Ковтун В.В., Павлов В.С., Дорофєєв О.А. Опір матеріалів. Розрахункові роботи

Подождите немного. Документ загружается.

Продовження т э б л. 6.6

ДОВІДКЗ.

Півкруг

С —

центр

взги

(

0.00(58

2. Еліпс (я>й)

Розділ

ВИЗНАЧЕННЯ

ПЕРЕМІЩЕНЬ

У ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ

Переміщення,

спричинені деформаціями елементів конструкцій,

необхідно знати для перевірки їх жорсткості. Крім цього, визначення пере-

міщень є важливим етапом розрахунків систем нз дію динамічних наван-

тажень, а також розрахунків статично невизначних конструкцій.

7.1.

ТЕОРЕТИЧНІ

ВІДОМОСТІ

7.1.1.

ЗАГАЛЬНІ

ПОНЯТТЯ

При

деформації стержневої конструкції поперечні перерізи її еле-

ментів

одержують

лінійні Д і кутові 0 переміщення. Величини цих

переміщень у пружних системах при будь-якому навантаженні можна

визначити за допомогою інтеграла переміщень Мора-Максвелла збо його

графоаналітичних інтерпретацій.

7.1.2.

ІНТЕГРАЛ

ПЕРЕМІЩЕНЬ

МОРА-МАКСВЕЛЛА

Інтеграл, переміщень в узагальненому вигляді:

де 5 — функції внутрішніх зусиль A', Q, М або ЛТ

на кожній дільниці від

дії фактичного зовнішнього навантаження; S" — функції внутрішніх зусиль

, Q", М" або iVP

на тих самих дільницях від дії безрозмірної одиничної

сили,

що умовно прикладена в перерізі, переміщення якого визначають;

144

— жорсткість ЕА. GA, EJ, GJ

, що відповідає, зусиллям N, Q, M,

Лї

ир

]

0 Опар

маи*рі(ШВ

145

Розділ

В плоских системах крутні моменти М

не виникають. Для рам

балок впливом поздовжніх JV І поперечних Q сил при обчисленні пере-

міщень можна нехтувати. Тому в інтеграл переміщень для балок і плоских

рам входять тільки функції згинальних моментів М: - •

(7.1)

Інтегрування виконують у

межах

кожної дільниці і результати додають.

Переміщення

за допомогою інтеграла Мора-Максвелла обчислюють

у такій послідовності.

1. Для кожної дільниці балки, рами чи криволінійного

бруса

записують

вирази вантажних згинальних моментів М як функції координат перерізу.

2. В перерізі, де визначають лінійне переміщення Д, прикладають оди-

ничну силу F

= 1 в напрямку переміщення і знаходять від її дії одиничні

реакції. Якщо визначають кутове переміщення Э (кут повороту попереч-

ного перерізу), прикладають одиничний момент т

=\.

3. Для кожної дільниці записують вирази згинальних моментів М°

від дії прикладених одиничної сили F°= 1 чи одиничного моменту т"= 1.

4. Записують інтеграл переміщень (7.1), виконують інтегрування

межах

кожної дільниці і додавання

результатів

інтегрування по

всіх

дільницях системи.

Отримана величина дорівнює переміщенню.

Якщо

результат

додатний, то фактичний напрямок переміщення збігається

з напрямком прикладеної одиничної сили чи моменту. При від'ємному ре-

зультаті

— напрямок переміщення протилежний напрямку одиничної сили.

Метод інтеграла Мора-Максвелла є єдино можливим для обчислення

переміщень у випадку криволінійних брусів, а також у випадку плавної

зміни

жорсткості вподовж

бруса.

Для балок і рам зручніше використовувати графоаналітичний метод,

який

одержав назву «правила Верещагіна».

7.1.3.

ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД

Графоаналітичний метод використовують для обчислення переміщень

у конструкціях, що складаються з прямолінійних елементів постійної

межах

дільниці жорсткості.

