Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 2007 Вып.13

Подождите немного. Документ загружается.

180 181

где

()

()( )

()

. (16)

При d = 0

, при d = ¥

, т. е. граничные условия выпол-л-

няются. Следует отметить, что выражение (16) отличается от аналогич-

ного (10) только показателем степени во втором слагаемом.

Как показал анализ зависимостей (10) и (16), отклонения между

ними для

20,...,0=d

не превышали 0.2 %, поэтому для инженер-

ных расчетов можно принять

FFF

Для случая контакта гладкой жесткой сферы со слоистым полупро-

странством сближение тел определяется выражением

Fw=w

для радиуса контакта и максимального давления p

получим

Faa =

010

= Fpp

Зависимость

(

)

представлена на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость параметра F от

для Е

= 2.39 ГПа ,

= 0.38, Е

= 2.01 ГПа, µ

= 0.3

Для

значение

для

значение

Существенное увеличение параметра F наблюдается в диапазоне

.5...,,0=d

В соответствии с ранее используемым подходом

Сжатие однородного слоя толщиной д определяем выражением

()

[

]

()

[

]

=d-q=w

110101

0 KK

KKap

или с учетом (11)

()

[ ]

=w KK

Соответствующая жесткость

()

[ ]

= KK

RPP

(12)

Перемещения точек А

и А

должны быть равны.

Тогда

()

= K

(13)

Значение P

определяем из условия равенства перемещений при

z = δ слоистого упругого тела под нагрузкой P и однородного материала

под нагрузкой P

()

[ ]

()

[ ]

=d-

()

= (14)

Значение P

определим из условия равенства перемещений при

z = δ слоистого упругого тела под нагрузкой P и однородного материала

под нагрузкой P

. В результате получим

()

= . (15)

Подставляя (12), (13), (14) и (15) в (6а) и с учетом того, что

(

)

(

)

, получим

182 183

Список литературы

1. Макушкин А. П. Полимеры в узлах трения и уплотнениях при

низких температурах. – М.: Машиностроение, 1993. – 288 с.

2. Воронин Н. А. Применение теории упругого контакта Герца

к расчету напряженно-деформированного состояния слоистого упруго-

го тела // Трение и износ. – 1993. – Т. 14. – № 5. – С. 250–258.

3. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир,

1989. – 510 с.

Получено 4 мая 2007 года.

УДК 621.891

П. М. Огар, А. А. Дайнеко, С. С. Клюс (БрГУ)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛА ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КОНТАКТА ШЕРОХОВАТЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Определен критерий пластичности при контактировании шероховатой повер-

хности с упругим полупространством с учетом взаимного влияния неровностей.

Задача отыскания критерия пластичности окончательно не решена.

Все предложенные до сих пор критерии имеют ограниченную область

применения. Наиболее близкое совпадение с экспериментальными дан-

ными по вдавливанию инденторов в упруго пластичные среды показали

энергетическая теория сдвиговой деформации Мизеса и теория макси-

мальных касательных напряжений Треска. Различие двух критериев не-

велико, поэтому целесообразно использовать критерий Треска из-за его

алгебраической простоты. Третий критерий пластичности известен как

критерий максимального приведенного напряжения. Критерий Треска

и критерий приведенного напряжения образуют пределы, между кото-

рыми находится истинный критерий пластичности [1].

Перечисленные критерии были исследованы в работе [2] для их

применения при контактировании шероховатых поверхностей без учета

взаимного влияния неровностей. Однако для многих соединений дета-

лей машин характерна большая плотность пятен контакта, при которой

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

в значительной мере на контактных характеристиках сказывается вза-

имное влияние неровностей, поэтому вызывает практический интерес

определение начала пластической деформации в этих условиях контак-

тирования шероховатых поверхностей.

Рассмотрим контакт жесткой шероховатой поверхности и ее отдель-

ной сферической поверхности радиусом

с вершиной, расположенной

на расстоянии

max

от линии вершин шероховатой поверхности, и уп-

ругопластического полупространства в системе цилиндрических коор-

динат r, j, z с началом в точке О, принадлежащей недеформированной

поверхности полупространства. Влияние на характеристики контакта

отдельной неровности в пределах круговой области

),0(

aW =r

напря-

жений на остальных пятнах контакта будет эквивалентно влиянию рав-

номерно распределенной нагрузки q

, действующей в кольцевой облас-

ти

),(

aaW =r

, причем

. Решение данной осесимметричной

задачи приведено в работах [3–6]. Далее приведем выражения, характе-

ризующие контакт отдельной неровности и шероховатой поверхности

с полупространством.

