Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики

Подождите немного. Документ загружается.

Введение в интегральные преобразования

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева













||)(

cdttf

который имеет физический смысл, аналогичный непрерывному случаю, - средняя по пе-

риоду энергия сигнала равна сумме средних по периоду энергий, сосредоточенных на со-

ставляющих сигнал частотах.

Понятие об обобщенных функциях и дельта-функция Дирака

Обобщенная функция не является функцией в обычном смысле. Обобщенная функция это

линейный функционал, - линейная числовая функция, заданная на некотором линейном

пространстве функций

][][][ gFbfFagbfaF 

Часто линейный функционал может быть определен при помощи операции вычисления

скалярного произведения в пространстве функций, - интегрирования функции-аргумента

функционала

)(xf

с некоторой фиксированной функцией

)(xF







 dxxFxfFffF )()(),(][

Первым примером обобщенной функции была дельта-функция Дирака

)( at 



, опреде-

ляемая линейным функционалом

)()()( afdttfat 









Из этого определения немедленно вытекает, что преобразование Фурье дельта-функции

1)exp()( 







dxtit

















dtit )exp(

)(

Дельта-функция позволяет обобщить понятие разложения функции по ортонормирован-

ному базису на случай, когда базисные функции нумеруются непрерывным индексом







),exp()( tit

При этом соотношение ортогональности и нормировки базисных функций имеет вид

)(2))(exp()(),(),(

2121

2112



















dttidttt

Тогда преобразование Фурье трактуется как формула вычисления координат функции

)(tf

относительно базиса

)}({ t











 dttitff )exp()()(



При помощи дельта-функции Дирака можно обобщить введенное выше понятие спек-

тральной плотности на случай дискретного набора частот по формуле









)(||)(



Введение в интегральные преобразования

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Введение обобщенных функций существенно расширяет возможности выполнения таких

операций как дифференцирование и преобразование Фурье. В частности в рамках обоб-

щенных функций можно дифференцировать функции с конечными разрывами, а для до-

пустимости преобразования Фурье достаточно лишь интегрируемости функции на любом

конечном интервале. Так, приведенное в таблице преобразование Фурье функции Хеви-

сайда, следует понимать именно как преобразование Фурье обобщенной функции, при

этом ее производная

)()( tt







Заметим также, что с помощью дельта-функции очень удобно записывается взаимосвязь

любой пары прямого и обратного интегрального преобразования

)()|(

)|(

yydxyxKxyK







)()|()|(

xxdyxyKyxK







Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Матрицы и системы линейных уравнений

Линейные евклидовы пространства

Понятия линейных операций над векторами и скалярного произведения лежат в основе

аксиоматики многомерных евклидовых пространств.

Абстрактное линейное пространство, это множество абстрактных объектов – векторов,

которое замкнуто относительно линейных операций. Это означает, что для любой пары

векторов, принадлежащих рассматриваемому линейному пространству, любая их линей-

ная комбинация также принадлежит этому пространству.

MBAMBA 





Понятие размерности линейного пространства связано с понятием линейной независимо-

сти набора векторов. Размерность пространства

– это максимальное число линейно не-

зависимых векторов. Иными словами, в

- мерном пространстве любой вектор можно

разложить по базисному набору из

линейно независимых векторов

eaeaeaa











2211

Разложение вектора по базису вводит в рассмотрение координаты вектора, и способ зада-

ния вектора координатами:

);;(

21 d

aaaa 





Линейные операции над векторами, заданными координатами, проводятся по формулам

);;(

2211 dd

babababa



 



Следующим шагом является введение ортонормированного базиса. Этот шаг полностью

связан с введением понятия скалярного произведения многомерных векторов.

Скалярное произведение вводится аксиоматически, как симметричная билинейная (ли-

нейная по каждому из аргументов) функция двух векторов:

),(),( abba









),(),(),( cbcacba











При этом, по определению, векторы для которых скалярное произведение равно нулю на-

зываются ортогональными, а квадратом длины вектора называется его скалярное произве-

дение на самого себя

),(||

aaa





Ортонормированный базис определяется, как и ранее, формулами











),(



Тогда скалярное произведение векторов, заданных координатами относительно ортонор-

мированного базиса, вычисляется по формуле

babababa  



2211

),(

а длина вектора – по формуле

aaaa  



Матрицы и системы линейных уравнений 2

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Выписанные формулы отличаются от соответствующих формул трехмерного случая толь-

ко числом координат векторов, определяемым размерностью пространства. Фактически,

все эти формулы следует рассматривать как аксиомы, определяющие понятие евклидова

пространства произвольной конечной размерности.

