Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 9
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Для получения формул пересчета от полярных координат к декартовым координатам со-
вместим их начала и направим опорный луч вдоль положительного направления оси абс-
цисс. Тогда формулы пересчета принимают вид:
)./arctan(
;
),sin(
);cos (
22
xy
yxr
ry
rx
Цилиндрические координаты называют также полярными координатами в пространстве.
Они используются в задачах, обладающих так называемой аксиальной симметрией - сим-
метрией при поворотах относительно некоторой прямой, которая называется осью акси-
альной симметрии.
Опорным понятием при построении цилиндрической системы координат является именно
ось аксиальной симметрии. Эта ось служит общей осью симметрии системы концентриче-
ских (коаксиальных) круговых цилиндров. Та же ось служит основанием для системы по-
луплоскостей. Последней из систем координатных плоскостей служит семейство плоско-
стей, перпендикулярных аксиальной оси.
Таким образом, положение точки относительно цилиндрической системы координат оп-
ределяется пересечением плоскости, перпендикулярной аксиальной оси с некоторым ци-
линдром и полуплоскостью.
Геометрические объекты на плоскости можно задавать при помощи уравнений или нера-
венств относительно координат. Рассмотрим объект, определяемый уравнением
0),( yxF
.
Это уравнение может иметь решения, как в виде непрерывных линий, так и в виде изоли-
рованных точек. Если решений нет, то уравнение не описывает какого либо геометриче-
ского объекта. Например, уравнение
)sin(xy
описывает непрерывную линию – сину-
соиду, а уравнение
1)(sin
2
xy
- набор точек с координатами
2;1;0},0);2/1({ mт
. Ниже, главным образом, будут рассматриваться уравнения
описывающие линии.
Простейшая система уравнений
,0),(
,0),(
2
1
yxF
yxF
определяет пересечение рассматриваемых линий – точки, являющиеся общими для обеих
линий. В общем случае такие точки могут быть как изолированными, так и образовывать
некоторые линии или куски линий. Аналогично можно описать точки, являющиеся общи-
ми для нескольких линий. Для этого в систему уравнений надо включить уравнения всех
линий.
Рассмотрим геометрический объект, определяемый неравенством
0),( yxF
. Это нера-
венство может иметь геометрический смысл только в том случае, когда уравнение
0),( yxF
описывает линию. Тогда неравенство определяет множество точек, располо-
женных по определенную сторону от линии. Например, неравенство
)sin(xy
, определя-
ет точки плоскости, расположенные выше синусоиды
)sin(xy
.
Если одного неравенства недостаточно, чтобы задать требуемое множество точек плоско-
сти, то рассматривают системы неравенств. Например, система неравенств
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 10
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
),sin(
),sin(
xy
xy
определяет точки плоскости, лежащие между синусоидами
)sin(),sin( xyxy
.
Наконец, если объединить в систему уравнение и неравенство
,0),(
,0),(
2
1
yxF
yxF
то полученная система будет определять часть линии, лежащую в указанной части плос-
кости.
Другим способом описания линий на плоскости является их представление в виде годо-
графов векторных функций,
)}();({)( tytxtR
. Каким из способов описания линий удоб-
нее пользоваться определяется конкретной решаемой задачей.
Линейные геометрические объекты
Линейные геометрические объекты на плоскости - это объекты, описываемые уравнения-
ми первого порядка относительно координат - линейными уравнениями:
0 CByAx
.
Если на координаты не наложено дополнительных ограничений, то линейное уравнение
описывает некоторую прямую. Если на координаты наложены дополнительные ограниче-
ния в виде неравенств, уравнение может описывать луч или отрезок.
Простейшим линейным геометрическим объектом является прямолинейный отрезок, за-
даваемый начальной и конечной точками. По этим точкам можно построить векторную
функцию, и определить любую точку отрезка по формуле
R R AB AB R R
A B A
( ) ; ;
0 1
.
Используем выписанную формулу для решения задачи о делении отрезка в данном отно-
шении.
