения,

дополненного нечеткими критериями.

Критерий а: выделяем по возможности эквимолярные количества

в кубе и дистилляте, если имеется близко кипящая смесь, где максимум

из всех пар относительных летучестей i и i + 1 компонентов max(Li, i + 1)

по возможности меньше чем 1.5.

Критерий b: все компоненты требуют одинакового конструкцион-

ного материала. Если при реализации разделения по правилу 3 отделя-

ется не отдельный компонент, а несколько (только при таком условии

удается достичь эквимолярного разделения), то группа таких компонен-

тов отделяется по правилам 1 и 2. На основе анализа экономической

эффективности функционирования большого числа систем разделения

принято, что значения функции принадлежности F(х) = 1 в том случае,

если выполняется ряд условий:

.0

1

=

å

=

n

i

W

(7)

Одна из концентраций X1, Xlk, Xnk, Xn является максимальной

и при этом избыточный компонент с концентрацией Хmax требует более

дорогого конструкционного материала.

Критерий c: правило 1, в соответствии с которым первым выделя-

ется наиболее легколетучий компонент, по возможности не должно быть

нарушено. Критерий c уменьшает силу правила 3 – эквимолярного раз-

деления – при возрастающем удалении от места, находящегося ниже

самого низкокипящего компонента. Аргументом функции принадлеж-

142 143

ности для критерия c является выражение вида (0.5 – 1/j), где j – номер

тяжелого ключевого компонента; для деления 1/2 (т. е. количества дис-

тиллята и кубового остатка равны между собой) равняется 0 и увеличи-

вается при разделении 2/3 до 0.17.

Критерий d: образуется аналогично правилам 1 и 2. Однако, если

правило 1 дает четкую инструкцию относительно места деления, а в со-

ответствии с правилом 2 имеется выбор между двумя альтернативами,

то правило 3 является абсолютно нечетким.

Критерий е: учитываются количественные отношения между легко-

летучими и труднолетучими компонентами смеси, поступающей на ректи-

фикацию. При суммировании мольных долей, начиная с самого низкокипя-

щего компонента, существует точка, в которой выполняется неравенство

å

-

³

1

5.0

j

i

x

, (8)

где j – 1 – номер легкого; j – номер тяжелого ключевого компонента.

Аргументом функции принадлежности критерия e можно выбрать

аргумент в виде

å

-

1

2

)5.0(

j

i

x

, (9)

определяющий отклонение от полного эквимолярного разделения.

Значение аргумента при разделении 50/50 должно быть больше или

равно нулю. Места разделения вблизи эквимолярного разделения могут

поочередно быть проверены на то, где достигает максимума функция

принадлежности для правила 3. Критерием окончания поиска может быть

GM(e) = 0.1.

Значения коэффициентов d1 и d2 для правила 3 приведены в табл. 3.

Правило 4. Схема разделения получается экономически оптималь-

ной в том случае, если сложные (дорогостоящие) разделения проводят-

ся с возможно меньшими количествами разделяемых веществ. Если воз-

можно дешевое простое разделение вместо дорогого сложного, то оно

должно быть реализовано в генерируемой схеме.

Правило 5. Агрессивные («коррозионные») и высокотоксичные

вещества должны быть выделены из смеси как можно раньше, по воз-

можности на самом первом делении. Работа с агрессивными вещества-

ми требует специальных конструкционных материалов для изготовле-

ния аппаратов разделения и аппаратуры для подачи/отвода разделяемой

в результате процесса смеси и повышенных требований (а, следователь-

но, и расходов), с целью обеспечения безопасности проведения процесса.

Таблица 3

Коэффициенты и тип функции принадлежности для эвристического

правила 3

Коэффициенты

Критерий R1 A R2 B

Тип

функции

δ1 δ2

a 0.5 0.7 1.01 0.4 F(x)

1.47365

1.78113

b 0.05 0.7 0.5 0.2 F(x)

7.83325

0.96961

c 0.17 0.7 0.25 0.3 F(x) 1021.26186 4.38687

e 0.01 0.7 0.04 0.1 F(x) 10483.0452 2.1934

Список литературы

1. Химико-технологические системы / Под ред. Мухленова И. П. –

Л.: Химия, 1986. – С. 133–143.