Распределение контактного давления на площадке контакта

max

5.0

)2(1

arccos1

)(

rh-

r-h-

, (1)

контурное давление для отдельной неровности

)(

max

5.1

hy+

, (2)

где

( ) ( )

[

]

iiii

h-h-h

=hy

1arcsin

5.0

. (3)

В приведенных выражениях

aR ,,

max

– параметры микро-

геометрии;

)1/(

m-=q E

– упругая постоянная;

ciri

Среднее q

и максимальное давления q

(0) на пятне контакта имеют

вид

( )

hy+

max

, (4)

184 185

)21arccos(

)0(

max

5.0

. (5)

Упругий контакт шероховатой поверхности с полупространством

описывается выражениями

hy-

),min(

5,1

)()(1

)(

duu

; (6)

),min(

)()(

duu

;

=eh

ee ),min(

)()(

duu

; (7)

где

; (8)

-e

++-

-e

. (9)

Область применения выражений (1)–(9) ограничена критерием пла-

стичности, определяющим начало пластической деформации.

Схема нагружения полупространства при контактировании отдель-

ной неровности представлена на рис. 1.

Для определения напряженно-деформированного состояния внутри

полупространства используем соотношения закона Гука

;;

;

g=t

+e=s

GeG

eGeG

rzzz

(10)

;

;;;

e+e+e=

=e=e

(11)

Рис. 1. Схема нагружения полупространства

Вначале определим перемещения

. Используем принцип

суперпозиции перемещений от действия нагрузок

uuu

Согласно данным работы [1]

( )

y¶

-y

, (12)

где

òò

j=y

)(

drr

;

òò

j=y

ddrr

; (13)

jr-+r+= cos2

222

rzr

Так как распределение

)(

незначительно отличается от герцев-

ского, то

186 187

/1)(

arqrq -=

Тогда

òò

jr-+r+

rzr

ddrrar

cos2

; (14)

òò

jr-+r+

rzr

ddrr

222

cos2

. (15)

Обозначая

;

z =

;

имеем

òò

+r+jhr-

cos2

zrr

ddrrr

; (16)

òò

+r+jhr-

zrr

ddrr

25.0

cos2

; (17)

az ¶

. (18)

При Z = 0 из выражений (16), (17), и (18) получим

)2(

( )

hr-

5.0

2 i

Eaaq

)(2

rp-=

где

)

(

– полный эллиптический интервал второго рода.

Учитывая, что

()

;1;

;

xFxE

где

F– гипергеометрическая функция Гаусса; для перемещений

на

поверхности площадки контакта получим

(

)

,;1;

;

;1;

hr--

-q+r-q

Faaqaq

ccrr

( )

r-q

( )

)(1

rr--=s -=

. (19)

Для радиального перемещения на площадке контакта имеем

)(

С учетом данных [1] и выражений (10), (11) для поверхности пло-

щадки контакта получим

( )

r--

;

( )

( ) ( )

r--

111

, (20)

( )

( ) ( )

r-m-

r--

-=s

1211

. (21)

С учетом того, что выражение (5) можно представить в виде

188 189

+=h-

+= )21arccos(

1)21arccos(

5.0

н0н0

где

max

5.0

н0

для выражений (19), (20), (21) имеем

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

rh-

r-h-

+r--=

r-+

r--

+-=

r--

arccos

;111

21arccos

;111

21arccos

5.0

25.0

(22)

Используя выражения (19)–(21) для напряжений

,,,

кото-

рые на площадке контакта являются главными, можно рассчитать экви-

валентные напряжения и определить начало пластической деформации.

Напряжения на оси z можно вычислить рассмотрев элементарные

кольца радиусом r

и r

на которые действуют сосредоточенные силы.

