Исаев Ю.Н. Лекции по САУ

Подождите немного. Документ загружается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Е.И.Юревич Теория автоматического управления. СПб.: БХВ-Петербург, 2007.

560с.

2. А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский. Теория автоматического управления в

примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2003. 583 с.

3. В.Я. Ротач. Теория автоматического управления. М.: Издательский дом МЭИ,

2007. 400с.

4. Е.А. Никулин.Основы теория автоматического управления. СПб.: БХВ-Петербург,

2007. 640с.

5. А.Е. Булкин. Автоматическое регулирование энергоустановок. М. Издательский

дом МЭИ, 2009, 508с.

Теория автоматического управления

1. Основные понятия о системе автоматического управления

ТАУ и ТАР - входят в науку под общим названием техническая кибернетика.

Техническая кибернетика изучает общие закономерности динамических систем

управления технологическими и производственными процессами.

Автоматическое регулирование называется процесс подержания заданного значения,

какой либо физической величины в технических устройствах (агрегату, машины) без

непосредственного участия человека, с помощью регуляторов.

Автоматическое управление называется процесс изменения по некоторому закону,

какой либо физической величины в технических устройствах (агрегату, машины) без

непосредственного участия человека, с специальных автоматических устройств.

Технологический процесс производство передачи и распределение электроэнергии

представляет собой упорядоченное взаимодействие совокупности электроэнергетических

объектов: турбо и гидрогенераторов, линий электропередач, трансформаторов и других

машин и аппаратов. Целенаправленное воздействие на эти объекты называется процессом

управления. Взаимодействующие энергетические объекты, подвергающиеся

целенаправленным воздействиям, называются объектами управления.

Управление техническим объектом обычно состоит в выработки команд, реализация

которых обеспечивает целенаправленное изменение состояние этого объекта, при

соблюдении заранее обусловленных требований и ограничений.

Управление энергоблоком тепловой электростанции (ТЭС) состоит в обеспечении

выработки в каждый момент времени требуемого количества электроэнергии (которое

может меняться в соответствии с диспетчерским графиком) или из-за непредвиденных

изменений режима работы энергосистемы) при соблюдении требований к нормальному

ведению технологического процесса (поддержание давления и температуры пара перед

турбиной в заданных пределах, выполнению условий безопасности и безаварийности

работы всех механизмов, выбору такого режима сжигания топлива, при котором будет

обеспечена минимизация его удельного расхода , в условиях когда непредвиденно

меняется качество топлива, случайные отклонения частоты переменного тока в

энергосистеме от его номинального значения и т.п.).

Изменения управляемых величин в соответствии с целью управления

осуществляется подачей на объект специально организуемых управляющих воздействий.

Для реализации этих воздействий объект снабжается специально предусмотренными

для этих целей управляющими органами. Для управления энергоблоком в его

конструкции предусмотрены специальные клапаны на трубопроводах питательной воды и

генерируемого котла пара, топливоподающие устройства с регулируемой скоростью

подачи топлива, направляющие аппараты вентиляторов и дымососов и т.д.

Соответственно управляющими воздействиями являются изменения: подача топлива и

воздуха в топку, подвода воды в котел, расхода пара на турбину и т.п.

Системы автоматического управления строятся на принципе обратной связи,

который заключается в том, что состояние объекта управления, характеризующиеся

некоторыми параметрами

, , ...,

хх (рисунок В) сравнивается в управляющем

устройстве с заданным (желаемым) состоянием и в случае отличия текущего состояния от

заданного в управляющем устройстве вырабатываются управляющие воздействия

, , ...,

ррm

хх, которые возвращают состояние объекта к заданному. Отклонение

состояние объекта от заданного вызывается возмущающими воздействиями

, , ...,

вв вl

хх. Возмущения, получаемые объектом управления со стороны внешней

среды и приводящие к нежелательным отклонениям управляемых величин, называются

возмущающими воздействиями, или возмущениями.

Для объектов электростанций возмущениями являются непредвиденные изменения

количество топлива, мощности, отдаваемой в энергосистему другими электростанциями,

и мощности, которая потребляется подключенными к энергосистеме потребителями

электроэнергии, и т.п.

Степень совершенства решения задачи автоматического регулирования по отношению к

исходным требованиям к ней определяются характеристиками объекта регулирования и

характеристиками управляющего устройства (регулятора).(контроллер)

Поскольку характеристики объекта являются заданными, то необходимые требования к

системе регулирования должны обеспечиваться соответствующим выбором

характеристик регулятора.

В частных случаях совместно с системой регулирования по принципу обратной связи,

который называют также системой регулирования по отклонению регулируемого

параметра, применяется регулирование по возмущению.

Регулирование по возмущению заключается в том, что если между некоторыми

возмущающими воздействиями и регулируемой величиной существует достаточно

определенная связь, то можно, не дожидаясь появления отклонения, осуществлять

воздействие на объект, препятствующее ожидаемому отклонению регулируемой

величины.

Так как реальные объекты и элементы регулятора являются инерционными, то

применение регулирования по возмущению в многих случаях позволяет повысить

быстродействие системы регулирования, что бывает принципиально важным при

решении многих задач управления и регулирования в энергетике.

Дифференциальные уравнения. Линеаризация

При исследовании САР решаются две задачи

1. Задача анализа - задана структура и параметры САР требуется определить ее

свойства.

2. Задача синтеза – требуется построить (синтезировать) САР с заданными (с

желаемыми) свойствами.

Обе задачи не простые и для их решения необходимо

привлекать математику. Для этого САР разбивают на

подсистемы «простейшие кирпичики» - звенья. Каждое звено

описывается уравнением, чаще всего дифференциальным.

Рассмотрим одно из таких звеньев, которое

описывается нелинейным уравнением:

(,,,,) ,где ,.

Fyyxxx f x x x x

dt dt

  



- уравнение динамики

() входная величинаyt  , () выходная величина



, () возмущение

t  .

Уравнение всегда имеет положение равновесия с координатами :

00 0

,,, 0xxyyf f xxy



  . (,0,,0,0) , .Fy x f

равнение статики

исследования этого уравнения очень сложная задача (мы с ней еще столкнемся). Поэтому

вводят упрощения – его линеаризуют в окрестности точки положения равновесия,

раскладывая в рад Тейлора:

(,0,,0,0) ...

( ) , ( ) , ,....

FFFFF

Fy x x x x y y f

xx y

xxt x yyt y xx

 





 











 



 







 

 



     

Пренебрегаем членами боле высокого порядка малости, вычитаем из полученного

уравнения уравнение статики и получаем:

FFFFF

xxy yfff

xx y

 



 









       

 



 







 

 



Разделим линеаризованное уравнение на константу











и получим:

0000

0000 0

xxxyy

FFFF F

xxx x





 



 











 



  







   

     

 

    

    

 

    

f(t)

y(t) x(t)

21 123 1 2

где ,,

TxTx xkykykf k k

 



  



 





 





 







 



 





 

























 

      





 



 





 























Если операцию дифференцирования записать в виде



тогда уравнение можно

переписать в виде:









21 12 3

1Tp Tp x k kp y k f 

из которого можно найти интересующую нас величину







22 22

21 21

() ()

kkp

yfWpyWpf

Tp Tp Tp Tp



    

 

Выражения







22 22

21 21

() , ()

kkp

Wp W p

Tp Tp Tp Tp









называются

передаточными функциями по отклонению заданной величины и по возмущающему

воздействию.

и наконец, последнее упрощение, которое нам следует внести, это разделить все

величины на базовые (нормировать величины)

00 0

/, /, /

xx y yy f f f  









21 12 3

1Tp Tp x k kpy kf 

 

где

00 0

112 23 3

00 0

yy f

kkkkk k

xxx



 

2. Понятие звена системы автоматического регулирования и математическое

описание свойств линейных звеньев

Для анализа свойств систем автоматического регулирования используется их

представления в виде структурной схемы, в которой

отдельные элементы системы изображаются в виде

звеньев, соединенных между собой в соответствии с

соединением элементов, которые они замещают.

Рис 1.

Отдельное звено характеризуется определенной математической связью между входной

(

вх

) и выходной (

вых

) величинами (рисунок 1).

Звеньям системы предписывается свойство направленности действия, то есть способность

одностороннего пропускания сигнала с входа на выход.

Связь между выходной и входной величинами линейного звена (или системы) выражается

линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

01 2 1

...

nnn

mmm

dx d x dx dx

aa a aax

dt dt dt dt

dy d y dy dy

bb b bby

dt dt dt dt











 

      

(1)

Линейные дифференциальные уравнения имеют точное решение, которое, как известно,

состоит из двух составляющих

пер







(2)

Первая переходная составляющая (

вых пер

x ) есть общее решение однородного

дифференциального уравнения, которое получается из (1) приравниванием его правой

части к нулю.

В общем виде решение однородного уравнения отыскивается в виде

...

pt p t

пер n

Ce Ce Ce





. (3)

, p

, …, p

– корни характеристического уравнения, которое имеет вид

01 2 1

... 0

nnn

ap ap a p a pa







     

. (4)

Коэффициенты C

, C

, …, C

определяются по начальным условиям.

Принужденная составляющая (



) есть частное решение неоднородного уравнения (1)

(правая часть не равна нулю).

Если в установившемся режиме y не является функцией времени (например,

периодической), то принужденную составляющую можно найти, приравняв все

производные к нулю, что дает

;

ax b y









1.1. Передаточная функция звена

Передаточная функция основана на применении операторного метода, в частности

преобразования Лапласа. Формула прямого преобразования Лапласа для некоторой

функции времени x(t) имеет следующий вид

  

( ) () (), () ( )

pextdtLxtxtLXp





 



. (6)

где p – оператор Лапласа (комплексное число).

Передаточная функция – это отношение операторного изображения выходной

величины звена ()

вых

p к операторному изображению входной величины ()

вх

p при

нулевых начальных условиях

()

Вых

Вх



. (7)

Передаточная функция может быть получена непосредственно из дифференциального

уравнения, если к нему применить преобразования Лапласа

01 1

() () ... () ()

() () ... () ().

a p Xp a p Xp a pXp a Xp

b p Yp b p Yp b pYp b Yp



      

      

(8)

Из (8) нетрудно установить, что

01 1

... ( )

()

... ( )

bp bp b pb Ap

ap ap a pa Bp



  



  

. (9)

Важно обратить внимание, что знаменатель передаточной функции совпадает с левой

частью характеристического уравнения, о чем упомянуто выше.

Обратное преобразование Лапласа передаточной функции является функция Грина

(весовая функция - импульсная переходная функция)









() () () ()wt L W p W p L wt





1.2. Переходная характеристика (или переходная функция)

Дельта функция Дирака )(





и )(





-ступенчатая функция Хевисайда

Свойство дельта функции Дирака:

000

() , ()() ()

при tt

tt ttftdt ft

при tt











  









Свойство функция Хевисайда:

( ) () ()

при tt

tt t t

при tt











  







)()(

xxdxxx 









Преобразование Лапласа этих функций

 

() 1, ()Lt Lt





Рис 2.

Переходная функция h(t) – это закон изменения

во времени выходной величины при изменении

входной величины в виде единичной

ступенчатой функции. (Отклик (реакция

звена) системы на единичное воздействие)

Единичная ступенчатая функция описывается

следующим образом

0 при 0

()

1 при 0















(10)

Решение дифференциального уравнения с единичной

()t



правой частью, есть

переходная функция

()

() () ()

dx t

xt t

ешение уравнения есть ht



  ,

тогда при произвольном воздействии

()

t имеем:

()

() () () () (0) ( ) ( )

dx t

xt f t

ешение уравнения есть xt ht f h f t d







    



При нулевых начальных условиях:

() ( ) ( )

thftd











Решение дифференциального уравнения с импульсной

()t



правой частью, есть функция

Грина функция или весовая функция:

()

() () ()

dx t

xt t

ешение уравнения есть wt



  ,

тогда при произвольном воздействии ()

t имеем:

()

() () () () (0) ( ) ( )

dx t

xt f t

ешение уравнения есть xt ht f w f t d





    



При нулевых начальных условиях:

() ( ) ( )

twftd









Переходная импульсная функция w(t) –

это закон изменения во времени выходной

величины при изменении входной величины в виде дельта функции. (Отклик-реакция

звена системы на дельта воздействие)

1.3. Импульсная переходная функции (весовая функция-функция Грина)

Связь между передаточной функцией и переходной функцией можно найти используя

следующие соотношения:

() () ()

() (

()

)

wt есть отклик реакция системы на t воздействии t

переходная функция импульсная функция или весовая функция

функция Грина

пе ht есть отклик реакция системыреходн на t воздейстая фу виинкция







() () () ()

ttwtht

t t dt h t w t dt

















Напомню что преобразование Лапласа:

 

()

() ( ) () , () ( )

Lft Fp L ftdt Lft pFp













Следовательно, изображение переходной функции

() ()hp Wp



. (11)

Пример 1:

Дано дифференциальное уравнение

() (0) (0)

543()2,(0)(0)0, 0.

d x dx dy t dx dy

xyt x y

dt dt dt dt

   

Определим передаточную функцию дифф. уравнения

Запишем уравнение в операторной форме:







543 2 54312

XpXXYpY p p X pY 

Находи передаточную функцию:







()

543







Пример 2:

Дано дифференциальное уравнение

(0)

0,1 10 100 ( ), (0) 0, 0.

d x dx dx

xftx

dt dt

  

Определим передаточную функцию дифф. ур-нения

и w(t)-функцию Грина (весовую функцию )

Zp( ) 0.1 p

 10 p 10



W p()

Zp()



w1 t()

0.1 p

 10 p 10



invlaplace p

float 4

.2582 e

50.()t

sinh 38.73 t()

pZp( ) solve p

88.72983346207416885



11.27016653792583114





















zp()

Zp()



wt()



t









wt( ) float 4 .1291 e

11.27()t

 .1291 e

88.73()





t 0 0.01 4 

0 0.088 0.18 0.26 0.35

0.021

0.042

0.062

0.083

w1 t()

wt()

h1 t()

0.1 x

 10 x 10





x

invlaplace x

float 4

.1000e-1 .1000e-1e

50.()t

cosh 38.73 t() .1291e-1e

50.()t

sinh 38.73 t()

p()

Zp()



ht()

Z0()





t









ht1( ) float 2 .10e-1 .11e-1 e

11.()t1

 .15e-2 e

89.()t1



t 0 0.01 4 

Определим h(t) переходную функцию дифф. ур-нения

0 0.088 0.18 0.26 0.35

0.0024

0.0049

0.0073

0.0098

h1 t()

ht()

Делаем проверку w(t) = h'(t)

0 0.088 0.18 0.26 0.35

0.021

0.042

0.062

0.083

h1 t()

wt()

Расчитать переходный процесс при внешнем воздействии f(t)=20sin(



 2



ft( ) 20 sin  t





Fo t()

wt 



f 











d

0.1

xt()

 10

xt()

 10

x ft()

Dt x()

10

0.1



0.1



ft()

0.1

















N 10



x rkfixed













0 5  N D





















0 0.11 0.22 0.33 0.44

0.1

0.045

0.01

0.065

0.12

Fo t







1.4. Спектральное представление сигнала

Любая функции времени может быть представлена в виде (взвешанной) суммы

гармонических функций

 



() cos sin cos

kk kk

Xt a k t b k t A k t







   



2/,TT







-период

функции. Коэффициенты разложения определяются по формулам:

/2 /2

2222

()cos , ()sin ,

kt kt

aXt dtbXt dt

TTTT



 



 

 



/2 0

kkkk

при a

Aab arctg при a

при a













   













Если записать использовать формулу Эйлера





cos sin( ), cos sin( )

jt jt

e tjte tjt



  ,

тогда выражение для ряда записывается следующим образом:

   



() cos sin exp ,

kk k kkk

kkN

taktbktAjktAajb

 



    



1.5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика – это отношение комплексного

изображения выходной величины к комплексному изображению входной, когда входная

величина изменяется по гармоническому закону

() sin

yt A t





 . (16)

При изменении

()yt по (16) на выходе линейного звена в установившемся режиме

выходная величина также будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой,

но с другой амплитудой и фазой

() sin( )

xt A t









. (17)

Комплексное изображение (16) и (17)

()

;

jt j t

y х

yAe xAe







 

. (18)

Следовательно, по определению АФХ, которая обозначается как

()Wj



, равна

()







()

eAe







 

. (19)

В (19) функции А(



) и



(



) являются соответственно амплитудно-частотной и фазо-

частотной характеристиками звена.

Выражение для амплитудно-фазовой характеристики (19), являющейся комплексной

величиной, можно представить в алгебраической форме

() () ()Wj U jV









. (20)

В (20) U(



) и V(



) соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая характеристика однозначно связана с передаточной функцией.

Если учесть, что выражение для производной к-го порядка от

y и

равны

() () ;

() () ,

kjt k

Ae j y

Ae j x







  



  

( 21)

то при подстановке (18) в дифференциальное уравнение (9) получим

01 1

() () ... () ()

()

() () ... () ()

bj bj b j b Rj

aj aj a j a Qj











 



 

(22)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет свою действительную и мнимую

части