Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия Полное руководство по финансовым нововведениям

Подождите немного. Документ загружается.

Стоимость

за

период

Общая премия

PVAF,

(15.2)

где PVAF

—

коэффициент текущей стоимости аннуитета, который

определяется уравнением

(15.3).

(15.3)

где

у —

годовая доходность (ставка дисконтирования);

η —

продол-

жительность кэпа

(в

годах);

т —

количество выплат

за год.

Напри-

мер,

пусть

равно

8,00%.

Тогда

из

уравнения

15.3

получаем PVAF,

равную

6,7327, а

уравнение

15.2

дает число

0,2748.

Отсюда заключа-

ем,

что

значение премии

за

период равно

0,2748%. Эти 0,2748%

премии

есть амортизированная премия

за

один период, представ-

ленная

на рис. 15.1.

Мы выразили здесь премию

на

основе расчетного периода

—

в нашем случае

он

равнялся шести месяцам. Премию кэпа также при-

нято выражать

как

эффективную годовую процентную стоимость

(effective

annual

percentage

cost).

Тогда стоимость

за

период может быть

пересчитана

эффективную годовую процентную стоимость

с по-

мощью уравнения

15.4.

(15.4)

где

РРС

— премия

за

период, определяемая

из

уравнения

15.2. В на-

шем примере эффективная годовая процентная стоимость равна

0,55%.

Финансовые инженеры считают полезным выражать премию,

уплаченную

за кэп, в

виде эффективной годовой процентной стои-

мости, особенно

в тех

случаях, когда нужно сравнивать альтернатив-

ные финансовые стратегии.

таких случаях финансовые инженеры

должны выразить

все

ставки через

эту

единственную эффективную

годовую ставку, называемую

еще

полной стоимостью

(all-in-cost).

(Мы

изучим полную стоимость

и ее

расчет

главе

23.)

Следующий пример демонстрирует процентный

кэп в

действии.

Предположим,

что

сегодня

февраля

1993 г.

Фирма, которой нужен

5-летний процентный

кэп на

ставку

6-Μ

LIBOR, входит

контакт

дилером

по

кэпам. Фирма

дилер договариваются

ставке «пото-

лок»

в 10,00%,

условной основной сумме

в 50 млн. дол. и

датах рас-

четов

августа

и 15

февраля. Фирма платит дилеру вперед некую

сумму

за

продажу кэпа. Предположим,

что кэп

начинается немед-

ленно,

даты калькуляции

— это

некоторые определенные

дни

перед

каждой датой расчета. Дата калькуляции

— это

просто

тот

день, когда

401

стороны определяют, какая сумма должна (если вообще должна) быть

выплачена

последующий день расчета.

Эта

сумма определяется став-

кой-ориентиром «спот»

на

установленную дату

(fixing

date).

Установ-

ленная дата играет

ту же

роль

кэпе,

что

дата пересмотра

(reset

date)

плавающей ставки

свопе.

Пусть теперь ставка-ориентир

(6-М

LIBOR)

момент назначения

ставки

для

первой выплаты составляет

10,48%. Так как

ставка-ориен-

тир превышает ставку «потолок», дилер должен произвести выплату

фирме. Сумма этой выплаты определяется уравнением

15.1.

Подстав-

ляя

/)=+1,

10,48%

вместо ставки-ориентира,

10,00% для

ставки

«потолок»,

50 млн. дол.

вместо условной основной суммы

и 181/360

для величины

LPP,

получаем выплату, равную

120 667 дол.

Полный

набор выплат фирме

по

этому кэпу может иметь

вид,

представлен-

ный

табл.

15.1. (В

этой таблице приведены значения ставок-ориен-

тиров

чисто иллюстративных целях;

они не

являются реальными

ставками

на

конкретную дату.)

Таблица

15.1.

Серия выплат

по

кэпу

Дата выплаты

Значение

ставки-ориентира

Значение

ставки «потолок»

Длина

расчетного

периода

(LPP)

Выплата

авг.

1993

10,48 10,00

181/360 $120 667

февр.

1994

9,89

10,00 184/360

авг.

1994 9,24

10,00

181/360

февр.

1995 8,56

10,00 184/360

авг.

1995 9,78

10,00 181/360

февр.

1996 10,18

10,00 184/360 46 000

авг.

1996

10,94

10,00 182/360 237 611

февр.

1997 12,34

10,00 184/360 598 000

авг.

