Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия Полное руководство по финансовым нововведениям

Подождите немного. Документ загружается.

Так как логнормальное распределение,

сожалению, асимметрич-

но,

его

статистические параметры сложно использовать

для

оценки

доверительных интервалов

или

проверки гипотез. Выход состоит

преобразовании среднего

дисперсии логнормального распределе-

ния, обозначенных

как μ (Τ) и а

(Т)

соответственно,

статистически

эквивалентные среднее

дисперсию нормального распределения

г (Т)> обозначенные соответственно

(Τ)

И С

(Т).

После такого пре-

образования дальнейший анализ может быть проведен

терминах

распределения

(Т).

При

оценке доверительного интервала, исполь-

зуя среднее

дисперсию величины

(Т),

для

нужного коэффициента

доверия можно определить верхнюю

нижнюю границы значений

(Т).

Затем

эти

границы могут быть трансформированы

соответ-

ствующие

им

значения эффективной доходности

за

период

и тем са-

мым будет получен доверительный интервал

для

величины

г (Т).

Используя следующие соотношения,

мы

можем переходить

от

сред-

него

дисперсии величины

г (Т) к

среднему

дисперсии величины

г/Т/:

(5.А.5)

(5.А.6)

С помощью следующих соотношений

мы

можем двигаться

в об-

ратном направлении:

(5./(.7)

(5./(.8)

Это,

очевидно, поможет

нам

успешно разобраться

следующем

содержательном примере. Пусть оценивание среднего

для

эффектив-

ной доходности

за

период

для

5-летнего инвестиционного горизонта

дает значение

0,40, а

дисперсии

— 0,36 (и

поэтому стандартное

от-

клонение равно

0,60).

Наша цель

—

определить

для

данной случай-

ной величины 90%-ный доверительный интервал.

Прежде всего, используя формулы

(5.А.5)

(5.Л.6),

мы

должны

преобразовать величины

μ (Τ) и о

(Т) в их

эквиваленты

для

нормаль-

ного распределения:

μ/Τ) и

(Т).

Вычисления дают значения

0,2522

0,1686 для

величин

μ/Τ) и о

(Т)

соответственно. Таким образом,

мы приходим

заключению,

что г

(Т)

имеет нормальное распределе-

ние

со

средним

0,2522 и

дисперсией

0,1686.

Стандартное отклонение

для этой случайной величины равно

0,4106.

Границы 90%-ного дове-

рительного интервала

для

нормально распределенной случайной

ве-

личины определяются

ее

средним плюс-минус стандартное отклоне-

ние,

умноженное

на

1,64

Таким образом, 90%-ный доверительный

141

интервал для доходности за период при непрерывном начислении

процентов задается границами

\У

(Т)

± 1,64

(Т),

т.е. является ин-

тервалом от

-0,4212

(нижняя граница) до

0,9256

(верхняя граница).

Чтобы сделать эти значения более понятными, мы должны преобра-

зовать их в их эффективные эквиваленты. Это достигается посред-

ством равенства

5.А.3.

А именно, верхняя граница эффективной до-

ходности, обозначенная г (Т)

, и нижняя граница эффективной до-

ходности, обозначенная г (Т)

вычисляются как

Итак, 90%-ный доверительный интервал для эффективной доход-

ности за период имеет верхнюю границу

1,5234,

или

152,34%,

и ниж-

нюю границу

-0,3437,

или

-34,37%.

Показатели дохода имеют множество других важных свойств, но

мы отложим их изучение на более поздний срок.

Примечания

'Для более подробного обсуждения логнормальности поведения цен, от-

носительных доходов и доходностей за базовый период см.Marshall

(1989)

Aitchison

and Brown

(1957).

Там же.

В работе

Granger

and

Morgenstern

(1970)

приводятся эмпирические дан-

ные (вплоть до 1970 г.) относительно вероятностных свойств стоимости цен-

ных бумаг. Дальнейшая работа подкрепила предыдущие результаты, полу-

ченные для активов других типов. А именно, доходы по ценным бумагам

продемонстрировали наличие асимметрии и ненулевой эксцесс. Однако в

большинстве случаев эти отклонения от ожидаемого поведения не столь серь-

езны, чтобы отказываться от логнормального и нормального распределения

как первого приближения для эффективных доходов и доходов с непрерыв-

ным начислением процентов соответственно.

См.

Aitchison

and Brown

(1957).

