Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Начальные сведения по теории вероятностей
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
16
.)/1(
)(
)exp(
)(
)(
0
1 a
a
a
a
a
bi
ib
b
dxxibxx
a
b
Формулы для моментов, дисперсии и стандартного отклонения получаются при помощи
разложения характеристической функции в ряд по формуле бинома:
)/)1((
2
)(
)/(1)/1()(
2
2
baa
i
baibi
a
,
baxbaxDbaaxMbaxM /][ ;/][ ;/)1(][ ;/][
222
.
Преобразование характеристических функций при преобразованиях
случайных величин
Понятие функции распределения позволяет получать плотности вероятности и характери-
стические функции случайных величин, получаемых из некоторых исходных случайных
величин при помощи заданных преобразований. Приводимые ниже примеры иллюстри-
руют наиболее часто встречающиеся преобразования характеристических функций.
Характеристическая функция линейной функции случайной величины.
Требуется получить плотность вероятности и характеристическую функцию случайной
величины
bzax
ˆ
ˆ
если плотность вероятности
)(z
z
и характеристическая функция
)(
z
известны. Полагая для конкретности
0a
, выписываем функцию распределения
искомой случайной величины:
)/)(()/)(
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
()( abxFabxzPxbzaPxxPxF
zx
.
Плотность вероятности искомой случайной величины выражается через плотность веро-
ятности исходной случайной величины дифференцированием
)/)((
1
)/)((
)(
)( abx
a
abxF
dx
d
dx
xdF
x
zz
x
x
,
а характеристическая функция вычисляется заменой переменной в интеграле:
).()exp()()exp()exp()())(exp(
)/)(()exp()()exp()(
aibdzzaizibdzzbazi
bazx
a
dx
baxixdxxix
zzz
zxx
Вычисления для
0a
выполните самостоятельно.
Замечание. Линейное преобразование широко используется при составлении справочных
таблиц распределений. В частности, для нормального распределения составлены лишь
таблицы функции распределения случайной величины
z
ˆ
, распределенной по закону
)1,0(N
. Функции распределения для случайной величины
x
ˆ
, распределенной по закону
),(
aN
, получаются из табличных значений по формуле
)/)(()(
ˆ
ˆ
axFxF
zx
, так как
zax
ˆ
ˆ
(в этом легко убедиться, сравнив плотности вероятности рассматриваемых
распределений).
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин.
Требуется получить плотность вероятности и характеристическую функцию суммы двух
статистически независимых случайных величин
z x y
.
Начальные сведения по теории вероятностей
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
17
Для независимых случайных величин справедливо равенство:
.)()()
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
;
ˆ
(
ˆˆ
dyydxxdyyyyPdxxxxPdyyyydxxxxP
yx
Тогда плотность вероятности искомой суммы случайных величин:
dzdyyyzxdxydydxdyyxdzz
yxx
dzyz
yz
y
dzzyxz
yxz
)()()()()()()(
ˆˆˆˆˆˆ
ˆ
,
то есть является сверткой плотностей вероятности слагаемых. Характеристическую функ-
цию суммы получаем интегрированием при помощи замены переменной
z y x
:
( ) exp( ) ( ) ( ) exp( ) ( ) exp( ) ( )
z x y x y
dz iz z y y dy ix x dx iy y dy
,
( ) ( ) ( )
x y x y
.
Этот результат легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых.
Характеристическая функция статистики «выборочное среднее».
Требуется получить характеристическую функцию и плотность распределения среднего
арифметического
n
i
i
x
n
x
1
ˆ
1
ˆ
статистически независимых слагаемых, распределенных по
закону
N a( , )
.
Рассматриваемую случайную величину можно представить как результат суммирования
независимых случайных величин с последующим линейным преобразованием:
/
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
1
nXxxX
n
i
i
.
Соответствующие преобразования характеристической функции дают:
)2/exp())2/(exp())(()(
2222
ˆ
nniaia
nn
i
X
,
)2/exp()/()(
22
ˆ
nian
X
.
Отсюда видно, что статистика «выборочное среднее» имеет распределение
)/,( naN
.
Характеристическая функция распределения
2
.