Линейные операторы и их представление матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, занумерованных парой индексов.

Положение каждого из чисел в матрице определяется номером строки и столбца, в кото-

рых это число расположено. Числа, расположенные в матрице называются элементами

матрицы или матричными элементами. По соглашению, первый индекс матричного эле-

мента нумерует строку, в которой этот элемент расположен, а второй – столбец. Для мат-

риц используются следующие основные обозначения. Полная запись:

mnnmmm

nmnmmm

aaaa

1,21

,11,12,11,1

21,22221

11,11211















Сокращенная запись:





Обычно саму матрицу обозначают некоторой заглавной буквой, а ее элементы – той же

строчной буквой с индексами. Иногда для матричных элементов удобно использовать еще

одно обозначение:

ikik

Aa )(

Одной из характеристик матрицы является ее размер, число строк и столбцов матрицы. В

приведенной выше записи, матрица имеет размер

nm

строк и

столбцов. Размер

матриц имеет принципиальное значение при определении того, какие операции разрешено

выполнять над рассматриваемыми матрицами. Поэтому, во избежание противоречий, раз-

мер матрицы рекомендуется включать в сокращенное обозначение матриц.

Понятие размера матриц необходимо уже на стадии определения понятия равенства мат-

риц. Две матрицы называются равными тогда, когда они имеют одинаковый размер, и ко-

гда равны их элементы, расположенные на одинаковых местах.

Простейшими операциями над матрицами являются линейные операции.

Из линейных операций простейшей операцией является операция умножения матрицы на

число. Эта операция выполнима для любой матрицы и любого числа. Чтобы умножить

матрицу на число надо каждый ее матричный элемент умножить на это число

aaA



 )(



Следующая по сложности операция – сложение матриц. Сложение матриц уже не является

всегда допустимым. А именно, складывать можно только матрицы одинакового размера.

При этом размер матрицы-суммы совпадает с размером матриц-слагаемых. Операция

сложения матриц, при условии ее допустимости, проводится путем суммирования мат-

ричных элементов, расположенных в слагаемых на одинаковых местах

ikik

babaBA



 )(

Матрицы и системы линейных уравнений 3

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Операция вычитания матриц проводится при помощи комбинации операций сложения и

умножения на число

ikik

bababaBABA



 )()1()1(

Данная операция также может быть выполнена только над матрицами одинакового разме-

ра.

При вычитании двух равных матриц получается матрица, все элементы которой равны ну-

лю, так называемая нуль- матрица. Для нуль- матрицы не вводят специального обозначе-

ния, а используют обычный нуль. Однако при записи матричных равенств, содержащих

нуль, необходимо помнить, что нуль обозначает именно нуль-матрицу.

Линейная операция общего вида над парой матриц одинакового размера выполняется при

помощи комбинации операций сложения матриц и умножения матрицы на число

ikik

bababaBA



 )()()(



Линейные операции над произвольным числом матриц одинакового размера выполняются

при помощи последовательного выполнения линейных операций над парами матриц.

Операция умножения матриц может быть выполнена только в том случае, когда число

столбцов в первом сомножителе равно числу сток во втором сомножителе. В результате

перемножения получается матрица, число строк которой равно числу строк в первом со-

множителе, а число столбцов – числу столбцов во втором сомножителе:

cba





Правило перемножения матриц подчеркивает первостепенную роль размера матриц и по-

рядка сомножителей для определения самой допустимости выполнения умножения.

Правило вычисления матричных элементов матрицы-произведения записывается в сле-

дующем весьма необычном виде







lkilnkinkikikiik

bababababac

332211



Читается это правило следующим образом: матричный элемент, стоящий в

йi 

строке и

мk 

столбце матрицы-произведения равен произведению

йi 

строки первого сомно-

жителя на

йk 

столбец второго сомножителя.

Формула для вычисления матричных элементов произведения матриц имеет ту же струк-

туру что и формула вычисления скалярного произведения векторов в многомерном про-

странстве.

Для запоминания правила вычисления матричных элементов матрицы-произведения

удобно рассмотреть простейший пример перемножения матриц: умножение матрицы-

строки на матрицу-столбец.

112211

)( cbababa

aaa

 





В приведенном примере результатом умножения строки на столбец является матрица, со-

стоящая из единственного элемента.