146

ВИЗНАЧЕННЯ

ПЕРЕМІЩЕНЬ

ПРУЖНИХ

СИСТЕМАХ

Для визначення переміщень за цим методом

будують

епюри зги-

нальних моментів м, М°\ обчислюють переміщення за формулою

EJ '

(7.2)

де ш - площа фігури, що' обмежена криволінійною чи прямолінійною

вантажною епюрою М; М°

~ ордината прямолінійної одиничної епюри

перерізі, що збігається з центром ваги вантажної епюри.

Фігура

Площа

(о

«=-«,

з'

Таблиця 7.1

Абсциса

10'

!47

Розділ

Вирази для площ і абсцис центрів ваги деяких

фігур

наведені

табл. 7.1.

Обчислення переміщень за правилом Верещагіна виконують у такій

послідовності.

1. В перерізі, де визначають переміщення, прикладають одиничні силу

чи момент.

Будують

вантажну і одиничну епюри внутрішніх зусиль.

3. На кожній дільниці визначають площі ю вантажних епюр, а також

ординати Л1° лінійних одиничних епюр під центрами ваги вантажних епюр.

4. Значення площ w і ординат М°

лінійних епюр підставляють

у формулу (7.2) і після додавання

результатів

обчислень по

всіх

діль-

ницях

системи

одержують

величину переміщення. Додатний

знак

пере-

міщення

означає, що його напрямок збігається з напрямком прикладеної

одиничної сили.

Для можливості використання виразів, що наведені в табл. 7.1, складні

епюри М необхідно розкласти на прості, які

одержують

від дії кожного

окремого навантаження.

Описаний

алгоритм можна використати для знаходження переміщень

5, що спричинені дією одиничної сили F

= 1 чи моменту т°= 1. В цьому

випадку замість вантажної епюри

будують

одиничну і у вираз (7.2) підстав-

ляють площу ю одиничної епюри.

7.І.

ПРАКТИЧНІ

ЗАНЯТТЯ

7.1.1

КОНТРОЛЬНІ

ЗАПИТАННЯ

1. Які види переміщень поперечних перерізів

бруса

ви знаєте, як їх

повивчають?

2. Як записується інтеграл переміщень Мора-Максаелла в

узагаль-

неному ВИГЛЯДІ?

3. Як записується інтеграл переміщень для балок чи плоских рам?

4. В якій послідовності виконується обчислення переміщень за

інтегралом Мора?

5. Як записується вираз для обчислення інтеграла Мора графоана-

літичним методом (за правилом Верещагіна)?

148

ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ

ПРУЖНИХ

СИСТЕМАХ

6. В якій послідовності виконується обчислення переміщень за

правилом Верещагіна?

7. В яких випадках можна користуватися правилом Верещагіна для

обчислення інтеграла Мора?

8. Що означає від'ємний

результат

при обчисленні переміщень?

7.2.2.

ПРИКЛАДИ

ОБЧИСЛЕНЬ

ПЕРЕМІЩЕНЬ

ЗА

ДОПОМОГОЮ

ІНТЕГРАЛА

МОР

А-МАКСВЕЛЛА

Приклад ІЛ. До

криволінійного бруса

постійної жорсткості

EJ, що має

форму

півісільця радіусом

/?,

прикладена вертикальна

сила

F, як

показано

на

рис.

7.!, о.

Визначити

з загальному вигляді

за

допомогою інтеграла

Мора-Максвелла горизонтальну складову

повного переміщення перерізу

Л.

Розв'язання

поперечних перерізах

бруса

від дії

прикладеної сили

виникають

поперечні сили

поздовжні сили

згинальні моменти

М.

Впливом

на

пере-

міщення

зусиль

Q і Л

нехтуємо

і при

обчис-

ленні переміщення

А'

враховуємо тільки

дію

згинального моменту

М.

1. Записуємо вираз вантажного момен-

ту

М для

довільного перерізу

А', що виз-

начається поворотом радіуса

R на кут (р (рис. 7.1, а):

= F-BA = F-(R-

ficostp)

= F« (I -

cos<p).

