Літинського В. (ред.) Геодезичний енциклопедичний словник

Подождите немного. Документ загружается.

Розе

'язуеання..

510

-В

= а,и +

+...

-L

... (4)

А'

= c,v +

uv + c

v +

+...

17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГОЛОВНИХ ГЕО-

ДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ НА КУЛІ {решение

главных геодезических задач на шаре;

solving of main geodetical problems on a

sphere; Auflosung f der Hauptaufgaben f pi

auf der Kugelf): зводиться до розв'язуван-

ня полярного сферичного трикутника

PQ\Q

(ДИВ. рис., б. Задача геодезична

пряма), в якому задані будь-які дві сторо-

ни і кут між ними, треба знайти третю

сторону і прилеглі до неї кути. Для роз-

в'язування полярного трикутника вико-

ристовують формули сферичної тригоно-

метрії. Введемо позначення координат на

кулі:

(р —

географічна (сферична) широта,

Я - географічна (сферична) довгота, а -

азимут дуги великого кола, а - сферична

віддаль (довжина дуги великого кола, ви-

ражена в частинах радіуса кулі). Співвід-

ношення між елементами полярного сфе-

ричного трикутника такі:

sin<p

= sirup, cose + cos<p, sin

cosct,

sinCTsina, = sinAcos<p

sincrsino;

= -sinAcos^,

sinCTcosa, = cossin<p

-sinip, cosq>

cosA

sinCTcosa

= sinip, cos<p

-cosip, sin<p

cosA (1)

COSCT

= SIN^J

sin<p

+ coscp, cosip, cosA

cos

cos A = cos<p, coscr

sin

(J?,

sinCTcosa,

cos<P

cosa

= sin (p

sincr -cos()9|

COSCT

cosor,

cos <p

sina, = -cos (p

sina,

Задача геодезична пряма. Вихідні дані: (p

а,,

ст.

Шукані величини:

(р

, Я. На осно-

ві наведених вище формул маємо:

для визначення широти

tgA

sinCTsina,

tg9V

sin (p

•y/l-si

sin

(2)

sin

обчислюють за першою із формул

(і);

для визначення різниці довгот

cos cos о -sin^, sincrcosa,

для визначення оберненого азимута

cosф, sina,

; (3)

tga

:-(4)

cos ф, cos с cos a, - sin

</9,

sm a

Якщо задана довгота Я,, то знайдемо Я

= А, + я.

Задача геодезична обернена. Вихідні да-

ні: ф,, (р

, Я = Я

+ Я,. Шукані величини:

<7, а,, а

. На основі наведених вище фор-

мул знайдемо:

для визначення прямого азимута

sinAcosiр

cos<p, sin<p

—

sin<p, cos<p

cosA q

tga, =

;(5)

для визначення оберненого азимута

sinAcosip,

tga

cos<p,

sin<p

cosA -

sin<p,

cos<p,

для визначення сферичної віддалі

psina, +q cos a.

tger:

cos CT

; (6)

(7)

j\sp{q- чисельник і знаменник у формулі

для tga,. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГОЛОВНИХ ГЕО-

ДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ У ТРИВИМІРНО-

МУ ПРОСТОРІ {решение главных геоде-

зических задач в пространстве трех из-

мерений; solving of main geodetical problems

in 3-dimentional space; Auflosung f der

Hauptaufgaben f pl in 3-D Raum m): відпо-

відно до змісту задачі геодезичної

головної у тривимірному просторі роз-

в'язується за допомогою формул зв'язку

просторових координат, в яких описують-

ся елементи цих задач. Використовуються

такі системи координат:

система координат геодезичних: гео-

дезична широта В, геодезична довгота L,

геодезична висота Я;

система координат геоцентричних

прямокутних X,

системи координат топоцентричні.

Початок координат міститься в деякій

т.

розташованій переважно на земній повер-

хні: 1) Прямолінійні прямокутні декарто-

ві координати: вісь z' розташована на про-

Розе 'язуеання..

511

довженні нормалі до поверхні еліпсоїда в

т. Q

; вісь Х розташована в площині гео-

дезичного меридіана т. (9, перпендикуля-

рно до осі z і спрямована в бік осі обер-

тання еліпсоїда; вісь у перпендикулярна

до осей х' і z' і доповнює систему коорди-

нат до лівої. 2) Полярні координати: гео-

дезичний азимут А

- двогранний кут між

площиною меридіана початкової т. Q

нормальною площиною, що проходить че-

рез нормаль у цій точці і т. Q

; зенітна від-

стань z

- кут між ВІССЮ

і прямоліній-

ним напрямом з т. 2, у т. Q

; віддаль D

між точками Q

і Q

по прямій (див. рис.

