Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики

Подождите немного. Документ загружается.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Кузбасский государственный технический университет»

Д. В. Алексеев

Конспекты по общему курсу математики

Рекомендовано для использования в учебном процессе

и для самостоятельной работы студентов

инженерно-технических специальностей

Кемерово 2008

Алексеев Дмитрий Валентинович. Конспекты по общему курсу математики:

[Электронный ресурс]: для студентов инженерно-технических специальностей/

Д. В. Алексеев. – Электрон. дан. – Кемерово: ГУ КузГТУ, 2008. – Системные тре-

бования: любой компьютер, на котором установлены программы для просмотра

файлов в формате PDF, например, Adobe Reader.

Конспекты содержат неформальное изложение основных разделов курса матема-

тики для студентов инженерно-технических специальностей: анализ функций од-

ной переменной; техника дифференцирования и интегрирования; векторная ал-

гебра и векторные функции скалярного аргумента; линейные пространства, мат-

рицы и системы линейных уравнений; обыкновенные дифференциальные уравне-

ния; дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных,

включая дифференцирование и интегрирование векторных полей; основы теории

функций комплексной переменной, включая интегральные преобразования Лап-

ласа и Фурье, тригонометрические ряды Фурье; элементы теории вероятностей и

математической статистики; сведения из школьного курса математики.

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы в трехмерном пространстве

Декартовы координаты точек на плоскости вводятся следующим образом. На плоскости

размещается фиксированная точка - начало координат и две взаимно перпендикулярных

ориентированные прямые - координатные оси. Стандартное расположение и обозначения

осей координат приведены на рисунке.

Положение точки на плоскости относительно выбранной для решения конкретной задачи

системы координат можно задать двумя способами.

Первый способ задания положения точки - задание координат точки. Координаты точки -

это пара чисел, определяемая процедурой ортогонального проектирования. Процедура ор-

тогонального проектирования сводится к построению двух прямых, каждая из которых

параллельна одной из координатных осей, и нахождения точек пересечения этих прямых с

осями координат.

Описанная процедура определения координат точек дает более точное представление о

декартовой системе координат. Декартова система координат - это бесконечное множест-

во взаимно перпендикулярных прямых, покрывающих плоскость. Существует бесконеч-

ное число способов покрыть плоскость системой взаимно перпендикулярных прямых, а

также бесконечное число способов выбора начала координат. Поэтому, когда положение

точки задается при помощи координат, необходимо в обязательном порядке указывать

систему координат, относительно которой приводимые координаты определены.

Второй способ задания положения точки - задание радиус-вектора точки, направленного

отрезка указывающего величину и направление прямолинейного перемещения из начала

координат в рассматриваемую точку. На первый взгляд, оба способа задания положения

точек являются эквивалентными, поскольку оба требуют задания системы координат. Од-

нако, задание положения точек при помощи радиус-векторов является гораздо менее при-

вязанным к координатной системе. Это следует из того факта, что для задания радиус-

вектора требуется только знание начала координат, но не ориентации координатных осей.

Особенно четко указанное различие проявляется в тех случаях, когда необходимо рабо-

тать с некоторым множеством точек. В этих случаях, выбирая одну из рассматриваемых

точек в качестве начала координат, мы приходим к описанию рассматриваемого множест-

ва точек только при помощи набора радиус-векторов.

Оба рассмотренных способа задания положения точек взаимно дополняют друг друга. За-

дание точек при помощи координат позволяет выполнять вычисления конкретных число-

вых характеристик, а задание точек при помощи векторов позволяет формулировать зада-

чу в терминах свободных от привязки к конкретной системе координат. При этом особен-

но важно то, что для решения различных задач можно выбирать различные системы коор-

динат.

Процедура задания положения точек в пространстве во многом схожа с заданием положе-

ния точек на плоскости. Особенно ясно это сходство выступает при задании положения

точек при помощи радиус-векторов. В этом случае положение точки по-прежнему задает-

ся прямолинейным перемещением из фиксированной выбранной точки - начала координат

в любую интересующую точку.