2. Прикладаємо одиничну силу

F°= 1 в

точці

А по

напрямку переміщення

(рис,

7.1. б) і

записуємо вираз згинального моменту

від дії

цієї

ОДИНИЧНОЇ СИЛИ:

М°

= F"

•

ffsintp

й*іп<р

3. Підставляємо функції

М і М

'в

інтеграл переміщень

(7.1) і з

урахуванням,

що

—

Rdip, одержуємо:

., __ гЛШ"

Ї^Д(і-со5ф)Лзіпф

„ . FR

Put.

7.1

Відповідь:

2FR

149

Розділ

-—

а = 0,2

=—:і

а =

2Е1

Ъ,2м

Приклад

7.2. Визначити

вертикальне перегліщення (прогин)

вільного кінця

бруса

змінної жорст-

кості (рис. 7.2, a); F = 50 кН\

а =0,2,«; жорсткість EJ = 100 кИ-м

Розв'язання.

Жорсткість пер-

шої І

другої

дільниць балки різна,

а згинальні моменти описуються

одними

і тими ж функціями.

1. Записуємо вираз вантажного

моменту (рис. 7.2, а):

М,

М„

-Fz.

2. Прикладаємо вертикальну

одиничну силу F°= 1 до вільного

кінця

балки (рнс. 7.2, б) і записуємо

вираз згинального моменту від дії

цієї одиничної сили:

М° = М,1 - -F°

z - -г.

3. Підставляємо функції М і Л1°в інтеграл переміщень (7.1) і обчислюємо

прогин

вільного кінця

бруса:

Рис.

7.2

2EJ

-Р

2EJ 2EJ

50-0,2*

, ,

Д = = 6-10 м = 6 мм

2 100

Відповідь:

Прогин вільного кінця

бруса

складає А = 6 мм.

7.2.3. ПРИКЛАДИ ОБЧИСЛЕНЬ ПЕРЕМІЩЕНЬ

ГРАФОАНАЛІТИЧНИМ МЕТОДОМ (ЗА ПРАВИЛОМ ВЕРЕШДГІНА)

Приклад

7.3. Визначити за правилом Верещагіна вертикальне переміщення

вільного кінця консольної балки, схема якої показана на рис. 7.3, a. F = 1 кИ;

9 = 3 кИ/м; а = 2 м; EJ- 2 АІЯ-,н

2000

кИм

Розв'язання.

На вільному кінці балки прикладаємо вертикальну одиничну

силу за напрямком переміщення, що визначається (рис. 7.3, г).

1. Будуємо вантажні М (рис. 7.3, б, в) і одиничну №' (рис. 7.3, д) епюри.

Епюри

будуємо

віл кожного виду навантаження окремо, що дає можливість

ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В

ПРУЖНИХ

СИСТЕМАХ

М°

" М"

Рис.

7.3

ЯЇТЯ

формули

MH визначення площ м [ положень

3. Визначаємо переміщення за формулою (7,2). Знак

добутку

шМ

вважаємо

додатним, бо обидві епюри (М і АР) знаходяться по одну сторону від осі.

6 4

2000

151

Розділ

q = 1 кіі /м

'EJ

2^J

777?.

с.

<u"

' I 1

Лі"

СИ

1 1

Рис.

7 4

Розмірність' м —

кН'М

;

М»—м;

ЕІ — кН-мК

Відповідь:

Прогин вільного

кінця

балки становить Д = 1,8 см.

Приклад

7.4. Знайти ,за

правилом Верещагіна кут повороту

перерізу А консольної рами, схема

якої показана на рис. 7.4, а

Розв'язання.

1. В перерізі А

прикладаємо одиничний Момент

т°= 1 (рис, 7.4, б).

2, Будуємо вантажну М

(рис.

7.4, в) і одиничну М°

(рис.

7.4, г) епюри. При цьому

•

краще обходити раму від вільного

кінця

до защемлення.