Пусть точка
С
лежит на рассматриваемом отрезке и
lkCBAC /||/||
, и требуется найти
координаты точки
С
. Поскольку нахождение координат точки эквивалентно нахождению
координат соответствующего вектора, достаточно найти значение параметра который со-
ответствует искомой точке. Как нетрудно заметить, это значение равно
)/( lkk
C
.
Следовательно,
)/()( lkkBARRR
ACC
.
Остается только записать полученный радиус-вектор через его координаты.
Это уравнение прямой является простейшим обобщением записанного выше уравнения
точек отрезка. Для его записи необходим радиус-вектор некоторой опорной точки, лежа-
щей на прямой, и вектор
V
, параллельный прямой - так называемый направляющий век-
тор. Векторная функция, задающая положение точек на прямой, имеет вид
ttVRtR
A
;)(
.
Она отличается от выписанной выше векторной функции, определяющей точки отрезка
только видом направляющего вектора и областью изменения параметра.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 11
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Параметрическое уравнение удобно интерпретировать как уравнение траектории прямо-
линейного равномерного движения через начальную опорную точку со скоростью, равной
направляющему вектору.
В координатной форме параметрическое уравнение прямой имеет вид:
yAxA
tVyytVxx ;
.
Исходя из параметрического уравнения, можно получить некоторые другие формы урав-
нения прямой. Например, исключив из координатной записи параметр, приходим к так
называемому каноническому уравнению прямой
y
A
x
A
V
yy
V
xx
.
Если одна из координат направляющего вектора равна нулю, то есть прямая параллельна
одной из координатных осей, каноническое уравнение использовать нецелесообразно.
Рассмотрим прямую, проходящую через две заданные точки. Для получения уравнения
этой прямой используем каноническое уравнение с направляющим вектором, построен-
ным на заданных точках
);(
ABABAB
yyxxRRV
,
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
.
Полученный частный случай канонического уравнения прямой называется уравнением
прямой, проходящей через две заданные точки. Особенно простой вид это уравнение при-
нимает тогда, когда точки лежат на координатных осях, например,
);0(),0;( bRaR
BA
. В
этом случае уравнение прямой, проходящей через две заданные точки называют уравне-
ние прямой в отрезках. После простых преобразований оно принимает вид:
1// byax
.
При записи параметрического уравнения прямой использовался вектор, направленный
вдоль прямой – направляющий вектор. Для записи уравнения прямой, называемого общим
уравнением прямой, используется фиксированный вектор
);( BAN
перпендикулярный
прямой – так называемый нормальный вектор. Схема построения общего уравнения пря-
мой следующая.
Задается некоторая опорная точка на рассматриваемой прямой
);(
AAA
yxR
.
При помощи скалярного произведения векторов записывается условие перпенди-
кулярности произвольного вектора
);(
AAA
yyxxRR
нормальному вектору
);( BAN
:
0)()(,0),( ByyAxxNRR
AAA
.
Записанное условие перпендикулярности и называется общим уравнением прямой. Его
обычно пишут в виде:
0 CByAx
.
Из общего уравнения прямой можно сразу определить координаты нормального вектора.
Поскольку умножение уравнения на константу дает равносильное уравнение, нормальный
вектор определяется с точностью до постоянного множителя.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 12
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Для устранения произвола в определении нормального вектора можно потребовать, чтобы
его длина равнялась единице, а свободный член в уравнении прямой имел отрицательный
знак:
.0,1,0
22
ppyx
Этого всегда можно добиться, умножая исходное уравнение на множитель
22
/1 BA
.
Получаемая таким образом частная форма общего уравнения прямой называется нормаль-
ным уравнением прямой. Входящий в нормальное уравнение единичный вектор
);(
n
указывает направление из начала координат на прямую, а константа
p
равна кратчайше-
му расстоянию от прямой до начала координат. Нормальное уравнение удобно использо-
вать для нахождения расстояния между параллельными прямыми.
Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекающимися. Для опреде-
ления взаимного расположения прямых проще всего использовать их описание при по-
мощи общего уравнения прямой:
0,0
222111
CyBxACyBxA
.
Отсюда сразу находятся координаты нормальных векторов к каждой прямой:
);(),;(
222111
BANBAN
.