Матрицы и системы линейных уравнений 4

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Как указывалось выше, при перемножении матриц существенное значение имеет порядок

сомножителей. Рассмотрим задачу о перемножении нескольких матриц, например, случай

перемножения четырех матриц

ABCD

. Чтобы такое произведение было определено необ-

ходимо выполнение следующего условия: перемножение любой пары рядом стоящих

матриц должно быть разрешено. Это правило называют ассоциативностью матричного

умножения

)()()( CDABDBCACDABABCD 

При этом порядок сомножителей остается строго фиксированным.

Среди всех разновидностей матриц специально выделяют класс квадратных матриц. Мат-

рицы называют квадратными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов. Для

указания размера квадратных матриц достаточно указать только одно число.

Над квадратными матрицами одинакового размера определены линейные операции и опе-

рация умножения. Принципиально важно следующее замечание. Хотя произведение квад-

ратных матриц одинакового порядка определено для любого порядка сомножителей, ре-

зультат умножения в общем случае зависит от порядка сомножителей. То есть в общем

случае

BAAB 

Это свойство называется некоммутативостью матричного умножения (коммутативность-

независимость от порядка).

С каждой квадратной матрицей можно связать число, называемое определителем матри-

цы. Порядок матрицы, с которой связан определитель, называют порядком определителя.

Определители обозначают одним из следующих образов.

Полное обозначение:

nnnkn

iniki

aaa











1111

сокращенные обозначения:

)det(|;| AA

Простейший определитель связан с матрицей, состоящей из одного элемента:

cс 

Следующим по сложности является определитель второго порядка, вычисляемый по пра-

вилу:

bcad



Определители более высокого порядка сводятся к определителям второго порядка при

помощи последовательного применения понижения порядка определителей путем разло-

жения исходного определителя по строке или столбцу:

Матрицы и системы линейных уравнений 5

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева





ikik

nnnkn

iniki

aaaa

aaa

1111

)Ad()Ad(











Входящие в эти формулы величины

)Ad(

называются алгебраическими дополнениями

матричных элементов и вычисляются по формулам вида:

nnnkn

iniki

aaa











1111

)1()Ad(





то есть с точность до знака совпадают с определителем порядка

1n

, полученным из ис-

ходного определителя путем вычеркивания строки и столбца, в которой расположен мат-

ричный элемент

Одним из полезных примеров разложения определителя по строке является приведенное в

главе 1 представление векторного произведения в виде определителя третьего порядка

zyx

BBB

AAA

kji











Ясно, что для сокращения объема вычислений, надо выбирать строку или столбец, кото-

рые содержат наибольшее количество нулей.

Проще всего вычисляются определители так называемых треугольных и диагональных

матриц. Диагональная матрица имеет не нулевые элементы только на диагонали

000

1,1









а треугольная матрица содержит нули либо выше, либо ниже диагонали. Например,

nnnn

aaa

aaaa

000

,11,1

21,222

11,11211











В обоих этих случаях, как для диагональных, так и для треугольных матриц, определитель

равен произведению диагональных элементов матриц.

Матрицы и системы линейных уравнений 6

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Определители обладают рядом полезных свойств, которые удобно использовать для вы-

числения определителей. Все эти свойства можно доказать при помощи описанного выше

разложения определителей по строке или столбцу. Приведем только четыре из них..

 Если определитель содержит хотя бы две одинаковых строки (или два одинаковых

столбца) то он равен нулю.

 Перестановка в определителе двух соседних строк (или двух соседних столбцов)

приводит к изменению его знака.

 При умножении строки или столбца определителя на некоторое число исходный

определитель умножается на это число.

 Если некоторая строка (или столбец) определителя состоит из нулей, определитель

равен нулю.

Среди всех квадратных матриц заданного размера выделяют подкласс так называемых не-

особенных матриц. Матрица называется неособенной, если ее определитель не равен ну-

лю. Для неособенных матриц можно определить операцию обращения матрицы, являю-

щуюся аналогом арифметической операции определения обратного элемента. Напомним

последнее определение: если число

0a

, то для него существует обратное число

1

удовлетворяющее условию





aaaa

Аналогом единицы для квадратных матриц служит так называемая единичная матрица –

диагональная матрица с единицами на диагонали

1000

0100

0010

0001







E

Матричные элементы единичной матрицы обозначаются специальным символом



, на-

зываемым дельта - символом Кронекера:











.,0

;,1



Тогда определение аналога обратного элемента для неособенной матрицы, так называе-

мой обратной матрицы, записывается в виде:

EAAAA 

 11

, или

ikikik

AAAA







)()(

То есть умножение исходной матрицы на обратную к ней в любом порядке дает единич-

ную матрицу.