3. На кожній дільниці рами

визначаємо площі <и вантажної

епюри і ординати № одиничної

під центрами ваш вантажної (фор-

мули наведені в табл. 7.1):

и'

=-2-2=-

.';о,"

=2-2=4 кЯл*

; Лі,", = М% = 1.

4. Визначаємо кут

повороту

перерізу

Д за правилом

Верещагіна

(7.2):

шД^

= і

(

, ^Ґ4 Л _16_

Відповідь:

Кут

повороту

перерізу

Д становить в = —— кНм

7.2.4.

ЗАДАЧІ

ДЛЯ

САМОСТІЙНОГО

РОЗВ'ЯЗАННЯ

7Л. Визначити за допомогою інтеграла переміщень Мора-Максвелла

вертикальну складову переміщення перерізу А криволінійного бруса, схема якого

показана

ма рис. 7.5. Брус окреслений по

дулі

кола радіуса R. Жорсткість бруса

при

згині £/=

const.

Впливом поздовжніх ,V і поперечних Q сил нехтувати.

о-я -А ,

1-nFR'

Відповідь:

— •

Е!

152

ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ

Рис.

7,5

7.2. Знайти кут повороту перерізу

криволінійного бруса постійної жорст-

кості ЕІ (рис. 7.6). Радіус кривизни бруса

Впливом поздовжніх Л' і поперечних

Q сил у розрахунках нехтувати.

Рис.

7.6

Відповідь:

G =

2FR'

7.3. Визначити горизонтальне пе-

реміщення рухомої опори арки (точки А).

Схема арки показана на рис. 7.7.

F= 10 кН; Д= 1,5 м.

Рис,

7.7

Відповідь: &.'

кИ-м

2Е1

7.4. Обчислити прогин перерізу С балки (рис. 7.8) за допомогою інтеграла Мора.

Відповідь:

Д. =

3£У

кИ-м

7.5. Визначити кут

повороту

перерізу

В балки (рис. 7.9) за

допомогою

інтеграла

переміщень,

Відповідь:

©„ =

24£/ FJ

кИ-м

1111

ЕІ

,м

Л- -

-І

Рис.

7.S

Рис.

7.9

153

Розділ

7.6. За правилом Верещагіна знайти величину прогину середини балки, схема

якої показана на рис. 7 10.

пі

-і . За т 18 ,,,

Відповідь:

Д,. = = — кИм .

2EJ ЕІ

7.7. Визначити графоаналітичним методом кут повороту переріау А сталевої

балки (рис. 7 11). Е =2- 10

МЯо; F = 20 кИ\ q = 30 кИ/м; а~ 1 ЛІ; ( = 4 л;

/=3,5-

Рекомендація.

Вантажну егаору краще

будувати

від кожного навантаження окремо.

Відповідь:

=І

0.0062

радіан.

7.8. Знайти вертикальне переміщення правого кінця балки, схема якої показана

на

рис. 7.12.

в-л -л л

<?''

5 u і

Відповідь:

Д, = —-— = к.Нм'.

24 £/ Я/

7.9. Визначити кут повороту перерізу С рами {рис. 7.13) за правилом Верещагіна.

2mb 2 ,

Відповідь:

т = 3

т = 3 ийк

ІПІІГІІПІГ

Рис.

7.10

Рис.

7.11

[

2,0

кН/м

1.5

)

ЕІ

= 1,5 м

ЕІ

£У

' "і

кН-м

Рис.

7.12

Рис.

7.13

154

ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ

7.10. Знайти за правилом

Верещагіна прогин середини

прольоту балки змінної жорсткості

(рис.

7.14).

Відповідь:

F = 3 кН

I1J J

768 3£/

3,25

ЕІ

\ •

Л<

2£У

/ = 4 .н

Рис.

7.14

7.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА

«ОБЧИСЛЕННЯ

ПЕРЕМІЩЕНЬ

У ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ»

7.3.1. Для схем криволінійних брусів, балок і рам, що показані в табл. 7.3,

визначити вертикальне переміщення і кут повороту перерізу А за допомогою

інтеграла переміщень Мора-Макспелла або правила Верещагіца.