Нагрузки на кольца равны

)(2 drrqr

. Подставляя эти

значения в выражения для напряжений оси сосредоточенных сил и ин-

тегрируя по площадям

, находимдим

( )

( )( )

,arcctg111

21arccos

5.0

0н

-m+-

zzz

( )

5.0

0н

121arccos

+-=

( )

( ) ( )

112

222

0н

h+-h+h-

h--

h+m+

( )

( ) ( )

h+-h+m+

112

Используя полученные выражения для компонент напряжений на

оси

, можно определить эквивалентные напряжения и начало

пластических деформаций. При этом следует учесть, что

21 jjj

На рис. 2 представлены графические зависимости эквивалентного

напряжения

(

)

(

)

на площадке контакта и на оси z, рассчи-

танные по энергетической теории сдвиговой деформации Мизеса для

неровностей, расположенных на уровнях

(а, б, г) и

(в), при

различных нагрузках (значениях

)

(

)

(

)

( )

222

э rzzr

s-s-s-s+s-s=s

При малых нагрузках, когда не сказывается взаимное влияние не-

ровностей, зарождение пластической деформации происходит в припо-

верхностном слое в точке

az 481.0

. С ростом взаимного влияния не-

ровностей при

максимум эквивалентного напряжения на оси

в приповерхностном слое исчезает и пластические деформации зарож-

даются на краю площадки контакта при

. Эквивалентные напряже-

ния на краю и в центре площадки контакта можно определить из выра-

жений (22):

0э

)1(

0э

)0(

. (23)

Для всего диапазона нагрузок (значений

) отношение

)0(

)

(

т. е. является постоянным.

190 191

Из выражения (5) с учетом (23) определим предельное значение

, при котором появляются пластические деформации на краю пло-

щадки контакта.

( )

,21arccos

4214

h--

Ypi

где

max

Соответствующее этому контурное давление

cicpi

pii

h=h

где

определяется выражением (5).

В общем случае максимальное контактное давление, при котором

начинается пластическая деформация, представляется выражением

0 YYP

где

– константа;

– предел текучести.

Если без учета взаимного влияния неровностей для μ = 0.3

то при взаимном влиянии неровностей для

34.3

K , для

68.2

Таким образом, начало пластической деформации отдельной не-

ровности зависит от общего напряженно-деформированного состояния

полупространства.

Список литературы

1. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир,

1989. – 510 с.

2. Огар П. М., Дайнеко А. А., Клюс С. С. Критерии пластичности

при контактировании шероховатых поверхностей // Механики XXI веку.

VI Всероссийская научно-техническая конференция с международным

участием: Сборник докладов. – Братск: Изд-во ГОУ ВПО «БрГУ», 2007. –

С. 313–317.

3. Огар П. М., Корсак И. И. Влияние характеристик стыка шерохо-

ватых уплотнительных поверхностей на герметичность / Братск, БрИИ,

1989. – 110 с. Деп. в ВИНИТИ, № 6109 – В90.

Рис. 2. Эквивалентные напряжения на площадке контакта и на оси z:

а – e = 0.05; u = 0; б – e = 1; u = 0; в –

=1.5; u = 0.5; г – =1.5; u = 0

192 193

4. Долотов А. М., Огар П. М., Чегодаев Д. Е. Основы теории и про-

ектирование уплотнений гидропневмоарматуры летательных аппаратов.

– М.: Изд-во МАИ, 2000. – 296 с.

5. Огар П. М., Шеремета Р. Н., Лханаг Д. Герметичность металло-

полимерных стыков шероховатых поверхностей. – Братск: Изд-во БрГУ.

2006. – 159 с.

6. Огар П. М., Сухов О. Ю., Ереско С. П. Моделирование упругого

контакта тяжело нагруженных шероховатых поверхностей // Математи-

ческое моделирование, численные методы и комплексы программ: Меж-

вуз. темат. сб. тр. – СПб.: СПбГАСУ, 2002. – Вып. 8. – С. 305–310.

Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56

М. Ю. Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск)

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФАКТОРНОГО

АНАЛИЗА В МАРКЕТИНГОВЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

В маркетинговых исследованиях факторный анализ можно использовать для

решения задач сегментирования рынка, изучения продукта, ценообразования. В

данных случаях он применяется для выявления агрегатных переменных, являю-

щихся основанием для сегментирования потребителей; агрегатных параметров

продукта, влияющих на выбор потребителя; потребительских групп, чувствитель-

ных к ценовым факторам.