Требуется найти характеристическую функцию и плотность вероятности случайной вели-
чины
n
i
i
xn
1
22
ˆ
)(
ˆ
, где все входящие в сумму величины
x
i
статистически независимы и
имеют распределение
N( , )0 1
. Найдем плотность вероятности для отдельного слагаемого,
дифференцированием функции:
uu
u
dxxdxxuxuPuxP
0
222
)2/exp(
2
2
)2/exp(
2
1
)
ˆ
()
ˆ
(
,
/ / /
( ) exp( / ) exp( / )
( / )
( / )
exp( ( / ) )
x
u
u
d
du
x dx
u
u
u
u
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
1 2
2
0
1 2 1 2 1 2 1
.
Начальные сведения по теории вероятностей
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
18
При записи последнего равенства было использовано частное значение гамма-функции
( / )1 2
. Сравнивая полученную формулу с плотностью гамма-распределения, нахо-
дим, что случайная величина
x
2
имеет гамма-распределение с параметрами (1/2,1/2).
Характеристическую функцию
x
2
выписываем по известной характеристической функ-
ции гамма-распределения
/
( ) ( )
x
i
2
1 2
1 2
, а для записи характеристической функции
суммы квадратов используем статистическую независимость слагаемых, то есть перемно-
жаем их характеристические функции:
2/
)(
ˆ
)21()(
2
n
n
i
.
Полученная характеристическая функция является характеристической функцией гамма-
распределения с параметрами (n/2,1/2). Следовательно, искомая плотность вероятности:
)2/exp(
)2/(
)2/1(
)(
12/2/
)(
ˆ
2
u
n
u
u
nn
n
.
Полученное распределение для суммы квадратов
n
статистически независимых случай-
ных величин, распределенных по закону
N( , )0 1
, называется распределением
)(
2
n
(хи-
квадрат) с
n
степенями свободы.
Некоторые предельные теоремы теории вероятностей
Аппарат характеристических функций позволяет достаточно просто исследовать предель-
ные режимы поведения случайных величин связанных с суммированием большого числа
статистически независимых слагаемых. Это возможно благодаря тому, что характеристи-
ческие функции таких сумм получаются при помощи перемножения характеристических
функций слагаемых.
Приближение Пуассона для биноминального распределения.
Этот предельный режим используется при рассмотрении длинных серий испытаний Бер-
нулли с малой вероятностью успеха в отдельном испытании. Смысл понятия «малая веро-
ятность успеха» выяснится позднее.
Формально приближение Пуассона соответствует предельному режиму с фиксированным
средним числом успехов:
ConstpnNMpn
]
ˆ
[ ;0 ;
.
Для исследования данного предельного режима запишем характеристическую функцию
для числа успехов в виде:
)))1)(exp(1ln(exp())1)(exp(1())exp(()(
ˆ
ipnipipq
nn
N
.
Малая величина вероятности успеха позволяет получить приближенную формулу для ха-
рактеристической функции при помощи разложения по малому параметру
p i(exp( ) )
1
:
)2/)1)(exp(exp())1)(exp(exp()2/)1)(exp()1)(exp(exp(
)))1)(exp(1ln(exp())exp(()(
2222
ˆ
inpinpinpinp
ipnipq
n
N
Поскольку среднее число успехов фиксировано в рассматриваемом предельном переходе,
точность приближения контролируется параметром
2
np
. Когда выполнено условие
1
2
np
, то есть когда вероятность успеха
np /1
, в характеристической функции
можно пренебречь вторым сомножителем, и рассматривая характеристическая функция
Начальные сведения по теории вероятностей
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
19
переходит в характеристическую функцию распределения Пуассона с параметром
np
.
Следовательно, условие
np /1
и определяет смысл понятия «малая вероятность ус-
пеха».
Нормальное приближение для биноминального распределения.
Это приближение применяется для длинных серий испытаний Бернулли, когда вероят-
ность успеха нельзя считать малой. В этом случае при большой длине серии неограничен-
но растет как среднее значение
pnNM ]
ˆ
[
, так и дисперсия
pqnND ]
ˆ
[
. Однако отноше-
ние стандартного отклонения к среднему значению убывает
pnqpnN //]
ˆ
[
, то есть
имеет место уменьшение относительного разброса значений случайной величины.
Для получения приближенного распределения, справедливого для длинных серий рас-
сматривают поведение нормированной случайной величины получаемой их числа успехов
линейным преобразованием:
pqnpnNn /)
ˆ
(
ˆ
. Применяя формулы преобразования ха-
рактеристической функции при линейных преобразованиях к характеристической функ-
ции для числа успехов, получаем:
)))1)/(exp(1ln(exp()/exp(
)/()/exp()(
ˆ
ˆ
pqnipnpqnpni
pqnpqnpni
N
n
Далее проводится разложение показателя
))1)/exp(1ln( pqnipn
по малому парамет-
ру
pqn/
с точностью до четвертого порядка. Такая точность разложения выбрана с
целью получения параметров, контролирующих точность приближения, в явном виде. В
результате характеристическая функция нормированного числа успехов приближенно за-
писывается в виде:
pqn
pqi
pqn
pqi
n
)61(
24
)(
exp
)(
6
)(
exp)2/exp()(
43
2
ˆ
.
Отсюда видно, что в длинных сериях нормированное число успехов
pqnpnNn /)
ˆ
(
ˆ
приближенно распределено по закону
N( , )0 1
. При этом точность приближения контроли-
руется параметром
pqnqp /||
при
p q
, и параметром
npqnpq /2/|61|
при
p q
.
Центральная предельная теорема (упрощенное рассмотрение).
В центральной предельной теореме исследуется поведение суммы
n
i
i
xX
1
ˆ
ˆ
большого
числа независимых слагаемых
x
i
, распределенных по одному закону, то есть все слагае-
мые имеют одинаковые дисперсии
D x x[ ] [ ]
2
и средние значения
M x[ ]
.
Центральная предельная теорема гласит:
нормированная случайная величина
nxxnMXz ][/])[
ˆ
(
ˆ
при большом числе слагаемых
приближенно имеет распределение
N( , )0 1
.
Техника доказательства этого утверждения практически полностью повторяет вывод нор-
мального приближения для биноминального распределения, - сначала записывается ха-
рактеристическая функция нормированной случайной величины:
)))][/(ln(exp()][/][exp()(
ˆ
nxnnxxnMi
z
,
Начальные сведения по теории вероятностей
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
20
а далее проводится разложение показателя
))][/(ln( nxn
по степеням малого пара-
метра
nx][/
до квадратичных слагаемых:
])[][(
2
)(
][)][
2
)(
][1ln())(ln(
22
2
2
2
xMxM
i
xMixM
i
xMi
,
))
][
(()
][
(
2
][
)
][
]([))][/(ln(
32
2
nx
i
O
nx
ix
nx
i
xMNnxN
,
))(exp()2/exp()(
2/12
ˆ
nO
z
.
Отсюда видно, что при больших
n
полученная характеристическая функция приближенно
совпадает с характеристической функцией распределения
N( , )0 1
.
Ограничение квадратичными слагаемыми не позволяет получить параметры, контроли-
рующие точность приближения. Получение явных формул для этих параметров требует
более точного рассмотрения, учитывающего в разложении характеристических функций
моментов третьего и более высокого порядков.
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Начальные сведения о дифференциальных уравнениях
Дифференциальные уравнения являются главным мостом между математикой и ее разно-
образными приложениями. Это обусловлено тем, что многие законы природы формули-
руются в виде формул, связывающих значение функций и ее производных. Например, за-
кон одномерного движения частицы
),,()( txxftx
связывает ускорение частицы с дейст-
вующей на нее силой, которая может зависеть от координаты и скорости частицы, а также
и от времени. Это пример обыкновенного дифференциального уравнения, решением кото-
рого является функция одной переменной, определяющая зависимость координаты от
времени. В качестве другого примера можно привести уравнение, получаемое из закона
теплопереноса Фурье, связывающего поток тепла с градиентом температуры и закона со-
хранения тепловой энергии в локальной форме, связывающего скорость изменения темпе-
ратуры тела с потоком тепла
),(grad),( txTctxq
,
),(div
),(
txq
t
txT
c
.
Когда коэффициент температуропроводности
и теплоемкость
c
не зависят от коорди-
нат, комбинирование этих законов приводит к уравнению теплопроводности, - примеру
дифференциального уравнения в частных производных
2
2
2
2
2
2
),(),(),(),(
z
txT
y
txT
x
txT
t
txT
.
Между обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными урав-
нениями с частными производными имеется принципиальное отличие, которое наиболее
ясно проявляется при переходе к геометрической формулировке понятия дифференциаль-
ного уравнения как уравнения эволюции состояния системы.
Когда для полного описания состояния системы достаточно задать конечное число
переменных, то есть состояние системы можно представить вектором в конечно-
мерном пространстве, эволюция системы описывается обыкновенным дифферен-
циальным уравнением.
Когда для полного описания состояния системы необходимо задать бесконечное
число переменных, то есть состояние системы представляется вектором в беско-
нечномерном пространстве, эволюция системы описывается уравнением в частных
производных.
В данной главе будут рассматриваться обыкновенные дифференциальные уравнения.
Геометрическая трактовка дифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения приобретают наиболее ясную трактовку на
языке многомерной геометрии, при использовании понятий векторного поля и векторной
функции скалярного аргумента. Геометрическая формулировка дифференциальных урав-
нений важна потому, что на ее основе наиболее естественно формулируются теоремы о
единственности решения и строятся алгоритмы численного решения дифференциальных
уравнений. В дальнейшем, для простоты и конкретности независимую переменную будем
называть «время», о решении дифференциального уравнения будем говорить как об эво-
люции состояния динамической системы, а само дифференциальное уравнение будем на-
зывать уравнением эволюции. Поскольку такая аналогия с механикой является удобной и
плодотворной, ниже в качестве иллюстраций конкретных дифференциальных уравнений
будут использоваться примеры из механики, а при описании понятий теории дифферен-
циальных уравнений, будут использоваться понятия механики.
Начальные сведения о дифференциальных уравнениях
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
2
Фазовые пространства, фазовые траектории и интегральные кривые
Пусть для полного описания состояния системы в заданный момент времени необходимо
задать конечное число
n
переменных, то есть состояние системы можно рассматривать
как вектор в конечномерном пространстве
))(,),(),(()(
21
txtxtxtx
n
. Тогда изменение со-
стояния системы во времени представляется как множество векторов, каждый из которых
соответствует конкретному моменту времени, то есть является векторной функцией ска-
лярного аргумента. Если векторная функция является дифференцируемой, операция диф-
ференцирования сопоставляет каждой точке годографа вектор, касательный к годографу,
называемый вектором скорости
k
k
kn
etxtxtxtxtxtV
)())(,),(),(()()(
21
.
Когда годограф векторной функции не является самопересекающейся линией, то есть ка-
ждому значению аргумента соответствует единственная точка годографа, и наоборот, ка-
ждой точке годографа
x
соответствует единственное значение аргумента функции
)(xt
,
можно сказать, что дифференцирование векторной функции скалярного аргумента задает
в пространстве векторное поле по правилу
k
k
k
extxxVtx
))(()()(
.
Понятие дифференциального уравнения и задачу об отыскании его решения можно сфор-
мулировать как задачу, обратную по отношению к задаче о дифференцировании вектор-
ной функции скалярного аргумента. Пусть в конечномерном пространстве задано вектор-
ное поле
),( txV
, по которому необходимо найти такое семейство векторных функций ска-
лярного аргумента
)(tx
, для которых в каждой точке пространства исходное векторное
поле совпадает с касательным вектором. Формула, выражающая условие «вектор скорости
равен значению векторного поля в рассматриваемой точке»
),()( txVtx
и называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Отсюда сразу следует и определение решения дифференциального уравнения.
Общее решение дифференциального уравнения это семейство векторных функций
скалярного аргумента, любая из которых обращает исходное дифференциальное
уравнение в тождество
)),(()( ttxVtx
.
Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения это векторная
функция скалярного аргумента из семейства, образующего общее решение, прохо-
дящая через заданную точку пространства
)(
00
txx
.
Поскольку начальная точка
),,,(
210 n
cccx
задается
n
координатами, для выделения
частного решения из семейства общего решения необходимо зафиксировать
n
констант.
Можно также утверждать и обратное, - семейство векторных функций, задающих общее
решение дифференциального уравнения, зависит от
n
произвольных констант, число ко-
торых равно размерности пространства состояний.
Приведем стандартные определения, связанные с геометрической трактовкой обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.
Конечномерное пространство, векторы которого представляют состояния системы,
называется фазовым пространством, а размерность фазового пространства назы-
вается порядком дифференциального уравнения.
Начальные сведения о дифференциальных уравнениях
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
3
Годограф векторной функции
)(tx
, являющейся решением дифференциального
уравнения, называется фазовой траекторией.
Векторное поле
),( txV
, которое определяет дифференциальное уравнение и в об-
щем случае зависит как от точки пространства, так и от времени, называется полем
направлений или полем фазовой скорости.
Пространство, образованное парами
),( xt
, называется расширенным фазовым про-
странством, а график решения дифференциального уравнения
))(,( txt
называется
интегральной кривой.
Поле направление, не зависящее от времени явно
)(xV
, называется стационарным,
а соответствующее ему дифференциальное уравнение, - автономным дифференци-
альным уравнением, в противном случае дифференциальное уравнение называется
неавтономным.
Между автономными и неавтономными дифференциальными уравнениями имеется про-
стая взаимосвязь, - неавтономное дифференциальное уравнение можно представить как
автономное дифференциальное уравнение в расширенном фазовом пространстве. В са-
мом деле, исходное неавтономное дифференциальное уравнение можно представить в ви-
де системы
).,()(
,1
txVtx
t
Введение в рассмотрение вектора состояния и поля фазовой скорости в расширенном фа-
зовом пространстве по формулам
))(,()( txttX
,
))(,1()),(,1()( XVtxVXU
, позволяет
представить исходное неавтономное дифференциальное уравнение в виде автономного
уравнения
)()( XUtX
.
Эта взаимосвязь между неавтономными и автономными дифференциальными уравнения-
ми принципиально важна потому, что она позволяет далее рассматривать только автоном-
ные уравнения и легко переносить полученные результаты на неавтономные уравнения.
Пример. Уравнение одномерных вынужденных колебаний.
Уравнение вынужденных затухающих колебаний под воздействием гармонической выну-
ждающей силы имеет вид
)sin()()(2)(
2
0
tftxtxtx
Это пример уравнения эволюции механической системы с одной степенью свободы. Для
полного описания состояния такой системы в произвольный момент времени необходимо
задать координату и скорость (или импульс) частицы
))();(( tptx
, то есть фазовое про-
странство рассматриваемой динамической системы является двумерным. Поскольку ско-
рость
)()( txtp
, исходное динамическое уравнение может быть переписано в виде сис-
темы дифференциальных уравнений первого порядка
).sin()()(2)(
),()(
2
0
tftxtptp
tptx
Вводя вектор состояния
);( pxx
и поле направлений
))sin(2;(),(
2
0
tfxpptxV
,
нетрудно увидеть, что выписанная система является развернутой записью неавтономного
уравнения на двумерном фазовом пространстве.
Начальные сведения о дифференциальных уравнениях
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
4
Вводя в рассмотрение дополнительную переменную, - фазу
t
, вектор состояния
);;( pxX
и поле направление
))sin(2;;()(
2
0
fxppXU
в расширенном фазо-
вом пространстве записываем выписанное ранее неавтономное уравнение как автономное
уравнение на трехмерном расширенном фазовом пространстве
).sin(2
,
,
2
0
fxpp
px
Понятие о теоремах существования и единственности решений
Теоремы, формулирующие условия, при выполнении которых решения дифференциаль-
ного уравнения существуют, называются теоремами существования решений. Теоремы,
формулирующие условия, при выполнении которых решение задачи с начальными усло-
виями является единственным, называются теоремами единственности. Ниже обсуждают-
ся основные понятия, связанные с теоремами единственности решений и их зависимостью
от начальных условий.
1
Наиболее просто понятие единственности решения можно проиллюстрировать на примере
простейшего автономного дифференциального уравнения, определяемого постоянным
полем фазовой скорости
Vtx
)(
. Решения данного уравнения очевидны, - это семейство
прямых линий, параллельных вектору
V
00
)0(,,)( xxttVxtx
.
Поскольку любая пара параллельных прямых не пересекается, мы приходим к очевидно-
му, но принципиально важному утверждению: для дифференциального уравнения, опреде-
ляемого постоянным полем направлений, через каждую точку фазового пространства,
проходит единственная фазовая траектория. Это и есть простейшая теорема о единст-
венности решения для обыкновенного дифференциального уравнения.
Следствием этой теоремы является следующее утверждение: решения дифференциального
уравнения, определяемого постоянным полем направлений, непрерывно зависят от на-
чальных условий, то есть из неравенства для начальных условий
|
~
|
00
xx
следует, что
в любой момент времени
|)(
~
)(| txtx
. Это простейшая теорема о непрерывной зависи-
мости решений дифференциального уравнения от начальных условий.
Другие теоремы единственности и непрерывной зависимости решения от начальных дан-
ных обобщают сформулированные результаты на поля направлений более общего вида. В
таких теоремах формулируют условия, налагаемые на поле
),( txV
, при выполнении кото-
рых через каждую точку фазового пространства проходит единственная фазовая траекто-
рия (для автономных уравнений), или через каждую точку расширенного фазового про-
странства проходит единственная интегральная кривая (для неавтономных уравнений).
При этом связь с описанным выше тривиальным случаем дифференциального уравнения с
постоянным полем направлений проявляется самым непосредственным образом, - теоре-
мы единственности формулируют условия, при выполнении которых существует преобра-
зование координат фазового пространства, которое превращает поле направлений в по-
1
Более подробное рассмотрение теорем существования и единственности решений дифференциальных
уравнений можно найти, например, в книге Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М:
Физматлит, 1984.
Начальные сведения о дифференциальных уравнениях
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
5
стоянное поле, - выпрямляет поле направлений. Поэтому, теоремы единственности также
называют теоремами о выпрямлении поля направлений.
Фактически, отыскание преобразования координат, выпрямляющего поле направлений,
эквивалентно нахождению решения исходного дифференциального уравнения, а в теоре-
мах о выпрямлении формулируют условия, при выполнении которых существует преобра-
зование координат, выпрямляющее поле направлений локально, то есть в окрестности
конкретной точки фазового пространства. Для дальнейшего будет достаточно знать сле-
дующую теорему:
Если поле направлений автономного уравнения в рассматриваемой точке фазового
пространства является гладким, то есть координатные функции поля в этой
точке являются непрерывно дифференцируемыми по всем переменным, то суще-
ствует преобразование координат, задаваемое непрерывно дифференцируемыми
функциями, которое выпрямляет поле направлений в окрестности этой точки.
Данная теорема гарантирует, что через каждую точку фазового пространства, в которой
поле направлений является гладким, проходит единственная фазовая траектория, которая
в окрестности этой точки непрерывно зависит от начальных условий. Однако непрерыв-
ная зависимость от начальных условий и единственность могут нарушиться при достаточ-
ном удалении от исходной точки.
Понятие о численном решении дифференциальных уравнений
Формулировка дифференциального уравнения на языке фазового пространства важна
также и потому, что на ее основе наиболее просто и естественно формулируются разнооб-
разные алгоритмы приближенного (численного) решения дифференциальных уравнений.
При численном решении интегральная кривая, или фазовая траектория аппроксимируется
ломаной линией, построенной на конечном наборе точек. Более точно, численное решение
дифференциального уравнения на конечном временном интервале
],[
0 n
tt
, - это ломаная
линия, построенная по конечному набору точек расширенного фазового пространства
),(,),,(),,(
1100 nn
txtxtx
, или фазового пространства
n
xxx
,,,
10
. В первом случае ломаная
аппроксимирует интегральную кривую, а во втором случае, - фазовую траекторию. По-
следовательные моменты времени
n
ttt ,,,
10
, соответствующие координатам
n
xxx
,,,
10
,
образуют так называемую временную сетку, которая может быть равномерной,
constttt
kk
1
,
1,,0 nk
, или неравномерной.
Для получения численного решения исходное дифференциальное уравнение заменяется
рекуррентным уравнением, связывающим последовательные точки ломаной. Это уравне-
ние получается при помощи так называемой конечно-разностной аппроксимации произ-
водной при помощи выражения
txxtx
kkk
/)()(
1
. Задача построения алгоритмов чис-
ленного решения как раз и состоит в построении рекуррентных уравнений, решения кото-
рых дают наилучшую аппроксимацию интегральных кривых и фазовых траекторий.
Простейшим из алгоритмов численного решения дифференциальных уравнений является
алгоритм Эйлера, в котором последующая точка вычисляется по значению поля направ-
лений, вычисленному в предыдущей точке
ttxVxx
kkkk
),(
1
.
Алгоритм Эйлера работает очень просто. По начальному состоянию системы вычисляется
значение поля направлений в этом состоянии, по которому, в свою очередь, вычисляется
последующее состояние системы. При этом главным вопросом, определяющим качество
численного решения, является то, насколько хорошо полученная ломаная приближает ис-