1997

11,08 10,00 181/360

271

500

февр.

1998

9,67

10,00

184/360

273 778

Так

как

кэпы

—

многопериодные опционы, самым простым спо-

собом оценивания кэпа является

его

декомпозиция

на

эквивалент-

ную последовательность однопериодных опционов. Последователь-

ность однопериодных опционов иногда называют стрипом (strip).

Справедливая стоимость каждого опциона

из

стрипа может быть

за-

тем определена

использованием подходящей модели оценивания

однопериодного опциона. Сумма этих справедливых стоимостей

есть справедливая стоимость кэпа. Дилер затем добавляет

(или

вычи-

тает) некоторую сумму

справедливой стоимости кэпа, чтобы опре-

402

делить,

по

какой цене продавать

(или

покупать) такой

кэп. Как уже

указывалось ранее, разница между ценами «бид»

«аск» дилера

—

это просто бид-аск спред.

Факторы, влияющие

на

стоимость кэпа,

— те же, что

влияют

на

стоимость любого опциона.

Это

— текущий уровень процентных ста-

вок, ставка «потолок» (цена исполнения) кэпа, изменчивость ставки-

ориентира, текущий уровень ставки-ориентира

дата каждого

на-

личного расчета.

Но,

учитывая специфику кэпа

как

опциона,

мы

дол-

жны

еще

учесть срок кэпа.

Чем

больше срок,

тем

ценнее

кэп.

Кэпы оцениваются

процентах

от

условной основной суммы.

Поэтому

кэп,

аналогичный рассмотренному ранее, который дилер

оценил

1,85%,

потребует

от

клиента предварительной выплаты

925

ООО

дол.

За

этот конкретный

кэп

дилер окончательно выплачива-

ет общую сумму

273 778

дол. Конечно,

нет

способа узнать заранее

общую сумму окончательной выплаты.

Эта

сумма может быть

как

больше

925

ООО дол.,

так и

меньше.

Процентные кэпы имеют многочисленные применения,

но на-

иболее традиционное

их

использование связано

определением

верхнего предела

для

плавающей ставки долговых обязательств.

На-

пример, пусть фирма привлекает заемные средства посредством

выпуска 5-летних облигаций

плавающей ставкой,

по

которым

выплачивается 6-месячная ставка LIBOR плюс

базисных пунктов.

Менеджеры фирмы решают,

что они

могут справиться

годовыми

выплатами процента вплоть

до 10,8%, но не

могут позволить себе

превзойти этот уровень. Чтобы ограничить возможные выплаты про-

цента

по

таким облигациям, фирма покупает

дилера

кэп,

описан-

ный ранее.

Как

только 6-месячная ставка LIBOR превышает

10%,

фирма должна платить больше

10,8%

своим кредиторам.

Но,

владея

кэпом, фирма будет получать

от

дилера сумму, эквивалентную пре-

вышению издержек фирмы

(по

сравнению

10,8%),

и,

следователь-

но,

чистые расходы фирмы

по

выплате процентов

по

плавающей став-

ке ограничиваются максимумом

в 10,8%. С

другой стороны, когда

LIBOR ниже

10%,

фирма платит меньше

10,8%

своим кредиторам

поэтому

не

нуждается

компенсационных выплатах, получаемых

от

дилера. Соответствующие денежные потоки представлены

на

рис.

15.2.

Финансовые инженеры часто комбинируют процентные кэпы

процентными

валютными свопами.

результате получаются

про-

центно-кэповые свопы

валютно-кэповые свопы

(rate-capped swaps).

Рассмотрим простой пример. Фирма желает получить кредитование

с ограниченной сверху плавающей ставкой,

но она при

этом имеет

преимущества

на

рынке фиксированных ставок. Фирма может умень-

шить издержки кредитования, если

она

займет средства

по

фиксиро-

ванной ставке, преобразует

помощью дилера

по

свопам выплаты

по

фиксированной ставке

выплаты

по

плавающей ставке,

затем огра-

403

Рис.

15.2. Потоки процентных платежей: дилер по кэпам,

фирма и кредиторы

Примечание. На схеме денежных потоков

представлены только потоки процентных

платежей. Здесь не показаны потоки

основных сумм между фирмой и кредито-

ром (3-й стороной), а также предваритель-

ная выплата фирмы дилеру по кэпам.

