Исаев Ю.Н. Лекции по САУ
Подождите немного. Документ загружается.
31
Пример: Задан объект с передаточной функцией
()
1
об
об
об
K
Wp
Tp
,
0,1 1, 1
об об з
TKx
. Получить передаточную функцию для замкнутого контура при
наличии П и ПИ регуляторов.
W
Об
(p)
x
+
W
Р
(p)
x
З
-
() ()
()
1()()
РОб
РОб
WpW p
Wp
WpW p
0 0.21 0.43 0.64 0.86 1.07 1.29 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
h1 t 0 10
h1 t 20 0
h1 t 15 20
ht
1
t
0 0.21 0.43 0.64 0.86 1.07 1.29 1.5
0.85
0.88
0.92
0.95
0.99
1.03
1.06
1.1
h1 t 0 8
h1 t 20 0
h1 t 15 20
ht
1
t
И+П- рег
И- рег
Уставка
Уставка И- рег
Без
регуляторов
Без
регуляторов
П-рег
П-рег
И+П- рег
Увеличенный фрагмент
3.1.5. Пропорционально – дифференциально – интегральный регулятор (ПИД)
Передаточная функция
1
()
ррд
и
Wp K Tp
Tp
. (47)
Очевидно, что в установившемся режиме (
0
p
) свойства системы с ПИД - регулятором
такие же, как и у системы с ПИ-регулятором.
Устойчивость систем автоматического регулирования
Система автоматического регулирования устойчива, если свободная составляющая
решения линейного (или линеаризованного) уравнения (1) стремится к нулю при
t .
Корни характеристического уравнения могут быть действительными или комплексными
сопряженными. Действительным корнем соответствуют составляющие решения,
изменяющие по апериодическому закону, а каждой паре сопряженных комплексных
корней соответствуют колебательные составляющие. Если все действительны корни и
действительные части всех сопряженных комплексных корней отрицательны, то все
составляющие решения (3) затухают и система является устойчивой.
Если среди
корней есть хотя бы один положительный действительный корень или хотя бы
одна пара сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью, то
этим корнем соответствует бесконечно нарастающая составляющая решения и система в
целом является неустойчивой.
Пример:
32
Двигатель является интегрирующим звеном, потому что угол поворота его
вала dt
пропорционален интегралу скорости вращения
. А скорость вращения
пропорциональна подаваемому на якорь напряжению
У
U . При возникновении
рассогласования между
з
U и U появляется сигнал на входе усилителя который через
усилитель и интегральное звено передается на обмотку возбуждения. Обмотка
возбуждения усиливает или ослабляет магнитное поле до тех пор пока не пропадет
рассогласование
з
UU U .
Составим структурную схему:
k
у
(T
у
p+1)
k
д
p(T
д
p+1)
U
U
к
U
U
U
U -U
+
-
k
В
(T
В
p+1)
k
дн
(T
дн
p+1)
+
+
Пример:
Структурная схема гидравлической энергосистемы
с регулированием частоты вращения
33
4. Расчет переходных процессов в пространстве состояния
Метод пространства состояния (переменных состояния) - один из наиболее
эффективных методов расчета переходных процессов. Суть метода - в сведении
дифференциального уравнения электрической цепи
n-го порядка к системе n
дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши. Например,
для последовательного
RLC-контура уравнения в форме Каши будут записаны в виде:
1()
;
L
LC
C
L
di R e t
iu
dt L L L
du
i
dt C
Если ввести в рассмотрение вектор состояния
() (), ()
LC
titut
x и выписать
коэффициенты при неизвестных переменных и заданных воздействиях в виде матрицы, то
уравнения можно записать в виде:
()
() () или (,) ()
dt
tttt
dt
x
Ax BV Dx Ax F
,
() ()tt
yCx
- уравнение связи
где
А – квадратная матрица состояния размером nn
;
V(t) – вектор m независимых воздействий;
В – матрица размером nm , элементы которой определяются параметрами цепи и
ее структурой.
Для последовательного RLC-контура матрицы записываются:
1
1
()
() , ,
1
()
0
0
L
C
R
it
LL
t
L
ut
C
xAB.
Самое сложное в методе переменных состояния - формирование матриц состояния
А
и
В. Имеется несколько эффективных методов формирования уравнений состояния, но все
они основываются на записи системы уравнений Кирхгофа с последующим исключением
из системы переменных, не являющихся переменными состояния. Наличие в системе
MathCAD функций, решающих системы уравнений в символьной форме существенно
упрощает процедуру формирования уравнений состояния и соответствующих матриц.
Ниже на конкретном примере показан
расчет переходного процесса рассматриваемым
методом с использованием возможностей MathCAD.
Пример 44. Определить ток индуктивности
()
L
it
и напряжение на всех элемента цепи
(рис. 34) после включения ЭДС источника тока
Решение. Для формирования уравнений состояния
R
1
R
2
i
C
1
(t)
R
2
C
1
C
2
i
C2
(t)
L
Рис. 34
i
L
(t)
J(t)
E
1
(t)
1221
2
(), (), (), (),
(), ()
CCRR
RL
ut ututut
utut
() 20Вet
Е
, 1JA
если
1
20 ОмR ,
2
100 ОмR
,
1
100 мкФC
,
2
50 мкФC
,
0,1 Гн
L
.
34
запишем уравнения цепи по законам Кирхгофа, а затем воспользуемся вычислительным
блоком
Given Find. Интегрирование дифференциальных уравнений выполним численно,
используя функцию rkfixed, как показано в документе MathCAD.
Given
i
L
C
2
U'
C2
U
C2
R
2
J
i
L
R
1
Li'
L
U
C1
U
C2
0
Уравнения цепи, записанные по законам Кирхгофа
Ei
L
C
1
U'
C1
R
2
U
C
1
AU
C1
U
C2
i
L
E J
Find U'
C1
U'
C2
i'
L
ER
2
i
L
U
C1
R
2
C
1
R
2
i
L
U
C2
JR
2
C
2
R
2
i
L
R
1
U
C1
U
C2
L
J
Формирование матриц
A augment A 1 0 0 0 0()A01 0
0
0
() A00
1
0
0
()
() A
BA00
0
E J() A
A
1
R
2
C
1
0
1
L
0
1
C
2
R
2
1
L
1
C
1
1
C
2
R
1
L
B
E
R
2
C
1
J
C
2
0
R
1
2
0
R
2
10
0
C
1
100 10
6
C
2
50 10
6
L 0.
1
E2
0
J 1
A
100
0
10
0
200
10
1 10
4
210
4
200
B
2000
20000
0
Определение собственных чисел матрицы состояния, которые должны быть равны
корням характеристического уравнения
eigenvals A
132.84
183.58 545.458i
183.58 545.458i
35
Zp()
1
1
R
2
C
1
p
R
1
Lp
1
1
R
2
C
2
p
pZp()
solve p
float 5
183.58
( ) 545.46i
183.58( ) 545.46i
132.84
Корни характеристического уравнения и собственные числа – совпадают, значит
матрица
А записана верно. Для проверки матрицы В определяем принужденные
составляющие переменных состояния, которые должны удовлетворять равенству
–А
-
1
В.
A
1
B
34.545
45.455
0.545
U
C1ïð
ER
2
R
2
R
2
R
1
JR
2
R
2
R
2
R
1
R
2
E
U
C1ïð
34.545
U
C2ïð
E
R
2
R
2
R
1
R
2
JR
2
R
1
R
2
R
2
R
1
R
2
U
C2ïð
45.455
i
Lïð
E
R
2
R
2
R
1
JR
2
R
2
R
2
R
1
i
Lïð
0.545
Для определения дополнительных величин составляем матрицу связей С:
U
R2
EU
C
1
U
R1
R
1
i
L
U
L
U
C2
U
C1
R
1
i
L
C
1
0
1
0
0
1
0
R
1
R
1
Решаем систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта:
D t x
Ax B
x
o
0
0
0
N 40
0
T 0.0
5
i0
N
x rkfixed x
o
0 T N D
t x
0
U
R1
i
U
R2
i
U
L
i
C
x
1
i
x
2
i
x
3
i
E
0
0
tx
0
i0
N
36
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
50
40
30
20
10
10
20
30
40
50
60
x
1
i
x
2
i
U
R1
i
U
R2
i
U
L
i
t
i
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
3
i
U
R1
i
R
1
U
R2
i
R
2
t
i
Чтобы определить производные компонент переменных состояния, нужно
расширенную матрицу состояния умножить на диагональную матрицу параметров
накопителей:
i
C1
i
i
C2
i
U
L
i
C
1
0
0
0
C
2
0
0
0
L
Dt
i
x
1
i
x
2
i
x
3
i
Для анимации переходного процесса достаточно число итераций на временном
интервале N заменить на переменную
FRAME. Затем в окне редактирования графика в
позиции
Traces активизировать Hide arguments, чтобы скрыть аргументы по осям
координат. При желании окончание графиков можно снабдить жирной точкой.
Необходимо помнить, что при анимации границы аргументов по осям графиков
должны быть фиксированными. Ниже приведен фрагмент графика для семидесятого
кадра при
FRAME=70 и закрытых аргументах.
k FRAM
E
i0
k
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
50
40
30
20
10
10
20
30
40
50
60
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ниже приводится пример расчет переходного процесса в средах MathCAD,
Electronics Workbench и MATLAB для динамической системы описываемой
уравнением.
0, (0) 0, (0) 0xxx x x
37
t
x
1
d
d
x
2
t
x
2
d
d
x
1
x
2
1
A
0
1
1
1
B
0
1
A
1
B
1
0
eigenvals A()
0.5 0.866i
0.5 0.866i
Dt x() Ax
B
N 10
0
i0
N
x rkfixed
0
0
0 10 N D
d2x
i
d3x
i
Dx
0
i
x
1
i
x
2
i
012345678910
0.5
0.25
0.25
0.5
0.75
1
1.25
38
Сведение матричного дифференциального уравнения к скалярным
уравнениям
Очевидно, что решение дифференциального уравнения первого порядка c одной
переменной проще, чем системы уравнений нескольких переменных. В связи с
отмеченным представляет практический интерес расчет переходных процессов путем
замены матричного уравнения состояния системой скалярных уравнений. Чтобы перейти
от матричного уравнения состояния к системе скалярных уравнений, учтем, что матрица
состояния
А имеет собственные (характеристические) векторы и собственные
(характеристические) числа
, связанные между собой соотношением AΛΛ.
В матричном уравнении состояния
()
()
dt
t
dt
x
Ax F
сделаем замену
переменных, приняв
x Λ
y
. В результате этой замены получим
11
.
dd
dt dt
d
dt
xy
Ax F Λ A Λ yF
y
Λ A Λ y Λ F
Для собственных векторов справедливо равенство
1
1
2
0
.
0
n
Q
Λ A Λ
,
поэтому уравнение состояния записывается в виде независимых скалярных уравнений
первого порядка
1
d
dt
y
λ
y
Λ F .
В результате мы имеем систему независимых дифференциальных уравнений
39
1
11 1
2
1
22 2
.........................
n
nn n
dy
yb
dt
dy
d
yb
dt
dt
dy
yb
dt
y
λ y Λ F
.
При нулевых начальных условиях эти уравнения имеют простые
решения следующего вида:
12
12
12
12
() 1 , () 1 ,..., () 1 .
n
t
tt
n
n
n
b
bb
yt e y t e y t e
После решения скалярных уравнений можно перейти к исходным переменным
11
22
3
... ...
n
x
y
x
y
x
y
x Λy Λ
.
Пример 47. Рассмотрим схему после
коммутации с нулевыми начальными условиями,
представленную на рисунке 38. Определим токи
индуктивностей и напряжение на емкости для
следующих числовых данных:
1
100 В;40мкФ;70Ом;ЕС R
21 2
50 Ом;0,2Гн;0,1Гн;0,05Гн.RLLM
Решение. Записываем систему уравнений для мгновенных значений токов и
напряжений по законам Кирхгофа, учитывая взаимную индуктивность:
11 2 1 12 1
22 1 2 2 2 1 1
() () () () ;
() () () () () () ;
LLLL
LLLCLL
dd
LitMititRitRE
dt dt
dd
L
itMititRut ititRE
dt dt
2
() ().
CL
d
Cutit
dt
Используя вычислительный блок
Given Find, находим матрицы состояния А и
независимых воздействий
F.
12 1 12 2 1 2
22 2 2
12 12 12 12
1111211
222 2
1212 12 12
1
00
0
,
11
C
RL RM RL RM RM EL
M
LL M LL M LL M LL M
L RLRM RLRLRM EM
LL M
LL M LL M LL M
AF
Затем с помощью функции
()ei
g
envals A собственные числа матрицы состояния
А. Собственные числа матрицы А совпадают с корнями характеристического уравнения,
поэтому для ее проверки составлено выражение входного сопротивления схемы
замещения с развязкой индуктивных связей (рис. 39):
L
1
L
2
R
2
M
E
R
1
C
i
L1
i
L2
Рис. 38
40
11
11
22
()
1
0
LMpRMp
Zp
LMpRMp
LMpR
Cp
.
Дальнейшие действия и числовые расчеты
приведены в документе MathCAD.
R
1
70
R
2
50
L
1
0.2
L
2
0.1
M 0.05
C
40 10
5
E 100
Матрицы состояния и независимых воздействий
A
0
2.857
11.43
0
200
600
10
57.15
1.171
10
3
F
0
571.5
285.7
Собственные числа матрицы А
eigenvals A()
79.294
106.354
1.186 10
3
Проверка матрицы
А
zp()
L
1
M
p
R
1
Mp
L
1
M
p R
1
Mp
L
2
M
p R
2
1
Cp
zp()
solve p
float 4
1186.
106.4
79.29
Собственные векторы матрицы
А
S eigenvecs A()
S
0.9988
0.0386
0.0317
0.9975
0.0563
0.0424
0.9032
0.0275
0.4284
QS
1
A S float 4
79.29
.84e-17
.1e-16
.53e-15
106.4
.1e-15
.578e-15
.96e-16
1186.
Находим новую матрицу источников G => S
-1
F для переменной у:
G
S
1
F
G
141.978
3.155 10
4
3.172 10
4
t
y
d
d
Qy
G
u
C
i
L1
i
L2
S
y
Решения для новой переменной у
y
1
t()
G
0
0
1e
0
t
y
2
t()
G
()
1
1
1e
1
t
y
3
t()
G
()
2
2
1e
2
t
y
1
t( ) float 4 43.44 43.44 e
79.29
()
t
y
2
t( ) float 4 5.066( ) 5.066 e
106.4
()
t
L
1
-M
L
2
-M
R
E
R
1
C
i
L1
i
L2
M
Рис. 39