Задача геодезична обернена).

Зв

'язки

між описаними системами коор-

динат

А) Перехід від геодезичних координат В,

L, Н до геоцентричних (референцних) пря-

мокутних координат X, У, Z здійснюється

за формулами:

X = (N

H)cosBcosL;

(N + Н) cos В sin L;

Z = (N + H-e

N)sinB,

(1)

де

•yjl-e

sin

,ae - параметри еліп-

, У „ Z btgB; . , „

= —, tg

= - +

,« = 1,2..... л;

-Jc + tg'

Z , ae

1-е*

R +

,H = (l-e')N.

sin

<2)

Б) Зв'язки між двома наведеними вище

системами координат топоцентричних:

х = Dsinzcos^;

D sin z sin А;

z =D cos z,

tg A

= y'jx'\

ctgz = z'j

-Jx'

+y'

;

D = Jx'

+Z'

(3)

(4)

Зв'язки між наведеними вище системами

координат: топоцентричною х', у', z' і гео-

центричною (референцною) прямокутною

X,Y,Z:

(5)

~Х'

+ A

де матриця Aq має елементи:

- sin

cos

Обернений зв'язок:

Аг

cos

sin

cos

sin

cos

sin

0 sin

.(6)

'X-XQ

= 4

Z-Zq

соїда. Для зворотного переходу від X,

У,

до В, L, Я маємо:

(7)

де матриця Aq - транспонована матриця

Aq. Відповідно до наведених формул і суті

головних геодезичних задач між точками

простору схеми їх розв'язування будуть

такі:

I) Пряма геодезична задача. Задані геоде-

зичні координати В

, L

, Я, початковоїт. Q

і топоцентричні полярні координати z

А |2, D

т. Q

ВІДНОСНО початкової т. Q

;

треба знайти геодезичні координати В

, Ь

T.Q

а) За формулами (1) обчислюють геоцент-

ричні

координатиХ

У,, Z, т. Q

,б) обчис-

люють елементи матриці перетворення

координат

за формулою (6); в) за фор-

мулами (3) обчислюють топоцентричні

прямокутні координати х'

, у'

, z

\ г) за

формулами (5) обчислюють геоцентрич-

ні координати т. Q

; д) за формулами (2)

переходять до геодезичних координат Х

T.Q

II) Обернена геодезична задача. Задані гео-

дезичні координати В, L, Я точок Q

і Q

;

треба знайти топоцентричні полярні коор-

динати z

, Л|2, D

Т.

відносно т. Q

а) За формулами (1) перетворюють геоде-

зичні координати В, L, Я точок Q

і Q

на

геоцентричні прямокутні координати^, Y

Розе 'язуеання..

512

Zj (де і=\, 2); б) обчислюють елементи

транспонованої матриці перетворення

координат А

за

формулою

4 =

- sin В

sin L, cosВ

sin В,

;(8)

-sinfijCosLj

— sinZ^

cos

cosBjCOsZ^ cosB

sinL, аіііи

в) за формулою (7) обчислюють топоцен-

тричні прямокутні координати x'

у', z,

т. Q

відносно т. Q

і навпаки; г) за форму-

лами (4) обчислюють топоцентричні поля-

рні координати z

, А

, D

т. Q

відносно

початкової

т.

від-

носно т. Q

. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КУТОВОЇ ЗАСІЧКИ

НА ЕЛІПСОЇДІ {решение угловой засеч-

ки на эллипсоиде; solving of angular inter-

section on ellipsoid; Aufldsung f des Winke-

leinschnitts m aufdem Ellipsoidn): див. Ви-

значення координат на еліпсоїді

геодезичними засічками. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНОЇ ЗАСІЧ-

КИ НА ЕЛІПСОЇДІ (решение линейной

засечки на эллипсоиде; solving of linear

intersection on ellipsoid; Aufldsung f des Bo-

genschnitts m aufdem Ellipsoid

n):

див. Ви-

значення координат на еліпсоїді

геодезичними засічками. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ГЕО-

ДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧІ НА ВЕЛИКІ ВІД-

ДАЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ (решение обрат-

ной геодезической задачи на

большие

рас-

стояния на эллипсоиде; solving of inverse

geodetical problem for large distances on

ellipsoid; Aufldsung f der direkten geodati-

schen Aufgabe f

von

grosser

Entfernungen

pi aufdem Ellipsoid

n):

див. Розв'язуван-

ня головних геодезичних задач на

великі віддалі на еліпсоїді. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ГЕО-

ДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧІ НА МАЛІ ВІДДА-

ЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ ҐАВС-

СА (решение обратной геодезической за-

дачи на небольшие расстояния на эллип-

соиде по методу Гаусса; solving of main

geodetical problem for small distances on

ellipsoid by method of Gauss; Aufldsung fder

direkten geodatischen Aufgabe f

von

kleiner

Entfernungen f pi mit der Methode f von

Gauss): за відомими координатами кінце-

вих точок лінії B

знаходимо:

= (В

-В

)/р",

= (^-L,)/p",

=(B

)/2,T]

З формул (5) (див. Розв'язування пря-

мої геодезичної задачі на малі від-

далі на еліпсоїді способом Ґавсса)

з похибками на величини п'ятого порядку,

знаходимо:

с „ им п 2l

(lsinB

S cos

А„

= ЬМЛ\ - —]

= О;

S sin

cos В

NJl +

(

lsin В

]

(1)

Розв'язування задачі завершується засто-

суванням формул:

tgA,,=

S = £cosA„, + Psin

А„,

= 4Q

а"

= I" smB

(\ +

А А

A = A*-— •

+ 2/

cos

-).(2)

= A,„+-±180°

При S < 80 км наведені формули дають

похибки AS < 0,01 м, АА < 0,02'. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИ-

ЧНОЇ ЗАДАЧІ НА ВЕЛИКІ ВІДДАЛІ

НА ЕЛІПСОЇДІ (решение прямой геоде-

зической

задачи на большие расстояния на

эллипсоиде;

solving of direct geodetical prob-

lem for large distances on ellipsoid;

Aufldsung

fder direkten geodatischen Aufgabe fvon gro-

sser

Entfernungen

f pi aufdem Ellipsoid n):

див. Розв'язування головних геоде-

зичних задач на великі віддалі на

еліпсоїді. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИ-

ЧНОЇ ЗАДАЧІ НА ЕЛІПСОЇДІ СПО-

СОБОМ РУНҐЕ-КУТТА (решение пря-

мой геодезической задачи на

эллипсоиде

по

методу Рунге-Кутта; solving of direct geo-

detical problem on ellipsoid by method of

Runge-Kutt; Aufldsung f der direkten geodd-

Розе

'язуеання..

513

tisclien Aufgabe aufdem Ellipsoid n mit der

Methodefvon Runge-Kutt): ґрунтується на

безпосередньому обчисленні приросту

функції Ау залежно від приросту Ах неза-

лежної змінної. Це числовий метод розв'я-

зування диференційних рівнянь першого

порядку виду (1) (див. Розв'язування

головних геодезичних задач на елі-

псоїді). Спосіб Рунге-Кутта і його моди-

фікації - це способи чисельного інтегру-

вання системи диференційних рівнянь пер-

шого порядку:

/і

(•*>

Уі.Уг-'-'Л);

У-> f t \

.~Г = Мх, УмУг.-.Л):

= ҐЛх,Уі,Уг,

—

,У

)

із заданими початковими даними у

=у®,

= у2,..., у

= у° при х = х

. Треба знайти

числові значення функційу

,у

• •

•, у„

для

заданого значення аргументах = х

. Засто-

сування цього способу в модифікації Інґ-

ланда до інтегрування трьох диференцій-

них рівнянь (1) (для у

= В, у2 = L, у

—

А,

x=s) приводить до таких формул для обчи-

слення координат В

, L

І азимута А

у кін-

цевій т. Q

геодезичної лінії s (див. рис.

Азимут геодезичний) за початковими

даними В =

L =L

, А =А

, у т. Q

(для

5 = 0):

= В, +

—

(А В, +

4ДВ

+ ДВ

);

•L

= L

+-(AL

+4AL

+AL

); (1)

= А, + -

(ДА,

4ДА

ДА

)

± 180°,

т, т/3 . y sina,-

де АВ і = s

cos а,-;

АЦ = s^ ;

COS (PJ

АД- = AL,

sin (pj;

V; = д/і + е'

cos

<р,- ;

= sp"/c; с = a

/b.

Тут a, b

—

параметри еліпсоїда; і = 1, 2, З,

4. Значення а,., вибирають з табл.

і а,

<РІ

А-

А, + 0,5 Д4, В, + 0.5АВ,

А, + 0,25(АА, +4А

) В, + 0,25( АВ, +ЛВ

)

А,

АА, + 2ЛА

В,

- ЛВ

+ 2АВ

Точність формул (1) відповідає точності

формул(1)(див.Розв'язування прямої

геодезичної задачі на малі віддалі

на еліпсоїді способом Шрайбера)і

(5)(див.Розв'язування прямої геоде-

зичної задачі на малі віддалі на

еліпсоїді способом Ґавсса). Для ве-

ликих значень s лінію поділяють на малі

дуги й обчислення за формулами (1) вико-

нують послідовно по кожній дузі. Викори-

стовуючи ЕОМ, спосіб Рунґе-Кутта дає

змогу оцінити похибки обчислених значень

координат і азимута, а відтак знайти крок

інтегрування (величину приросту аргумен-

та s) для забезпечення заданої точності.