Различие начинает проявляться при переходе к заданию положения точки при помощи

координат. Система декартовых координат в пространстве - это тройка взаимно перпен-

дикулярных прямых - осей координат, проходящих через зафиксированную заранее точку

- начало координат. С каждой декартовой системой координат в пространстве связана

система взаимно перпендикулярных плоскостей, определяющих процедуру ортогонально-

Векторная алгебра и аналитическая геометрия 2

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

го проектирования. Такая система плоскостей содержит три различных класса. Плоскости

рассматриваемого класса перпендикулярны одной из координатных осей. Определить де-

картовы координаты точки в пространстве - это найти плоскости каждого из трех классов,

в которых расположена точка, и определить точки пересечения этих плоскостей с осями

координат.

Как и при рассмотрении точек на плоскости, при рассмотрении точек в пространстве ко-

ординатный и векторный способ задания точек взаимно дополняют друг друга.

Вектор в пространстве определяется парой упорядоченных точек – началом и концом век-

тора.

Если в пространстве задана опорная точка – начало координат, то каждую точку в про-

странстве можно задать при помощи ее радиус-вектора. Следовательно, для задания про-

извольного вектора требуется задать два радиус-вектора.

Каждый вектор характеризуется длиной, называемой также модулем вектора, и направле-

нием. В общем случае, векторы имеющие равную длину и даже одинаковое направление

не являются равными. Вопрос определения равенства векторов не является очевидным и

требует дополнительного уточнения.

В зависимости от того, как решается вопрос о равенстве двух векторов, векторы разделя-

ют на следующие разновидности.

Свободные векторы. Для свободных векторов любые два вектора, имеющие одинаковую

длину и направление, считаются равными. То есть свободный вектор задается только дли-

ной и направлением, безотносительно к какой либо точке пространства. Фактически, сво-

бодный вектор – это бесконечное множество всех векторов в пространстве, которые име-

ют одинаковую длину и направление, но разные начальные точки.

Скользящие векторы. Для скользящих векторов равными считаются векторы, имеющие

одинаковую длину, одинаковое направление и лежащие на одной прямой. То есть сколь-

зящий вектор - это бесконечное множество векторов имеющих одинаковую длину, одина-

ковое направление и начальные точки, лежащие на одной прямой. Этот тип векторов име-

ет важное приложение в задачах теоретической механики.

Связанные векторы. Для связанных векторов равными считаются только векторы, имею-

щие одинаковые начальные и конечные точки. То есть связанный вектор определен в

единственном экземпляре. Примером системы связанных векторов являются радиус-

векторы, определяющие положение точек в пространстве относительно выбранного нача-

ла координат.

Всюду ниже, если не оговорено противное, будут использоваться свободные векторы.

Элементарными линейными операциями над векторами являются умножение вектора на

число и сложение векторов.

Умножение вектора на число.

Умножение вектора



на число



сопоставляет исходному вектору другой вектор





по

следующим правилам

Длина вектора

|||||| AA







Если

0



, то векторы







параллельны (имеют одинаковое направление).

Если

0



, то векторы







антипараллельны (имеют противоположное направление).

Сложение векторов.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия 3

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Сумма векторов – это вектор, сопоставляемый двум векторам, называемым слагаемыми.

Эту операцию проще всего понять при помощи понятия о прямолинейном перемещении

точки. Сумма двух векторов - это прямолинейное перемещение эквивалентное двум по-

следовательным прямолинейным перемещениям точки, задаваемым векторами – слагае-

мыми (смотри рисунок). Непосредственно из этого определения следует свойство комму-

тативности операции сложения векторов (независимости суммы от порядка слагаемых).

ABBA









Суммирование нескольких векторов сводится к последовательному выполнению опера-

ции сложения над выбранными парами векторов. В силу коммутативности сложения век-

торов, последовательность пар суммируемых векторов определяется соображениями

удобства.

Произвольные линейные операции.

Произвольные линейные операции над векторами являются комбинацией сложения век-

торов и умножения векторов на числа. Линейной комбинацией векторов

AAA







с ко-

эффициентами



,,

называется величина

AAA











2211

Непосредственно из определения линейной комбинации векторов следует, что ее вычис-

ление сводится к последовательности операций умножения векторов на число и сложения

векторов.

Частным случаем линейной комбинации является разность векторов

BABA



)1(

Нуль-вектор и равенство векторов.

Для того, чтобы сделать линейные операции над векторами еще более похожими на опе-

рации над числами, в рассмотрение вводится специальный вектор, называемый нуль-

вектор, который имеет следующие свойства.





 0,00



Через нуль-вектор просто определить равенство векторов: два вектора являются равными,

если их разность равна нулю (нуль-вектору!).

Обычно нуль-вектор обозначают как обычный нуль. Поэтому, при чтении формул надо

четко представлять, что обозначает записанный в формуле нуль.

С понятием линейной комбинации векторов связано важное понятие линейной независи-

мости векторов.

Векторы

AAA







называются линейно независимыми, если их линейная комбинация

обращается в нуль только при условии равенства нулю всех коэффициентов, входящих в

линейную комбинацию:

 0

2211 kk

AAA















С понятием линейно независимых векторов напрямую связано понятие размерности про-

странства. А именно, размерность пространства равна максимальному числу линейно не-

зависимых векторов. Пусть

- размерность пространства, то есть максимальное число

линейно независимых векторов, то есть размерность пространства. Поскольку любой на-

Векторная алгебра и аналитическая геометрия 4

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

бор, состоящий из

1d

вектора, является линейно зависимым, один из векторов этого на-

бора всегда можно выразить в виде линейной комбинации

линейно независимых векто-

ров. Далее любой набор из

линейно независимых векторов будем называть максималь-

ным набором линейно независимых векторов.

Пусть в пространстве выбран некоторый максимальный набор линейно независимых век-

торов

},,{

21 d

eee









. Добавим к этому набору некоторый произвольный вектор



. Тогда на-

бор векторов

},,,{

aeee









будет обязательно линейно зависимым. То есть произвольный

вектор пространства



может быть записан в виде линейной комбинации

eaeaeaa











2211

Выбранный максимальный набор линейно независимых векторов называют базисом в

пространстве, а коэффициенты линейной комбинации

},,{

21 d

aaa 

- координатами векто-

ра



относительно базиса

},,{

21 d

eee









. Для координатной записи векторов используется

обозначение

);;(

21 d

aaaa 





Заметим, что набор базисных векторов в пространстве должен удовлетворять единствен-

ному требованию: он должен быть максимальным линейно независимым набором. Во

всем остальном выбор базиса произволен. Следовательно, при рассмотрении какой либо

конкретной задачи необходимо максимальным образом использовать произвол в выборе

базиса, то есть выбирать такую систему координат, в которой условия задачи будут иметь

наиболее простой вид.

Представление векторов пространства в виде их разложения по некоторому базису позво-

ляет свести выполнение линейных операций над векторами к действиям над координата-

ми векторов. Правила действий над координатами векторов непосредственно следуют из

определения и свойств линейных операций.

Умножение вектора на число.

dddd

eaeaeaeaeaeaa



















22112211

)(

Следовательно, умножение вектора на число сводится к умножению на это число всех ко-

ординат векторов:

);;(

21 d

aaaa 





);;(

21 d

aaaa









Сложение векторов.

Простой перегруппировкой слагаемых получаем:

ddd

dddd

ebaebaeba

ebebebeaeaeaba





















)()()(

)()(

222111

22112211





То есть суммирование векторов сводится к суммированию координат:

);;(),;;(

2121 dd

bbbbaaaa 









);;(

2211 dd

babababa  



Линейная комбинация двух векторов.

Координаты линейной комбинации получаются при помощи комбинирования записанных

выше правил:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия 5

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

ddd

dddd

ebaebaeba

ebebebeaeaeaba





















)()()(

)()(

222111

22112211









То есть для вычисления линейной комбинации векторов надо вычислить линейные ком-

бинации всех его координат:

);;(),;;(

2121 dd

bbbbaaaa 









);;(

2211 dd

babababa



 



Частным случаем линейной комбинации двух векторов является их разность, которой со-

ответствуют коэффициенты линейной комбинации

1,1 



. Следовательно, для вы-

читания векторов необходимо проводить вычитание координат:

);;(

2211 dd

babababa  



Если вычитаемые векторы равны, имеют равные координаты, то их разностью является

нуль-вектор. Из выписанной формулы для координат разности следует, что все координа-

ты нуль-вектора равны нулю

}0;0;0{ 

Скалярное произведение сопоставляет паре векторов-сомножителей число (скаляр). Ска-

лярное произведение обозначается символами

),( ba



или





Этот число можно определяется безотносительно к конкретной координатной системе по

следующему правилу:

 Скалярное произведение вычисляется по формуле

)cos(||||



baba





, где



угол между векторами-сомножителями.

 Скалярное произведение линейно по каждому из сомножителей, например,

cbcacba











)(

Непосредственно из определения скалярного произведения следуют его основные свойст-

ва.

 Симметрия

abba









 Обращение в нуль для ортогональных (перпендикулярных) сомножителей

0 baba



 Скалярное произведение вектора на самого себя дает квадрат его длины

|| aaa





Если векторы-сомножители заданы при помощи своих координат относительно некоторо-

го базиса, то линейность скалярного произведения по каждому из сомножителей дает:



 



kjkjdddd

eebaebebebeaeaeaba

1 1

22112211

),()()(















то есть скалярное произведение можно записать через координаты векторов, если извест-

ны скалярные произведения для всех пар базисных векторов.

Среди всех базисов в пространстве выделяют ортонормированные, или декартовы, бази-

сы, состоящие из перпендикулярных друг другу векторов единичной длины:















Векторная алгебра и аналитическая геометрия 6

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Для декартова базиса в трехмерном пространстве используется следующее стандартное

обозначение:

};;{ kji





. Первый базисный вектор направлен вдоль оси

, второй – вдоль

оси

, третий – вдоль оси

. Векторы декартова базиса также можно представить че-

рез их координаты:

}1;0;0{},0;1;0{},0;0;1{  kji





Если не оговорено иное, всюду ниже рассматриваются векторы в трехмерном пространст-

ве. Координаты векторов будем обозначать той же буквой, что и сам вектор, с дополни-

тельными индексами, например,

kbjbibbbbbRRRkRjRiRR

zyxzyxzyxzyx







 );;(),;;(

Когда векторы-сомножители заданы при помощи декартовых координат, скалярное про-

изведение вычисляется по формуле:

zzyyxx

babababa 



Отсюда следует, что декартовы координаты любого вектора можно найти при помощи его

скалярного умножения на базисные векторы

kaajaaiaa

zyx



 ,,

а квадрат длины вектора вычисляется через его декартовы координаты по формуле:

2222

zyx

aaaaaa 



Обобщением формулы для вычисления координаты вектора при помощи скалярного про-

изведения является формула для проекции вектора



на направление, задаваемое другим

вектором



. Для получения проекции достаточно построить вектор единичной длины на

направление проектирования

||/ bbe







и вычислить скалярное произведение





Приложения скалярного произведения следуют из его определения и перечисленных

свойств. Скалярное произведение применяется для следующих основных целей.

 Для вычисления длин векторов и проекций.

 Для вычисления углов между векторами (через вычисление косинуса угла).

Для записи условий ортогональности в геометрических задачах.

В отличие от скалярного произведения, векторное произведение сопоставляет двум векто-

рам-сомножителям вектор. Векторное произведение обозначается следующими символа-

ми

],[ ba



или





Этот вектор можно определить безотносительно к конкретной координатной системе сле-

дующим образом.

 Векторное произведение перпендикулярно плоскости, построенной на векторах-

сомножителях, а его направление (ориентация) относительно сомножителей опре-

деляется правилом правого винта (смотри рисунок).

 Векторное произведение антисимметрично

abba









Векторная алгебра и аналитическая геометрия 7

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

 Модуль векторного произведения вычисляется по формуле

)sin(||||||



baba





где



- угол между векторами-сомножителями. Следовательно, векторное произ-

ведение обращается в нуль для коллинеарных векторов

0],[ aa





 Векторное произведение линейно по каждому из сомножителей, например,

cbcacba











)(

Проще всего по этим правилам вычисляются векторные произведения базисных векторов

декартова базиса:

jkiikijkkjkijji













 ,,

Когда векторы-сомножители заданы при помощи декартовых координат, координаты век-

торного произведения вычисляется по формуле:

)()()(

xyyxzxxzyzzy

babakbabajbabaiba 







Эту формулу проще всего запомнить, если записать векторное произведение в виде раз-

ложения определителя третьего порядка по первой строке

zyx

bbb

aaa

kji











Подробнее об определителях смотрите в разделе 3.1.3.

Приложения векторного произведения следуют из его определения и свойств. Векторное

произведение применяется для следующих основных целей.

 Для построения векторов, перпендикулярных заданной паре векторов.

 Для вычисления площадей параллелограммов и треугольников.

Смешанное произведение векторов сопоставляет трем векторам-сомножителям число,

обозначаемое символами

),,( cba



или

cba





Смешанное произведение равно скалярному произведению первого сомножителя на век-

торное произведение двух других сомножителей

],[),,( cbacba









Используя определение скалярного произведения и формулу для модуля векторного про-

изведения, смешанное произведение можно представить в виде

)sin()cos(||||||)cos(|],[|||),,(



cbacbacba













где



- угол между вторым и третьим сомножителями, а



- угол между первым сомно-

жителем и векторным произведением второго и третьего сомножителя. Из этой формулы

следует, что модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построен-

ного на векторах –сомножителях. Следовательно, для компланарных (лежащих в одной

плоскости) сомножителей смешанное произведение обращается в нуль. Поскольку объем

параллелепипеда равен шести объемам тетраэдра, можно записать:

тетпар

VVcba 6|| 







Векторная алгебра и аналитическая геометрия 8

Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева

Используя представление векторного произведения в виде разложения определителя по

строке и формулу для вычисления скалярного произведения через декартовы координаты

сомножителей, смешанное произведение удобно представить в виде определителя третье-

го порядка, составленного из координат векторов-сомножителей

zyx

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

kji

a 







Смешанное произведение обладает следующими свойствами симетрии.

 Смешанное произведение анитсимметрично при перестановке соседних сомножи-

телей, например, .

 Смешанное произведение симметрично при циклической перестановке сомножи-

телей

acbbaccba













Применения смешанного произведения следуют из его определения. Смешанное произве-

дение применяется

 Для вычисления объемов параллелепипедов и тетраэдров.

 Для записи условий компланарности тройки векторов в геометрических задачах.

С понятием смешанного произведения связано понятие ориентации тройки векторов.

Тройка векторов

};;{ cba



имеет правую ориентацию, когда их смешанное произведение

положительно. В противоположном случае, эта тройка векторов имеет левую ориентацию.

В частности, декартов базис

};;{ kji





имеет правую ориентацию. При перестановке сосед-

них векторов, ориентация тройки векторов изменяется на противоположную, а при цикли-

ческой перестановке ориентация не меняется.

Общей чертой, объединяющей различные криволинейные системы координат, является

замена всех или некоторых представителей из систем взаимно перпендикулярных прямых

на плоскости (или плоскостей в пространстве) на некоторое множество кривых линий или

криволинейных поверхностей. Эти кривые и поверхности принадлежат к некоторому оп-

ределенному семейству, например, окружностям или цилиндрам. Положение точки в про-

странстве или на плоскости, как и ранее, однозначно определяется пересечением коорди-

натных поверхностей или координатных линий.

Полярная система координат на плоскости задается следующим образом. Фиксируется

точка - начало координат. Через начало координат проводится система полупрямых (лу-

чей). Начало координат также служит общим центром семейства концентрических окруж-

ностей.

Положение точки на плоскости задается пересечением некоторого луча с некоторой ок-

ружностью. Для задания положения точки на окружности при помощи числа, один из по-

лярных радиусов фиксируется в качестве начала отсчета углов по стандартному правилу -

против хода часовой стрелки. Таким образом, полярными координатами точки являются

радиус окружности, на которой лежит точка, и угол, определяющий положение точки от-

носительно опорного луча. Радиус окружности называется полярным радиусом, а угол -

полярным углом.

Полярную систему координат удобно использовать в задачах, условия которых обладают

свойством симметрии относительно вращений.