Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Начальные сведения о дифференциальных уравнениях
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
16
),cos()sin()(
),sin()cos()(
002001
0201
tctctp
tctctx
o
o
).cos()()sin()()(
),sin()()cos()()(
002001
0201
ttfttftp
ttfttftx
Подстановка частного решения в неоднородную систему дает
),()cos()()sin()(
,0)sin()()cos()(
002001
0201
tfttfttf
ttfttf
./)cos()()(
,/)sin()()(
002
001
ttftf
ttftf
Интегрируя последние формулы, окончательно получаем
t
dtttftf
0
1101
0
1
)sin()(
1
)(
,
t
dtttftf
0
1101
0
2
)cos()(
1
)(
,
tt
dtttftdtttfttx
0
11010
0
0
11010
0
)cos()()sin(
1
)sin()()cos(
1
)(
.
Суммируя интегралы, последнюю формулу можно переписать в виде
6
t
dttftttx
0
1110
0
)())(sin(
1
)(
.
В качестве примера применения последней формулы вычислим отклик осциллятора на
импульс постоянной силы
.,0
,0,
)(
t
tf
tf
. Тогда
))cos())((cos()())(sin(
1
)(
00
2
0
0
1110
0
tt
f
dttftttx
.
Используя формулу для разности косинусов
)sin()sin(2)cos()cos(
212121
zzzzzz
, по-
лучаем
)2/sin())2/(sin(
2
)(
00
2
0
t
f
tx
.
Отсюда видно, что амплитуда отклика будет максимальной при длительности импульса
равной половине периода, а для коротких импульсов
1
0
амплитуда пропорциональ-
на длительности импульса
))2/(sin()(
0
0
t
f
tx
.
6
Данная формула является примером представления частного решения неоднородного линейного уравнения
в виде свертки правой части с фундаментальным решением дифференциального оператора.
0
111
)())()( dttfttGtx
, где фундаментальное решение
)sin(
)(
)(
0
0
t
t
tG
, удовлетворяет уравне-
нию
)()()(
2
0
2
ttGD
в правой части которого находится так называемая дельта-функция Дирака.
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Введение в интегральные преобразования
При решении многих задач полезно рассматривать пары функций
)(
~
),( yfxf
, связанных
между собой линейными преобразованиями вида
X
dxxfxyKyf )()|()(
~
,
Y
dyyfyxKxf )(
~
)|(
~
)(
.
Функцию
)(
~
yf
называют образом исходной функции
)(xf
- прообраза, а определяющие
взаимосвязь образа и прообраза функции двух переменных
)|(
~
),|( yxKxyK
,- ядром пря-
мого и обратного преобразования соответственно.
Основной мотивировкой использования интегральных преобразований в конкретных за-
дачах является либо простота нахождения образа искомой функции, с последующим ее
восстановлением с помощью обратного преобразования, либо то, что сам образ несет
важную информацию о поведении системы.
Ниже идеи метода интегральных преобразований рассматриваются на примере наиболее
распространенных преобразований Лапласа и Фурье.
Преобразование Лапласа
Функция вещественной переменной называется функцией-оригиналом, если она обладает
свойствами
0,0)( ttf
10,|)(|
0
a
t
A
tf
a
t
)exp(|)(| btBtf
t
Входящая в последнюю формулу константа
b
называется показателем роста.
Функция-оригинал может принимать как вещественные, так и комплексные значения.
Простейшим примером оригинала служит ступенчатая функция Хевисайда
).;0[,1
);0;(,0
)(
x
x
t
Функция Хевисайда позволяет образовывать оригиналы из других функций при помощи
умножения, например,
)sin()( tt
и т. п. Всюду ниже, при записи оригиналов множитель
Хевисайда будет лишь подразумеваться, но не будет записываться в явном виде, напри-
мер, будем писать
n
t
вместо полной записи
n
tt)(
.
Преобразованием Лапласа функции-оригинала называется функция комплексной пере-
менной, определяемая интегралом
0
)exp()()exp()()()( dtpttfdtpttftpF
.