Дані для розрахунків пзнти з табл. 7.2. Порядок визначення переміщень за

допомогою інтеграла Мора наведений у розділі

7.1.2,

за правилом Верещагіна —

в розділі 7.1.3.

Приклали визначення переміщень брусів, рам і балок розглянуті в розділах

7.2.2 і 7.2.3.

Таблиця 7.2

Номер

рядка

Варіавти

Ь,

1.0

1,1

1,2

1,3

1,5

1.6

1.7 •

1,8

1,9

завдань

ПІ,

КҐІ М

10,0

11,0

13,0

13.0

14.0

15.0

16.0

17,0

18,0

19,0

До

РПР 7.3

F.KH

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

13.0

и.о

q, кН/м

20.0

21,0

22,0

23.0

24,0

25.0

26.0

27.0

28,0

29,0

155

Розділ

РОЗРАХУНКИ

НА

МІЦНІСТЬ

У ЗАГАЛЬНОМУ ВИПАДКУ НАВАНТАЖЕННЯ БРУСА

(СКЛАДНИЙ

ОПІР)

Довільне навантаження бруса може спонукати появу в його перерізах

всіх

шести внутрішніх зусиль: поздовжньої сили N, поперечних сил (2

Q^, крутного моменту М

гі

, згинальних моментів M

і М^. Кожне л них

відповідає певній простій деформації. Наявність

двох

і більше внутрішніх

зусиль свідчить, що

брус

зазнає складної деформації, що спричиняє складний

опір.

Наприклад, наявність N і ДІ

показує, що

брус

працює на розтяг

кручення. Більшість елементів конструкцій працюють в умовах склад-

ного опору.

8.1.

ОСНОВНІ

ТЕОРЕТИЧНІ

ВІДОМОСТІ

8-М.

ЗАГАЛЬНІ

ПОЛОЖЕННЯ

В розрахунках використовують принцип незалежності дії сил;

складний

опір представляють як сукупність простих опорів. Для кожного

зусилля визначають спричинені ним напруження незалежно від дії інших

зусиль. Результати підсумовують.

Міцність

матеріалу вважається забезпеченою, якщо розрахункове

напруження

в небезпечній точці, спричинене всіма внутрішніми зусиллями,

не

перевищує допустимої величини:

Якщо

в небезпечній точці перерізу внутрішні зусилля спричиняють

появу лише нормальних напружень, то а дорівнює їх алгебраїчній сумі.

При

наявності, крім нормальних, дотичних напружень о обчислюють за

однією з гіпотез міцності.

157

Розділ

Щоб

виявити небезпечну точку, спочатку визначають ймовірно небез-

печні перерізи. Для цього

будують

епюри

всіх

наявних внутрішніх зусиль.

Потім розглядають розподіл напружень по ймовірно небезпечних перерізах

від кожного внутрішнього зусилля. Небезпечною є точка, де розрахункове

напруження має найбільше значення.

Нижче наведено особливості розрахунків і формули, притаманні окре-

мим випадкам складного опору, що найчастіше зустрічаються в практиці.

8.1.2.

КОСИЙ

ЗГИН

Ознака

косого згину: площина згинального моменту не збігається

з головною площиною інерції балки. Головна площина утворюється віссю

балки 2 і однією з головних центральних осей (х чи у) перерізу.

Косий

згин представляють як сукупність

двох

прямих згинів.

Нормальні напруження в довільній точці перерізу обчислюють за

формулою

М,

В.2)

-I -

де всі величини (М

, М — згинальні моменти; J

, J — моменти інерції

перерізу; х, у — координати точки) визначають відносно головних цент-

ральних осей перерізу.

Якщо напрямки осей х, у ви-

брати таким чином, що у 1-му

квадранті обидва згинальні мо-

менти спричиняють розтяг, то

знаки

доданків у формулі (8.2)

збігаються зі знаками координат

точки. Наприклад, при визначенні

.напруження в точці В {рис. 8.1)

перший

доданок у формулі (8.2)

додатний,

другий

— від'ємний.