Рассматривается пример маркетингового исследования компании с помо-

щью пакета для статистической обработки информации SPSS.

Для реализации факторного анализа можно использовать универ-

сальный пакет для статистической обработки информации SPSS [1].

Основная сложность при проведении факторного анализа заключается в

необходимости рационально интерпретировать полученные группы фак-

торов с точки зрения здравого смысла. Ограничением применения фак-

торного анализа является ситуация, когда один и тот же фактор относит-

ся сразу к двум или более группам, то есть фактор нельзя однозначно

классифицировать.

Факторный анализ позволяет разделить массив переменных на ма-

лое число групп. Классификация производится на основании корреля-

ционного анализа. В одну группу объединяется несколько факторов, тесно

связанных между собой и не связанных или слабо связанных с другими

факторами, составляющими другие группы. Таким образом, в результа-

те факторного анализа мы получаем из несистематизированного масси-

ва данных несколько макропараметров, описывающих объект маркетин-

гового исследования.

Рассмотрим пример маркетингового исследования для компании,

предоставляющей услуги мобильной и стационарной телефонной свя-

зи, а также осуществляющей продажу телефонных аппаратов, планиру-

ющей расширить свой бизнес за счет прибыли компании [2]. Изучалось

влияние основных факторов и их динамики (число абонентов компании

– х

; выручка за мобильный трафик – х

; затраты на поддержание и об-

новление программного обеспечения – х

) на рост прибыли Р и ее изме-

нение во времени. Для анализа использованы статистические данные за

период t, охватывающий 22 квартала.

На основе исходных данных с использованием электронной табли-

цы Excel были получены следующие аппроксимации: для факторов х

(t),

(t), х

(t); прибыли Р(t); производных факторов (dх

/dt) (t), (dх

/dt) (t),

(dх

/dt) (t), производной прибыли (dР/dt) (t).

Процедура факторного анализа в пакете SPSS запускается при по-

мощи меню Analyze ® Data Reduction ® Factor и выполняется по сле-

дующему алгоритму:

выбор переменных для факторного анализа;

выбор показателей для тестов;

выбор метода формирования факторной модели;

выбор типа ротации матрицы коэффициентов;

создание в исходном файле данных новых переменных, которые

позволят отнести каждое наблюдение к определенному фактору;

упрощение ротированной матрицы факторов путем отсечения не-

значимых переменных;

проверка пригодности имеющихся данных для факторного анали-

за в целом;

рассмотрение результирующей ротированной матрицы факторных

коэффициентов.

В результате проведенного анализа были выделены две группы фак-

торов: первая – факторы P, x

, x

, dx

/dt, dx

/dt; вторая – dP/dt, dx

/dt.

Полученные результаты позволяют судить о первой группе факто-

ров, влияющих на прибыль компании (число абонентов компании, вы-

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

194 195

ручка за мобильный трафик, затраты на поддержание и обновление про-

граммного обеспечения и изменение во времени факторов x

, x

). Вторая

группа факторов указывает на влияние изменения фактора x

во времени

на изменение прибыли компании.

Список литературы

1. Таганов Д. Н. SPSS: статистический анализ в маркетинговых ис-

следованиях. – СПб.: Питер, 2005. – 192 с.

2. Давнис В. В., Тинякова В. В. Современные методы анализа и про-

гнозирования в задачах обоснования маркетинговых решений // Марке-

тинг в России и за рубежом. – М.: Финпресс, 2006. – № 2. – С. 16–26.

Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56

М. Ю. Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МНОГОЦЕЛЕВОЙ

ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОБОСНОВАНИЯ

МАРКЕТИНГОВЫХ РЕШЕНИЙ

Рассмотрены некоторые методы решения задач многоцелевой оптимизации

в задачах обоснования маркетинговых решений на примере составления оптималь-

ного медиа-плана кампании [1]. Для решения задачи используется инструмент

«Поиск решения» Excel и процедуры оптимизации системы компьютерной мате-

матики MATHСAD.