Если одно уравнение можно получить из другого при помощи умножения на число
212121
/// CCBBAA
,
то оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
Если нормальные векторы прямых параллельны
212121
/// CCBBAA
,
то прямые параллельны.
Для вычисления расстояние между параллельными прямыми приведем исходных уравне-
ний прямых к нормальной форме
0,0
222111
pyxpyx
.
Если единичные нормали параллельны
1//
2121
, прямые расположены по одну
сторону от начала координат, а расстояние между ними
||
21
ppd
.
Если единичные нормали антипараллельны
1//
2121
, прямые расположены по
разные стороны от начала координат, и расстояние между ними
21
ppd
.
Когда нормальные векторы не параллельны
2121
// BBAA
,
прямые пересекаются. Угол между пересекающимися прямыми вычисляется, с использо-
ванием скалярного произведения, по формуле
|)||/(|)cos(
2121
NNNN
.
Точка пересечения прямых находится как решение системы уравнений
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 13
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
.0
,0
222
111
CyBxA
CyBxA
Иногда требуется найти точку пересечения двух прямых, когда одна из них задана пара-
метрическим уравнением, а другая – общим
0;, CByAxtVyytVxx
yAxA
.
В этом случае можно вычислить значения параметра, при котором точка пробегающая по
первой прямой попадает на вторую прямую. Для получения искомого значения параметра
нужно подставить координаты точек первой прямой в уравнение второй прямой
0)()( CtVyBtVxA
yAxA
,
и решить получившееся уравнение относительно
t
. Координаты искомой точки пересече-
ния вычисляются по найденному значению
t
из уравнения первой прямой.
В векторной форме параметрическое уравнение прямой в пространстве полностью совпа-
дает с соответствующим уравнением прямой на плоскости.
Однако, при переходе к координатной записи параметрического уравнения, для описания
прямой в пространстве требуется на одну координату больше.
Для параметрического задания плоскости достаточно задать опорную точку на плоскости
O
R
и два неколлинеарных вектора
};{
21
ee
, параллельных плоскости. Тогда векторы вида
sete
21
, где
st,
- произвольные числа будут параллельны плоскости. Если начало такого
вектора поместить в лежащую на плоскости опорную точку, то вектор буде расположен в
описываемой плоскости. Следовательно, радиус-вектор точки, расположенной в плоско-
сти записывается в виде
seteRR
O 21
.
Записанное уравнение и является параметрическим уравнением плоскости.
Из сравнения параметрического уравнения плоскости с параметрическим уравнением
прямой непосредственно видно следующее. Оба уравнения являются линейными уравне-
ниями по параметрам. Уравнения отличаются числом параметров и числом базисных век-
торов. Для описания прямой достаточно задать один базисный вектор и одну координату,
а для описания плоскости необходимо два базисных вектора и две координаты.
Уравнение плоскости можно задать при помощи опорной точки, задаваемой радиус-
вектором
);;(
0
cbaR
и вектора,
);;( CBAN
перпендикулярного плоскости. Если поло-
жение точки на плоскости задается радиус-вектором
);;( zyxR
, то вектор
0
RR
пер-
пендикулярен вектору
N
. Условие перпендикулярности, записанное при помощи опера-
ции скалярного произведения векторов, и называется общим уравнением плоскости.
0)(
0
NRR
.
Заметим, что векторная форма общего уравнения плоскости отличается от общего уравне-
ния прямой на плоскости. Отличие проявляется при координатной записи этого уравне-
ния.
0)()()( CczBbyAax
.
Обычно общее уравнение плоскости в координатной форме преобразуют к виду
0 DCzByAx
,
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 14
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
где выделены слагаемые, определяемые координатами текущей точки.
Общее уравнение плоскости удобно для решения задачи о взаимном расположении пары
плоскостей, описываемых совокупностью уравнений
0
1111
DzCyBxA
,
0
2222
DzCyBxA
.
Сравнение уравнений дает следующие результаты.
Если
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
, то есть одно уравнение получается из другого умножением на
некоторое число, то оба уравнения описывают одну и ту же плоскость.
