Исаев Ю.Н. Лекции по САУ
Подождите немного. Документ загружается.
41
y
3
t( ) float 4 .5006e-1( ) .5006e-1 e
1186.
()
t
Возвращаемся к переменным состояния:
xt() S
y
1
t()
y
2
t()
y
3
t()
xt()
0
float 4 100.0 397.4 e
79.29
()t
297.5 e
106.4
()t
.1081 e
1186.()
t
xt()
1
float 4 1.429 15.37 e
79.29
()t
16.80 e
106.4
()t
.3287e-2 e
1186.()
t
xt()
2
float 4 .893e-18 12.60 e
79.29
()t
12.66 e
106.4
()t
.5129e-1 e
1186.()
t
1
min
0.013
T5
T 0.063
N 100
i0
N
t
i
T
N
i
Пример 48. Определить ток индуктивности i
L
(t) и напряжение на емкости u
C
(t) при
размыкании ключа в цепи по рис. 40 с заданными параметрами элементов:
Е=50 В; R=10
Ом;
L=0,05 Гн; С=150 мкФ.
Решение. Запишем уравнения для схемы после коммутации:
2; /.
LLCCC
u Ri u i Cdu dt
Отсюда следует:
()
() 1 1
(2 ); ;
C
L
LC L
du t
di t
R
iu i
dt L dt C
21
0
;.
1
0
0
R
LL
C
AF
Начальные условия:
(0) 2,5 A, (0) (0) 25 B.
2
LCL
E
iuRi
R
Дальнейшие вычисления выполняем в системе MathCAD.
Исходные данные и начальные условия
L 0.05
C
150 10
6
R 1
0
E5
0
i
L0
E
2R
u
C0
E
2
A
2R
L
1
C
1
L
0
A
400
6.667 10
3
20
0
- матрица состояния
Определяем собственные числа и собственные векторы:
0 0.013 0.025 0.038 0.05 0.063
0
20
40
60
80
100
xt
i
0
t
i
x
x
0 0.013 0.025 0.038 0.05 0.063
0
0.6
1.2
1.8
2.4
3
xt
i
1
xt
i
2
t
i
L
C
E
R
R
R
Рис. 40
42
eigenvals A()
200
305.505i
200 305.505i
eigenvecs A()
0.03
0.046i
0.999
0.03
0.046i
0.999
Делаем замену переменных и получаем скалярное уравнение:
1
x Λ yyΛ y
dy
dt
1
0
0
2
y
1
y
2
y
10
y
20
1
i
L0
u
C0
y
10
y
20
12.519 35.514i
12.519 35.514i
T 0.05
N 10
0
i0N
t
i
T
N
i
y
1
t() y
10
e
0
t
y
2
t() y
20
e
1
t
i
L
i
u
C
i
y
1
t
i
y
2
t
i
Записываем окончательное решение и строим графики
y
1
t
y
2
t
float 5
complex
2.5000 e
200.00()t
cos 305.51 t
3.2732 e
200.00()t
sin 305.51 t
25.000 e
200.00()t
cos 305.51 t
70.920 e
200.00()t
sin 305.51 t
0 0.013 0.025 0.038 0.05
2
1
1
2
3
i
L
i
t
i
0 0.013 0.025 0.038 0.05
10
10
20
30
40
50
u
C
i
t
i
Расчет переходных процессов с помощью передаточной функции
Пусть уравнение состояния произвольной цепи записано в форме
()
() ()
dt
tt
dt
x
Ax Be .
Его решение существенно упростится, если воспользоваться преобразованием Лапласа и
перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. При нулевых начальных
условиях будем иметь
1
() () () () ()
() (),
p
pppppp
pp p
IX AX BE I A X BE
XIABE
где
I - единичная матрица.
Если внешнее воздействие принять в виде дельта - функции Дирака, то для
многомерной передаточной функции получим:
1
()
()
()
p
pp
p
X
WIAB
E
.