Цей спосіб є найоптимальнішим щодо точ-

ності й ефективності розв'язання прямої

геодезичної задачі. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИ-

ЧНОЇ ЗАДАЧІ НА МАЛІ ВІДДАЛІ НА

ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ ҐАВССА (ре-

шение прямой геодезической задачи на

малые расстояния на эллипсоиде по ме-

тоду Гаусса; solving of direct geodetical

problem for small distances on ellipsoid by

method of Gauss; Aufldsung f der direkten

geodatischen Aufgabe von kleiner

Entfernun-

gen f pi aufdem Ellipsoid

mit der Methode

von Gauss): ґрунтується на розкладанні

підінтеґральних функцій (2) (див. Роз-

в'язування головних геодезичних

задач на еліпсоїді) у ряди за середні-

ми аргументами

В„,=(В

)/2;

=(А

+ Л

±Т°)/2.

Це приводить до виразів (3), в яких відсу-

тні члени з парними степенями S. Особли-

вість способу Ґавсса полягає в тому, що

т. Q

з координатами В

, L

і азимутом у ній

поділяє геодезичну лінію S (рис.) нав-

Розе 'язуеання..

514

ПІЛ. Для різниць (В

-В

) і (В

- В

) ряди

(3) набувають вигляду

5 .

с2

1 d

.іА 5

"«о

-(—)оТ + 7(—-48<^Г>о

rfS 2 8 *+о uj ч

rfB

г 1 d'B з W

звідки отримуємо

,dB

1 ,d В,

-B

=(—)

S+ — (—

)

+... .(2)

2 1

24 dS

3 0

Аналогічно знайдемо вирази різниць

- L,

і A, - Д ± 180°. Проте у виразах (2) похідні

беруть за координатами

т.

, які не дорів-

нюють середнім аргументам. Тому в (2)

треба ввести поправки за різниці В

- В

—

значення яких знайдемо на основі

виразів (1) за формулами:

(3)

Отже, в (2) слід перейти від часткових по-

хідних

(d"B/dS")

до часткових похідних

(d"B/dS")

. Перехід, напр. для широти,

має такий вигляд:

±_

}

dS dS 8

,dB

d(dB/dS)„

дВ

-~(d

A/dS

)„

ЭА

(4)

Аналогічні рівняння зв'язку похідних існу-

ють для довготи і азимута. Формули (2) і

(4) у загальному вигляді розв'язують зада-

чу. Робочі формули отримаємо, якщо від-

повідні похідні підставимо в (2) з ураху-

ванням (4). їх остаточний вигляд:

912,2

-L,=l"

-р

А,

± 180° - Д

а' = а(1 +

2Я

~"V

•2

/З = - V„

cos Д„; Л = - V„

sin

sec S„,;

с с

а = Asin

=1+rj

;rj

=e'

cos

В;

-b

e = ;—;c = —,

ft fo

(5)

дe a, b- велика і мала півосі еліпсоїда; е

—

другий ексцентриситет меридіанного еліпса.

За точністю ці формули аналогічні форму-

лам способу Шрайбера. Оскільки вихідни-

ми даними у прямій геодезичній задачі є

координати початкової точки, азимут лінії

в цій точці і довжина лінії, а в робочих фо-

рмулах (5) аргументами є середня широта

-{В

{

+В

)12 і середній азимут

= (Д + А

± 180°)/2, то задача розв'я-

зується методом послідовних наближень.

У першому наближенні

= В

,А

= А

і з

ними обчислюють Ь" і а. У другому і на-

ступних наближеннях: В

= В

+ Ь"І2,

+ а"/І. Для забезпечення точності

0,000 Г у координатах для S < 60 км доси-

ть трьох або чотирьох наближень. 17.

_ fi *

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИ-

ЧНОЇ ЗАДАЧІ НА МАЛІ ВІДДАЛІ НА

ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ ШРАЙБЕРА

(решение прямой геодезической задачи на

малые расстояния на эллипсоиде по ме-

тоду Шрайбера; solving of direct geodetical

problem for small distances on ellipsoid by

method ofShrieber; Auflosung f der direkten

geodatischen Aufgabe f von kleiner

Entfernungen fpl aufder Kugel mit der Me-

thodefvon

Schreiber):

проводять із

т.