ничит свои выплаты по плавающей ставке своповому дилеру, заклю-

чая процентный кэп. Потоки процентных выплат, соответствующие

этим сделкам, представлены на рис. 15.3. Ясно, что это дает эконо-

мию на масштабах для свопового дилера, который также «делает

рынок» процентных кэпов. Дилер по свопам и кэпам, представлен-

ный на данном рисунке, — это просто коммерческий банк.

Рис.

15.3. Потоки процентных ставок в процентно-кэповом свопе

В отличие от свопов, которые вообще нельзя свободно передавать

(assign),

кэп передать можно. Это значит, что владелец кэпа может

продать или как-то иначе передать кэп другой стороне. Эта «переда-

ваемость»

(assignability)

очень важна. Например, для финансового ин-

женера является привычным делом разработка для фирмы-клиента

способа средне- и долгосрочного финансирования с плавающей став-

кой с использованием стратегии возобновления (roll-over) коммерче-

ских бумаг. Фирма, для которой разрабатывается эта стратегия, мо-

жет пожелать ограничить свою плавающую ставку, поэтому финан-

совый инженер добавляет процентный кэп со ставкой 6-месячных

404

коммерческих бумаг в качестве ставки-ориентира. Предположим, что

в какой-то момент фирма больше не нуждается в финансировании

(возможно, она избавилась от активов, которые поддерживались этим

финансированием), тогда она может просто не возобновлять ком-

мерческие бумаги после окончания их срока. Но, хотя финансирова-

ние с плавающей ставкой закончилось, кэп, на который фирма из-

расходовала средства, продолжает существовать, несмотря на то что

фирма больше в нем не нуждается. Кэп, как и любой другой опцион,

будет иметь хоть какую-нибудь стоимость до истечения срока. Если

разрешить фирме передать кэп, то она может «выбрать» эту стои-

мость. На практике в большинстве случаев дилер по кэпам покупает

его обратно по его текущей справедливой цене за вычетом неболь-

шой скидки. Нужно отметить, что продавец кэпа не может переда-

вать кэп без согласия его владельца.

Прежде чем мы перейдем к процентным флорам, обсудим еще

один вопрос, связанный с процентными кэпами, который не может

не волновать конечного пользователя: «Какую ставку «потолок» дол-

жен покупать клиент?» Иными словами, после того, как ставка-ори-

ентир согласована (скажем, 6-месячная ставка LIBOR), на каком уров-

не должна быть установлена ставка «потолок» (ставка исполнения)?

Должно ли это быть 9, 10 или 11%? Чем ниже «потолок», тем больше

вероятность, что владелец кэпа получит выплаты от дилера и тем боль-

шими будут эти выплаты. Очевидно, что чем ниже «потолок», тем

более привлекателен кэп с точки зрения покупателя. Но, как всегда,

бесплатного ленча не бывает. Чем ниже «потолок», тем большую це-

ну дилер назначит за кэп. Вопрос, который при этом возникает: «Ка-

кую защиту потребует конечный пользователь и сколько он готов за

эту защиту заплатить?» Мы пока не будем отвечать на этот вопрос.

Как мы вскоре увидим, есть и другие способы поведения, которые

можно применить для уменьшения затрат на кэп. Все это логически

подводит нас к процентным флорам.

Процентные флоры (флоры)

Процентные флоры

(interest

rate

floors), или просто флоры — это

многопериодные процентные опционы, идентичные кэпам, с тем

только отличием, что продавец флора платит покупателю, когда став-

ка-ориентир опускается ниже контрактной ставки, называемой став-

кой «флор» (или «пол», от англ. floor). Пусть дилер продает опцион,

а его клиент — покупает. В этом случае дилер будет выплачивать по-

купателю наличную сумму, определяемую по расчетной формуле, спра-

ведливой и тогда, когда ставка-ориентир опускается ниже ставки

«флор». Формула наличного расчета, одинаковая для каждой расчет-

ной даты, имеет следующий вид:

405

(15.5)

Заметим, что уравнение 15.5 почти идентично уравнению 15.1, за

исключением того, что мы поменяли в нем местами цену исполне-

ния (ставку «потолок» в случае кэпа и ставку «флор» в случае флора)

и ставку-ориентир. Все остальные множители — те же самые. График

выплат, соответствующий уравнению 15.5, представлен на рис. 15А

Мы видим, что график выплат идентичен графику выплат для опци-

она «колл», который мы обсуждали в главе 14, — правда с одним

уточнением: здесь мы используем по горизонтальной оси ставку вме-

сто цены. (Из-за формы графика выплат флоры иногда рассматрива-

ются как многопериодные опционы «пут».)

Рис.

15.4. График выплат для покупателя флора

(на расчетный период)

Премия, показанная на графике однопериодных выплат для фло-

ра, так же как и премия на графике однопериодных выплат для кэпа,

представлена в виде однопериодного эквивалента общей премии с уче-

том амортизации, уплаченной вперед в момент покупки флора. Амор-

тизированная стоимость этой премии находится аналогично тому, как

такая же стоимость находилась для кэпа с помощью уравнений 15.2 и

15.3, и эта стоимость за период может быть пересчитана в эффектив-

ную процентную годовую стоимость с помощью уравнения 15.4.

Процентные флоры часто рассматривают как «зеркальное» ото-

бражение процентных кэпов. Но это неверно. Точно такая же пута-

ница возникает с коллами и путами. График выплат для «длинного»

колла — это не зеркальное отображение графика выплат для «длин-

ного» пута. «Зеркальным» отображением «длинного» колла является

406

«короткий» колл,

«зеркальным» отображением «длинного» пута

—

«короткий»

пут. Это

объясняется

тем, что

торговля опционами,

как

мы

уже

говорили,

— это

игра

нулевой суммой,

т. е.

выигрыши

по-

бедителей равны проигрышам побежденных.

этой игре контраген-

том

для

покупателя колла является

не

покупатель пута,

продавец

колла. Аналогично контрагентом

для

покупателя пута является про-

давец пута. Наконец, последнее доказательство: графики выплат

«длинного» кэпа

графики выплат «длинного» флора

не

являются

«зеркальными» отображениями друг друга,

так как

совершенно оче-

видно,

что

теоретически предела роста

ставки-ориентира

нет,

тогда

как абсолютный нижний

ее

предел, безусловно, существует.

Так

же как и в

случае

процентными кэпами, финансовые инже-

неры находят массу применений процентным флорам. Наиболее обыч-

ный вариант связан

установлением ограничения снизу («пола»)

на

процентные доходы

от

актива

плавающей ставкой. Рассмотрим про-

стой пример. Страховая компания получила средства

от

продажи

7%-

ных 10-летних аннуитетов

фиксированной ставкой.

Эти

бумаги

по-

рождают обязательства

фиксированной ставкой.

Так как

менедже-

ры страховой компании считают,

что

процентные ставки вырастут,

они решают инвестировать поступления

от

продажи аннуитетов

в ак-

тивы

плавающей ставкой (6-месячные казначейские векселя),

ко-

торые

настоящий момент имеют доходность

7,25%.

План

менед-

жеров такой: продать активы

плавающей ставкой после подъема

ставок

затем инвестировать средства

активы

фиксированной

ставкой.

Пока план менеджеров кажется вполне разумным

—

зафиксиро-

вать процентные издержки сейчас, продавая аннуитеты, пока про-

центные ставки низкие; инвестировать средства

активы

плаваю-

щей ставкой

до тех пор,

пока ставки вырастут,

затем перевести

активы

плавающей ставкой

активы

фиксированной ставкой,

—

но менеджеры подвергаются риску того,

что

прогнозы

по

поводу про-

центных ставок окажутся ошибочными. Чтобы справиться

риском,

финансовый инженер предлагает купить процентный флор. Фирма

покупает 10-летний флор

со

ставкой «флор»

в 7,00% и

ставкой-ори-

ентиром, равной ставке 6-месячных казначейских векселей.

За

этот

флор фирма платит вперед премию

в 2,24%, что

эквивалентно годо-

вой процентной стоимости

в 0,34% при

ставке дисконтирования

7% (с

полугодовыми начислениями процентов). Теперь фирма защи-

щена

от

падения ставок. Общая структура этой стратегии представ-

лена

на рис. 15.5.

Случилось

так, что

менеджеры ошиблись

прогнозах,

по

крайней

мере временно. Ставки упали

были ниже ставки «флор»

на

про-

тяжении четырех

лет. В

течение этого времени страховая компа-

ния получила платежи

от

дилера

по

флорам.

Эти

выплаты позволили

407

Рис.

15.5.