Чтобы получить многомерную импульсную переходную функцию
()ht
, нужно
выполнить обратное преобразование Лапласа для передаточной функции
().
p
W Если на
43
входе цепи действует источник ЭДС в виде единичного скачка
() 1/
E
pp , то после
обратного преобразования Лапласа функции
()/
p
pW получим переходную функцию
()ht .
MathCAD позволяет выполнять символьное как прямое, так и обратное
преобразования Лапласа.
Пример 49. Определить напряжение на конденсаторе и ток индуктивности для
схемы рис. 41, считая начальные условия нулевыми. Исходные данные:
Е=30 В; R=20 Ом;
L=0,1 Гн; C=100 мкФ.
Решение. Записываем уравнения Кирхгофа и
формируем матрицу состояния и вектор воздействий:
CC
LC
C
L
CL
du du
CiRuRCE
dt dt
du
di
RC u i R L
dt dt
Given
Cu'
C
i
L
R u
C
RC u'
C
E
RC
u'
C
u
C
i
L
R Li'
L
Ai
L
u
C
E
Find i'
L
u'
C
1
2
3i
L
R
u
C
E
L
1
2
i
L
R u
C
E
RC
E
При наличии матрицы состояния и вектора воздействий легко получить
передаточную функцию
()
p
W в MathCAD, как показано ниже.
E10
L
0.1
C
100 10
6
R
10
A
3
2
R
L
1
2C
1
2L
1
2RC
F
1
2L
1
2
1
RC
1
eigenvals A()
250
400
W
p( ) identity 2()p A()
1
F
Wp( ) float 5
5.0000
p 500.
p
2
650. p .10000e6
2500.0
p
2
650.00 p .10000e6
25000.
p
2
650.00 p .10000e6
500.
p 150.
p
2
650. p .10000e6
Теперь можно получить аналитическую зависимость для переходных функций тока
индуктивности
()
L
ht и напряжения конденсатора ()
C
ht, используя обратное
преобразование Лапласа
h
L
t()
Wp()
0
p
invlaplace p
float 4
.5000e-1 e
400.()t
.1000 e
250.()t
.5000e-1
L
C
E
R
R
R
Рис. 41
44
h
C
t()
Wp()
1
p
invlaplace p
float 4
2.500()e
400.()t
2. e
250.()t
.5000
Чтобы получить аналитические зависимости тока индуктивности
()
L
itи напряжения
на конденсаторе
()
C
ut нужно переходные функции умножить на ЭДС Е.
i
L
t() h
L
t()
E
u
C
t() h
C
t()
E
T 0.1
N 10
0
i0N
t
i
T
N
i
0 0.025 0.05 0.075 0.1
0.12
0.24
0.36
0.48
0.6
i
L
t
i
t
i
0 0.025 0.05 0.075 0.1
2
4
6
8
10
u
C
t
i
t
i
Если входное воздействие является функцией времени
()et , то для определения
тока индуктивности и напряжения на конденсаторе можно воспользоваться интегралом
Дюамеля:
00
() ()
() () (0) ( ) ; () () (0) ( ) .
tt
LL L C C C
de de
it htE h td ut ht e h td
dd
Например, если внешнее воздействие в рассматриваемом примере
() 10cos(200)et t , то в документе MathCAD нужно записать:
et( ) 10 cos 200 t()
i
L
t()
0
t
h
L
t
e
d
d
dh
L
t()e 0()
u
C
t()
0
t
h
C
t
e
d
d
dh
C
t()e 0()
0 0.025 0.05 0.075 0.1
0.3
0.15
0.15
0.3
i
L
t
i
t
i
0 0.025 0.05 0.075 0.1
10
5
5
10
u
C
t
i
t
i
45
Модель двигателя постоянного тока независимого возбуждения
M
C
U
M
D
U
+
-
L
a
U
R
a
E= C
М
,
,
,
à
ààà à ó
dñ d ó
eeì ì
di
UiRL FF Ñ
dt
d
MMJ M Ñ
dt
kÑk Ñ
Разрешим
уравнения относительно
производных и запишем
их в нормальной форме:
1
1
[]
àà e
à
àà à
ìà ñ
di U k
i
dt L T L
d
ki M
dt J
Give
n
U
a
i
a
R
a
L
a
i'
a
k
e
i
a
k
ì
M
c
J '
Ai
a
M
c
U
a
Find i'
a
'
U
a
i
a
R
a
k
e
L
a
i
a
k
ì
M
c
J
U
a
A augment A 1 0 0 0
()A01 0 0()() A
A
R
a
L
a
k
ì
J
k
e
L
a
0
BA00
M
c
0
A00 0 U
a
A
B
U
a
L
a
M
c
J
Исходные данные
P
í
0.1
7
U
í
11
0
R
îÿ
5.8
4
L
a
128 10
3
47.
