Исаев Ю.Н. Лекции по САУ
Подождите немного. Документ загружается.
51
должны быть одного знака. Обращение одного из коэффициентов
свидетельствует о неустойчивости системы или о том, что она находится
на границе устойчивости. Если все коэффициента положительны, то все
вещественные корни (если они существуют) будут отрицательны (левые).
Комплексные корни могут быть правыми.
Обращение коэффициента свободного члена
0
n
a
в нуль свидетельствует
наличии нулевого корня.
Обращение какого-либо промежуточного коэффициента в нуль
свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней.
Пример 1.
a 12345()
T
zp() a
0
p
4
a
1
p
3
a
2
p
2
a
3
p a
4
Необходимое условие устойчивости выполнено (все к/ты положительны)
Формирование матрицы - выставляются по диагонали к/ты в порядке
возрастания начиная с а
1
. Затем матрица заполняется снизу вверх в
каждом столбце к/ты выставляются в порядке возрастания
Третий диагональный минор неустойчив, поэтому характеристический
полином не устойчив
A
a
1
a
0
0
0
a
3
a
2
a
1
a
0
0
a
4
a
3
a
2
0
0
0
a
4
A 60
zp()
solve p
float 4
1.288
( ) .8579 i
1.288( ) .8579 i
.2878 1.416 i
.2878 1.416 i
a
1
2
2a
1
a
2
a
0
a
3
22
3a
3
2 a
1
a
1
a
0
0
a
4
312
4 3a
4
460
Пример 2.
2 1012
2
1
1
2
13
024
13
024
00
0
00
0
aa
aaa
A
aa
aaa
52
a1234()
T
z p() a
0
p
3
a
1
p
2
a
2
p a
3
Необходимое условие устойчивости выполнено (все к/ты положительны)
Все диагональные миноры положительные, поэтому полином устойчив
A
a
1
a
0
0
a
3
a
2
a
1
0
0
a
3
A 8
zp()
solve p
float 4
1.651
.1747( ) 1.547 i
.1747( ) 1.547 i
2 1012
2
1
1
2
a
1
2
2 a
1
a
2
a
0
a
3
22
3 a
3
2
38
Пример 3.
a1144()
T
z p() a
0
p
3
a
1
p
2
a
2
p a
3
Необходимое условие устойчивости выполнено (все к/ты положительны)
Первый диагональный минор положительный предпоследний равен нулю
значит полином находится на колебательной границе
колебательной
устойчивости
A
a
1
a
0
0
a
3
a
2
a
1
0
0
a
3
A 0
zp()
solve p
float 4
1.
2. i
2.()i
a
1
1
2 a
1
a
2
a
0
a
3
20
3 a
3
2
30
Пример 4.
a1140()
T
z p() a
0
p
3
a
1
p
2
a
2
p a
3
Необходимое условие устойчивости выполнено (все к/ты положительны)
Первый диагональный минор положительный, последний равен нулю,
значит, полином находится на границе апериодической устойчивости
A
a
1
a
0
0
a
3
a
2
a
1
0
0
a
3
A 0
zp()
solve p
float 4
0
.5000( ) 1.937 i
.5000( ) 1.937 i
a
1
1
2 a
1
a
2
a
0
a
3
24
53
2 1012
2
1
1
2
3 a
3
2
30
Пример 5.
a4141()
T
Zp() a
0
p
3
a
1
p
2
a
2
p a
3
Необходимое условие устойчивости выполнено (все к/ты положительны)
Первый диагональный минор равен нулю значит полином находится на
колебательной границе
колебательной устойчивости
A identity 3()
A
a
1
a
0
0
a
3
a
2
a
1
0
0
a
3
A
1
4
0
1
4
1
0
0
1
Zp()
solve p
float 5
.25000
1. i
1.()i
1 0.5 0 0.5
3
2
1
1
2
3
Im ()
Re
()
Критерий устойчивости Михайлова
Рассмотрим алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами:
12
01 2 1
( ) ...
nn n
nn
Daa a a a
01 2
01 2
123
( ) ...
| ( ) | | ... |,
arg ( ) arg arg arg ...arg
n
n
n
Da
Da
D
……..
Найти все положительные значения коэффициента усиления при которых устойчива
система
54
2
1
2pp
1
1p
K
_
Передаточная функция имеет вид:
123
2
32
11
() , () , ()
1
2
()
23 2
Wp Wp Wp K
p
pp
K
Wp
pppK
W
1
p()
1
p
2
p 2
W
2
p()
1
p1
W
3
p()
K
Wp()
W
1
p()W
2
p()
W
3
p()
1W
1
p()W
2
p() W
3
p()
W
1
p()W
2
p() W
3
p()
W pK()
K
p
3
2p
2
3p 2 K
DKp()p
3
2p
2
3p 2
K
UK
Re D K i
VK
Im D K i
UK
complex 2()
2
2
K
VK
complex
3
3
0 0.01
3
Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф
характеристического многочлена, начинаясь на положительной части
действительной оси, проходил против часовой стрелки последовательно
n квадрантов
8 6 4 202468
4
3
2
1
1
2
3
4
V6 ()
V4
()
V2
()
U6
()U4() U2()
Альтернативная формулировка критерия Михайлова
Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы нули
действительной и мнимой частей характеристического полинома чередовались,
а их общее число равно
n
55
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
8
4
4
8
U6()
V6
()
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
8
4
4
8
U4()
V4
()
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
8
4
4
8
U2()
V2
()
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
( Критерий позволяет определить устойчивость замкнутой системы по устойчивости
разомкнутой системы )
Р
З
Р
()
()/ () ()
()
1()1()/()()()
Wp
Mp Dp Mp
Wp
W p M p Dp Dp M p
Характеристический многочлен замкнутой системы
имеет вид
()
() () ()1 ()1
()
Mp
Dp M p Dp Dp W p
Dp
Воспользуемся критерием Михайлова
Р
000
arg() () arg() arg1 ()Dj Mj Dj W j
(*)
Если замкнутая система устойчива, то результат должен быть равен
2
n
.
По критерию Михайлова аргумент характеристического многочлена разомкнутой системы
равен
0
arg ( )
2
Dj
(система может быть и неустойчивая) (**)
Учитывая (*) и (**) получаем выражение для аргумента величины 1()Wj
выражение:
Ð
00
arg 1 ( ) arg ( )
222
Wj n Dj n
Такт как
Нn то окончательно получаем:
Р
0
arg 1 ( )
22 2
Wj n n
2
n
Н 2ПН
2
Р
()Wp
56
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы
годограф частотной характеристики
Р
()Wj
разомкнутой системы при изменении
частоты
от 0 до
охватывал точку на угол
2ПН
2
Р
0
arg 1 ( ) 2ПН
2
Wj
А
мплитудно-фазовый критерий:
Система б
у
дет
у
стойчива, если КЧХ разомкнутой системы ()
Р
Wj
не охватывает
точки с координатами
1, 0
j
h - минимальный отрезок
действительной оси,
характеризующий расстояние
между критической точкой и
ближайшей точкой пересечение
годогрофа с действительной осью,
называют
запасом устойчивости
по модулю.
Минимальный угол
-образуемый
радиусом, проходящим через точку
пересечения годогрофа с
окружностью единичного радиуса
(с центром в начале координат) и
отрицательной частью
действительно оси, называют
запасом устойчивости по фазе
К
ритерий
у
стойчивости Найквиста – Михайлова позволяет по годографу АФЧХ
р
азомкн
у
той системы с
у
дить об
у
стойчивости САУ с обратной связью (замкн
у
той
системы). Критерий может быть использован в тех сл
у
чаях, когда
д
ифференциальное уравнение системы (или отдельных звеньев) не известны, но
п
роектировщик располагает соответств
у
ющими экспериментальными
частотными характеристиками.
1. Пример устойчивой разомкнутой и замкнутой систем.
Р
()Wp
W1 p()
10
p2
W2 p()
1
p
2
2p 4
W
p
p( ) W1 p( ) W2 p()
denom W
p
p()
solve p
float 5
2.