Если
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
, то векторы
);;(
1111
CBAN
и
);;(
2222
CBAN
параллельны, и
уравнения описывают пару параллельных плоскостей.
В остальных случаях плоскости пересекаются. При этом угол между плоскостями может
быть определен как угол между векторами
1
N
,
2
N
, и найден при помощи формул скаляр-
ного произведения.
||||
)cos(
21
21
NN
NN
.
Если пара плоскостей не параллельна, то их пересечение образует прямую. Пара уравне-
ний непараллельных плоскостей, объединенная в систему уравнений и называется общим
уравнением прямой
.0
,0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
Прямая в пространстве может лежать в заданной плоскости, быть параллельной этой
плоскости, и пересекать плоскость. Задачу о взаимном расположении прямой и плоскости
можно решать либо на языке векторов, либо на языке линейных уравнений. Вначале рас-
смотрим эту задачу на языке уравнений. Пусть дана прямая и плоскость (оба объекта за-
даются общими уравнениями).
Утверждение «Прямая лежит в плоскости» может быть сформулировано в виде «Любое
решение уравнений является также решением уравнения ». Иными словами система трех
уравнений имеет бесконечное множество решений.
Аналогично, утверждение «Прямая параллельна плоскости» может быть переформулиро-
вано словами «система уравнений не имеет решений».
Наконец утверждение «Прямая пересекает плоскость» формулируется в виде «Система
уравнений имеет единственное решение».
Самым естественным способом задания уравнения прямой в пространстве является пара-
метрическое уравнение. В векторной форме это уравнение тождественно аналогичному
уравнению на плоскости. Единственным отличием является наличие третьей координаты
при координатной записи этого уравнения.
Каноническое уравнение прямой в пространстве также получается из параметрического
при помощи исключения параметра.
Задача о взаимном расположении двух прямых решается при помощи рассмотрения свя-
занных с ними направляющих векторов. Если на плоскости пара прямых могли либо пере-
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 15
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
секаться , либо быть параллельными, то в пространстве возможен дополнительный вари-
ант расположения прямых – скрещивающиеся прямые.
Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Это
угол вычисляется с помощью операции скалярного произведения.
Условие пересечения прямых записывается как условие компланарности тройки векторов
направляющих векторов обеих прямых и вектора, построенного на опорных точках.
Аналог общего уравнения прямой в пространстве отсутствует.
К описанию плоскости в пространстве проще всего подойти следующим образом. Плос-
кость можно определить при помощи пары пересекающихся прямых. Направляющие век-
торы этих прямых можно использовать в качестве базисных векторов. То есть любой век-
тор, лежащий в плоскости может быть записан в виде линейной комбинации этих базис-
ных векторов.
Такую запись можно назвать параметрическим заданием плоскости. Поскольку плоскость
двумерный объект, то для ее задания требуется два параметра.
Поскольку векторное произведение перпендикулярно плоскости, в которой расположены
сомножители, то условие того, что вектор лежит в плоскости можно записать как условие
перпендикулярности двух векторов.
Запись этого условия в виде равенства нулю скалярного произведения и является общим
уравнением плоскости.
Это уравнение является аналогом общего уравнения прямой на плоскости. Суть этой ана-
логии следующая. Плоскость в пространстве – геометрический объект имеющий размер-
ность на единицу меньше чем размерность пространства. Точно также и прямая на плос-
кости является геометрическим объектом с размерностью на единицу меньшим размерно-
сти плоскости.
Подобно прямым на плоскости, плоскости в пространстве могут быть либо параллельны-
ми, либо пересекающимися. О взаимном расположении плоскостей можно судить по их
нормальным векторам. Если нормальные векторы коллиненарны, то плоскости парал-
лельны, если нет - то плоскости пересекаются. Угол между плоскостями вычисляется как
угол между их нормальными векторами.
Поскольку пересечение плоскостей определяет прямую, возникает задача о нахождении
уравнения этой прямой. Ключом к этому уравнению является операция векторного произ-
ведения. Векторное произведение нормальных векторов служит направляющим вектором
искомой прямой. Опорную точку этой прямой можно отыскать как некоторое простейшее
решение у системы уравнений, задающих прямую как пересечение плоскостей. Система
уравнений двух пересекающихся плоскостей носит название общего уравнения прямой в
пространстве.