Для нормального распределения доверительные интервалы располага-

ются симметрично относительно среднего. Приведенные параметры даны для

90%-ного доверительного интервала и могут быть найдены по таблицам нор-

мального распределения.

Ссылки

Aitchison,

J. and J.A. Brown. The

Lognormal

Distribution,

Cambridge,

MA:

Cam-

bridge

Press,

1957.

Granger,

C.W.J,

and O.

Morgenstern.

Predictability

Stock

Market

Prices, Lexing-

ton, MA:

Heath,

1970.

Marshall,

J.F.

Futures

and

Option

Contracting,

Cincinnati,

OH:

South-Western,

1989.

Глава 6

Проблемы риска: портфели,

инвестиционные горизонты, рычаг

Джон Ф. Маршалл и Кевин Дж. Винн

Обзор

На финансовую деятельность большинства фирм в той или иной

степени воздействуют изменения одной или более финансовых цен.

Этими ценами могут быть процентные ставки, обменные курсы,

товарные цены и цены акций. Например, на фирму, которая исполь-

зует финансирование с плавающей ставкой процента или является

держателем актива с плавающей процентной ставкой, будут влиять

изменения в ставках процента. На отечественную фирму, продаю-

щую свою продукцию на иностранных рынках, будут непосредствен-

но воздействовать флуктуации курсов обмена своей валюты на валю-

ты иностранных рынков. На фирму производственного сектора будут

влиять изменения рыночных цен на сырье и на конечную продук-

цию.

На взаимный фонд, работающий с акциями, будут оказывать

влияние изменения цен на акции. Этот перечень можно продолжить.

Флуктуации финансовых цен, очевидно, являются источником зна-

чительных рисков. Эти риски в совокупности называются ценовыми

рисками.

Фирма, на которую оказывает влияние изменение цен, вовсе не

обязательно должна быть непосредственно связана с рынком, на ко-

тором меняются эти цены. Например, розничный продавец может

совсем не использовать внешнего финансирования и может не вла-

деть чувствительными к процентным ставкам активами. Однако он,

*Кевин Дж. Винн является адъюнкт-профессором финансов Любинской школы

бизнеса Пейсовского университета (штат Нью-Йорк). Некоторые части данной главы

заимствованы из двух недавних авторских работ по теории портфелей за 1990 г.

(см.

Ссылки и рекомендуемую литературу к настоящей главе).

143

тем не менее, может подвергаться значительным процентным рискам.

Если продажи розничного продавца чувствительны к процентным

ставкам, то в случае их увеличения фирма понесет убытки от продаж.

Такая ситуация, к примеру, является типичной для домостроитель-

ной индустрии, автомобильной промышленности и индустрии това-

ров длительного пользования, поскольку покупатели для оплаты своих

покупок используют внешнее финансирование.

В качестве следующего примера рассмотрим производителя, ко-

торый на внутреннем рынке и покупает потребляемые ингредиенты,

и продает выходящую продукцию. На первый взгляд кажется, что на

такого производителя не окажут никакого воздействия изменения об-

менных валютных курсов. Однако если у фирмы имеется иностран-

ный конкурент, который продает свою продукцию на внутреннем для

фирмы рынке, то изменения обменного курса будут отражаться на

ценах товаров конкурента и вследствие этого воздействовать на про-

дажи фирмы. Подобным же образом повышение цены на один товар

может повлиять на цены других товаров за счет увеличения или умень-

шения спроса на эти товары в связи с тем, что потребитель будет

пытаться заменить один товар другими. Рассмотрим, например, про-

изводителя домашнего скота, в качестве корма использующего куку-

рузу. Допустим, что грибок нанес большой урон урожаю пшеницы,

что привело к повышению цен на нее. Производителя домашнего

скота непосредственно не должно коснуться повышение цен на пше-

ницу. Однако, поскольку некоторые потребители пшеницы отреаги-

руют на повышение цен на пшеницу заменой пшеницы на кукурузу,

спрос на кукурузу возрастет и цена на кукурузу увеличится. Этот при-

мер отражает тот факт, что ценовые риски могут быть прямыми и

косвенными, а также то, что косвенные риски являются столь же

реальными, как и прямые, только их труднее выявить и измерить.

Большинство преуспевающих фирм знает, как управлять основ-

ными производственными рисками. Основные производственные ри-

ски связаны с такими сферами производственной деятельности, как

выбор технологии производства, способ поставки товаров и услуг кли-

ентам, выбор направления научно-исследовательских работ и т. д. Од-

нако с ценовыми рисками проблема иная — они определяются эко-

номическим окружением. Имеется в виду, что они определяются со-

бытиями, происходящими вне фирмы. Проявления такого риска мо-

гут привести к краху даже очень эффективного производителя с пре-

красным менеджментом. По этой причине совершенно недостаточно

управлять только основными производственными рисками, следует

обратить внимание и на управление ценовыми рисками.

В этой главе мы рассмотрим источники ценового риска, управле-

ние ценовым риском и утилитарный смысл риска. Мы также позна-

комимся с портфельной теорией и изучим поведение риска по мере

144

увеличения диверсификации портфеля. И наконец, мы постараемся

понять, какое влияние на риск оказывает длина инвестиционного

горизонта. Другие аспекты измерения рисков и управления ими рас-

сматриваются в следующей главе.

Изменчивость — источник ценового риска

Ценовой риск

(price

risk) определяется как возможность отклоне-

ния будущей цены от ее ожидаемого значения. Отклонение от ожи-

даемой цены необязательно должно происходить в худшую сторону.

Действительно, если ожидания несмещенные, то выгодные отклоне-

ния столь же вероятны, как и невыгодные. Тем не менее мы считаем

любое отклонение от ожидаемой величины проявлением ценового

риска. Если мы хотим ограничить применение нашего определения

риска только ситуациями с неблагоприятным исходом, то мы гово-

рим о риске понести убытки

(downside

risk). Далее мы сосредоточим

внимание на ценовом риске.

Определение ценового риска подсказывает способ его измерения.

Так как ценовой риск принимает форму отклонения от ожидаемой

величины, то чем больше изменчивость цен, тем большему риску бу-

дет подвергаться субъект рынка. Эта изменчивость может быть выра-

жена количественно с помощью хорошо известных статистических

характеристик. Наиболее часто в качестве таких характеристик ис-

пользуют дисперсию и стандартное отклонение. Стандартное откло-

нение является квадратным корнем из дисперсии, и поэтому если вы

знаете одну из этих величин, то вы знаете и другую. Кстати, стало

общепринятым отождествлять термины «изменчивость(уо1аШку) и

«стандартное отклонение»

(standard

deviation).

Например, многие фи-

нансовые учреждения используют термин «единица изменчивости»

(volatility

unit

или просто vol) для обозначения единицы стандартного

отклонения.

Определение ценового риска подсказывает и способ работы с ним.

Поскольку ценовой риск представляет собой возможность откло-

нения фактической цены от ожидаемой, можно попытаться улуч-

шить точность прогноза цены. Например, предположим, что у нас

имеется ряд рыночных прогнозов в виде форвардных цен и соответ-

ствующий ряд реализаций этих цен. Выборочные значения представ-

лены в табл. 6.1. Форвардные цены могут рассматриваться как ожи-

даемые рынком значения цен.

В первую очередь отметим, что сумма отклонений равна нулю,

что в среднем говорит о несмещенности рыночного прогноза. Одна-

ко заметим еще, что каждый прогноз рынка содержит ошибку, о чем

говорит наличие индивидуальных отклонений. Ясно, что существует

145

определенный ценовой риск, если доверяться какому-либо индиви-

дуальному прогнозу рынка. Казалось бы, что одним из возможных

решений было бы делать прогнозы лучше, чем это делает рынок.

Таблица 6.1. Рыночные прогнозы и фактические цены

С начала 70-х гг. рыночные цены становились все более изменчи-

выми. Это было продемонстрировано в главе 2 для обменных курсов,

процентных ставок и товарных цен. Динамика изменчивости обмен-

ного курса повторяется на рис. 6.1.

Рис.

6.1. Изменчивость обменного курса. Композиция мировых

валют (составная валюта) по

отношению

к доллару

146

Корпорации, банки

другие учреждения первоначально отреаги-

ровали

на

повышение изменчивости привлечением большего коли-

чества экономистов

для

прогнозирования

цен. Это

интенсивное

ис-

пользование профессии экономиста привело

ко

множеству достиже-

ний

теории прогноза

прогнозном моделировании. Изменчивость

несколько снизилась

середине

80-х гг., но для

большинства

цен она

никогда

уже не

вернулась

уровню, существовавшему

до 70-х гг.

В течение большей части этого периода

для

многих активов

не

суще-

ствовало хорошо развитых форвардных (фьючерсных) рынков, чтобы

можно было делать сравнительные рыночные прогнозы. Однако

со

временем появилось больше форвардных рынков.

И по

мере появле-

ния

все

большего количества рыночных прогнозов начала вырисовы-

ваться разочаровывающая

(и

казавшаяся удивительной) картина.

Ры-

ночные прогнозы

целом превосходили индивидуальные прогнозы

экономистов. Нельзя сказать,

что

отдельным экономистам никогда

не удавалось подойти ближе

правильному прогнозу будущих

цен,

но

они не

делали этого столь регулярно, чтобы обеспечить более низ-

кую изменчивость прогноза,

чем ее

обеспечивал рынок.

Сегодня

мы

располагаем хорошо развитой теорией, объясняющей

это явление.

Эта

теория, названная гипотезой эффективных рынков

(efficient

markets hypothesis),

утверждает,

что

рынок можно рассмат-

ривать

как

большое количество собирателей

распространителей

ин-

формации. Каждый участник рынка собирает

обрабатывает инфор-

мацию, однако полной картины

нет ни у

кого

из них. Это

значит,

что

каждый участник владеет только частью всей относящейся

делу

ин-

формации. Покупая

продавая, отдельные участники рынка регист-

рируют свои частные прогнозы

на

рынке

передают свою частную

информацию рынку

форме рыночной цены. Благодаря этому ока-

зывается,

что в

рыночной цене отражена

вся

имеющаяся информа-

ция. Поэтому коллективный разум, представленный

на

рынке, осу-

ществляет прогноз лучше,

чем

если

бы

прогноз предоставлял каждый

отдельный экономист.

Можно сделать вывод

о том, что

прогнозирование, независимо

от

степени талантливости отдельных специалистов, само

по

себе

не яв-

ляется решением проблемы ценового риска. Если ценовой риск

не

может быть устранен

при

помощи прогнозирования,

то

остается толь-

ко научиться управлять

им. Это

осмысление проблемы позже приве-

ло

достижениям

теории,

разработке новых инструментов

и к

технологическим нововведениям, которые

совокупности позволи-

ли сделать управление рисками практически реализуемым

эффек-

тивным. Развитие теории

практики управления рисками сопровож-

далось,

как и

следовало ожидать, сокращением количества экономи-

стов,

занятых

промышленности,

резким увеличением спроса

на

опытных управляющих рисками.

147

Представление ценового риска

процентной форме

Как

уже

отмечалось, ценовой риск наиболее часто измеряется

помощью хорошо известной статистической оценки, называемой стан-

дартным отклонением. Сейчас

мы

будем работать

основном

квад-

ратом этой величины, называемой дисперсией

(variance).

Для

вычис-

ления дисперсии цены

нам

потребуется иметь

ряд

наблюдений инте-

ресующей

нас

цены. Рассмотрим

ряд

наблюдений цены

на

медь, пред-

ставленный

табл.

6.2.

Заметим,

что в

этом ряду наблюдений прояв-

ляется тенденция увеличения цены

на нее.

Таблица

6.2.

Цены

на

медь

Наблюдение

Цена

на

медь

(в центах

за

фунт)

49,65

49,85

49,70

51,25

51,10

53,30

54,20

55,10

54,90

55,65

Однако

аналитической работе

при

использовании дисперсии

це-

ны возникает серьезная проблема.

Она

заключается

в том, что по-

следовательность «необработанных»

цен

обычно

не

является стацио-

нарной.

Это

значит,

что

среднее

дисперсия

цен

меняются вместе

изменением уровня

цен. В

действительности

мы в

меньшей степени

интересуемся дисперсией самой цены,

чем

дисперсией изменения

це-

ны.

Но, к

сожалению,

последовательность изменений цены часто

также бывает нестационарной. Самый простой способ исправить

по-

ложение состоит

переходе

от

рассмотрения последовательности

из-

менений цены

рассмотрению последовательности доходностей

(до-

ходов

относительных величинах).

Мы это

сделаем, используя под-

ход, обсуждавшийся

предыдущей главе. Напомним,

что

доходность

за базовый период может принимать форму эффективной (кумуля-

тивной) доходности

за

период

или

доходности

за

период

при

непре-

рывном начислении процентов

на

процент.

Мы

всегда легко можем

каждую

из

этих характеристик преобразовать

другую. Здесь последо-

вательность

цен мы

будем преобразовывать

последовательность

эф-

фективных доходностей

за

период.

Для

этого

мы

разделим каждое

последовательное наблюдение

на

предыдущее наблюдение

вычтем

148

единицу. Формула

6.1

используется

для

вычисления доходности

за

базовый период

обозначаемый

г(/), а

сама последовательность

до-

ходностей представлена

табл.

