Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 2007 Вып.13

Подождите немного. Документ загружается.

200 201

Для нахождения максимума целевой функции Р(х

, х

) по поис-

ковым переменным при наличии ограничений:

lll

xxx supinf

l=1(1)3 в качестве нижних и верхних границ по переменным принят 10 %-

ный интервал. Получены следующие результаты поиска максимальной

прибыли:

50000

44000

2800

60840

Для решения задачи оптимизации в условиях рыночной экономики

можно использовать следующую стратегию минимакса:

}),,(max{min

3211

xxxPP

. (3)

Результаты решения задачи минимакса (3):

60000

44000

2863

59720

Для более тщательного анализа деятельности компании предлага-

ется следующий алгоритм:

Этап 1. Аппроксимация значений моделируемого показателя и зна-

чений факторов функциями от времени с использованием существую-

щих программных продуктов для решения подобного рода задач

(MathСAD, Matlab, Excel).

Этап 2. Вычисление значений производных (в том числе, с исполь-

зованием символьных вычислений).

Этап 3. Приведение факторов и производных к безразмерному виду.

Все факторы и производные приводятся к диапазону [0, 1] по формуле

)inf()sup(

)inf(

, (4)

где k = 1, 2,…, 6.

Этап 4. Используя аппарат множественной регрессии, можно опре-

делить влияние независимых факторов и влияние изменения этих фак-

торов во времени на значение моделируемого показателя и на его изме-

нение во времени.

Рассмотрим данные этапы для рассматриваемого примера. Аппрок-

симация значений моделируемого показателя и значений факторов фун-

кциями от времени. В качестве аппроксимирующих функций

)

(

был

выбран полином 4-й степени в виде

)( atatatatatg ++++=

Значения коэффициентов аппроксимации и коэффициенты детер-

минации

для соответствующих факторов приведены в табл. 3.

Таблица 3

Значения коэффициентов аппроксимации

Коэффициенты аппроксимации

Фактор

P – 3.2 133.7 1634.8 7138.7 3866.7 0.96

– 3.8 162.0 – 2006.0 8958.8 7900.6 0.97

– 2.2 92.2 – 1107.2 4739.1 2929.4 0.96

0.0 0.0 39.2 – 147.4 3674.7 0.98

Результаты вычисления производных и приведение к безразмерно-

му виду представлены в табл. 4.

Таблица 4

Приведение к безразмерному виду факторов и их производных

Факторы Производные от факторов

Квартал

1 0.00 0.00 0.00 0.34 0.49 0.67

2 0.02 0.01 0.02 0.69 0.79 0.39

3 0.03 0.02 0.02 0.81 0.89 0.20

4 0.04 0.03 0.04 0.81 0.88 0.08

5 0.05 0.04 0.07 0.74 0.83 0.01

6 0.06 0.05 0.11 0.67 0.76 0.00

7 0.07 0.06 0.11 0.62 0.72 0.03

8 0.08 0.07 0.16 0.61 0.72 0.10

9 0.09 0.08 0.17 0.64 0.75 0.20

10 0.10 0.08 0.17 0.71 0.80 0.32

11 0.11 0.09 0.18 0.80 0.88 0.44

12 0.12 0.10 0.24 0.89 0.94 0.58

13 0.13 0.11 0.29 0.96 0.99 0.70

14 0.32 0.37 0.34 1.00 1.00 0.82

15 0.64 0.70 0.45 0.98 0.96 0.91

16 0.79 0.84 0.59 0.90 0.86 0.97

17 0.82 0.85 0.61 0.76 0.70 1.00

18 0.86 0.87 0.77 0.56 0.50 0.98

19 0.95 0.90 0.86 0.33 0.29 0.91

20 0.96 0.95 0.89 0.13 0.10 0.77

21 0.98 0.99 0.94 0.00 0.00 0.56

22 1.00 1.00 1.00 0.04 0.08 0.28

202 203

Прокомментируем полученные результаты. Частные коэффициен-

ты множественной корреляции показывают, что два первых фактора ока-

зывают положительное влияние на рост прибыли, а третий – отрица-

тельное. При этом самое сильное влияние на прибыль оказывает вели-

чина выручки за мобильный трафик, вторым по степени влияния следу-

ет первый фактор «затраты на поддержание и обновление программного

обеспечения», третьим – «общее число абонентов».

Исследование влияния факторов на прибыль при совместном влия-

нии динамики и статики показывает несколько другие результаты. Сте-

пень влияния факторов на прибыль организации и направление влияния

не изменяется, а изменяются величины частных коэффициентов множе-

ственной корреляции. Динамика факторов оказывает незначительное

влияние на прибыль организации.

Полученные результаты показали, что характер воздействия дина-

мической составляющей для второго и третьего фактора противополо-

жен действию факторов, а для первого фактора – совпадает с их дей-

ствием [1].

Таким образом, на основании представленного нами анализа мож-

но сделать вывод о том, что для принятия маркетинговых решений необ-

ходимо учитывать не только влияние на моделируемый показатель зна-

чений факторов, но и их изменение во времени.