Агентству необходимо составить оптимальную рекламную кампа-

нию на телевидении для своего клиента [2]. Клиент своей рекламной

кампанией хочет достичь следующих целей: 1) рекламу должны уви-

деть по крайней мере 65 млн мужчин с высоким уровнем дохода (МВУ);

2) рекламу должны увидеть по крайней мере 72 млн женщин с высоким

уровнем дохода (ЖВУ); 3) рекламу должны увидеть, по крайней мере

70 млн людей с низким уровнем дохода (ЛНУ).

В качестве поисковых переменных выберем число роликов, разме-

щенных в соответствующих телепрограммах. Исходные данные приве-

дены в табл. 1.

Таблица 1

Тип телепрограммы

(Х

– Х

)

МВУ ЖВУ ЛНУ

Стоимость размещения

одноминутного

рекламного ролика (СРР),

тыс. р.

Спортивное шоу (СШ) 7 4 8 120

Развлекательное шоу

(РШ)

3 5 6 40

Новости (Н) 6 5 3 50

Комедийные шоу (КШ) 4 5 7 40

Драма (Д) 6 8 6 60

Сериалы (С) 3 4 5 40

Математическая модель задачи имеет вид

)40604050040120min(

654321

XXXXXX

– минимизация

затрат;

8004060405040120

654321

XXXXXX

– ограничения на

бюджет.

Представим цели рекламной кампании в математической форму-

лировке:

65364637

654321

XXXXXX

72485554

654321

XXXXXX

70567368

654321

XXXXXX

Ограничение на количество рекламных роликов имеет вид

100

)

(

При использовании традиционного решения задачи оптимизации

необходимо найти

4321

405040120min( XXXX )4060

при наличии следующих ограничений:

;800000400000

60000040000050000040000120000

543211

£+

XXXXXR

653646317

6543211

XXXXXXg

;

72485554

6543212

XXXXXXg

;

70567368

6543213

XXXXXXg

;

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

196 197

100

;

)

(

;

Очевидно, что искомые переменные должны иметь только целые

значения. Система компьютерной математики MathСAD специальных

реализаций таких методов не имеет. Однако их достаточно легко

реализовать, например, с помощью программы электронных таблиц

Microsoft Excel. Попытка просто заменить вещественные числа 2.308

и 5.308 на целые (2 и 5 соответственно) не приводит к оптимальному

решению. Оптимальное решение получено с помощью программы

электронных таблиц Microsoft Excel: Х

= 2, Х

= 0, Х

= 2, Х

= 5,

= 1, g

= 67, g

= 72, g

= 71.

При решении задачи оптимизации с использованием обобщенной

функции желательности необходимо найти минимум обобщенной

функции желательности:

...

dddD ×××=

Преобразование отклика у в шкалу d производится при помощи

выражения

[

]

)exp(exp

ybbd

где коэффициенты

, bb

можно определить, если задать для критерия у

соответствующие значения желательности d (предпочтительно в интер-

вале

Для рассматриваемого примера воспользуемся следующими оцен-

ками по шкале желательности (табл. 2).

Таблица 2

Ограничения

Отметки по шкале

желательности

0.9 460 65 72 70

0.37 800 290 310 350

Значения 290, 310, 350, 460 представляют собой очевидные

маргинальные решения для ограничений g

, g

при

, а для

460

при

Перевод шкалы ограничений g в шкалу d осуществляется

по формулам

[

]

)00976,0643,0exp(exp

[

]

)0043,0673,0exp(exp

gd ×+-=

[

]

)008016,0555,0exp(exp

[

]

)006602,0287,5exp(exp

При решении задачи получены следующие результаты: Х

= 2,

= 2, Х

= 0, Х

= 4, Х

= 3, g

= 65, g

= 72, g

= 73.

Рассмотрим решение задачи на основе нечетких множеств и ис-

пользования стратегии минимакса. Функции принадлежности имеют

следующий вид:

932.4

)10172.81()(

×+= RRf

;

825.1

)467.31()(

+= ggf

;

087.1

)10054.51()(

×+= ggf

;

696.1

)1092.21()(

×+= ggf

При решении задачи получены следующие результаты: Х

= 2,

= 2, Х

= 0, Х

= 4, Х

= 3, g

= 68, g

= 74, g

= 72.

Также для решения задачи можно использовать метод многоцеле-

вой оптимизация на основе маргинальных решений.

Список литературы

1. Системный анализ и принятие решений. Компьютерные техно-

логии решения задач многоцелевой оптимизации систем: Учебное по-

собие. / В. А. Холоднов, М. Ю. Лебедева, А. Е. Пунин, К. Хартманн;

СПбГТИ (ТУ). – СПб., 2006. – 151 с.

2. Количественные методы анализа в маркетинге / Под ред.

Т. П. Данько, И. И. Скоробогатых. – СПб.: Питер, 2005. – 384 с.

Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56

М. Ю. Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск)

МНОГОФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА

ДИНАМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МАРКЕТИНГОВОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ

Рассматриваются методы прогнозирования процессов в динамике с исполь-

зованием адаптивных моделей, позволяющих оценить степень влияния факторов

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

198 199

и их изменение во времени на объект маркетингового исследования. Для решения

задачи использованы электронные таблицы Excel и пакет для статистической об-

работки информации SPSS.

При решении задачи в настоящее время используются различные

подходы. Возможность применения предлагаемой адаптивной регрес-

сии иллюстрируется на примере компании, предоставляющей услуги

мобильной и стационарной телефонной связи, а также осуществляю-

щей продажу телефонных аппаратов, планирующей расширить свой

бизнес за счет прибыли компании [1]. Изучалось влияние основных фак-

торов и их динамики (число абонентов компании – х

, выручка за мо-

бильный трафик – х

, затраты на поддержание и обновление программ-

ного обеспечения – х

) на рост прибыли Р и ее изменение во времени.

Для анализа использованы данные за период t, охватывающий 22 квар-

тала (табл. 1).

Рассмотрим алгоритм предлагаемого метода решения задачи.

На предварительном этапе проводятся анализ и прогнозирование дея-

тельности компании. Используя аппарат множественной регрессии, мож-

но определить влияние независимых факторов на величину моделируе-

мого показателя. Построим уравнение регрессии в виде мультиплика-

тивной функции:

))(,,...,,()(

10ср

ikiiii

txaaafPtP

, (1)

где х

– значения независимых факторов; Р

ср

– среднее значение

результирующего фактора; а

– коэффициенты уравнения регрессии.

Для построения регрессионного уравнения (1) используются метод

Брандона и разработанная нами программа [2]. Получено уравнение для

изменения во времени результирующего показателя маркетингового

исследования

))()(()(

10ср

txatxaaPtP

iii

++=

, (2)

где Р

ср

= 26674.23 может быть использовано для принятия решений

и прогнозирования прибыли компании при различных значениях

факторов.

Частные коэффициенты корреляции:

45.0

;

74.0

;

50.0

На основе полученного уравнения с использованием инструмента

«Поиск решения» электронной таблицы Excel была решена задача на-

хождения максимальной прибыли [3].

Таблица 1

Динамика показателей деятельности организации

Квартал

Прибыль,

тыс. р.

Число

абонентов,

чел.

Выручка за

мобильный

трафик,

тыс. р.

Затраты на поддержание и

обновление программного

обеспечения, р.

t P x

1 10500 17075 7670 3200

2 12128 18014 7993 3460

3 12160 18642 8281 3500

4 13890 19253 8746 3750

5 13445 19809 9040 4260

6 12123 20394 9310 4870

7 13675 20891 9555 4880

8 13823 21398 9800 5680

9 14464 21891 10045 5720

10 15123 22386 10290 5830

11 14780 22876 10536 5940

12 14865 23312 10781 6890

13 15092 23897 11026 7550

14 25764 34144 19263 8340

15 40623 51890 29709 10120

16 46798 59644 34270 12230

17 45846 61645 34571 12470

18 48124 63734 35278 14890

19 49383 68521 36079 16240

20 50920 69123 37542 16710

21 51220 70165 38906 17560

22 52087 71233 39244 18430

Коэффициенты уравнения представлены в табл. 2.

Таблица 2

Значения коэффициентов уравнения

Номер функции

1 0.032

105

104.2

×-

2 1.034

108

×-

1054.3

3 0.980

101.1

×-