6.3.

(6.1)

Таблица

6.3.

Последовательности цен

на

медь

доходностей

Наблюдение

Цена

на

медь

Последовательность доходностей

(в центах

за

фунт)

(в

49,65 0,4028

49,85

-0,3009

3 49,70

3,1187

4 51,25 -0,2927

51,10

4,3053

53,30

1,6886

54,20

1,6605

55,10

-0,3630

54,90

1,3661

55,65

—

Последовательность доходностей

точки зрения анализа имеет

ряд

преимуществ

по

сравнению

последовательностью

цен.

Во-первых,

преобразуя последовательность

цен в

последовательность процент-

ных доходностей,

мы

добиваемся большей сравнимости различных

последовательностей

цен.

Во-вторых, последовательность доходно-

стей отличается большей стабильностью

в том

смысле,

что для нее

среднее

дисперсия

большей степени являются стационарными,

чем среднее

дисперсия последовательности «необработанных»

цен.

Это,

правда,

не

должно означать,

что

последовательность доходно-

стей непременно будет статистически стабильной последователь-

ностью.

И на

самом деле, многочисленные эмпирические данные,

относящиеся

к 60-м гг.,

свидетельствуют

о том, что

последовательно-

сти доходностей

для

активов, которыми торгуют

на

конкурентных

рынках, демонстрируют отклонения

от

стабильных распределений,

которыми

мы

привыкли

любим работать

статистике

другой

стороны,

эти

отклонения обычно бывают

не

столь значительными,

чтобы отвергать результаты анализа, проведенного

предположении

стабильности распределений. Кроме того, если говорить

контексте

диверсификации портфелей,

то

отклонения

от

стабильных распреде-

лений

еще

более уменьшаются.

Вычисления среднего

дисперсии

для

последовательности доход-

ностей, представленных

табл.

6.3,

элементарны.

случае среднего

149

мы просто суммируем

все

значения доходностей

делим

на

количе-

ство наблюдений. Дисперсия подсчитывается чуть сложнее.

Для ее

вычисления

мы

сначала вычитаем заранее вычисленное среднее

из

каждого отдельного значения

последовательности наблюдений

до-

ходностей. Затем каждую разность

по

отдельности возводим

квад-

рат.

наконец, суммируем

эти

квадраты величин

делим получен-

ную сумму

на

количество наблюдений минус единица.

Эти

вычисле-

ния представлены формулами

6.2 и 6.3

соответственно.

(6.2)

(6.3)

Статистические оценки, представленные соотношениями

6.2 и 6.3,

называются выборочным средним

(sample mean) и

выборочной дис-

персией

(sample variance) и

обозначаются через

μ (мю) и σ

(сигма

квадрат) соответственно. Этими названиями подчеркивается,

что

вве-

денные величины необязательно совпадают

истинным средним

истинной дисперсией генеральной совокупности,

из

которой были

получены десять наших наблюдений.

случае стационарной последо-

вательности доходностей можно утверждать,

что чем

больше количе-

ство наблюдений,

из

которых получены выборочное среднее

выбо-

рочная дисперсия,

тем

более вероятно приближение выборочных

ха-

рактеристик

истинным значениям генеральной совокупности.

Это

говорит

о том, что

точность эмпирических результатов может быть

повышена, если использовать более длинные последовательности

—

немаловажное обстоятельство

для

квант джоков. Никто больше

не

занимается подсчетом средних

дисперсий вручную,

за

исключени-

ем случаев, когда объемы выборки очень небольшие. Сейчас для этих

целей используются электронные таблицы, пакеты программ стати-

стической обработки

или

специальные калькуляторы

еще о

дисперсии. Если

мы

получили дисперсию

помощью

приведенных ранее вычислений,

то

можно вычислить

выборочное

стандартное отклонение

(для

этого следует извлечь

из

дисперсии квад-

ратный корень). Выборочное стандартное отклонение

дальнейшем

часто используется

при

анализе.

рассмотренном только

что

приме-

ре среднее, дисперсия

стандартное отклонение

(все

выраженные

процентной форме) равны

1,2872, 2,3659 и 1,5382

соответственно.

В предыдущей главе

мы

изучали доходности

предположении,

что

денежные потоки, связанные

инвестицией, точно известны.

Это

бывает справедливо

для

некоторых источников денежных потоков,

таких,

как

ценные бумаги

постоянным доходом, которые держат

до

150