Несобственный интеграл сходится при значениях переменной
p
, удовлетворяющей усло-
вию
bp Re
, которое определяет область комплексной плоскости, в которой преобразо-
вание Лапласа является всюду аналитической функцией. То есть в полуплоскости
bp Re
, функция
)( pF
не имеет особых точек.
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
2
В частности, преобразование Лапласа функции Хевисайда
p
dtptdtptt
1
)exp()exp()(
0
является аналитической функцией в правой полуплоскости
0Re p
.
Оригинал может быть восстановлен по его преобразованию Лапласа при помощи вычис-
ления контурного интеграла вдоль вертикали
bcdpptpF
i
tf
ic
ic
,)exp()(
2
1
)(
.
Для вычисления этого интеграла производится преобразование контура интегрирования в
замкнутый контур, путем замыкания по полуокружности бесконечного радиуса в левой
полуплоскости при
0t
, и по полуокружности бесконечного радиуса в правой полуплос-
кости при
0t
. Направление замыкания контура определяется простым условием, - инте-
грал по полуокружности бесконечного радиуса должен обращаться в нуль.
Так как всюду в правой полуплоскости
bp Re
функция
)exp()( ptpF
является аналити-
ческой, интеграл по замкнутому контуру при
0t
обращается в нуль. То есть получаемая
при обратном преобразовании Лапласа функция является функцией-оригиналом.
Например, при обратном преобразовании Лапласа функции Хевисайда, функция
ppt /)exp(
, имеет лишь простой полюс
0p
.
Тогда интеграл
0,)exp(
1
2
1
cdppt
pi
ic
ic
равен нулю при замыкании в правой полуплоскости, и равен вычету
1/)exp(
0
pptres
p
при
замыкании контура в левой полуплоскости, то есть дает именно функцию Хевисайда.
Так же и в других случаях, обратное преобразование Лапласа может быть найдено путем
прямого вычисления замкнутого в левой полуплоскости контурного интеграла при помо-
щи вычетов. Соответствующие рецепты вычисления называются теоремами разложения.
Первая теорема разложения. Когда Лаплас-образ является рациональной функцией
)(/)()( pBpApF
, оригинал равен сумме вычетов по полюсам
))exp()(()()( ptpFresttf
k
pp
.
Вторая теорема разложения. Если Лаплас-образ является регулярной функцией в окре-
стности бесконечно удаленной точки, то есть когда он может быть представлен в виде ря-
да
0
1
)(
n
n
n
p
c
pF
оригинал является степенным рядом
0
!
)()(
n
n
n
t
n
c
ttf
.
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
3
Для иллюстрации теорем разложения рассмотрим обратное преобразование Лапласа про-
стейшей дроби
)/(1 ap
. Разлагая данную дробь при
|||| ap
в ряд
0
1
/
/1
111
n
nn
pa
papap
,
получаем, что степенной ряд для оригинала
0
)exp(
!
1
n
nn
atta
n
. С другой стороны,
)exp()/()exp( atapptres
ap
.
Всюду ниже любую пару функций, связанных преобразованием Лапласа, будем обозна-
чать символом
)()( pFtf
.
Большинство общих свойств преобразования Лапласа основываются на известных свойст-
вах определенных интегралов. Для получения этих свойств используется линейность ин-
тегрирования, линейные замены переменной и формула интегрирования по частям. При-
ведем некоторые простые примеры получения таких свойств.
Из линейности операции интегрирования следует и линейность преобразования
Лапласа. То есть по известным преобразованиям Лапласа любой пары функций
)()( pFtf
,
)()( pGtg
,
может быть получено преобразование Лапласа любой их линейной комбинации
)()()()( pGbpFatgbtfa
.
Поскольку преобразование Лапласа является аналитической функцией, то ее диф-
ференцирование дает
00
)exp()()exp()(
)(
dtptttfdtpttf
dp
d
dp
pdF
,
то есть
dp
pdF
ttf
)(
)(
.
Применив формулу интегрирования по частям к интегралу, определяющему преоб-
разование Лапласа производной, получаем,
)0()()))(exp((|)exp()()exp()(
0
0
0
fppFdtpttfpttfdtpttf
.
Преобразование Лапласа оригинала вида
)( batf
получается при помощи линей-
ной замены переменной
zbat
dz
a
apzzfzapbdtptbatfbat
||
1
)/exp()()()/exp()exp()()(
,
то есть
)/exp()/(
||
1
)( apbapF
a
batf
.
Некоторые дополнительные наиболее часто используемые свойства преобразований Лап-
ласа, полученные при помощи описанных приемов, приведены в таблице 1. Отметим осо-
бо последнее свойство, называемое теоремой о свертке, которое широко используется
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
4
при вычислении решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами.
1
Таблица 1 Некоторые общие свойства преобразований Лапласа
Функция
Лаплас-образ
f t( )
)( pF
f t c( )
exp( ) ( )pc F p
f t bt( ) exp( )
F p b( )
t f t
k
( )
)()1(
)(
pF
kk
f t( )
p F p pf f
2
0 0( ) ( ) ( )
f t
k( )
( )
)0()0( )0()0()(
)1()2(21
kkkkk
fpffpfppFp
f t dt
t
( )
0
F p
p
( )
f t g d
t
( ) ( )
0
F p G p( ) ( )
Для использования приведенных в таблице общих свойств к решению конкретных задач
необходимо также располагать некоторым базовым набором известных преобразований
Лапласа. Приводимая ниже таблица преобразований Лапласа получена как прямым вы-
числением соответствующих интегралов, так и применением общих свойств таблицы 1.
Таблица 2 Преобразования Лапласа некоторых функций
Функция
Лаплас-образ
)( t
1
p
t a
a
,( ) 1
( )a
p
a
1
1
exp( )at
1
p a
)exp( btt
a
1
)(
)1(
a
bp
a
)ch(at
22
ap
p
)sh(at
22
ap
a
)exp()cos( btt
22
)(
bp
bp
)exp()sin( btt
22
)(
bp
1
Сверткой двух оригиналов называется функция, интегралом
t
dgtftgf
0
)()()(
. Заменой
1
t
легко показать, что свертка является симметричной операцией,
)()( tfgtgf
.
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
5
Функция
Лаплас-образ
)cos( t
22
p
p
)sin( t
22
p
)sin( tt
222
)(
2
p
p
)cos( tt
222
22
)(
p
p
Одним из наиболее важных применений преобразования Лапласа является решение ли-
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
)()()()()()(
1
)2(
2
)1(
1
)(
tftxatxatxatxatx
nn
nnn
,
1,1,0,)0(
)(
nkxx
k
k
.
Существенно, что приводимый ниже алгоритм решения позволяет автоматически учиты-
вать также и начальные условия.
Суть приводимого алгоритма состоит в разбиении задачи на два этапа.
При помощи формул преобразований Лапласа для производных, в которые входят
начальные условия, получают алгебраическое уравнение для Лапласа-образа иско-
мой функции, и находят этот образ.
При помощи обратного преобразования Лапласа находят искомое решение диффе-
ренциального уравнения.
Поскольку запись алгоритма в общем виде является громоздкой, проиллюстрируем его
реализацию на примере уравнения колебаний под действием вынуждающей силы
)()()(2)(
2
0
tftxtxtx
,
ax )0(
,
bx )0(
.
Формулы преобразования Лапласа входящих в уравнение слагаемых имеют вид
bpapXptx )()(
2
,
appXtx )()(
,
)()( pXtx
,
)()( pFtf
.
Из этих формул получаем алгебраическое уравнение искомого Лаплас-образа
abpapFpXpp
2)()()2(
2
0
2
,
)2)((
)2(
1
)(
2
0
2
abpapF
pp
pX
.
Выполним обратное преобразование Лапласа, опираясь на приведенные в таблицах общие
свойства и преобразования конкретных функций, в частном случае затухающих колеба-
ний
0
222
0
. Для этого разобьем полученное преобразование Лапласа на сумму
трех слагаемых, которые приведены при помощи тождественных преобразований к виду,
наиболее близко соответствующих табличным
)(
)(
1
)()(
)(
)(
222222
pF
pp
ab
p
p
apX
.
Далее выписываем решение по таблице, разбив его для наглядности на два слагаемых,
первое из которых зависит только от начальных данных, а второе, - только от вынуждаю-
щей силы
)()()(
10
txtxtx
,
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
6
)sin()exp()cos()exp()(
0
tt
ab
ttatx
,
t
dftttx
0
1
)())(sin())(exp(
1
)(
.
