Исаев Ю.Н. Лекции по САУ

Подождите немного. Документ загружается.

o

1.414

1.414















U1 o





0.667

V1 o





0

h1U1o







h 0.333



Запас устойчивости по модулю

1i



solve 1

float 5

1.2009

1.2009

.60045 1.0401i

.60045( ) 1.0401 i

.60045 1.0401i

.60045( ) 1.0401i















11.





arg W

1i









deg



 19.669

 0.1 0.1 0.01 10



p1()

solve p1

float 5

1.8106

.9474e-1( ) 1.2837 i

.9474e-1( ) 1.2837i















1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

1.5

0.5

V1 ()

V1 o



sin t()

V1 1()

U1 () 1 U1 o



 cos t() U1 1()

Запас устойчивости по модулю и по фазе (графически)

arg 0.94211 i 0.3333()

deg

19.483

Логарифмический критерий устойчивости

ля того чтобы система,

стойчивая в разомкн

том состоянии была

стойчива и в

амкн

том состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при тех значениях

частоты



, для которых () 0L



 , разность между числом положительных и

трицательных переходов фазовой характеристики ()





через прямую ()









была равна н

лю

ример 1. Исследовать устойчивость замкнутой системы по логарифмической

амплитудно-фазовой частотной характеристике, если передаточная функция разомкнутой

системы

W p()

p10 1()p1() 0.1 p 1()



ешение. Разомкнутая система очевидно устойчива все полюсы левые.

p()

p10 1()



p()

p1()



p()

p 0.1 1



L 



20 log W i 









20 log W



















20 log W

















20 log W

















arg W

i 











arg W

i 

















arg W

i 







































 0.01 0.01 0.05 10



0.01 0.1 1 10 100 1



()

L ()



0.01 0.1 1 10 100 1



6.28

4.71

3.14

1.57



()



()



()

()





роверка

1Wp()

solve p

float 4

10.11



.4952( ) .9181 i

.4952( ) .9181 i















ример 2. Исследовать устойчивость замкнутой системы по логарифмической

амплитудно-фазовой частотной характеристике, если передаточная функция разомкнутой

системы

p()

p 1



p()

p1



p()

p 0.1 1



W p() W

p()W

p() W

p()





ешение. Разомкнутая система очевидно устойчива все полюсы левые.

L 



20 log W i 









20 log W











20 log W



















20 log W



















arg W

i 











arg W

i 











arg W

i 









 































 0.01 0.01 0.05 10



роверка

1Wp()

solve p

float 4

9.873



3.019

.4459 1.869 i

.4459 1.869 i















0.01 0.1 1 10 100 1



()

L ()



0.01 0.1 1 10 100 1



6.28

4.71

3.14

1.57



()



()



()

()





ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА И КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ПП

Оценка качества систем автоматического регулирования в переходном

режиме

Для оценки качества переходного процесса используются следующие количественные

характеристики (рис. 14).

1. Максимальное перерегулирование (о.е.)

Пm







2. Время регулирования.

Время, в течение которого выходная величина отличается от своего

установившегося значения не более чем на 5

%. ?

Рис 14.

3. Колебательность.

Число полных колебаний (периодов) изменения выходной величины за время

регулирования



Предельно плохие показатели качества переходного процесса имеет система

автоматического регулирования, находящаяся на границе устойчивости. В этом

случае переходный процесс представляет собой незатухающие колебания и поэтому

1; ;

Пm р

х tM



 

Очевидно, что, чем ближе система находится к границе устойчивости, тем хуже качество

переходного процесса. На основе этого обстоятельства вводятся косвенные показатели

качества переходного процесса, использующие критерии устойчивости.

Рассмотрим такие показатели, основанные на критерии Найквиста. На рисунке 15

приведена некоторая амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы

устойчивой в замкнутом состоянии.

-1

R =

Рис 15.

Как видно система может выйти на границу

устойчивости либо за счет изменения модулей, либо

за счет поворота векторов амплитудно-фазовой

характеристики в сторону точки с координатами

1; 0



Поэтому в качестве косвенных показателей качества

переходного процесса вводятся обозначенные на

рисунке 15 величины:

"с" – запас устойчивости по модулю,

" – запас устойчивости по фазе.

5.1. Влияние типа и параметров регулятора на запасы устойчивости по модулю и по фазе

Представление амплитудно-фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии на

комплексной плоскости позволяет просто и наглядно рассмотреть вопрос о влиянии типа

и параметров регулятора на запасы устойчивости.

При анализе будем как и ранее считать, что передаточная функция объекта известна,

следовательно известна и его амплитудно-фазовая характеристика

()

об



Влияние вида и параметров регулятора можно выявить, представив конкретный вектор и

амплитудно-фазовой характеристики в разомкнутом состоянии при некоторой частоте



в следующем виде

() () ()

()

() () () .

ðàç k î á k ð k

îá k ð ä k

îá k ð îá k ä k îá k

Wj Wj Wj

Wj K Kj

Wj K Wj K e Wj



























(51)

Соотношение (50) дает очевидное правило построения вектора амплитудно-фазовой

характеристики системы в разомкнутом состоянии.