5
n75
0
J 0.00
4
I
í
P
í
10
5
U
í
R
äîï
4.4
0
R
a
R
îÿ
R
äîï
R
a
10.24
I
í
3.254
í
n
30
í
78.54
k
ì
10
3
P
í
í
I
í
k
e
U
í
I
í
R
a
í
k
ì
0.665
k
e
0.976
T
a
L
a
R
a
T
a
0.013
T
ì
JR
a
k
ì
k
e
T
ì
0.063
T
ì
T
a
5.045
T 1
.
U20
0
M
c
t() I
í
k
e
M
c
t() I
í
k
e
0t
T 0.4
if
I
í
k
e
2 T 0.4 t 0.8 Tif
I
í
k
e
0.5 otherwise
46
A
R
a
L
a
k
ì
J
k
e
L
a
0
Bt()
U
L
a
M
c
t()
J
I
ïð
ïð
A
1
BT()
Dt x
() Ax
Bt()
N 20
0
I
ïð
ïð
4.775
154.762
B0()
1562.5
794.16965
x rkfixed
0
0
0 T N D
tx
0
i0
N
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
4
8
12
16
20
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
40
80
120
160
200
Метод замены матричных уравнений на скалярные
eigenvecs A
0.33
0.944
0.13
0.992
eigenvals A
58.203
21.797
b
1
B0()
b
7.059 10
3
5.919 10
3
y
1
t()
b
0
0
e
0
t
1
y
2
t()
b
1
1
e
1
t
1
47
y
1
t1( ) float 4 162.0 e
21.80()t1
162.
0
y
2
t1( ) float 4 416.7 e
58.20()t1
416.
7
i
i
i
y
1
t
i
y
2
t
i
0 0.1 0.2 0.3 0.4
5
10
15
20
i
i
x
1
i
t
i
0 0.08 0.16 0.24 0.32 0.4
40
80
120
160
200
i
x
2
i
t
i
Аналитический метод расчета переходных процессов
Пусть система дифференциальных уравнений для вектора переменных состояния
123
,,...
n
x
xx xx
записана в форме
d
dt
x
Ax B
.
Решением этой системы будет выражение:
()
0
() (0) ( )
t
tt
tee d
AA
xx B
где
123
(0) (0), (0), (0)... (0)
n
xx x xx - вектор начальных условий;
t
e
A
- матричная экспонента.
Матричную экспоненту
t
e
A
, аргумент которой – квадратная матрица At порядка n,
можно представить в виде конечного ряда n слагаемых
2-1
01 2 -1
() () () ... ()
tn
n
ett t t
A
I Α AA,
где
k
– коэффициенты ряда - функции времени.
Коэффициенты ряда
012 1
,, ...
n
можно найти, решив систему n
алгебраических уравнений, записанных с помощью собственных чисел матрицы
состояния
А:
1
2
21
01112 1 1
21
02122 2 1
21
01 2 1
..
..
,
............
..
n
t
n
n
t
n
n
t
n
nn nn
e
e
e
или в матричной форме:
1
2
21
11 1
0
21
1
22 2
21
1
1...
1...
..
..
......
1 ...
n
n
t
n
t
t
n
n
nn n
e
e
e
.