Кривые и поверхности второго порядка
Общей чертой нелинейных геометрических объектов является то, что они описываются
нелинейными уравнениями общего вида относительно координат:
0),( yxF
. Функции,
входящих в эту формулу, могут быть самыми разнообразными. Если формула является
многочленом, то описываемая ей линия называется алгебраической кривой. Если формула
содержит более сложные функции, например, тригонометрические, то кривая называется
трансцендентной. Запас трансцендентных кривых поистине неисчерпаем. Простейшими
примерами трансцендентных кривых являются графики тригонометрических функций.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 16
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Очевидно, что полное описание таких сложных и разнообразных геометрических объек-
тов является бессмысленной задачей. Поэтому ниже рассматриваются только простейшие
алгебраические кривые – линии второго порядка, и некоторые интересные с точки зрения
приложений трансцендентные и алгебраические кривые.
Линии на плоскости, описываемые уравнениями второй степени относительно координат
точки
02
22
FEyDxCxyByAx
,
называют линиями второго порядка. Выписанное уравнение второй степени по координа-
там имеет наиболее общий вид. В зависимости от конкретных значений коэффициентов
это уравнение может описывать различные линии.
Пусть на плоскости заданы две системы координат, имеющих общее начало, и пусть одна
система координат повернута относительно другой на некоторый угол. Тогда координаты
точки в одной системе координат выражаются через координаты той же точки в другой
системе по формуле:
)cos()sin(),sin()cos(
yxyyxx
.
Введение в рассмотрение матриц
)cos()sin(
)sin()cos(
)(,,
T
y
x
X
y
x
X
,
позволяет записать закон преобразования координат в виде матричного равенства
XTX )(
.
Входящая в эту формулу матрица поворота
)(
T
обладает рядом интересных свойств:
ET )0(
поворот на нулевой угол дает, как и следовало ожидать, тождествен-
ное преобразование.
)()(
1
TT
для получения обратной матрицы, описывающей преобразование
обратное исходному повороту, достаточно изменить знак угла поворота в исходной
матрице. В рассматриваемом случае изменение знака угла поворота эквивалентно
транспонированию матрицы поворота. Транспонирование – это специальная опе-
рация над матрицами, при которой проводится замена строк матрицы ее столбца-
ми, например,
db
ca
A
dc
ba
A
T
, или
yxX
y
x
X
T
.
)()()()()(
TTTTT
для получения матрицы поворота на суммарный
угол достаточно перемножить матрицы поворота на каждый из углов. При этом
произведение матриц поворота не зависит от порядка сомножителей, то есть умно-
жение матриц поворота обладает свойством коммутативности.
Все эти свойства легко проверить непосредственно при помощи выписанных ранее фор-
мул матричной алгебры. Особенно интересно последнее свойство, так как оно может быть
положено в основу вывода формул сложения для тригонометрических функций.
Еще одним важнейшим свойством матриц поворота является то, что повороты оставляют
неизменным, или инвариантным, скалярное произведение векторов. Это проще всего уви-
деть с помощью представления векторов матрицами.
Пусть векторы представлены матрицами. Тогда
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 17
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
BAbabaBA
b
b
B
a
a
A
T
yyxx
y
x
y
x
,,
.
После поворота
BTBBATAA )(,)(
.
BABTTABTTABTATBA
TTTTTT
)()()()())(())(()(
1
.
Векторные функции скалярного аргумента
Векторная функция скалярного аргумента, или, кратко, векторная функция, является про-
стейшим обобщением понятия числовой функции.
1
. Векторная функция сопоставляет зна-
чениям числовой (скалярной) переменной векторы из некоторого линейного пространства.
))();();(()(
21
tRtRtRtRt
n
.
Простейшим случаем векторных функций является однозначное соответствие между зна-
чениями скалярной переменной и точками плоскости (или векторами на плоскости):
))();(()( tytxtRt
.