гео-

дезичну лінію Q

під прямим кутом до

меридіана т. Q

, після цього передачу ко-

ординат з т. на т. Q

виконують не по

геодезичній лінії Q

і Q

ЩО

дорівнює S, а

послідовно по сторонах

бо'

Q0Q2

Розе 'язуеання..

515

кутника Q\Q

Перед цим довжини сто-

рін знаходять з розв'язання цього малого

прямокутного сфероїдного трикутника за

відомими азимутом А, і стороною

За сто-

роною

Є,

бо (ДУ

га

меридіана) обчислюють

різницю широт точок Q

і Q

, застосовую-

чи першу із формул (3) (див. Розв'язу-

вання головних геодезичних задач

на еліпсоїді) і широту

т.

. Застосо-

вуючи згадані формули (3) до сторони Q

азимут якої в початковій її т. Q

дорівнює

90°, знаходять різницю широт d = B

—

різницю довгот l = L

-L

і кут t, що є ази-

мутом напряму, проведеного із т. Q

під

прямим кутом до лінії Q

. Формули для

обчислень мають такий вигляд:

= Jl+e'

coi В.,о=—Vf,c=—,«

=crcosA,

с b

3 6

Д> = В, +(B

-B

) = B

+ p"u[V

-^-H(3sin2B, +2»cos2B,)],

Для віддалей між пунктами не більше

100 км ці формули дають змогу визначати

геодезичні координати з точністю до

0,000

і азимути з точністю до 0,001". Для

віддалей до 600 км ці формули забезпечу-

ють точність координат до 0,1". 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СФЕРИЧНИХ ТРИ-

КУТНИКІВ З ВИМІРЯНИМИ СТОРО-

НАМИ ЗА ТЕОРЕМОЮ ЛЕЖАНДРА

(решение сферических треугольников с

измеренными сторонами по теореме Ле-

жандра; solving of spherical triangles with

measured sides by Legendre's theorem; Auf-

ldsung f der sphcirischen Trilaterationsdrei-

ecken npi mit dem Lehrsatz

von Legendre):

див.Розв'язування сфероїдних три-

кутників. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СФЕРИЧНИХ ТРИ-

КУТНИКІВ СПОСОБОМ АДИТА-

МЕНТІВ (решение сферических треуго-

льников способом аддитаментов; solving

of spherical triangles by method of addita-

ments;

Aufldsung fder

sphcirischen

Dreiecken

n pi mit der Additamentenmethode f): див.

Розв'язування сфероїдних трикут-

ників. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СФЕРОЇДНИХ

ТРИКУТНИКІВ

(решение сфероидальних

треугольников; solving of spherical triang-

les; Aufldsung f der

sphcirischen

Dreiecken n

pi): трикутники на поверхні еліпсоїда,

утворені геодезичними лініями, наз. сфе-

роїдними або еліпсоїдними. При створен-

ні астрономо-геодезичних чи геодезичних

мереж наземними класичними методами,

напр., методом тріангуляції, довжини сто-

рін сфероїдних трикутників звичайно не

перевищують 60 км (0,01Л). Проте в міс-

цях зв'язку геодезичних мереж різних кра-

їн чи континентів, у космічних геодезич-

них побудовах віддалі між пунктами -

сторони сфероїдних трикутників - можуть

сягати сотень, а інколи й тисяч кілометрів.

Під поняттям розв'язування сфероїдного

трикутника розуміють обчислення його

елементів за трьома відомими, в тому чис-

лі однієї сторони, і заданим положенням

трикутника на еліпсоїді. Взагалі розв'яза-

ти сфероїдний трикутник, використовую-

чи елементарні функції, неможливо. Про-

те малі сфероїдні трикутники, сторони

яких не більше 200 км, розв'язують з від-

носною похибкою 10~

як трикутники на

кулі радіуса R, що дорівнює середньому

Розе 'язуеання..

516

діусу кривини, обчисленому за середньою

широтою з широт вершин трикутника. Як-

що розв'язувати сферичні трикутники за

формулами сферичної тригонометрії, сто-

рони переважно виражають у частинах ра-

діуса, а в геодезії - в лінійній мірі. Тому в

геодезичній практиці застосовують два

особливі методи розв'язування малих сфе-

ричних трикутників:

а) метод сферичних надлишків, що вико-

ристовує теорему Лежандра (1787);

б) метод адитаментів, який запропо-

нував І. Зольднер (1820).

