Исаев Ю.Н. Лекции по САУ
Подождите немного. Документ загружается.
21
5. Инерционное
звено первого
порядка
1
()
1
K
Wp
Tp
w(t) =K/T
d
e
-t/Td
t
K
h(t)
e
-t
/
T
1
K(1 - )
6. Инерционное
звено второго
порядка
(колебательное)
2
12
()
1
K
Wp
Tp Tp
Корни
характеристического
уравнения
12
; p
j
p
j
t
h
(t)
7. Инерционное
звено второго
порядка
(апериодическое)
2
12
()
1
K
Wp
Tp Tp
Корни
характеристического
уравнения
112 2
; pp
Все звенья можно разбить на две группы, принципиально отличающиеся по своим
свойствам.
1.
Статические звенья – это такие звенья у которых в установившемся режиме (при
0
p
) между выходной и входной величинами имеется определенная связь. То
есть эти звенья обладают свойством устойчивого равновесия. Из звеньев,
приведенных в таблице 1, к статическим относятся все звенья кроме
интегрирующего.
2.
Астатические звенья обладают безразличным равновесием (нейтральные звенья). В
таблице 1 это интегрирующее звено. При
0: (0)
и
pW
. Это означает, что при
1( )
вх
x
t
теоретически
вых
x . Если входное
воздействие приложено на ограниченное время, то
выходная величина сохраняет постоянное значение,
равное интегралу от входной величины, за это
время (рисунок 4).
2. Получение передаточной функции
системы автоматического регулирования
по передаточным функциям звеньев
Передаточная функция системы по известным
передаточным функциям звеньев может быть получена на основе замены групп,
соединенных между собой звеньев эквивалентными передаточными функциями и на
основе правил переноса воздействий.
При составлении структурных схем систем автоматического регулирования креме
условного изображения звена (рисунок 1) используются следующие символы, смысл
которых ясен из приведенных ниже схем.
знак разветвления сигнала
Рис 4.
22
знак алгебраического суммирования сигналов
или
х
1
х
2
х
4
х
3
х
4
= х
1
+ х
2
х
3
.
2.1. Эквивалентные передаточные функции типовых соединений звеньев
2.1.1. Последовательное соединение звеньев
W
1
(p)
x
вх
(p)
W
2
(p)
. . .
W
n
(p)
x
вых
(p)
Рис 5.
Из определения передаточной функции следует что
11
() () ()... ()
экв n
WpWpWp Wp
. (24)
2.1.2. Параллельное соединение звеньев
Рис 6.
Параллельным соединением в данном случае принимается такое соединение звеньев,
когда на вход всех звеньев подается одна и та же величина, а выходная величина
формируется как сумма выходных величин всех звеньев.
Достаточно очевидно, что эквивалентная передаточная функция будет равна
11
() () () ... ()
экв n
WpWpWp Wp
(25)
23
2.1.3. Соединение с обратной связью (звено, охваченное обратной связью)
Рис 7.
В этом виде соединения на вход звена с передаточной функцией
1
()Wp
подается величина
1
() () (),
где, () () ().
вх вх ос
ос ос вых
х p х p х p
х
pWpх p
(26)
В (26) знак "+" соответствует положительной обратной связи, а знак "
" – отрицательной.
Для тог, чтобы найти эквивалентную передаточную функцию звена, охваченного
обратной связью запишем выражение, связывающее
()
вых
х
p и ()
вх
х
p
1
() () () () ()
вых вх ос ос
х
pWpх pWpх p
. (27)
Из (27) выразим искомую передаточную функцию
1
1
() ()
()
() 1 () ()
вых
экв
вх ос
х pWp
Wp
х
pWpWp
. (28)
Важно обратить внимание, что при получении формулы (28) знаки, соответствующие
положительной и отрицательной обратной связи поменялись на противоположные. В (28)
знак "
" соответствует положительной обратной связи, а знак "+" – отрицательной.
2.2. Правила переноса воздействий
Перенос воздействий позволяет отдельные фрагменты структурной схемы свести к
рассмотренным выше трем видам соединения звеньев.
Правила переноса воздействий, при которых сохраняется эквивалентность структурных
схем, достаточно просты и иллюстрируются ниже.
2.2.1. Перенос точки суммирования
Исходная схема
21132
112 32
() () () () ()
() () () () ()
х
p х pWp х pWp
х pWpWp х pW p
.
а.
Перенос на выход
24
б.
Перенос на вход
W
1
(p)
х
1
(p)
W
2
(p)
х
3
(p)
х
2
(p)
1/W
1
(p)
в.
Нетрудно показать, что связь между
2
()
х
p
и
1
()
х
p
в схемах "б" и "в" такая же, как и в
схеме "а".
2.2.2. Перенос точки разветвления
Эквивалентность при переносе точки разветвления заключается в том, что должна
сохраняться прежняя связь между входной величиной
1
()
х
p
и величиной в точке
разветвления.
Исходная схема
311
() () ()
х
pWpх p
.
а.
Перенос на выход
б.
25
Перенос на вход
в.
Очевидно, что в схемах "б" и "в" также как и в схеме "а"
311
() () ()
х
pWpх p
.
3. Обобщенная эквивалентная схема системы автоматического
регулирования
Используя правила переноса воздействий и эквивалентного преобразования схем
соединения звеньев, можно структурную схему любой системы автоматического
регулирования свести к схеме из двух звеньев (рисунок 6). Одно из этих звеньев будем
считать эквивалентным объектом регулирования с передаточной функцией
()
об
Wp
, а
второе эквивалентным регулятором с передаточной функцией
()
р
Wp
.
Рис 8.
В схеме, приведенной на рисунке 8:
x
- регулируемая величина,
з
x
- задающее воздействие,
в
x
- возмущающее воздействие,
р
x
- регулирующее воздействие.
Чтобы выявить влияние закона формирования регулирующего воздействия на свойства
системы автоматического регулирования структурную схему регулятора в виде
параллельного соединения трех звеньев: безинерционного, идеального
дифференцирующего и интегрального (рисунок 9).
26
Рис 9.
Передаточная функция регулятора в соответствии со схемой по рисунку 9
1
()
ррд
и
Wp K Tp
Tp
. (29)
Полученная эквивалентная схема позволяет выявить влияние на свойства системы
автоматического регулирования в установившемся и переходном режимах параметров
объекта и регулятора.
Очень важно на этом этапе подчеркнуть, что выбор параметров системы, исходя из
желаемых свойств в установившемся режиме, нельзя вести в отрыве от анализа поведения
системы в переходном режиме.
В системе
теоретически, удовлетворяющей каким-либо требованиям в установившемся
режиме, может иметь место неудовлетворительный переходный процесс или система
может оказаться неустойчивой.
Свойства системы определяются характером зависимости регулируемой величины от
входных воздействий – задающего и возмущающего.
Так как все звенья системы принимаются линейными, то для получения указанных
зависимостей может использоваться
принцип наложения. В соответствии с этим
вводятся следующие передаточные функции.
W
об
(p)
x
в
(p)
W
р
(p)
x(p)
x
р
(p)
x
з
(p)
а
W
об
(p)
W
р
(p)
x(p)
x
р
(p)
x
з
(p)
W
об
(p)
x
в
(p)
W
р
(p)
x(p)
x
р
(p)
По каналу задающего воздействия. По каналу возмущающего воздействия.
Метод наложения
1. Передаточная функция по каналу задающего воздействия
()
() ; при () 0
()
зв
з
х p
Wp х p
х p
.
2. Передаточная функция по каналу возмущающего воздействия
()
() ; при () 0
()
вз
в
х p
Wp х p
х p
.
Для анализа также используется передаточная функция системы в разомкнутом
состоянии. Для определения этой передаточной функции разорвем систему в точке "а"
(рисунок 8) и положим
() 0
в
х p
. Тогда
()
()
()
раз
з
х
p
Wp
х
p
.
На основе правил преобразования структурных схем получим
27
() ()
()
1()()
об р
з
об р
WpWp
Wp
WpWp
; (30)
()
()
1()()
об
в
об р
Wp
Wp
WpWp
; (31)
() () ()
раз об р
WpWpWp
. (32)
В соответствии с методом наложения
() () () () ()
зз вв
х
pWpх pWpх p
. (33)
Далее проанализируем влияние передаточной функции регулятора, определяющей закон
формирования регулирующего воздействия на свойства системы автоматического
регулирования. При этом во всех случаях будем считать, что передаточная функция
объекта неизменна и является статическим звеном, то есть выполняется условие: при
0 (0)
об об
pWK
(в установившемся режиме).
3.1. Свойства системы автоматического регулирования в установившемся
режиме
Связь между регулируемой величиной и возмущающим воздействием в установившемся
режиме может быть получена по (33) при
0
p
(0) (0)
ззвв
х
W х W х
(34)
Далее рассмотрим установившийся режим при применении регуляторов различного типа.
3.1.1. Пропорциональный регулятор (П - регулятор)
Передаточная функция регулятора в этом случае
()
рр
Wp K
. (35)
То есть в (24) принято
0;
ди
TT
.
С учетом того, что
(0)
об об
WK
то (33) получим при 0
p
11
об р
об
зв
об р об р
KK
K
х
xx
KK KK
. (36)
Двойной знак в (36) принят в связи с тем, что в конкретных случаях возмущающее
воздействие может приводить как к увеличению, так и к уменьшению регулируемой
величины.
Как видно из (36), при использовании П-регулятора для объекта, описываемого
статическим звеном, имеется некоторая ошибка в воспроизведении задающего
воздействия, равная
28
1
1
об р
зз з
об р
KK
x
х
хх
KK
. (37)
невязка – отличие полученной величины x от желаемой
з
х
,(заданной – уставки ).
Также остается некоторое влияние на регулируемую величину возмущающего
воздействия, количественно равное
1
об
вв
об р
K
x
х
KK
. (38)
Из (37) и (38) следует, что, чем выше коэффициент усиления регулятора, тем точнее
воспроизводится задающее воздействие и тем меньше влияние возмущающего
воздействия.
Системы автоматического регулирования, у которых принципиально остается некоторое
остаточное влияние возмущающего воздействия принято называть статическими
системами. Зависимость регулируемой величины от возмущающего воздействия показана
на рисунке 10.
В некоторых технических областях зависимость
()
в
х
x
принято называть
характеристикой регулирования, а коэффициент наклона этой характеристики –
коэффициентом статизма, который определяется следующим образом (см. рисунок 10)
с
в
х
K
х
.
При назначении для
x и x
в
некоторых базовых значений x
0
и x
в0
коэффициент статизма
может быть определен в относительных единицах
0
*
0
в
с
в
х
x
K
x
х
. (39)
Рис 10. Выходная характеристика регулятора, или внешняя характеристика
29
В энергетике есть аналогичная величина – статическая характеристика регулятора
турбины (внешняя характеристика регулятора). Такая характеристика позволяет
отслеживать изменение частоты, когда происходит наброс
нагрузки.
0
0
, для зависимости ()
P
s
P
P
Ее чаще используют как
1/
s
для зависимости
()
P
.
Пример: Задан объект с передаточной функцией
()
1
об
об
об
K
Wp
Tp
,
0,1 0,5 1
об об з
TK x
. Получить передаточную функцию для замкнутого контура
при наличии П регуляторов.
() ()
()
1()()
РОб
РОб
WpW p
Wp
WpW p
T 0.
1
W p()
0.5
pT 1
W1 k p()
Wp()k
1Wp()k
ht()
Wp()
p
invlaplace p
float 5
.50000()e
10.()t
.5000
0
h1 t k()
W1 k p()
p
invlaplace p
float 5
.50000k
10.
10. 5. k
10.
10. 5. k
e
1.( ) 10. 5. k()t
t 0 .001 6
T
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ht()
h1 t 10()
h1 t 15()
h1 t 65()
1
t
3.1.2. Пропорционально-дифференциальный регулятор
Регулятор такого типа имеет передаточную функцию
()
ррд
Wp K Tp
. (40)
P
30
Так как при
0 (0)
ðð
pWK
, то свойства системы с П-Д регулятором в
установившемся режиме полностью соответствуют системе с П - регулятором.
Составляющая пропорциональная производной отклонения регулируемой величины
оказывает существенное влияние на свойства системы автоматического регулирования
в
переходном режиме.
3.1.3. Интегральный регулятор ( И - регулятор)
Передаточная функция И - регулятора
1
()
р
и
Wp
Tp
. (41)
Передаточные функции по задающему и возмущающему воздействиям в системе с И -
регулятором
() ()
()
1()()
об р
з
об р
WpWp
Wp
WpWp
;
()
()
1()()
об
в
об р
Wp
Wp
WpWp
()
()
()
об
з
иоб
Wp
Wp
TpW p
, (42)
()
()
()
об и
в
иоб
WpTp
Wp
TpW p
. (43)
При
0 (0) 1; (0) 0
зв
pW W
. Таким образом, в принятой эквивалентной структурной
схеме применение интегрального регулятора принципиально обеспечивает точное
воспроизведение задающего воздействия. И полностью устраняет влияние возмущающего
воздействия на регулируемую величину.
Системы автоматического регулирования, в которых регулируемая величина не
зависит от возмущающего воздействия, называются астатическими.
3.1.4. Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор)
Передаточная функция регулятора
1
()
рр
и
Wp K
Tp
(44)
Передаточные функции по каналу задающего и возмущающего воздействий
()( 1)
()
()( 1)
об р и
з
иоб ри
WpKTp
Wp
TpW p KTp
. (45)
()
()
()( 1)
об и
в
иоб ри
WpTp
Wp
TpW p KTp
. (46)
Также как и в системе с И – регулятором при
0 (0) 1; (0) 0
зв
pW W
.
Следовательно, добавление к пропорциональной части интегрального воздействия также
обеспечивает астатизм системы регулирования.