Именно такую структуру имеет решение любого линейного дифференциального уравне-
ния с постоянными коэффициентами, получаемое по описанному алгоритму.
Заметим, что когда вынуждающая сила определяется в явном виде, вычисление второго
слагаемого через свертку не является обязательным, и может быть вычислено непосредст-
венно при помощи обратного преобразования Лапласа конкретной функции.
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье вещественной функции может быть определено для функций,
удовлетворяющих условиям
dttf )(
2
, или
dttf |)(|
.
Для простоты, будем рассматривать лишь первый случай. Функции, удовлетворяющие
первому условию, называют сигналами с ограниченной энергией, так как в типичных фи-
зических задачах, энергия сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды.
Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определяются формулами
dttitff )exp()()(
~
,
dtiftf )exp()(
~
2
1
)(
.
В силу вещественности функции
)()( tftf
ее преобразование Фурье удовлетворяет ус-
ловию симметрии
)(
~
)(
~
*
ff
. Поэтому сумма
)(
~
)exp()(
~
)exp(
ftifti
явля-
ется вещественной функцией, отражающей поведение сигнала на интересующей частоте.
Другими словами, преобразование Фурье
)(
~
f
есть комплексная амплитуда сигнала на
конкретной частоте, поскольку средняя по периоду
/2T
энергия сигнала пропор-
циональна квадрату комплексной амплитуды
2
|)(
~
|
f
.
В такой интерпретации физический смысл обратного преобразования Фурье становится
особенно простым, - сложный сигнал является «суммой» гармонических сигналов.
При этом в силу независимости энергии сигнала от способа ее вычисления справедливо
равенство, называемое равенством Парсеваля
`
2
`
2
|)(
~
|
2
1
)(
dfdttf
.
Левая часть равенства Парсеваля, с точностью до постоянного множителя, определяемого
конкретным физическим контекстом, является полной энергией сигнала, а правая часть
является суммой энергетических вкладов, сосредоточенных на различных частотах. По-
этому функцию
2
|)(
~
|
2
1
)(
fS
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
7
называют спектральной плотностью энергии сигнала. Важность спектральной плотности
определяется еще и тем, что она непосредственно связана с так называемым корреляцион-
ным интегралом
dtiSdftf )exp()()()(
,
который имеет важное значение при рассмотрении сигналов, содержащих случайную со-
ставляющую.
Некоторые часто применяемые общие свойства преобразований Фурье приведены в сле-
дующей таблице 3, а преобразования Фурье для некоторых функций, - в таблице 4
2
.
Таблица 3 Некоторые общие свойства преобразования Фурье
Функция
Фурье-образ
f t( )
)(
~
f
)( catf
)/(
~
)/exp(
||
1
afaci
a
t f t
k
( )
)(
~
)(
kk
fi
f t
k( )
( )
)(
~
)(
fi
k
dgtf )()(
)(
~
)(
~
gf
Таблица 4 Преобразования Фурье некоторых функций
Функция
Фурье-образ
)( t
0
1
i
0|),|exp( ata
22
21
Re2
a
a
ia
2
2
2
exp
t
/1,
2
exp
2
2
Для иллюстрации применения преобразования Фурье рассмотрим дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний затухающего гармонического осциллятора
)()()(2)(
2
0
tftxtxtx
.
Выполняя преобразование Фурье, получаем
)(
~
)(
~
)(
~
2)(
~
2
0
2
fxxix
,
)(
~
2
1
)(
~
22
0
f
i
x
.
Искомую функцию записываем по формуле свертки
dftGtx )()()(
,
Входящая в свертку функция
2
В приведенной таблице также дано преобразование Фурье для функции Хевисайда, которая не является
сигналом с ограниченной энергией. На самом деле преобразование Фурье функции Хевисайда может быть
определено только в обобщенном смысле, как преобразование Фурье обобщенной функции (см. ниже).
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
8
d
i
ti
tG
2
)exp(
2
1
)(
22
0
называется функцией отклика или функцией Грина гармонического осциллятора.