Величина нормального напру-

ження

пропорційна

віддалі

точки

до нейтральної лінії, що ділить пере-

різ на розтягнуту і стиснуту

зони.

О (х у

СКЛАДНИЙ

ОПІР

Положення

нейтральної лінії визначають за формулою:

tga

= — —^ = —

•'gq>.

(S.3)

де ф — кут між площиною повного згинального моменту і віссю у;

а — кут між нейтральною лінією і віссю х.

Нейтральна лінія проходить через центр ваги перерізу, не перпендику-

лярна

до площини повного згинального моменту і перетинає ті квадранти,

які

не перетинає силова площина.

Умова

міцності для пластичного

матеріалу:

о.

*.*N.

(8.4)

де Af

, M — згинальні моменти в небезпечному перерізі; х

, у

—

координати небезпечної (найбільш віддаленої від нейтральної лінії) точки.

Для визначення небезпечної точки паралельно нейтральній лінії про-

водять дотичні до перерізу. Точки дотику є найбільш віддаленими від

нейтральної лінії точками перерізу. На рис. 8-1 небезпечною є точка D,

Умови міцності для крихкого

матеріалу:

М.

*L,^,

+ 7

(8.5)

Де У

р і y

. x

— координати найбільш віддалених від нейтральної лінії

точок розтягнутої і стиснутої зон (точки С і О на рис. 8.1); [a

] , [oj —

допустимі напруження на розтяг і стиск.

Якщо переріз має дві осі симетрії і точки, що одночасно найбільш

віддалені від обох головних осей (наприклад, прямокутник, двотавр), то

умову

міцності можна записати у вигляді:

= •

' W

де W

, Wy— моменти опору перерізу.

Для крихкого

матеріалу

замість [а] підставляють [а• J.

(8.6)

159

Розділ

СКЛАДНИЙ

ОПІР

8.1.3.

ПОЗАЦЕНТРОВИЙ РОЗТЯГ І

СТИСК

БРУСІВ

ВЕЛИКОЇ

ЖОРСТКОСТІ

Позацентровий

розтяг або стиск найчастіше виникає під дією сили F,

паралельної осі бруса і прикладеної поза центром ваги перерізу (рис. 8.2. а).

Брус великої жорсткості — цс такий брус, коли в розрахунках межна

нехтувати додатковим моментом, що виникає а результаті згину бруса.

Після

переносу сили F на вісь бруса в довільному перерізі z

(рис.

8.2, а) виникають поздовжнє зусилля N = F і згинальні моменти

М = F • о..та М = F • х...

Напруження в довільній точні перерізу визначають за формулою:

(8.7)

де /-" — позацентрово прщладена сила; А — плота перерізу

бруса;

:-<

Уг~~ координати точки прикладення сили F (ексцентриситети);

х,

у — координати точки, в якій визначається напруження;

= ,Ьц і = .Ц- —

радіуси

інерції перерізу.

* V А \ А

•

(

Рио.

8.2

160

Всі параметри визначають відносно головних центральних осей пере-

різу х, у. їх напрямки вибирають таким чином, щоб точка прикладення

гили F знаходилась у 1-му квадранті. При цьому знаки доданків у формулі

(8.7) збігаються із знаками координат точки. Так. при визначенні напру-

ження

в точці С {рис. 8.2, б) один доданок {з координатою *у») додатний,

ІНШИЙ

(з

координатою

«х*)

від'ємний.

Знак

«+» у формулі (8.7) відповідає розтягувальній силі F,

знак

«-» —

стискувальній.

Напруження

пропорційні віддалі точки до нейтральної лінії.

Рівняння

нейтральної лінії «у відрізках* має вигляд:

(8.8)

де а

, а„ — координати точок перетину нейтральної лінії з осями х і у.

(8.9)

а = -•

>;••

Нейтральна

лінія може перетинати переріз або проходити за його

межами. Якщо нейтральна лінія перетинає переріз, то вона ділить його нз

стиснуту і розтягнуту

зони.

Питання

про міцність бруса, що працює, на позацентровий розтяг або.

стиск,

розв'язується аналогічно випадкові косого згину. Визначають положення

нейтральної лінії за формулами (8.8), (8.9). Паралельно їй проводять дотичні

до контуру. Точки дотику є небезпечними (на рис. 8.2, б це точки D і Е).

Напруження

в небезпечних точках обчислюють за формулою (8.7). Для

крихкого матеріалу використовують умови міцності о|;

ИЇ

^[cf

І о^

аї

<[aj.

У випадку пластичного матеріалу досить перевірити міцність у точці, де діє

максимальне

за модулем напруження.

Визначення

розмірів перерізу виконують методом поступових наближень.

8.1.4.

СУМІСНА

ДІЯ

ЗГИНУ

КРУЧЕННЯМ

У випадку сумісної дії згинального і крутного моментів у небезпечній'

точці перерізу бруса діють, як правило, нормальне о і дотичне т напруження.

Матеріал бруса знаходиться в спрощеному плоскому напруженому стані —

1 Омг]і матеріал]и

І61

Розділ

по

площинах, перпендикулярних

до

попереднього перерізу, нормальні напру-

ження

дорівнюють нулю. Розрахункове напруження обчислюють

як

еквіва-

лентне

за

однією

гіпотез міцності.

Для

пластичних матеріалів використо-

вують

третю

або

четверту гіпотезу,

для

крихких

—

гіпотезу Мора-Кулона,

А. Розрахунок бруса довільного перерізу.

Умова міцності

за Ш-ю

гіпотезою:

< [а],

(8.10)

де

а і т —

нормальне

дотичне напруження

небезпечній точці.

Умова міцності

за IV-ю

гіпотезою:

Умова міцності

за

гіпотезою Мора-Кулона:

+ К

(8.11)

(8.12)

де

-Ы

Нормальне

о і

дотичне

напруження

небезпечній точці визначають

за формулами,

що

застосовуються

для

обчислення напружень

при

простих

деформаціях агину І кручення. Треба пам'ятати,

що

нормальні напруження

від дії

згинального моменту можуть

бути

визначені

за

формулами опору

матеріалів

для

перерізу будь-якої форми. Дотичні

напруження

т від дії

крутного моменту можуть

бути

визначені

аа

формулами опору матеріалів

тільки

для

круглого перерізу.

Б.

Розрахунок бруса

прямокутного

перерізу.

прямокутному перерізі

є три

ймовірно небезпечні точки (рис.

8.3):

точка

А,

де

виникають найбільші нормальні напруження

від

обох згинальних моментів

о-

а дотичні напруження дорівнюють нулю; точка

В, в

якій виникають

максимальне дотичне напруження

від дії

крутного моменту

кр

ahb

СКЛАДНИЙ ОПІР

нормальне напруження:

точка

С, в

якій виникають дотич-

не

напруження

= ут.

гагї

нор-

а Ш.)

мальне напруження

' •*

Рис.

8.3

Коефіцієнти

а і у

залежать

від

відношення

h/Ь. їх

знаходять

за таблицею

4.1.

точці

матеріал пере-

буває

лінійному напруже-

ному стані,

умова міцності

має

вигляд:

=ст

т!х

<[а|.

Розрахункові напруження

точках

В і С

потрібно обчислити

як

еквівалентні

за

формулами (8.10),

(8.11)

або

(8.12). Умова міцності

для

цих точок:

а„

<[а].

В.

Розрахунок бруса

круглого

перерізу.

Умова міцності

за

третьою гіпотезою:

fUs- <

Гаї

(8.13)

ДЭ.Л^пр

—

приведений момент

небезпечному перерізі

за Ш-ю

гіпотезою

міцності:

W —

осьовий момент опору перерізу.

Для суцільного перерізу

=-г—;

для

кільцевого

W =

—-{\-СЛ,

•

_4«.

Приведений момент

за Ш-ю

гіпотезою:

(8.14)

162

163