Реализация предлагаемых методов математического моделирова-

ния и оптимизации с помощью информационных технологий расширя-

ет круг задач, решаемых в практическом маркетинге, и позволяет осу-

ществлять перспективный анализ.

Обработка маркетинговой информации при помощи нелинейного

регрессионного и корреляционного анализов дает возможность адекват-

но оценить влияние динамических показателей на объект маркетингово-

го исследования.

На основе уравнения регрессии с использованием различных про-

грамм можно решать задачи оптимизации, в том числе и с учетом риска.

Список литературы

1. Давнис В. В., Тинякова В. И. Современные методы анализа и про-

гнозирования в задачах обоснования маркетинговых решений // Марке-

тинг в России и за рубежом. – М.: «Финпресс». – 2006. – № 2. – С. 16–26.

2. Программа для построения статистических моделей методом

Брандона / М. Ю. Лебедева, В. А. Холоднов. – № ОФАП-4397 от 05.03.05,

№ госрегистрации 50200500248 от 10.03.05.

3. Холоднов В. А., Лебедева М. Ю. Системный анализ и принятие

решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем

в среде Mathсad и Excel: Учебное пособие / СПбГТИ(ТУ). – СПб., 2005. –

220 с.

Получено 4 мая 2007 года.

УДК 658.012.011.56

И. В. Леонова, Ю. П.Черемисина, В. А. Холоднов (СПГТИ (ТУ)),

М. Ю Лебедева (филиал ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск)

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНОГО

РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Рассматриваются компьютерные технологии решения некоторых задач ин-

тервального регрессионного анализа. Перспективное и быстро развивающееся

направление последних лет – математическая статистика интервальных данных,

когда статистические данные – не числа, а интервалы.

Ведущая научная школа в области статистики интервальных дан-

ных – это школа проф. А. П. Вощинина [1, 2], активно работающая

с конца 70-х годов.

В имеющейся литературе разработана общая схема исследования,

включающая расчет нотны (максимально возможного отклонения ста-

тистики, вызванного интервальностью исходных данных) и рациональ-

ного объема выборки.

Разработаны подходы к рассмотрению интервальных данных в ос-

новных постановках регрессионного, дискриминантного и кластерного

анализов.

В области асимптотической математической статистики интерваль-

ных данных российская наука имеет мировой приоритет. Развертывание

работ по рассматриваемой тематике позволит закрепить этот приоритет,

получить теоретические результаты, основополагающие в новой облас-

ти математической статистики и необходимые для обоснованного стати-

стического анализа почти всех типов данных.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ. СПб., 2007

204 205

Вместе с тем следует отметить недостаток литературы по исполь-

зованию компьютерных технологий для решения практических задач

подобного рода в различных областях науки и техники.

Применение предлагаемых нами методов рассмотрим на простых

примерах.

Дано 6 пар чисел: x = (1, 3, 4, 7, 9, 10); y = (12, 20, 20, 32, 35, 42).

C помощью пакета программ SPSS была найдена зависимость меж-

ду x и y в виде

)

(

и интервальные оценки параметров

]

[

;

]

[

Прогностическая формула для 95 %-ного доверительного интерва-

ла имеет вид

)

(

)

(

Решение задачи по предлагаемому нами методу в рамках системы

компьютерной математики MathCAD осуществлялось указанным далее

образом [3]. В программном блоке с использованием метода статисти-

ческих испытаний сначала рассчитывалось максимально возможное от-

клонение экспериментальных и расчетных данных при изменении па-

раметров a и b от нижних значений интервалов (an, bn) до верхних зна-

чений интервалов (av, bv) с использованием равномерно распределен-

ных случайных чисел. На следующем шаге это значение минимизирова-

лось. Прогностическая формула в этом случае имеет вид

)

(

)

(

Этот простой пример показывает работоспособность предлагаемого

метода и возможность его применения в более сложных случаях для

нелинейных зависимостей.

Рассмотрим решение аналогичной задачи для нелинейной зависи-

мости константы скорости химической реакции

от температуры

)exp(0

где

– предэкспонента;

– энергия активации;

– универсальная

газовая постоянная.

Для значений

= (10.3, 14.6, 18.1, 25.2, 31, 38.8, 50.6) и

= (473,

493, 513, 533, 553, 573, 593) с помощью линеаризации и с использовани-

ем пакета программ SPSS были определены параметры

и полу-

чена прогностическая формула:

)

34031200

exp(10)23.063.2(

-×±=

С использованием предлагаемого нами метода на основе стратегии

минимакса в рамках системы компьютерной математики MathCAD

(рисунок) прогностическая формула была получена в следующем виде:

35031170

exp(10)2.062.2(

-×±=

Рассмотрим еще один предлагаемый нами метод интервального

оценивания параметров математического описания – математического

описания и дисперсии.

Исходя из того, что параметры математического описания

представляют собой независимые случайные величины, а их плотности

распределения

)(

подчиняются нормальному закону распределения

)2/)(exp())2/(1()(

iiiii

mxxp s--ps=

где

– математическое ожидание соответствующего параметра;

–

дисперсия соответствующего параметра.