Другим наглядным случаем векторных функций скалярного аргумента является соответ-
ствие между значениями скалярной переменной и точками или векторами трехмерного
пространства:
))();();(()( tztytxtRt
.
В записи приведенных выше формул, использовано как абстрактное векторное обозначе-
ние, так и конкретное задание векторов при помощи их координат, являющихся числовы-
ми функциями. Эти координаты называются координатными функциями.
Хотя задать координатные функции векторной функции можно множеством способов,
выбирая базис различными способами, координатная запись векторной функции подчер-
кивает следующий принципиальный факт. Задание векторной функции эквивалентно за-
данию набора обычных числовых функций, число которых равно размерности простран-
ства, в котором определены векторные значения исходной функции. Именно этот факт
позволяет рассматривать векторные функции, опираясь на известные результаты анализа
числовых функций.
Наглядная интерпретация значений векторной функции становится наиболее простой то-
гда, когда координатные функции интерпретируются как координаты радиус-вектора от-
носительно некоторой декартовой системы координат. Именно этого представление и бу-
дет использоваться в дальнейшем.
Приведенное выше определение векторной функции при помощи набора координатных
функций позволяет естественным образом сформулировать понятие области определения
векторной функции, опираясь на известное понятие области определения обычной число-
вой функции. Ясно, что векторная функция будет определена только при таких значениях
переменной, при которых определены одновременно все ее координатные функции. То
есть областью определения векторной функции является пересечение областей определе-
ния координатных функций:
1
Напомним, что числовая функция – это однозначное соответствие между числовыми множествами, кото-
рое каждому значению переменной из области определения функции сопоставляет единственное значение
из области значений функции:
)(xfyx
.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия 18
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
))(())(())(())((
21
tRDtRDtRDtRD
n
.
Следовательно, как и в случае обычных числовых функций, областью определения век-
торной функции является некоторое множество точек числовой прямой.
Существенное отличие векторных функций от числовых функций проявляется уже при
определении области значений векторных функций. Поскольку каждое значение вектор-
ной функции является точкой в пространстве, областью значений векторной функции яв-
ляется некоторое множество точек в многомерном пространстве. Однако, природа этого
множества жестко регламентирована требованием однозначности отображения. Посколь-
ку каждой точке из области определения рассматриваемой векторной функции может со-
ответствовать только одна точка из ее области значений, множеством значений векторной
функции может являться либо некоторая линия в пространстве (разрывная или непрерыв-
ная), либо дискретное множество точек. То есть, область значений векторной функции не
может быть элементом поверхности в пространстве.
Область значений векторной функции называется ее годографом. Понятие годографа от-
личается от понятия графика векторной функции, которое иногда также может оказаться
полезным. Годографом векторной функции является множество точек в пространстве зна-
чений функции определяемое формулой:
))}((:)({))(( tRDttRtR
,
тогда как графиком векторной функции является множество
))}((:))(;{())(( tRDttRttRG
,
которое состоит из точек пространства, размерность которого на единицу больше.
Подобно тому, как обычные числовые функции можно классифицировать по свойству их
графика, векторные функции можно классифицировать по свойствам их годографа.
В важнейшем частном случае, когда годограф векторной функции является непрерывной
линией, векторная функция называется непрерывной.
Годограф непрерывной векторной функции можно представить наглядно как линию, ко-
торую пробегает конец радиус-вектора при непрерывном изменении независимой пере-
менной.
При рассмотрении понятия производной и дифференциала было установлено, что диффе-
ренциал функции в некоторой точке
ax
связан с уравнением касательной к графику
функции, проходящей через точку
))(,( afa
:
)()()(|)()(|)( afaxafyxfaxxdf
axax
.
Уравнение касательной удобно записать в виде
t
ax
af
afy
1)(
)(
,
которое отражает условие коллинеарности двух векторов:
произвольного вектора
))(;( afyax
, лежащего на касательной;
постоянного вектора
))(;1()( afaV
, параллельного касательной.
Это уравнение называется параметрическим уравнением прямой линии и может быть за-
писано в векторной, или в координатной форме: