Исаев Ю.Н. Лекции по САУ
Подождите немного. Документ загружается.
71
T
1
0.05
ApT
1
0
solve p
float 5
25.614
10.227( ) 7.4396i
10.227( ) 7.4396i
1.7839 5.2278i
1.7839 5.2278i
T
2
0.25
ApT
2
0
solve p
float 5
25.134
8.5027( ) 4.9867i
8.5027( ) 4.9867i
.18014( ) 3.1945i
.18014( ) 3.1945i
T
3
0.025 0.08i
ApT
3
0
solve p
float 5
25.146
( ) .37205i
11.589( ) 4.6065i
7.4132( ) 7.4857i
.77487( ) 6.0487i
2.4230 2.7975i
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Классификация особых точек. Изображающая точка. Фазовый портрет
динамической системы
При нормальной работе системы всегда имеются некоторые малые возмущающие
воздействия. Эти возмущения могут быть следствиями изменения нагрузки, коротким
замыканием или обрывом цепи энергетической системы. Эти возмущения выводят
электрическую и механическую системы из положения равновесия, то есть нарушается
установившийся режим работы системы (цепи). В этом случае мгновенно включаются
системы автоматического регулирования,
которые производят соответствующие действия,
что бы вернуть систему в положения равновесия. Вызванные возмущения не должны
вызвать нарушение устойчивой работы системы. Нельзя допускать прогрессирующего
нарастания возмущений. Система должна быть устойчива при малых возмущениях, иначе
говоря, она должна обладать статической устойчивостью.
Статическая устойчивость
эта способность системы восстанавливать исходный режим после малого его
возмущения или режим, весьма близкий к исходному режиму (если возмущающее
воздействие не снято).
Устойчивая система Неустойчивая система
72
Электромеханическая система называется динамической системой. Динамическая
система описывается дифференциальными уравнениями. Элементы, входящие в систему
являются нелинейными, следовательно, дифференциальные уравнения нелинейные.
Каждая динамическая система имеет свой фазовый портрет. На фазовом портрете можно
найти особые точки – точки положения равновесия, которые помогают, не решая
дифференциальные уравнения предсказать поведение динамической системы. Эти точки
равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми. Если динамическая система
находится в окрестности устойчивой точки равновесия, то малые возмущения не нарушат
устойчивой работы системы. Если точка положения равновесия не устойчива, то
возмущения будут прогрессировать и приводят к «разрушению» системы.
Особая точка типа "Центр"
Особые точки типа "Центр", "Седло",
Линия разделяющая решения "Сепаратриса"
Особая точка типа "Седло"
73
ORIGIN 1
Дана динамическая система
t
x
d
d
x
2
y
2
1
7
t
y
d
d
xy
4
Находим точки равновесия динамической системы
x
2
y
2
17
0
xy 4
0
z
x
2
y
2
17
xy 4
solve
x
y
4
1
1
4
1
4
4
1
xo z
1
yo z
2
I
1
0
0
1
Разложим уравнения динамической системы в окрестности точки равновесия
динамической системы
x
2
y
2
series x 4 y1 2 17()8x 2
y
a
8
1
2
4
eigenvals a()
8.449
3.551
xy series x 4 y1 2
44y
x
a I 30 12
2
_
x
2
y
2
series x 1 y4 2 17()2x 8
y
a
2
4
8
1
eigenvals a()
7.179
4.179
xy series x 1 y4 2
4y 4
x
a I 30()3
2
_
x
2
y
2
series x 1 y4 2 17()2x 8