В этом случае математическое ожидание функции

от независи-

мых случайных величин

Exkx

для 99 %-ного доверительногоо

интервала определяется по формуле

{ }

.0)0()()exp(0),0(

ò ò

dkdEkpEp

kEkM

Минимизация суммы квадратов отклонений математического ожи-

дания от экспериментальных данных производилась в рамках системы

компьютерной математики MATHCAD с помощью процедуры Minimize.

В результате были найдены средние значения параметров математичес-

кого описания и их оценки дисперсии. Прогностическую формулу мож-

но представить в следующем виде:

12030089

exp(10)12.064.2(

-±=

Предлагаемый метод пригоден и для большего числа параметров

математического описания, и для любых сложных функций. В том слу-

чае, если вычисление многомерного интеграла связано с серьезными

трудностями, нами предлагается реализация его вычисления с помощью

метода Монте-Карло.

206 207

Достоинство предлагаемых методов состоит в том, что они приме-

нимы для интервальной оценки параметров математического описания

любых моделей.

Чтобы учитывать нечеткие данные при построении регрессионных

моделей, был предложен нечеткий регрессионный анализ. Существуют

различные подходы нечеткой регрессии. Во-первых, это метод нечеткой

регрессии, который основан на уменьшении нечеткости для получения

приемлемой модели. Во-вторых, это нечеткий регрессионный анализ,

использующий метод наименьших квадратов как критерий оптимально-

сти, в-третьих, нечеткий регрессионный анализ интервальных данных.

В работе с помощью программного продукта Excel и инструмента

«Поиск решения» реализован третий подход. Согласно данному методу,

нечеткие данные и нечеткие коэффициенты регрессии представляются

как числа интервала. Так как в этом нечетком регрессионном анализе

применяются действия с интервалами, то он называется регрессионным

анализом интервальных данных. Коэффициенты нечеткой регрессии

определены так, чтобы все нечеткие выходные данные находились в пре-

делах нечеткой регрессионной модели. Регрессия интервальных данных

для точного X и точного Y показана на рисунке, а.

Модель регрессии интервальных данных для точного X и нечетко-

го Y показана на рисунке, б.

При построении регрессионной зависимости

XBBY

исполь-

зуется формулировка задачи линейного программирования, чтобы опре-

делить нечеткие коэффициенты регрессии

),(

000

cmB =

),(

cmB =

которая представлена как

min

110

®+

Xcnc

. (1)

При ограничениях

0 ,0

, )()(

,11100 Lii

YXcmcm

i = 1–n; (2)

,)()(

,11100 Rii

YXcmcm

i = 1–n, (3)

где

– нижние и верхние пределы для каждого нечеткого значе-

ния соответственно. Целевая функция (1) является результатом мини-

мизации полного нечеткого разброса. Ограничения по выражениям (2)

и (3) используются для заключения всех наблюдаемых нечетких данных

в пределах нечеткой регрессионной модели.

Регрессионный анализ интервальных данных:

а – точный X и точный Y; б – точный X и нечеткий Y

Данный метод можно распространить и на множественные модели

регрессии, что представлено в виде

®+++=

ikki

XcXcncS

110

,min)...(

, )(...)()(

,11100 Liikkki

YXcmXcmcm

i = 1–n.

В качестве иллюстрационного примера построения нечеткой рег-

рессионной модели интервальных данных с помощью программного

продукта Excel нами взяты данные из [4] (таблица).

Моменты замеров и соответствующие

множества неопределенности

i t

][

(

1 0.75 [2.7, 12.1]

2 1.5 [1.04, 7.14]

3 2.25 [– 0.13, 3.61]

4 3 [– 0.95, 1.15]

5 6 [– 4.85, – 0.29]

6 9 [–5.06, – 0.36]

7 13 [– 4.1, – 0.04]

8 17 [– 3.16, 0.3]

9 21 [– 2.5, 0.51]

10 25 [– 2, 0.67]

208

Список литературы

1. Вощинин А. П., Сотиров Г. Р. Оптимизация в условиях неопреде-

ленности. – М.: МЭИ; София: Техника, 1989. – 224 с.

2. Вощинин А. П., Акматбеков Р. А. Оптимизация по регрессионным

моделям и планирование эксперимента / Бишкек: Илим, 1991. – 164 с.

3. Холоднов В. А., Лебедева М. Ю. Системный анализ и принятие

решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем

в среде MathCad и Excel: Учеб. пособие / СПбГТИ (ТУ). – СПб., 2005. –

220 с.

4. Прикладной интервальный анализ / Л. Жолен, М. Кифер,

О. Дидри, Э. Вальтер; Институт компьютерных исследований. – М.; –

Ижевск, 2005. – 468 с.

Получено 4 мая 2007 года.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ,

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

Редактор А. В. Афанасьева

Корректор К. И. Бойкова

Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 21.11.2007. Формат 60´84 1/16. Бум. офсетная.

Усл. печ. 13,0. Уч.-изд. л. 13,12. Тираж 120. Заказ 174. «С» 76.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 4.

Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 5.