1.( ) 1.7321i
1.( ) 1.7321i
2 10123
3
2
1
1
2
h
()jV
()U
57
W p()
W1 p( ) W2 p()
1W1p( ) W2 p()
convert parfrac p
10
p
3
4p
2
8p 18
1W1p( ) W2 p()
solve p
float 5
3.2441
.37782( ) 2.3250i
.37782( ) 2.3250 i
Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе (графически)
U
Re W
p
i
V
Im W
p
i
0 0.01 10
2
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5
1.5
1
0.5
0.5
V ()
0
U
() 1
2
. Пример устойчивой разомкнутой системы и неустойчивой замкнутой.
Р
()Wp
W1 p()
10
p2
W2 p()
5
p
2
2p 4
W
p
p( ) W1 p( ) W2 p()
denom W
p
p()
solve p
float 5
2.
1.( ) 1.7321i
1.( ) 1.7321i
W p()
W1 p( ) W2 p()
1W1p( ) W2 p()
convert parfrac p
50
p
3
4p
2
8p 58
1W1p( ) W2 p()
solve p
float 5
4.8299
.4151 3.4405 i
.4151 3.4405i
U
Re W
p
i
V
Im W
p
i
0 0.01 10
2
58
4 3 2 101234567
6
5
4
3
2
1
1
V ()
0
U
() 1
3
. Пример, когда разомкнутая система не устойчивая, а замкнутая устойчивая:
Р
()Wp
T 1
W p()
1.5
pT 1
pT 1 solve p
1
1Wp()
solve p
float 4
.500
0
arg
система устойчива
0 0.01 10
2
2 1.5 1 0.5 0
1
0.75
0.5
0.25
Im W i ()()
Re W i
()()
4
. Пример, когда разомкнутая система имеет астатизм первого порядка, замкнутая
у
стойчивая:
W1 p()
1
p
W2 p()
5
p
2
2p 4
W
p
p( ) W1 p( ) W2 p()
denom W
p
p()
solve p
float 5
0
1.( ) 1.7321i
1.( ) 1.7321i
W p()
W1 p( ) W2 p()
1W1p( ) W2 p()
convert parfrac p
5
p
3
2p
2
4p 5
denom W p()()
solve p
float 5
1.5260
.23704( ) 1.7947i
.23704( ) 1.7947 i
U
Re W
p
i
V
Im W
p
i
0 0.01 10
2
59
Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе (графически)
1.5 1.13 0.75 0.38 0
4
3
2
1
1
V ()
0
U
() 1
5. Пример, когда разомкнутая система устойчивая и имеет астатизм первого
порядка, а замкнутая неустойчивая:
W1 p()
4
p
W2 p()
5
p
2
2p 4
W
p
p( ) W1 p( ) W2 p()
denom W
p
p()
solve p
float 5
0
1.( ) 1.7321i
1.( ) 1.7321i
W p()
W1 p( ) W2 p()
1W1p( ) W2 p()
convert parfrac p
20
p
3
2p
2
4p 20
denom W p()()
solve p
float 5
2.9463
.47313 2.5621i
.47313 2.5621i
U
Re W
p
i
V
Im W
p
i
0 0.01 10
2
4 3 2 10
6
5
4
3
2
1
1
V ()
0
U
() 1
Пример.
Р
()Wp
W
1
p()
1
p
W
2
p()
1
p
2
p 1
W
p
p() W
1
p()W
2
p()
60
W
p
j
complex
1
2
1
2
2
i
2
1
2
1
2
2
U
1
1
2
2
2
V
1
1
2
1
2
2
2
0.1 0.1 0.01 10
2
1W
p
p()
solve p
float 5
1.
1. i
1.()i
1.33 0.67 1.0001
10
8
1
1
V ()
0
U () 1
Система находится на границе устойчивости
Пример.
Р
()Wp
W
1
p()
2
p1
W
2
p()
1
p
2
p 1
W
p
p() W
1
p()W
2
p()
W
p
i
complex
simplify
2
2()
2
1 i
3
2i
1
2
4
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
simplify 2()
2
2
1
1
2
4
2
1
2()
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
simplify 2
2
2
1
2
4
2
1
Запас устойчивости по модулю
U1
2()
2
2
1
1
2
4
2
1
V1
2
2
2
1
2
4
2
1
o
2
2 solve
2
1
2
2
1
2