Рассмотрим частные случаи.

1. П - регулятор ( 0; 0; 0

ðäè

KKK).

()0; ()0 0

об kkраз kkkр

Wj A W j B AK





() () ()

()

ðàç k î á k ð k

îá k ð

Wj Wj Wj

Wj K













Рис 16.

Как показано выше в системе с П - регулятором увеличение K

приводит к повышению

статической точности (снижению статизма). Одновременно, как это видно из рисунка 16

увеличение K

может приводить к снижению запасов устойчивости, а при некотором

достаточно большом значении K

может произойти нарушение устойчивости.

2. ПД - регулятор (

0; 0; 0

ðäè

KKK

()0;

()0 ;

îá k k

ðàç k k ð k k

kk k ä k

Wj A

Wj AKCB

CB A T e











() () ()

()

() ()

ðàç k î á k ð k

îá k ð ä k

îá k ð îá k ä k

Wj Wj Wj

Wj K Kj

Wj K Wj K e





















Рис 17.

Дифференциальная составляющая не влияет на свойства системы в установившемся

режиме, но как видно из рисунка 17 при прочих равных условиях приводит к увеличению

запасов устойчивости.

3. И - регулятор ( 0; 0; 0

ðäè

KKK).

()0;

()0 0

îá k k

ðàç k k k

èk

Wj A

Wj B A e







 





() () ()

() ()

ðàç k î á k ð k

èè

îá k îá k

Wj Wj Wj

KKe

Wj Wj















Рис 18.

В установившемся режиме в системе с И - регулятором принципиально отсутствуют

статические ошибки (нулевой статизм). Однако, как видно вместе с этим интегральный

регулятор приводит к снижению запасов устойчивости, так как все векторы

()

раз



поворачиваются на 90º в сторону точки

1; 0



4. ПИ - регулятор (

0; 0; 0

ðäè

KKK).

()0;

()0 ;

îá k k

ðàç k k k k

kk k

èk

Wj A

Wj AAB

AB A















() () ()

()

() () .

ðàç k î á k ð k

îá k ð

îá k ð îá k

Wj Wj Wj

Wj K

Wj K Wj





























Рис 19.

Интегральная составляющая в законе регулирования приводит к полному устранению

статических ошибок, но одновременно при прочих равных условиях снижает запасы

устойчивости (за счет составляющей

Сопоставление влияния типа регулятора и его параметров на свойства системы в

установившемся режиме и на запасы устойчивости позволяет установить, что условие

повышения точности работы системы автоматического регулирования и условие

повышение запасов устойчивости являются противоречивыми. Именно поэтому, как было

обращено внимание выше, вопросы о характеристиках системы в установившемся режиме

должны решаться

одновременно с вопросами о свойствах системы в переходном режиме и

ее устойчивости.

Основным путем разрешения противоречия между точностью и устойчивостью системы

является изменение структуры системы, введением дополнительных связей.

В качестве примера использования такого пути является применение системы с ПИД -

регулятором. Установившийся режим такой системы рассмотрен выше и установлено, что

при этом

в системе отсутствуют статические ошибки.

На рисунке 20 иллюстрируется влияние всех трех составляющих на положение

амплитудно-фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии.

()0;

()0 ;

00 ;

îá k k

ðàç k k k k k k

kkð

kk k

èk

kk k ä k

Wj A

CCDDB

CAK

CD A

DB A T e







 









() () ()

()

() .

ðàç k î á k ð k

îá k ð ä k

îá k ð

îá k ä k

îá k

Wj Wj Wj

Wj K Kj

Wj K

Wj K e





















 













Рис 20.

Из рисунка 20 очевидно, что снижение запаса устойчивости за счет интегральной

составляющей (вектор

CD), может быть устранено за счет одновременного

использования дифференциальной составляющей (вектор

B ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Записываем характеристический полином и выделяем в нем варьируемую величину v

()

() () () () ()

()

Aj Pj vQj v U jV



 



 

Метод D - разбиения

Dp k()p

 p



k 





 i 









U 







V 







Di k



complex 







k i 



















k 0.5 i 0.5 0.25 1.25()



Dp k





solve p

float 5

.64780

.17610( ) .86072 i

.17610( ) .86072 i















Dp k





solve p

float 5

.76205



( ) .53915 i



.33671( ) 1.0658 i

.98763e-1 .52661 i















Dp k





solve p

float 5

1.1118

.55901e-1 1.0589i

.55901e-1 1.0589i















 1.5 1.5 0.001 1.



0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

V ()

Im k()

U ()Rek()

ORIGIN 1

T 0.04 0.08 0.25()









0.4

A pT









p

p 1

1

p 1

1

p

1





p 1















ApT







collect T





float 3

.160e-3 p

 .880e-1 p

 .49 p

 p .680e-2 p







 1



 p()

1

.160e-3 p

 .880e-1 p

 .49 p

 p .680e-2 p







 20 20 0.01 2





0.05 0.25 i 0.08 0.025()



0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.1

0.05

0.1

Im  i ()()

Im T





Re  i ()( ) Re T