В обох методах розв'язування сферичного

трикутника замінюють розв'язуванням від-

повідного плоского трикутника. Цей задум

реалізується зовсім по-різному в кожному

методі. Поправки за кривину кулі під час

розв'язування сферичних трикутників як

плоских враховують: 1) введенням попра-

вок у сферичні кути зі збереженням довжин

сторін у способі Лежандра; 2) введенням

поправок у сторони зі збереженням вели-

чин кутів у способі адитаментів.

Розв'язування малого сферичного трику-

тника за теоремою Лежандра. Цей спо-

сіб ґрунтується на тому, що малий сферич-

ний трикутник можна розв'язувати як пло-

ский, якщо кожний його кут зменшити на

одну третину сферичного надлишку £:

sin(5-£/3) sin(C

є/З)

sin(^-e/3)' sin(^-e/3)

•

Наведене формулювання має назву теоре-

ми Лежандра. Кути А

=А- є/З, В

= В -

є/З, С, = С - є/З наз. плоскими зведеними

кутами. Сферичний надлишок можна знай-

ти за формулою

= Pp"/R

деР

—

площа плоского трикутника, тобто

- р" sin А

R - середній радіус кривини еліпсоїда для

середньої широти В

трикутника; для

5 < 90 км можна припустити А

-А. Якщо

сторони трикутника більші 90 км, то для є

треба використовувати точнішу формулу

2R 8 R

де т

= (а

+ с

)/3, і обчислювати йо-

го двома наближеннями: спочатку отрима-

ти наближене значення є', з ним - набли-

жене значення А

= А-є'/3, далі обчисли-

ти точне значення є. Для S > 200 км і точ-

ності обчислень 0,001' трикутники треба

розглядати як сфероїдні. Формули редук-

цій сфероїдних кутів (А, В, С) до плоских

(А

, В

, С,), що описують розширену тео-

рему Лежандра, мають такий вигляд:

т"

-а

"а

-п

є аг

-Ь

-11

•"з

~60 Tbi

-с

"с

-п

Метод розе 'язування сферичних трикут-

ників за теоремою Лежандра можна за-

стосовувати й тоді, коли виміряними є

сторони: спочатку розв'язують трикутни-

ки як плоскі, приймаючи сторони за пря-

мі; до обчислених таким методом кутів

(плоских зведених) додають поправки є/З.

Розв'язування сферичних трикутників

способом адитаментів. Сферичні кути

трикутника не змінюються, а перехід від

сторін а, Ь, с сферичного трикутника до

сторін а

, Ь

, с

плоского трикутника

здійснюється врахуванням т. зв. адитаме-

нтів A

, що обчислюються за виразом

г-з

a,b,c

= A

= kS

де S - відповідна сторона трикутника; а,

Ь, с, k = l/(6R

); R - середній радіус кри-

вини еліпсоїда в області розташуванням за

трикутника. Послідовність розв'язування

сферичного трикутника способом адита-

ментів:

1) від вихідної сторони а віднімаюсь її

адитаментЛ

, отримують сторону а, = а -

плоского трикутника;

2) за відомими кутами сферичного три-

кутника і стороною а

розв'язують трикут-

ник як плоский за теоремою синусів; зна-

ходять сторони Ь

, с,;

3) значення сторін виправляють їх адита-

ментами, отримують

= b

+ A

, с = с, + А

- шукані сторони сферичного трикутни-

ка. 17.

Розе 'язуеання..

517 Р

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКА В

ТРІАНГУЛЯЦІЇ (ТРИЛАТЕРАЦІЇ) {ре-

шение

треугольника в

триангуляции

(три-

латерации); solving of triangle in triangu-

lation (trilateration); Aufldsung f des Dreiecks

der Triangulation f(der Trillateration/)):

отримання довжин сторін трикутника за

виміряними чи зрівноваженими кутами (в

тріангуляції) або кутів за виміряними чи

зрівноваженими сторонами (в трилатера-

ції). Для обчислення довжин сторін три-

кутника тріангуляції за теоремою синусів

потрібно, крім трьох кутів, знати довжину

однієї (вихідної) сторони. Для розв'язуван-

ня трикутника трилатерації треба мати ви-

міряні (зрівноважені сторони трикутника).

Тут для обчислення кутів використовують

теорему косинусів. 13.

РОЗГРАФЛЕННЯ І НОМЕНКЛАТУРА

АРКУШІВ КАРТИ МАСШТАБУ

1:1000000 {разграфка и номенклатура ли-

стов карты масштаба 1:1000000 ; sheet

division and numbering name of

the

map of

scale 1:1000000; Blatteinteilung f

und

Zone

f und Kolonne f (Nummer f) des topographi-

schen Kartenblattes n des Masfitabes 1

1000000): розграфлення карт і

позначення окремих аркушів карти сві-

ту Міжнародної, якою теж є і карта цьо-

го м-бу. На кожному аркуші карти зобра-

жена земна поверхня у вигляді трапеції,

сторонами якої є зображення меридіанів і

паралелей відповідно 4° по широті і 6° по

довготі.

Номенклатура аркушів цієї карти (див. Но-

менклатура в топографії і карто-

графії) складається з великої літери лат.

алфавіту A, B,C,D,E,..., Z, що відповіда-

ють відповідним 4-градусним широтним

смугам - поясам, відлічуваним від еква-

тора до полюсів, і арабської цифри 1,2,3,

4, ..., 60, що означає номер шестиградус-

ної колони, що відлічується із заходу на

схід (проти годинникової стрілки) від ме-

ридіана, довгота якого дорівнює 180°.

Напр., на аркуші карти, номенклатура яко-

го М-35, зображена земна поверхня, обме-

жена паралелями 48 і 52° і меридіанами 24

і 30° (на схід від Грінвіча). Оскільки роз-

міри трапеції такої карти з віддаленням від

екватора до полюсів стають по довготі що-

раз меншими, то в широтній смузі 60-76°

аркуші цієї карти здвоюють і номенклату-

ра такого здвоєного аркуша, напр., Р-41,42,

і розмір його по довготі становитиме 12°,

а в смузі 76-88° аркуші карти з'єднують

по чотири, так що розмір такої карти по

довготі становитиме 24° і матиме номенк-

латуру, напр., Т-29, 30, 31,32. Ділянка 88-

90° зображується одним аркушем. Крім то-

го, на кожному аркуші карти цього м-бу по-

дається назва найбільшого населеного пун-

кту чи іншого географічного об'єкта, зо-

браженого в межах цього аркуша, напр.,

на аркуші М-35 буде подана назва Львів.

Пояснення і приклади подані стосовно Пі-

внічної півкулі. На основі Р. і н. а. к. м.

1:1000000 опрацьовано розграфлення і

номенклатуру аркушів топографіч-

ної карти. 5.

РОЗГРАФЛЕННЯ І НОМЕНКЛАТУРА

АРКУШІВ КАРТИ СВІТУ МАСШТА-

БУ 1:2500000 {разграфка и номенклатура

листов карты мира масштаба 1:2500000;

sheet division and numbering of the world

map of scale 1:2500000; Rahnienteilung f

und Nummer f (Zone f und Kolonne

des

Kartenblattes n des Masfitabes 1:2500000):

ця карта є багатоаркушевою, тому пове-

рхню Землі поділили на шість зон: дві зо-

ни полярні (від кожного полюса до пара-

лелі ±60°), два перші пояси обмежені пара-

лелями ±24 і ±64°

два другі пояси обмеже-

ні екватором і паралелями ±24°. Розмір

аркушів карти по широті (за винятком поля-

рних) однаковий і дорівнює 12°, по дов-

готі різний: від 18° у другому і частково в

першому поясі (до паралелей ±48°) до

60° у полярній зоні; рамка полярних ар-

кушів північної і південної півкуль має

вигляд кіл, описаних радіусом,«іо дорі-

внює довжині меридіана (±84-90°) - 6°.

На рис. зображена схема такого розгра-

флення для північної півкулі; для півден-

ної півкулі розграфлення аналогічне. В

Розграфлення ...

518

табл. подано кількість аркушів, розташо-

ваних в окремих зонах (поясах), та їх роз-

мір по довготі для північної півкулі; зага-

льна їхня кількість для цієї півкулі 112

аркушів, для обох півкуль - 224.

Зона

Кількість Розмір

(пояс)

аркушів у

зоні (пояси)

аркуша по

довготі

Полярна

шапка

84-90° 1 360°

Полярна

зона

72-84°

60°

60-72°

10 36°

Перший

пояс

48-60° 15 24°

36-48° 20 18°

24-36° 20

18°

Другий пояс

12-24°

18°

0-12°

20 18°

Разом

112

Крім цих основних аркушів складають ще

10 додаткових, розміром 4° по широті (від

+60 до +64° у північній півкулі). Також

встановлена смуга перекриття в декілька

градусів по широті вздовж екватора і па-

ралелей ±24 і ±60°.

Номенклатура аркушів цієї карти склада-

ється з назви великого міста або іншого гео-

графічного об'єкта, розташованого в межах

цього аркуша, великої лат. літери N або S,

що вказує, в якій півкулі розташований ар-

куш, номенклатури аркушів м-бу 1:1000000,

що містяться в аркуші 1:2500000, і в дуж-

ках його порядкового номера, що подаєть-

ся на зведеному аркуші. Напр., номенкла-

тура аркуша карти м-бу 1:2500000, пода-

ного на рис., запишеться так: 54-СОФІЯ-

NJ-L-34-36. 5.

РОЗГРАФЛЕННЯ І НОМЕНКЛАТУРА

АРКУШІВ ТОПОГРАФІЧНОЇ КАРТИ

(разграфка и номенклатура листов топо-

графической

карты;

sheet division and

num-

bering of the topographical map; Rahmen-

teilungfund Nummer f (Zone fund Kolonne

f) des topographischen Kartenblattes n):

розграфлення карт аркушів м-бів

1:500000-1:2000, складених з використан-

ням проекції Ґавсса. Основою для за-

пису номенклатури цих карт є аркуш кар-

ти м-бу 1:1000000 (див. Розграфлення і

номенклатура аркушів карти масш-

Розграфлення.

519 Р

табу 1:1000000), напр. М-35. Розграф-

люють його на аркуші (трапеції) карти м-

бів 1:500000-1:100000 відповідними ліні-

ями меридіанів і паралелей (точніше, їх

зображень) так, щоб у ньому були 4,9,36 і

144 трапеції, що відповідно будуть трапе-

ціями карт м-бів 1:500000, 1:300000,

1:200000 і 1:100000. Основою номенкла-

тури карт цих м-бів є номенклатура карти

м-бу 1:1000000, до якої після риски дода-

ється одна з чотирьох перших великих лі-

тер алфавіту (А, Б, В, Г) для аркуша карти

м-бу

.'500000, рим. цифра від І до XXXVI

-для аркуша карти м-бу 1:200000 або одна

з араб, цифр від

до 144 - для аркуша кар-

ти м-бу 1:100000. Номенклатури цих карт

запишуться відповідно так: М-35-Г, М-35-

XXXVI, М-35-144. Для позначення но-

менклатури карти м-бу 1:300000 викори-

стовують римські цифри І-ІХ, які запи-

сують перед номенклатурою карти м-бу

1:1000000, напр. ІХ-М-35. Літери і цифри

для запису номенклатури розташовують на

схемі зліва направо вздовж відповідних

широтних смуг, розташованих з півночі на

південь. Приклади номенклатур подані для

останніх за порядком аркушів карт відпо-

відних м-бів (рис., а). Для розграфлення і

номенклатури топографічних карт м-бів

1:50000-1:2000 використовується аркуш

м-бу 1:100000, напр., М-35-144. Розділив-

ши його на 4 частини, отримують аркуші

карти м-бу 1:50000, які позначають літе-

рами А, Б, В, Г. Якщо ж цей аркуш (м-бу

1:100000) поділити на 16 або 64 частини,

то отримаємо аркуші карти м-бів 1:25000

або 1:10000, які відповідно позначають

літерами а, б, в, г і цифрами 1, 2, 3,4. Тоді

номенклатури аркушів карт будуть: м-бу

1:50000 - М-35-144-7", м-бу 1:25000 - М-

35-144-Г-г, м-бу 1:10000-М-35-144-Г-г-4

(рис., б). Аркуш карти м-бу 1:100000 є та-

кож основою для розграфлення і номенк-

латури карт м-бів 1:5000 і 1:2000. Він міс-

тить 256 аркушів карти м-бу 1:5000, кож-

ний з яких позначається араб, цифрами 1-

256. Цей аркуш ділиться на 9 аркушів м-бу

1:2000, що позначаються літерами а, б, в, г,

ЭЮ)

3) и

(рис.,

в).

Номенклатури карт м-бів

1:5000 і 1:2000 відповідно будуть: М-35-

144-(256) і М-35-144-(256-м). Аркуші то-

пографічних карт у широтному поясі 60-

76° здвоюють, і номенклатура такого арку-

ша карти, напр., м-бу 1:50000, буде 0-35-

-А, Б, а на північ від паралелі 76° ці

аркуші об'єднують по чотири, так що но-

менклатура такого аркуша, напр., м-бу

1:100000, матиме вигляд: Т-31-5,6,7,8.

М-35

—

(f) -

1:500 000;

—

[Іх]-|:300 000; (gxxvj)- 1:200 000

—

144-1:100 000.

М-35-144

1 2

; 1

2 ; 1

; 1

з 4

: з

(т

' 1

: з

у.. . .

• • - Лі

}...

; 1

J L у

: з

: і

' Г/

І)

ҐГ

• 3

і)

. .

. ІЛ

Si...

: і

\ 1

- - - Лі

}

- - -

: і

; 3

4 • з

; з