Потоки процентных платежей: дилер по флорам,

фирма

держатели аннуитетов

страховой компании выполнить свои обязательства

по

отношению

держателям

ее

полисов. Через четыре

половиной года после начала

флора процентные ставки стали расти,

примерно через

5 лет

после

начала флора страховая компания конвертировала свои активы

пла-

вающей ставкой

5-летние активы

фиксированной ставкой

в 8,375%.

то же

самое время страховщик продал

то, что

осталось

от

флора,

обратно дилеру

за 0,82%.

Пока фирма владела флором,

он

работал

точно

так, как

требовалось. Флор избавил страховую компанию

от

серьезного финансового ущерба, гарантируя минимальный доход

по

активам

плавающей ставкой.

Так

же как и

процентные кэпы, процентные флоры можно

(и это

часто делается) комбинировать

со

свопами.

тех

примерах, которые

мы

использовали ранее

для

иллюстрации

кэпов

флоров, фигурировали клиенты (конечные пользователи),

которые были покупателями этих процентных опционов. Однако

не

все клиенты

—

обязательно покупатели. Одна интересная ситуация,

в которой клиент продает флор, связана

комбинацией флора

кэпа, известной

как

коллар (collar).

Мы

рассмотрим такой

тип

про-

центного опциона

следующем параграфе.

408

Процентные коллары (коллары)

Процентный коллар — это комбинация кэпа и флора, в которой

покупатель коллара покупает кэп и одновременно продает флор. Кол-

лары можно сконструировать из двух отдельных сделок (одной —

с кэпом и другой — с флором), но они могут быть реализованы в виде

одной сделки. В результате покупки коллара происходит «запирание»

плавающей ставки процента на интервале, ограниченном с двух сто-

рон: сверху и снизу. Эта процедура иногда называется запиранием в

диапазоне (locking

into

band).

Рассмотрим пример. Пусть фирма владеет активами с фиксиро-

ванной ставкой и доходностью в 10%. Эти активы финансируются

обязательствами с плавающей ставкой, привязанной к прайм-рейт

(prime

rate).

Текущая ставка по этим обязательствам равна 8%, и фирма

хочет ограничить ее сверху ставкой в 9,5% (этот кэп называется прайм-

кэп

(prime

cap). Допустим, что дилер кэпа, как обычно, хочет полу-

чить плату вперед в виде премии, которая после пересчета в эффек-

тивную годовую процентную стоимость составляет 0,5% за прайм-

кэп.

Фирма считает, что это — слишком высокая цена. Но вот фирма

обнаруживает возможность продать прайм-флор

(prime

floor) со став-

кой «флор» в 7% за премию, эквивалентную эффективному годовому

процентному доходу в

0,45%.

Так как фирма продает флор, она, ес-

тественно, получает премию. Фирма решает купить кэп и продать

флор,

т. е. фактически купить коллар.

С точки зрения фирмы ее ежегодные издержки теперь находятся

в диапазоне между 7 и 9,5%. Так как процентный доход превышает

процентные издержки, фирма гарантирует себе получение чистого

дохода (прибыли), хотя этот доход может варьироваться внутри диа-

пазона, определяемого колларом. Когда прайм-рейт поднимается вы-

ше 9,5%, дилер платит фирме разницу. Когда же прайм-рейт падает

ниже 7%, фирма платит разницу дилеру. График выплат для процент-

ного коллара представлен на рис. 15.6, а схема денежных потоков —

на рис. 15.7.

Заключая контракт «коллар», фирма может ограничить плаваю-

щую процентную ставку по своим обязательствам процентной став-

кой «кэп» и одновременно снизить стоимость кэпа, получая премию

за продажу флора. Издержки фирмы, разумеется, — это ее выплаты

дилеру флора в случае, если ставка-ориентир упадет ниже ставки

«флор». Эти потенциальные выплаты фирмы при низких процент-

ных ставках часто создают меньше проблем, чем ее выплаты, не за-

щищенные кэпом при высоких ставках, и именно поэтому коллар

считается привлекательным способом ограничения сверху плаваю-

щей ставки по долговым обязательствам.

409

Рис.

15.6. График выплат для покупателя коллара

(на расчетный период)

Рис.

15.7. Процентный коллар в действии

Финансовые инженеры комбинируют коллары со свопами также,

как они комбинируют кэпы и флоры со свопами по отдельности.

Такая комбинация называется колларовым свопом

(collar

swap)

или

минимаксным свопом

(mini-max

swap).

Схема денежных потоков для

колларового свопа представлена на рис. 15.8.

410