y
74
a
2
4
8
1
eigenvals a()
7.179
4.179
xy series x 1 y4 2
4y4
x
a I 30()3
2
_
x
2
y
2
series x 4 y1 2 17()8x 2
y
xy series x 4 y1 2
44y
x
a
8
1
2
4
eigenvals a()
8.449
3.551
a I 30 12
2
_
Фазовый портрет динамической системы
Дана динамическая система
t
x
d
d
x
2
y
2
5
t
y
d
d
x
2
y
2
1
3
Находим точки равновесия динамической системы
x
2
y
2
5
0
x
2
y
2
13
0
z
x
2
y
2
5
x
2
y
2
13
solve
x
y
3
3
3
3
2
2
2
2
xo z
1
yo z
2
I
1
0
0
1
Разложим уравнения динамической системы в окрестности точки равновесия
75
динамической системы
x
2
y
2
series x 3 y2 2 5() 6x 4
y
x
2
y
2
series x 3 y2 2 13()6x 4
y
a
6
6
4
4
a I 48 10
2
eigenvals a()
5 4.796i
5 4.796i
_
x
2
y
2
series x 3 y2 2 5() 6x 4
y
x
2
y
2
series x 3 y2 2 13()6x 4
y
a
6
6
4
4
a I 48()2
2
eigenvals a()
8
6
_
x
2
y
2
series x 3 y2 2 5() 6x 4
y
x
2
y
2
series x 3 y2 2 13()6x 4
y
a
6
6
4
4
a I 48()2
2
eigenvals a()
8
6
_
x
2
y
2
series x 3 y2 2 5() 6x 4
y
x
2
y
2
series x 3 y2 2 13()6x 4
y
a
6
6
4
4
a I 48 10
2
eigenvals a()
5 4.796i
5 4.796i
_
Фазовый портрет динамической системы
76
Исследовать на устойчивость динамическую систему
t
x
d
d
x 4
y
t
y
d
d
2x 5
y
A
1
2
4
5
eigenvals A()
1
3
Тип точки x=0, y=0 неустойчивый узел
Строим эскиз фазового портрета
x
y
d
d
2x 5 y()
x 4y()
25k
1 4k
k
Подставляем k=y/x
k
25k
1 4k
k solve k
1
1
2
k
1
0.5
При Y=0 получаем пересечение с осью X
x
y
d
d
2x 5 y()
x 4y()
2
atan 2()
deg
63.435
При X=0 получаем пересечение с осью Y
x
y
d
d
2x 5 y
x 4y
5
4
2
x
y
yx
77
atan
5
4
deg
51.34
Полученной информации достаточно чтобы построить Фазовый портрет
Исследовать на устойчивость динамическую систему
t
x
d
d
x
y
t
y
d
d
x3
y
A
1
1
1
3
eigenvals A()
2
2
Тип точки x=0, y=0 устойчивый узел
Строим эскиз фазового портрета
x
y
d
d
x3y
x y
13k
1 1k
k
Подставляем k=y/x
k1
13k1
1 1k1
k1 solve k1
1
1
k1
1
1
При Y=0 получаем пересечение с осью
X
x
y
d
d
x3y
x y
1
atan 1()
deg
45
При X=0 получаем пересечение с осью Y
x
y
d
d
x3y
x y
3
atan 3()
deg
71.565
Полученной информации достаточно чтобы построить Фазовый портрет
Исследовать на устойчивость динамическую систему
t
x
d
d
x
t
y
d
d
x2
y
A
1
1
0
2
eigenvals A()
2
1
Тип точки x=0, y=0
устойчивый узел
Строим эскиз фазового
портрета
x
y
d
d
x2y
x
12k
k
Подставляем k=
y
/x
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
78
§1.4 Теорема Парсеваля. Разложение дельта функции Дирака (разрешающая
способность алгоритма). Частота Найквиста (Теорема дискретизации).
При разложении произвольной функции в ряд мы вынуждены брать конечное
числа членов разложения
N . Возникает вопрос, сколько членов разложения мы
должны взять.
Для того чтобы оценить, насколько хорошо произведено разложение функции в
ряд, используют несколько подходов:
Теорему Парсеваля;
Разложение дельта функции Дирака (разрешающая способность алгоритма);
Частота Найквиста (если речь идет о гармоническом разложении дискретных
сигналов).
Теорема Парсеваля. При электротехнических расчетах часто приходится
подсчитывать мощность сигнала. Величина мощности определяется интегралом от
квадрата функции.
2
0
1
()
L
Pftdt
L
. (23)
Приведем соотношение, связывающее интегральное соотношение для мощности с
коэффициентами разложения по ортогональным функциям. Для этого представим
подынтегральную функцию в виде ряда и используя свойство ортогональности получим:
2
22
***
0 0
1
2
knt
L L
kt nt
jj j
LL L
kn kkkn
kn kkn
Ce Ce dt CC C C e dt для kn
L
(24)
И мы получаем терему Парсеваля :
2
2
0
1
()
L
k
k
PftdtC
L
(25)
Если число членов разложения конечно
2
2
0
1
()
L
N
k
kN
Pftdt C
L
(26)
Для тригонометрического ряда Фурье эта формула выглядит так:
22 2 2
0
11
0
11
()
2
L
NN
kk
kk
Pftdtb ba
L
(26’)
Эта очень важная теорема, на которую следует обратить внимание. Мы будем часто к ней
обращаться.
Пример. Применим теорему Парсеваля для нашей функции:
01 2 4
( ) 1 2 sin( ) 0,1sin(2 ) 1cos(4 )
f
tttt
ba a b
(27)
2
0
1
( ) 3,505
L
Pftdt
L
222 2 22
22 22 2
124
00
11
11 20,1140,011
1 1 3,505
22 2 2 2
NN
kk
kk
aab
bb ab
Если использовать теорему Парсеваля для ряда комплексных экспонент мы имели
таблицу:
0
79
0
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
j
0, 05 j
0
0, 5
Ниже приведено графическое представление результатов:
4
22222
2
012 4
4
0
22 2 2
1
() 2 2 2
1 2 1 2 0,05 2 0,5 1 2 0,005 0,5 3,505
L
k
k
PftdtCCCCC
L
(28)
Дельта функция Дирака – )(
0
xx
Разложить ()
x
в ряд Фурье:
()
j
tk
k
k
tCe
, (32)
тогда коэффициенты разложения будут определяться
соотношением:
22
0
00
111
() ()
222
jt n
n
Ctedttedt
.
(33)
Все коэффициенты разложения ряда имеют одинаковый относительный вклад
1
()
2
j
tk
k
te
(34)
Таким образом, когда мы аппроксимируем ()
x
рядом Фурье, то мы как бы определяет
ширину дельта функции. Чем больше членов разложения в ряде, тем уже ширина дельта
функции. И наоборот, чем меньше членов разложения в ряде, тем шире дельта функция.
Примеры разложения дельта функции с разным числом членов разложения:
24
16
8
8
16
24
24
16
8
8
16
24
()
x
(,11)t
(,6)t
80
Важно отметить, что дельта функция не должна иметь строго определенную форму.
Достаточно что бы ее функционал удовлетворял свойствам дельта функции (29) и (30).
Рассмотрим разрешающую способность разложения по полиномам Лежандра, то
есть найдем разложение дельта функции
()
x
в ряд по полиномам Лежандра
0
() ()
kk
k
tCPt
, (40)
0
21 2
(), () (), () (0)
221
nkknn nn
k
n
tPt CPtPt C C P
n
(41)
0
() (0)
() 2
21
kk
k
PtP
t
k
(42)
1 0.75 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
2
1
1
2
3
4
5
Рис. Дельта функция
()t
для различного числа членов разложения по полиномам Лежандра
ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
Преобразование аналогового сигнала в цифровой сигнал. Дискретизация и
квантование сигналов. Двоичное представление числа
Рассмотрим обобщенную схему цифровой обработки сигнала. При цифровой
обработке можно сигнала можно выделить
три основных этапа:
Формирование из аналогового сигнала ()
x
t цифрового сигнала ()
ц
x
n ;
Преобразование цифрового сигнала
()
ц
x
n
в другой цифровой сигнал
()
ц
yn
по
заданному алгоритму;
Формирование из цифрового сигнала ()
ц
y
n аналогового ()
y
t сигнала
Для осуществления этих пунктов используются три устройства:
Кодер;
Устройство цифровой обработки сигнала;
Декодер.
( ,16)t
(,4)t
(,7)t