Формула для вычисления элементов обратной матрицы имеет вид:

)det(

)Ad(

)(





Обратим особое внимание на порядок индексов в этой формуле: матричный элемент об-

ратной матрицы из

йi 

строки и

гоk 

столбца вычисляется по алгебраическому допол-

нению элемента из

йk 

строки и

гоi 

столбца.

Для доказательства выписанной формулы вычислим матричные элементы произведений,

входящих в определение обратной матрицы. Например,

Матрицы и системы линейных уравнений 7

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева









kpip

pkipik

AaAA

)Ad(

)det(

)()(

Если

ki 

, то последняя сумма является разложением определителя исходной матрицы по

строке. Если

ki 

, то эта сумма является разложением определителя, в котором

яi 

яk 

строки равны, а такой определитель равен нулю. Следовательно, искомый матрич-

ный элемент

ikik







)(

В качестве упражнения рекомендуем показать, что

ikik







)(

. В этих вычислениях

придется иметь дело с разложением определителя по столбцу.

Системы линейных уравнений

Система алгебраических уравнений относительно неизвестных

xxx ,,

вида













2211

22222121

11212111

mnmnmm

bxaxaxa







где

- постоянные числа, называется линейной. В общем случае число уравнений сис-

темы не совпадает с числом неизвестных.

Если хотя бы одно из чисел

не равно нулю, система линейных уравнений называется

неоднородной. Если все

0

система называется однородной.

Введем в рассмотрение следующие матрицы:

mnmm

aaa









22221

11211

,, 

Правила матричного умножения позволяют записать любую систему линейных уравнений

в виде матричного равенства:

BAX 

Рассматриваемой неоднородной системе линейных уравнений сопоставляют еще одну

матрицу – так называемую расширенную матрицу системы

mmnmm

baaa







222221

111211

Система линейных уравнений переходит в эквивалентную ей систему при следующих

элементарных преобразованиях:

 При умножении уравнений системы на числа не равные нулю.

 При перестановке уравнений системы.

Матрицы и системы линейных уравнений 8

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

 При линейных операциях над уравнениями системы (сложении двух, или несколь-

ких, уравнений системы с предварительным их умножением на числа).

Все перечисленные преобразования системы уравнений эквивалентны соответствующим

преобразованиям над строками расширенной матрицы. Поэтому, преобразования системы

уравнений удобнее и короче записывать через преобразование расширенной матрицы, и

возвращаться к системе уравнений после завершения всех преобразований расширенной

матрицы.

Если рассматриваемая система линейных уравнений является однородной, то для нее нет

необходимости вводить расширенную матрицу, поскольку при любых рассматриваемых

преобразованиях последний ее столбец будет состоять из нулей. То есть при преобразова-

нии однородной системы линейных уравнений достаточно работать с ее матрицей коэф-

фициентов.

Рассмотрим решение неоднородной системы линейных уравнений при помощи алгоритма

последовательного исключения неизвестных - алгоритма Гаусса. Шаги алгоритма Гаусса

удобно представить в виде последовательных преобразований расширенной матрицы.

На первом шаге первую строку расширенной матрицы умножают на подходящее число и

вычитают из второй строки. Множитель при этом подбирают так, чтобы первый элемент

во второй строке обратился в нуль. Далее подобную процедуру проводят над всеми ос-

тальными строками. В результате таких преобразований расширенная матрица принимает

вид

mmnm

baa

baaa

2222

111211







то есть в первом столбце содержится только один ненулевой элемент, и он находится в

первой строке преобразованной расширенной матрицы. Если в ходе вычислений получит-

ся строка полностью состоящая из нулей, то она выбрасывается из преобразованной мат-

рицы.

На втором шаге решения процедура, описанная на первом шаге, проводится с блоком, на-

ходящимся ниже первой строки и правее первого столбца. То есть при помощи подходя-

щих умножений на числа и вычитаний добиваются, чтобы второй столбец расширенной

матрицы содержал ненулевые элементы только в первой и второй строках.

Далее подобные шаги последовательно повторяют над блоками расширенной матрицы все

меньшего размера. Если вычисления не прекратятся ранее, то последним шагом алгоритма

Гаусса будет операция над блоком размера

22 

В результате описанных преобразований расширенная матрица системы может принять

одну из трех перечисленных ниже форм. Для более четкого выделения структуры полу-

ченного вида форм расширенной матрицы все ненулевые элементы матрицы коэффициен-

тов обозначены единым символом

. Обязательные ненулевые элементы последнего

столбца расширенной матрицы также обозначены символом

, а его произвольные эле-

менты – символом

1) Последняя строка расширенной матрицы содержит ненулевой элемент только в послед-

нем столбце.