Решение системы уравнений относительно искомых коэффициентов разложения
имеет следующий вид:
48
1
2
1
21
11 1
0
21
1
22 2
21
1
1 ...
1...
..
..
......
1...
n
n
t
n
t
t
n
n
nn n
e
e
e
.
После подстановки найденных коэффициентов в разложение матричной экспоненты
находим искомое решение.
Пример 50. Определить ток индуктивности и напряжение на емкости в цепи рис. 42,
если известны параметры элементов:
20 В;10Ом;
E
R 50 мкФ;C 0,15 Гн.
L
Решение. Записываем систему уравнений по законам Кирхгофа и формируем
матрицы состояния и вектор воздействия:
L
LC
di
LiRu
dt
;
;
C
L
LL
du
di
LiRiC RE
dt dt
1
11
R
LL
CRC
A ;
0
E
L
F
.
Все дальнейшие действия приведены в документе
MathCAD.
Give
n
Li'
L
i
L
R u
C
Li'
L
i
L
R
i
L
Cu'
C
R
E
Ai
L
u
C
E
Find i'
L
u'
C
i
L
R
u
C
L
i
L
R u
C
E
RC
E
A augment A 1 0
0
()A01
0
()
() A BA00
E
() A
A
R
L
1
C
1
L
1
RC
B
0
E
RC
R 1
0
E2
0
C
50 10
6
L
0.15
A
R
L
1
C
1
L
1
RC
A
66.667
2 10
4
6.667
2 10
3
F
0
E
RC
F
0
410
4
начальные условия
i
L0
u
C0
E
3R
E
3
i
L0
u
C0
0.667
6.667
Рис. 42
R
E
C
L
R
R
49
собственные значения матрицы
А
eigenvals A()
138.285
1.928 10
3
коэффициенты разложения матричной экспоненты
t()
1
1
0
1
1
e
0
t
e
1
t
t()
0
float 5 1.0773 e
138.29
()t
.77250e-1 e
1928.4
()t
t()
1
float 5 .55863e-3 e
138.29
()t
.55863e-3 e
1928.4
()t
матричная экспонента
I identity 2()
I
1
0
0
1
Exp t() t()
0
It()
1
A
Exp t( ) float 3
1.04 e
138.()t
.400e-1 e
.193e4
()t
11.2()e
138.()t
11.2 e
.193e4()t
.372e-2 e
138.
()t
.372e-2 e
.193e4()t
.400e-1()e
138.()t
1.04 e
.193e4()t
анал
итическое решение
i
L
t( ) Exp t()
i
L0
u
C0
0
0
t
Exp t
F
0
d
u
C
t( ) Exp t()
i
L0
u
C0
1
0
t
Exp t
F
1
d
i
L
t( ) float 4 .3588()e
138.3
()t
.2575e-1 e
1928.
()t
1.000
u
C
t( ) float 4 3.855 e
138.3
()t
7.191 e
1928.
()t
10.00
T
0.03
t 0 0.01 T
T
0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i
L
t()
t
0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03
3
6
9
12
15
u
C
t()
t
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корни ее
характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по
которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об
устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные
признаки называются
критериями устойчивости
50
Объекты, обладающие свойством возвращаться к своему прежнему
состоянию после устранения причин, вызвавших изменение этого
состояния, можно назвать устойчивыми.
15
71
p
1
i
p
2
p
1
a
2
p
1
p
2
a
1
p
1
p
2
zp() p
2
a
1
p a
2
a
2
5.266 10
3
a
1
30
25 20 15 10 50
51015
100
75
50
25
25
50
75
100
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
4
3
2
1
1
2
3
4
p
1
5
p
2
2
a
2
p
1
p
2
a
1
p
1
p
2
z p() p
2
a
1
p a
2
a
2
10
a
1
7
25 20 15 10 5051015
100
75
50
25
25
50
75
100
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Критерий устойчивости Рауса - Гурвица (алгебраические
критерии устойчивости)
Все коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы