Исаев Ю.Н. Лекции по САУ
Подождите немного. Документ загружается.
11
()
22
( ) () () ()
() ()cos(()), ()sin(())
00
()
() () (),()
()
0
j
Wj A e U jV
UA V A
при U
V
AUV arctg
U
при U
Рис 3
Как видно из сопоставления (9) и (22), что выражение
для амплитудно-фазовой характеристики можно
получить подстановкой в выражение для передаточной
функции
p
j
.
Для решения ряда практических задач анализа свойств
систем автоматического регулирования амплитудно-
фазовая характеристика строится на комплексной
плоскости U(
) и V(
) в виде годографа, который
представляет из себя геометрическое место конца
вектора W(j
) при изменении частоты от 0 до
(Рисунок 3).
1.5. Связь между входной и выходной величинами звена в установившемся
режиме
Связь в установившемся режиме может быть получена, если в передаточной функции
положить
0p
(все производные равны нулю).
Таким образом
(0)
m
n
b
x
yW k
a
. (23)
Коэффициент
m
n
b
k
a
называют коэффициентом усиления звена.
1.6. Особенности частотных характеристик устойчивых и минимально
фазовых звеньев
Описание системы исчерпывается величинами
()
()и
j
Ae
или ()и ()UV
.
Однако для некоторых классов звеньев (устойчивых) существует однозначная связь
между образующими эти пары функциями и поэтому для описания звеньев достаточно
иметь только одну из них. Например, чтобы определить весовую функцию надо
воспользоваться следующим соотношением:
11
() cos или () sinwt U t dt wt V t dt
Проинтегрировав эти выражения получим выражения для переходной функции:
11
() sin или () cos
UV
ht t dt ht t dt
.
Эти соотношения выполняются для устойчивых звеньев, у которых полюса знаменателя
передаточной функции имеют отрицательные действительные части.
Минимально фазовым звеном называется звено, у которого все полюсы и нули имеют
отрицательные действительные части. То есть они имеют минимальный фазовый сдвиг
при любой частоте
по сравнению другими звеньями.
Пример:
()
1
k
Wp
Tp
12
Находим Амплитудно-фазовую частотную характеристику (КЧХ).
()
1
k
Wj
jT
Находим ее действительную и мнимую части
22 22 22
22 22
2 222 22
22
2
22
1
( ) () ()
11
11 1
() , () ,
11
1
1
kjT
kjkT k kT
Wj U jV j
jT jT
TT T
kkT
UV
TT
kkT T
AUV k
T
2
22
1 T
22
1
()
()
k
T
V
arctg arctg T arctg T
U
При изменении
,
меняется, от 0 до
2
.
Рассмотрим теперь звено с передаточной функцией
()
1
k
Wp
Tp
Проделываем аналогичные операции
()
1
k
Wj
jT
Находим ее действительную и мнимую частиw
22 22 22
22 22
2222 22
22
2
22
1
( ) () ()
11
111
() , () ,
11
1
1
kjT
kjkT k kT
Wj U jV j
jT jT
TTT
kkT
UV
TT
kkT T
AUV k
T
2
22
1 T
22
1
()
,(0,/2)
()
k
T
V
arctg arctg T arctg T
U
При изменении
,
меняется, от до
2
. Таким образом, второе звено создает
большее запаздывание.
1.7. Некоторые типовые звенья систем автоматического регулирования
1. Усилительное (безынерционное, статическое) звено:
Найдем передаточную функцию звена:
13
12 12
12 12
12 12
,,
UU UU
II II
R
RRR
22
11
UR
UR
передаточную функцию звена:
22
11
()
()
()
Up R
Wp k
Up R
112 112
12 12
12 12
,,
UUU UUU
II II
RR RR
2112
1
2212 21
11
,
UUUU
U
RRRR RR
передаточную функцию звена:
2
1
221
22
2
121 1
11
,
()
11
() 1
()
U
U
RRR
Up R
Wp R k
Up R R R
()Wp k
2. Апериодическое (Инерционное) звено:
Выведем выражение для инерционного звена:
,
CC
CCCC
dU dU
iC UiRU URC U
dt dt
Введем обозначение для постоянной времени
TRC
:
1
C
C
CC C
dU
UT U
dt
UTpUU TpUU
Или в наших обозначениях:
1
1
1
X
Tp X Y W
YTp
Эту же формулу можно получить через сопротивление схемы, записанное в комплексном
виде:
1
()ZR
j
C
,
y=U
1
x=U
2
R
1
R
2
I
1
I
2
14
Затем находим ток
() / ()IUZ
, напряжение на интересующем нас
элементе
1
()
C
UI
j
C
, и наконец подставим все значения и получим:
11 1
()
() 1
1
C
UU U
UI
jC Z jC jC jCR
R
jC
,
11
() ()
11
C
U
Wj Wp
UjCR pT
И так передаточная функция инерционного звена:
()
1
k
Wp
pT
и его весовая функция (функция Грина):
/
1
()
tT
wt ke
T
Чтобы найти его переходную функцию
()ht можно использовать передаточную функцию
()Wpс сомножителем 1/
p
() 1 (0) ()
1
1(0)()
pt
Wp k A Ap k
ek
pppT B pBp
T
T
//
1
tT tT
eke
Проверяем
/
() ()
tT
k
wt h t e
T
Для второго примера проделываются аналогичные операции с учетом постоянной
времени раной
/TLR
:
11
() ()
/1 1
R
U
Wj Wp
UjLR pT
Строим графические зависимости:
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ht()
t
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0
20
40
60
80
100
wt()
t
Амплитудно-фазовая частотная характеристика определяется выражением, которое мы
уже рассматривали:
22 22 22
22 22
2 222 22
22
2
22
1
( ) () ()
11
11 1
() , () ,
11
1
1
kjT
kjkT k kT
Wj U jV j
jT jT
TT T
kkT
UV
TT
kkT T
AUV k
T
2
22
1 T
22
1
()
()
k
T
V
arctg arctg T arctg T
U
15
При изменении
,
меняется, от 0 до
2
.
Построим Годограф для АФЧХ (КЧХ)
90
60
30
3. Колебательное звено:
Найдем напряжение на конденсаторе
2
2
,,,
C
L
CLCLCCL
CC
dU
di
iC UL iiUiRUU
dt dt
dU dU
LRCUcU
dt
dt
Запишем изображение для данного уравнения
2
2
2
1
CC
dU dU
LC RC Uc U LCp RCp Uc U
dt
dt
Находим передаточную функцию:
2
()
1
()
()
1
C
Up
Wp
Up
LCp RCp
Или через сопротивление:
U
V
/2k
/2k
0
A
0,707
1/
C
T
C
C
C
x=U
C
R
L
y=U
16
2
2
() 1/ ,() ()/ ()
1()1
() () ()/ 1
1
() ()/ () 1/ 1
C
C
Z
pRpL CpIpUpZp
Up
Up Ip Up Lp RCp
pC pC
RpL
pC
Wp U p Up LCp RCp
Находим функцию Грина–функцию веса:
2
2
22
1,2
2
2
1,2
2
() ()/ () 1/ 1,
41
() 0, ,
222
1
,,
22
Wp Ap Bp LCp RCp
RC R C LC R RC
Bp p
LC L L
L
RRC
pj
LL
L
Тогда весовая функция равна:
1
1
1
()
() 2Re
p
t
Ap
wt e
Bp
Теперь можно найти переходную функцию:
2
() 1
()/ ()
1
Wp
Ap pBp
p
pLCp RCp
1
22
1
1
()
(0)
() 2Re 1 sin
0
pt
t
Ap
A
ht e e t arctg
BBp
L 0.
1
C 100 10
6
R 1
0
Zp() R pL
1
Cp
W p()
1
Zp()C p
pZp()
solve p
float 4
50.( ) 312.2 i
50.( ) 312.2 i
Ws( ) simplify
100000.
100. s s
2
100000
.
Bs( ) 100. s s
2
10000
0
A p( ) 10000
0
B' p()
p
Bp()
d
d
w t() Wx()
invlaplace x
float 4
320.3 e
50.()t
sin 312.2 t()
h t()
Wx()
x
invlaplace x
float 4
1. 1. e
50.()t
cos 312.2 t() .1601 e
50.()t
sin 312.2 t()
w2 t() 2Re
Ap
2
B' p
2
e
p
2
t
h2 t() 2Re
Ap
2
B' p
2
p
2
e
p
2
t
A0()
B0()
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
150
100
50
50
100
150
200
250
wt()
t
ht()
d
d
w2 t()
t
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
ht()
h2 t()
t
В общем случае уравнение для колебательного звена имеет виде:
17
2
2100
2
dx dx
a a ax by
dt
dt
.
Или
2
0
21
2
00 0
2
2
2
b
aa
dx dx
x
y
aadta
dt
dx dx
x
ky
dt
dt
При статическом режиме имеем :
0
0
(0)
b
x
x
yxkyW k
ay
Характеристическое уравнение:
2
2
2
2
2
()
21 ()
()
21
dx dx
xky
dt
dt
X
kAp
ppXkYWp
YBp
pp
Знаменатель дроби ()
B
p имеет два корни и они могут быть комплексными и при этом
комплексно сопряженные:
1,2
p
j
либо действительные
12
,0pp .
В случае действительных корней звено называется – 4.
апериодическое (инерционное)
звено второго порядка
Определим амплитудно-фазовую частотную характеристику колебательного звена:
2
2
22
22 2 22 2
2
22 2
22
2
2
22 2
22 2
() () ()
21
1
2
,
41 41
41
() () ()
41
41
k
WU jV
j
k
k
j
k
k
AUV
A
Wj
U
Re W j
V
Im W j
18
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
V ()
U ()
0 200 400 600 800 1000
4
3
2
1
1
2
U ()
V ()
arg W j
A
Wj
0 200 400 600 800 1000
180
150
120
90
60
30
()
deg
0 200 400 600 800 1000
0.53
1.07
1.6
2.13
2.67
3.2
A ()
3.2
2
Еще одним частным случаем является–5. консервативное (автоколебательное) звено:
2
2
2
2
1()
1
dx
xky
dt
Xk
pXkYWp
Y
p
Все предыдущие звенья являются статическими звеньями, потому что при
подстановке в передаточную функцию
(), 0Wp p
получается некоторое конечное число
и выражение получается одинаковым для всех звеньев:
1. Усилительное (безынерционное, статическое) звено:
() , (0)Wp kW k
2. Апериодическое (Инерционное) звено: () , (0)
1
k
Wp W k
Tp
3. Колебательное звено:
2
() , (0)
21
k
Wp W k
pp
4. Апериодическое (инерционное) звено второго порядка:
2
() , (0)
21
k
Wp W k
pp
5.
консервативное (автоколебательное) звено:
2
() , (0)
1
k
Wp W k
p
19
6.
Астатическое (Интегрирующее) звено:
Пример интегрирующего звена:
2
11 1
2
12 1
0
/, ,
1
/() ()
CC
t
dU
iURi C ii
dt
dU
CURUt Utdt
dt RC
0
() /
t
dx
ky pX kY W p k p x k ydt
dt
Функция Грина (весовая функция):
1
() / , () ()Wp k p wt L Wp k
Переходная функция:
11
2
() 1
() / , ()
Wp
Wp k p ht L L kt
p
p
Проверка:
() ()
wt h t kt k
Определим ЧХ и АФЧХ:
() / , () () () /, ()0,() /
() ( ) / , () /2 90
o
Wj k j Wj U jV jk U V k
AWjk
k 1
W p()
k
p
h t() t
k
w t()
k
arg W j
0 0.012 0.024 0.036 0.048 0.06
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
wt()
t
ht()
d
d
t
0 0.012 0.024 0.036 0.048 0.06
0.02
0.04
0.06
ht()
t
0 200 400 600 800 1000
120
90
60
30
()
deg
7.
Реальное интегрирующее звено обладает некой инерцией
1()
1
k
Tp pX kY W p
Tp p
Рассмотренное звено не является элементарным звеном, потому что оно состоит из двух
последовательных звеньев интегрирующего и инерционного (апериодического).
R
C
U
1
U
2
20
21
1
) ()
1
( )
1
( Wp
T
k
Wp
Tp p
k
Wp
p p
8. Дифференцирующее звено. Его передаточная функция имеет вид:
,()
dy
x
kXkpYWpkp
dt
Найдем сначала переходную функцию:
11
()
()
p
Wp
ht L L
p
k
p
()kt
Теперь можно найти функцию Грина:
() () ()
wt h t k t
При произвольном внешнем воздействии имеем:
() ( ) ( ) ()
x
tfhtdkft
Амплитудно-фазовая частотная характеристика:
( ) () (), () 0, ()
() ( ) , () /2
Wj jk U jV U V k
AWjk
9. Реальное Дифференцирующее звено. Его передаточная функция имеет вид
Таблица 1.
Тип звена Передаточная
функция
Функция Грина
(Импульсная
переходная функция)
Переходная функция
1. Безинерционное
звено (усилительное
звено)
()Wp k
t
h(t)
2. Идеальное
дифференцирующее
звено
()
д
Wp T p
w(t) =T
d
’(t)
t
h
(t)
h(t) = T
д
δ(t)
3. Реальное
дифференцирующее
звено
()
1
д
д
Tp
Wp
Tp
t
h(t)
e
-t
/
T
д
4. Интегрирующее
звено
1
()
и
и
Wp
Tp
t
h
(t)
t
T
и