Функция Грина вычисляется при помощи вычетов путем перехода к интегрированию по
замкнутому контуру комплексной плоскости переменной
. Замыкание контура интегри-
рования проводится по окружности бесконечного радиуса, а направление замыкания оп-
ределяется условием обращения интеграла по этой окружности в нуль. Контур замыкается
в верхней полуплоскости при
0t
, и в нижней полуплоскости при
0t
.
В режиме затухающих колебаний
0
222
0
полюсы преобразования Фурье функ-
ции Грина находятся в верхней полуплоскости
iii
G
11
2
1
2
1
)(
~
22
0
Поэтому интеграл по замкнутому контуру отличен от нуля только при положительных
значениях переменной
t
, что может быть записано при помощи функции Хевисайда
)sin(
)exp(
)(
2
)exp(11
2
1
)( t
t
tdt
ti
ii
tG
Подстановка этой формулы в свертку дает
t
dftttx
0
)())(sin())(exp(
1
)(
.
Зная функцию Грина легко получить спектральную плотность полученного решения в ви-
де произведение спектральной плотности силы и спектральной плотности функции Грина
)()(|)(
~
|
2
1
|)(
~
|)(
2
2
22
0
2
fGx
SSf
i
xS
, где
2222
0
2
4)(
1
)(
G
S
.
Функция Грина важна и потому, что с ее помощью можно вычислить полную работу, со-
вершаемую внешней силой. Так как мгновенная мощность равна произведению скорости
на силу
)()()( tftxtW
, получаем
dfxdttftxA )(
~
)(
~
2
1
)()(
*
.
Поскольку
)(
~
2)(
)(
~
)(
~
2
0
2
f
i
i
xix
получаем
df
i
d
i
fi
A
2
2222
0
2
22
0
2
2
0
2
2
|)(
~
|
4)(
2)(
2
1
2)(
|)(
~
|
2
1
.
Поскольку спектральная плотность вынуждающей силы является четной функцией часто-
ты, в интеграл дает ненулевой вклад только четная составляющая
Введение в интегральные преобразования
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
9
dfA
2
2222
0
2
2
|)(
~
|
4)(
2
2
1
.
В результате работа вынуждающей силы записывается через мнимую часть преобразова-
ния Фурье функции Грина
df
i
A
2
2
0
2
|)(
~
|
2
1
Im
2
1
.
Тригонометрические ряды Фурье
Тригонометрический ряд Фурье можно рассматривать как частный случай преобразования
Фурье, когда сигнал является суммой гармонических сигналов, по частотам, кратным не-
которой основной частоте
ntictf
nnn
,)exp()(
.
В силу условия периодичности
1)2exp( ni
, из разложения сигнала в ряд Фурье следует,
что функция
)(tf
является периодической, с периодом
/2
T
, -
)()( tfnTtf
.
Так как положительные и отрицательные частоты в ряде Фурье связаны формулой
nn
, то в силу вещественности функции
)()( tftf
, коэффициенты разложения
также удовлетворяют условию симметрии
nn
cc
(это легко проверить при помощи ком-
плексного сопряжения).
Вычисление коэффициентов ряда Фурье основано на следующем свойстве функций
)exp()( tit
nn
, называемом свойством ортогональности.
.,0
,,1
)()(
1
*
mn
mn
dttt
T
mn
Tt
t
nm
Справедливость свойства ортогональности устанавливается прямым интегрированием.
Основываясь на свойстве ортогональности, ряд Фурье можно рассматривать как разложе-
ние периодического сигнала, - вектора в пространстве периодических функций, по орто-
нормированным базисным векторам в бесконечномерном пространстве.
)()( tctf
nn
При этом скалярное произведение в этом пространстве функций задается при помощи ин-
тегрирования по периоду сигнала.
Tt
t
dttgtf
T
gf )()(
1
),(
.
Формула вычисления коэффициентов ряда Фурье получается путем скалярного умноже-
ния ряда Фурье на базисную функцию и имеет вид
Tt
t
nn
dttitf
T
c )exp()(
1
.
Усреднение по периоду квадрата сигнала дает дискретный аналог равенства Парсеваля