2. Ананченко И. В., Викторов В. К., Холоднов В. А., Хартман К. Син-

тез систем ректификационных колонн с использованием нечетких мно-

жеств // ММХ-9. Сборник тезисов докладов. – Тверь, 1995. – Ч. 2. – С. 77.

3. Probleme der modernen chemischen Technologie / Herausgeber Prof.

Dr. K. Hartmann. – Akademie–Verlag–Berlin, 1980. – S. 206–212.

Получено 27 апреля 2007 года.

УДК 658.012.011.56

Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, В. Н. Чепикова

(СПбГТИ (ТУ))

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

РЯДА ВОЗМУЩЕНИЙ

С помощью системы компьютерной математики MATHСAD исследовалась

ректификационная колонна для разделения трехкомпонентной смеси бензол-то-

луол-ксилол. Целью исследования является изучение влияния возмущений по рас-

ходу входного потока на процесс ректификации.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

144 145

Исследовали процесс ректификации смеси бензол-толуол-ксилол

при постоянном питании колонны. Схема процесса, исходные данные

и обозначения приведены в статье [4]. На рис. 1 и 2 представлена про-

грамма для исследования процесса ректификации при постоянном пи-

тании.

Рис. 1. Программа исследования процесса ректификации

при постоянном питании (начало)

dty,( )

L1t() y

12

× V1vby

1

y

2

,

( )

×- Wt() y

1

×-

M9

L1t() y

20

× V1vty

1

y

2

,

( )

×- Wt() y

2

×-

M9

Vvby

5

y

13

,

( )

× L D+( ) y

3

×-

M0

Vvty

5

y

13

,

( )

× L D+( ) y

4

×-

M0

L y

3

y

5

-

( )

× V vby

6

y

14

,

( )

vby

5

y

13

,

( )

-

( )

×+

M

L y

5

y

6

-

( )

× V vby

7

y

15

,

( )

vby

6

y

14

,

( )

-

( )

×+

M

L y

6

y

7

-

( )

× V vby

8

y

16

,

( )

vby

7

y

15

,

( )

-

( )

×+

M

L y

7

y

8

-

( )

× V vby

9

y

17

,

( )

vby

8

y

16

,

( )

-

( )

×+

M

f1t() BF× Ly

8

×+ L1t() y

9

×- V1vby

10

y

18

,

( )

×+ Vvby

9

y

17

,

( )

×-

M

L1t() y

9

y

10

-

( )

× V1 vby

11

y

19

,

( )

vby

10

y

18

,

( )

-

( )

×+

M

L1t() y

10

y

11

-

( )

× V1 vby

12

y

20

,

( )

vby

11

y

19

,

( )

-

( )

×+

M

L1t() y

11

y

12

-

( )

× V1 vby

1

y

2

,

( )

vby

12

y

20

,

( )

-

( )

×+

M

L y

4

y

13

-

( )

× V vty

6

y

14

,

( )

vty

5

y

13

,

( )

-

( )

×+

M

L y

13

y

14

-

( )

× V vty

7

y

15

,

( )

vty

6

y

14

,

( )

-

( )

×+

M

L y

14

y

15

-

( )

× V vty

8

y

16

,

( )

vty

7

y

15

,

( )

-

( )

×+

M

L y

15

y

16

-

( )

× V vty

9

y

17

,

( )

vty

8

y

16

,

( )

-

( )

×+

M

f1t() TF× Ly

16

×+ L1t() y

17

×- V1vty

10

y

18

,

( )

×+ Vvty

9

y

17

,

( )

×-

M

L1t() y

17

y

18

-

( )

× V1 vty

11

y

19

,

( )

vty

10

y

18

,

( )

-

( )

×+

M

L1t() y

18

y

19

-

( )

× V1 vty

12

y

20

,

( )

vty

11

y

19

,

( )

-

( )

×+

M

L1t() y

19

y

20

-

( )

× V1 vty

1

y

2

,

( )

vty

12

y

20

,

( )

-

( )

×+

M

é

ê

ë

ù

ú

û

:=

z Rkadapty0, 1000, 1000, d,( ):=

Рис. 2. Программа исследования процесса ректификации

при постоянном питании (окончание)

50, 1000, d)

146 147

Полученные результаты представлены на рис. 3.

Рис. 3. Результаты исследования процесса ректификации

при постоянном питании:

а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе;

б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Исследование процесса ректификации при синусоидальном

изменении питания

Синусоидальное возмущение

)

3

sin(550)(1

t

tf ×p+=

задается

в первой строке программы. Полученные результаты представлены

на рис. 4.

Рис. 4. Изменение концентраций при синусоидальном изменении питания:

а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе;

б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Исследование процесса ректификации при импульсном измене-

нии расхода питания:

.50

)16()12(0

)(1

otherwise

ttif

tf

<Ù>

=

Полученные результаты представлены на рис. 5–6.

Рис. 5. График импульсного

изменения расхода питания

148 149

Рис. 6. Изменение концентраций при импульсном изменении питания:

а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе;

б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Из графиков зависимостей концентраций бензола и толуола от вре-

мени видно, что при заданных значениях скорости питания колонны

F = 50 и флегмового числа R = 5 в ректификационной колонне создаются

хорошие условия для разделения смеси: концентрации бензола и толуо-

ла в дефлегматоре и кубе-испарителе постоянны во времени.

Это означает, что на протяжении всего стационарного процесса, как

в дефлегматор, так и в куб-испаритель будут поступать смеси постоян-

ного состава, причем в первый – практически чистый бензол, а во вто-

рой – смесь толуола с ксилолом.

Синусоидальное возмущение по расходу питания в большей степе-

ни оказывает влияние на поведение концентраций веществ в кубе-испа-

рителе, чем в дефлегматоре. В этом случае ректификационная колонна

работает в режиме, который близок к режиму с постоянным расходом

питания. При импульсном возмущении ректификационная колонна воз-

вращается в стационарное состояние.

Список литературы

1. Коган Б. Б. Азеотропная и экстрактивная ректификация. – Л.:

Химия, 1971.

2. Blass E. Entwicklung Verfahrenstechnischer Prozesse. – Salzburg:

Otto Salle Verlag, 1989.

3. Stichlmair J. Kennzahlen und Ahnlichkeitsgesetze im Ingenieurwesen. –

Essen: Altos. 1990.

4. Краснобородько Д. А., Холоднов В. А., Пунин А. Е. / Математичес-

кое моделирование процесса разделения смеси бензол-толуол-ксилол с

целью управления ректификационной колонной // Математическое мо-

делирование, численные методы и комплексы программ Межвуз. темат.

сб. тр.: СПбГАСУ. – СПб., 2007. – (В настоящем издании).

Получено 27 апреля 2007 года.

УДК 658.012.011.56

Д. А. Краснобородько, В. А. Холоднов, А. Е. Пунин, Э. В.

Шепелевская (СПбГТИ (ТУ))

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА

РАЗДЕЛЕНИЯ СМЕСИ БЕНЗОЛ-ТОЛУОЛ-КСИЛОЛ С ЦЕЛЬЮ

УПРАВЛЕНИЯ РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННОЙ

С помощью системы компьютерной математики MATHСAD исследовался

процесс управления в ректификационной колонне для разделения трехкомпонен-

тной смеси бензол-толуол-ксилол. Целью исследования является изучение влия-

ния возмущений по расходу входного потока на процесс управления ректифика-

ционной колонной.

Математическое описание объекта управления. На рис. 1 при-

ведена схема процесса ректификации. Каждый компонент смеси может

быть выражен через отдельные компоненты массового баланса. С ис-

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

150 151

пользованием мольных долей одно уравнение может быть опущено

и заменено при условии, что сумма мольных долей должна быть равна

единице.

Рис. 1. Схема процесса ректификации:

1 – ректификационная колонна; 2 – куб-испаритель;

3 – дефлегматор; 4 – делитель

Для i-го компонента на любой тарелке, находящейся выше тарелки

питания

(

)

)()(/

11 inininininn

YYVXXLdtXdM

-

+

-

=

--

. (1)

Для i-го компонента на любой тарелке, находящейся ниже тарелки

питания

(

)

)(1)(1/

11 inininininn

YYVXXLdtXdM

-

+

-

=

--

, (2)

где i = 1, 2, 3.

Для куба-испарителя

(

)

99899

11/ XWYVXLdtXdM

-

=

. (3)

Выражение равновесного состояния при условии относительной

зависимости величины

i

a

имеет вид

n

X

Y

)1(1 -a+

a

=

. (4)

Расходы в колонне: V = V1; D = V/(R+1); L = V – D; L1 = L + F;

W = L1 – V1.

Используемые обозначения:

M – молярная доля, кмоль; L – расход жидкой фазы, кмоль/ч;

X – концентрация жидкой фазы, кмоль/ч; Y – концентрация газовой фазы,

кмоль/ч; V – расход газовой фазы, кмоль/ч; R – флегмовое число;

a

– относительная летучесть, кмоль/ч; D – расход дистиллята, кмоль/ч;

1–8 – номера тарелок; F – расход питающего потока колонны.

Исходные данные:

F = 50 – расход питающего потока колонны; BF = 0.6, TF = 0.25 – питающий

состав; R = 5 – флегмовое число;

75

.

2

1

=

a

,

1

2

=

a

,

4

.

0

3

=

a

– относитель-

ные летучести; V1=150 – расход пара.

Начальные концентрации компонентов: 0 – в дефлегматоре,

1 – 8 – на тарелках, 9 – в кубе-испарителе.

В0 – В9 – для бензола:

В0 = 0.967, В1 = 0.914, В2 = 0.813, В3 = 0.651, В4 = 0.457, В5 = 0.289;

В6 = 0.137, В7 = 0.056, В8 = 0.02, В9 = 0.006;

Т0 – Т9 – для толуола:

Т0 = 0.0325, Т1 = 0.0849, Т2 = 0.185, Т3 = 0.343, Т4 = 0.522, Т5 = 0.649;

Т6 = 0.781, Т 7 = 0.817, Т8 = 0.755, Т 9 = 0.594;

M0 = 75, M9 = 150, M = 30 – удерживающая способность тарелок.

Исследование управления процессом ректификации пропорцио-

нально-интегральным регулятором при постоянном питании с це-

лью получения заданной концентрации бензола в кубе-испарителе.

На рис. 2 и 3 приведена программа для исследования процесса управле-

ния ректификацией при постоянном питании.

Изменения концентраций бензола и толуола в дефлегматоре и в кубе-

испарителе показаны на рис. 4.

Исследование управления процессом ректификации пропорцио-

нально-интегральным регулятором при импульсном возмущении по

расходу питания с целью получения заданной концентрации бензола

в кубе-испарителе. Импульсное возмущение задается в первой строке

программы:

152 153

.otherwise50

)16()12(0

)(1

<Ù>

=

ttif

tf

(5)

Рис. 2. Программа для исследования процесса управления

ректификацией при постоянном питании (начало)

y

0.006

0.594

0.967

0.0325

0.914

0.085

0.651

0.457

0.287

0.137

0.056

0.02

0.0849

0.185

0.343

0.522

0.649

0.781

0.817

0.755

æ

ç

è

ö

÷

ø

:= dty,( )

L1y

1

t,

(

)

y

12

× V1vby

1

y

2

,

(

)

×- Wy

1

t,

(

)

y

1

×-

M9

L1y

1

t,

( )

y

20

× V1vty

1

y

2

,

( )

×- Wy

1

t,

( )

y

2

×-

M9

Vvby

5

y

13

,

( )

× Ly

1

t,

( )

Dy

1

t,

( )

+

( )

y

3

×-

M0

Vvty

5

y

13

,

( )

× Ly

1

t,

( )

Dy

1

t,

( )

+

( )

y

4

×-

M0

Ly

1

t,

( )

y

3

y

5

-

( )

× V vby

6

y

14

,

( )

vby

5

y

13

,

( )

-

( )

×+

M

Ly

1

t,

( )

y

5

y

6

-

( )

× V vby

7

y

15

,

( )

vby

6

y

14

,

( )

-

( )

×+

M

Ly

1

t,

( )

y

6

y

7

-

( )

× V vby

8

y

16

,

( )

vby

7

y

15

,

( )

-

( )

×+

M

Ly

1

t,

( )

y

7

y

8

-

( )

× V vby

9

y

17

,

( )

vby

8

y

16

,

( )

-

( )

×+

M

f1t() BF× Ly

1

t,

( )

y

8

×+ L1y

1

t,

( )

y

9

×- V1vby

10

y

18

,

( )

×+ Vvby

9

y

17

,

( )

×-

M

L1y

1

t,

( )

y

9

y

10

-

( )

× V1 vby

11

y

19

,

( )

vby

10

y

18

,

( )

-

( )

×+

M

L1y

1

t,

( )

y

10

y

11

-

( )

× V1 vby

12

y

20

,

( )

vby

11

y

19

,

( )

-

( )

×+

M

L1y

1

t,

( )

y

11

y

12

-

( )

× V1 vby

1

y

2

,

( )

vby

12

y

20

,

( )

-

( )

×+

M

Ly

1

t,

( )

y

4

y

13

-

( )

× V vty

6

y

14

,

( )

vty

5

y

13

,

( )

-

( )

×+

M

Ly

1

t,

( )

y

13

y

14

-

( )

× V vty

7

y

15

,

( )

vty

6

y

14

,

( )

-

( )

×+

M

Ly

1

t,

( )

y

14

y

15

-

( )

× V vty

8

y

16

,

( )

vty

7

y

15

,

( )

-

( )

×+

M

Ly

1

t,

( )

y

15

y

16

-

( )

× V vty

9

y

17

,

( )

vty

8

y

16

,

( )

-

( )

×+

M

f1t() TF× Ly

1

t,

( )

y

16

×+ L1y

1

t,

( )

y

17

×- V1vty

10

y

18

,

( )

×+ Vvty

9

y

17

,

( )

×-

M

L1y

1

t,

( )

y

17

y

18

-

( )

× V1 vty

11

y

19

,

( )

vty

10

y

18

,

( )

-

( )

×+

M

L1y

1

t,

( )

y

18

y

19

-

( )

× V1 vty

12

y

20

,

( )

vty

11

y

19

,

( )

-

( )

×+

M

L1y

1

t,

( )

y

19

y

20

-

( )

× V1 vty

1

y

2

,

( )

vty

12

y

20

,

( )

-

( )

×+

M

é

ê

ë

ù

ú

û

:=

z Rkadapty0, 500, 500, d,( ):=

Рис. 3. Программа для исследования процесса управления ректификацией

при постоянном питании (окончание)

154 155

Рис. 4. Результаты исследования управления ректификацией

при постоянном расходе питания:

а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе;

б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Изменения концентраций бензола и толуола в дефлегматоре и в кубе-

испарителе показаны на рис. 5.

Рис. 5. Результаты исследования управления ректификацией при импульсном

возмущении расхода питания:

а – изменение концентрации толуола и бензола в кубе-испарителе;

б – изменение концентрации толуола и бензола в дефлегматоре

Система управления с помощью пропорционально-интегрального

регулятора позволяет получить заданное количество бензола в кубе ко-

лонны даже при наличии кратковременных возмущений.

Список литературы

1. Холоднов В. А., Ананченко И. В., Викторов В. К., Крылов В. М.

Математическая модель сложной ректификационной колонны // Извес-

тия вузов. Химия и химическая технология. – 1998. – Т. 41. – Вып. 2. –

С. 115.

2. Коган Б. Б. Азеотропная и экстрактивная ректификация. – Л.:

Химия, 1971.

3. Blass E. Entwicklung Verfahrenstechnischer Prozesse. – Salzburg:

Otto Salle Verlag, – 1989.

Получено 27 апреля 2007 года.

156 157

УДК 519.7; 519.3

К. В. Григорьева (СПбГАСУ)

ПОСТРОЕНИЕ КОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ОТОБРАЖЕНИЯ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛА

В работе [1] в рамках решения задачи идентификации были введены следу-

ющие функционалы:

( )

(

)

( )

;

,,

,0max

,,

,0max,

1

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

e+

-

+

þ

ý

ü

î

í

ì

e+

=

åå

ÎÎ

e

dybr

dyar

dyF

j

Jj

i

Ii

( )

.

,,

,0max

,,

,0max,

2

åå

ÎÎ

e

ú

û

ù

ê

ë

é

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

e+

-

+

ú

û

ù

ê

ë

é

þ

ý

ü

î

í

ì

e+

=

Jj

j

Ii

i

dybr

dyar

dyF

Функционал

(

)

dyF ,

1e

является недифференцируемым, его свойства частич-

но рассматривались в работе [2]. Построим его кодифференциальное отображе-

ние.

Пусть

n

R

X

Ì

– открытое множество и

.

X

x

Î

Будем говорить, чтоо

функция

f

, заданная и конечная на

X

, кодифференцируема в точке е

x

,

если существуют такие выпуклые компакты

()

1

+

Î

n

Rxfd

и

()

1

+

Ì

n

Rxfd

, чтоо

(

)

(

)

(

)

(

)

D

+

D

F

+

=

D

+

xx

oxfxf

, (1)

где

(

)

[ ]

()

(

)

[

]

[ ]

()

(

)

[

]

D

+

D

+

=

D

F

Î

,min,max

,

wbva

xfdwb

xfdva

x

, (2)

(

)

n

x

R

o

ÎD"¾¾®¾

a

D

×

a

¯a

0

. (3)

Здесь

.,;,

1 n

RwvRba ÎÎ

Естественно, здесь также предполагается,

что

{

}

., Xxxco

Ì

D

+

Если (3) имеет место равномерно по

{

}

,1||||| =DÎD=ÎD

n

RS

тоо

будем говорить, что функция f кодифференцируема в x равномерно по

направлениям. Пара множеств

() () ()

],[ xfdxfdxDf =

называется

кодифференциалом функции

f

в точке

x

; множество о

(

)

xfd

называется

гиподифференциалом, а множество

(

)

xfd

– гипердифференциалом. Если

функция

f

кодифференцируема в некоторой окрестности точки

x

, тоо

отображение

Df

назовем кодифференциальным. Функция

f

называетсяся

непрерывно кодифференцируемой в точке

x

, если она кодифферен-

цируема в некоторой окрестности точки

x

и если существует непре-

рывное (по Хаусдорфу) в этой точке кодифференциальное отображение

.

Df

Замечание 1. Пусть

.,

nn

RBRA ÌÌ

Положим

(

)

.infsupinfsup, wvwvBA

Aw

B

v

Bv

A

w

-

+

-

=

r

Î

Число

(

)

BA,

r

называется расстояниемм между множествами

A

и

B

в метрике Хаусдорфа (или расстоянием Хаусдорфа). Величина

wv

Bv

A

w

-

Î

infsup

называется уклонениемм множества

A

от множества

B

(в смысле Хаусдорфа), а величина

wv

Aw

B

v

-

Î

infsup

называется уклонениемм

множества

B

от множества

A

(в смысле Хаусдорфа).

Отображение

(

)

xa

непрерывно по Хаусдорфу в точке

0

x

, если

(

)

(

)

(

)

.0,

0

¾

®

¾

r

®xx

xaxa

Из (1)–(2) видно, что кодифференцируемая в точке

x

функция до-

пускает аппроксимацию первого порядка в окрестности точки

x

, при

этом в качестве аппроксимации можно взять функцию

(

)

(

)

(

)

.

D

F

+

=

D

x

xfF

Если функция

f

кодифференцируема в

x

равно-

мерно по направлениям, то

(

)

D

x

F

является аппроксимацией

f

в окрес-с-

тности

x

равномерно по направлениям. Для непрерывно кодифферен-

цируемой функции аппроксимация

(

)

D

x

F

, построенная с помощью ко-

дифференциала, является непрерывной функцией и по

x

, что в некото-

ром смысле роднит непрерывно кодифференцируемые функции с непре-

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

158 159

рывно дифференцируемыми, позволяя тем самым избежать многих не-

приятностей, вызванных негладкостью функции

f

.

Лемма 1 (см. [3], с. 196). Если функции

,,1, NIi

i

=Îj

кодиф-

ференцируемы (непрерывно кодифференцируемы) в точке

x

, тоо

и функции

(

)

(

)

yyf

i

I

i

j

=

Î

max

1

и

(

)

(

)

yyf

i

I

i

j

=

Î

min

2

тоже являются кодифференцируемыми (непрерывно кодифференцируе-

мыми) в этой точке, при этом

() () ()

[

]

() () ()

[

]

,,,,

2

1

xfdxfdxDfxfdxfdxDf ==

где

() () ()

{}

() ()

[ ]

{ }

() ()

() () ()

{}

() ()

[ ]

{ }

.0,

;

;0,

2

\

2

1

\

1

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

Î-j+j-j=

j=

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

Î-j+j-j=

å

Î

Ikxfxxdxdcoxfd

xdxfd

Ikxfxxdxdcoxfd

nk

kIi

ik

Ii

i

Ii

i

nk

kIi

ik

Воспользуемся леммой 1 для нахождения кодифференциала функ-

ционала

(

)

dyF ,

1e

.

Лемма 2. Функционал

(

)

yF

e

1

является гиподифференцируемой

функцией и его гиподифференциал

()

+

ï

þ

ï

ý

ü

÷

ø

ö

ç

è

æ

j

þ

ý

ü

î

í

ì

j

-

j

+

j

jj

+

j

÷

ø

ö

ç

è

æ

þ

ý

ü

î

í

ì

j

-

j

+

j

jj

+

j

-

ï

î

ï

í

ì

÷

ø

ö

ç

è

æ

þ

ý

ü

î

í

ì

j

-=

å

Î

e

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

2,2,,0max

||

;0,0,,0max

||

;0,0,,0max

i

ii

i

n

i

ii

i

Ii

n

i

a

coyFd

å

Î

ï

î

ï

í

ì

÷

ø

ö

ç

è

æ

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

y

-+

Jj

n

j

co ;0,0,,0max

2

1

(4)

.2,2,,0max

||

;0,0,,0max

||

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

ï

þ

ï

ý

ü

÷

ø

ö

ç

è

æ

y

-

y

-

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

y

-

y

+

y

yy

+

y

÷

ø

ö

ç

è

æ

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

y

-

y

+

y

yy

+

y

-

j

jj

j

n

j

jj

j

b

Доказательство. Найдем кодифференциал для функционала

(

)

yF

e

1

.

Введем обозначения:

e+

-

=

e+

=

|),,(|

),,(

;

|),,(|

),,(

11

dybr

f

dyar

f

j

i

;

;|),,(|);,,(где,

21

2

1

e+=j=j

j

= dyardyarf

iiii

i

;|),,(|);,,(где,

21

2

1

2

e+=y-=y

y

= dybrdybrf

jjjj

j

{

}

{

}

jjii

fFfF

2211

,0max;,0max

=

.

Тогда функционал будет иметь вид

(

)

å

Î Î

e

+

=

Ii Jj

ji

FFyF

211

.

() ()

( ) ( )

{ }

.

;0,0,0;0,0,00

;;

2

2112

1

111111

211211

i

iiii

i

iiiiii

Ii Jj

ji

Ii Jj

ji

dd

fd

FfdfdFfddcoFd

FdFdyFdFdFdyFd

j

jj-jj

=

-+--+-=

+=+=

å åå å

Î Î

e

Î Î

e

Так как

dyadyar

i

+

=

j

,),,(

1

– линейная функция, то

i

1

j

–

дифференцируема, следовательно,

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 2007 Вып.13

Подождите немного. Документ загружается.