Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
18
x
a
nnnn
dttftx
n
axaf
n
axafaxafafxf )()(
!
1
))((
!
1
))((
2
1
))(()()(
)1()(2
.
Используя символ суммирования формулу Тейлора можно кратко записать в виде
)())((
!
1
)(
0
)(
axRaxaf
n
xf
n
n
k
kk
.
Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом
ax
nn
n
dttaftax
n
axR
0
)1(
)()(
!
1
)(
Существует много форм записи остаточного члена, получаемых при различных ограниче-
ниях на поведение производной
),(),(
)1(
xaxxf
n
. Однако, в подавляющем большинстве
случаев достаточно следующей простой оценки, устанавливающей порядок малости оста-
точного члена
1)1(
),(
1
0
)1(
),(
)(|)(|max
)!1(
||
|)(|max)(
!
1
|)(|
nn
xat
n
ax
n
xat
n
n
axOtf
n
ax
dttaftax
n
xR
.
С аналитической точки зрения, смысл формулы Тейлора состоит в том, что она позволяет
выписать поправки к значению функции в рассматриваемой точке по степеням бесконеч-
но малой
)( ax
. При этом точность получаемого приближения, по порядку малости, кон-
тролируется остаточным членом.
С точки зрения приближенных вычислений точность вычислений по формуле Тейлора
можно контролировать либо путем явной оценки остаточного члена, либо путем сравне-
ния последовательных слагаемых в данной формуле. В последнем случае мы требуем,
чтобы выполнялось неравенство
)()1(
)(
||))((
!
1
:)()(
)!1(
1
)(
)1(
)()1(1
afn
af
axaxaf
n
afax
n
n
n
nnnn
из которого непосредственно находится область изменения переменной, в которой данная
точность имеет место
)(
)()1(
||
)1(
)(
af
afn
ax
n
n
.
Формула Маклорена и ее взаимосвязь с формулой Тейлора
Формула Маклорена, это просто частный случай формулы Тейлора, получающийся при
значении
0a
.
)()0(
!
1
)(
0
)(
xRxf
n
xf
n
n
k
kk
.
Между формулами Тейлора и Маклорена существует простая взаимосвязь. Рассмотрим
функцию
)(xf
в близи точки
ax
и сделаем в ней замену
zax
. В результате полу-
чится другая формула функции
)(z
. Представив последнюю функцию по формуле Мак-
лорена и сделав в ней замену
axz
, получаем
)())(0(
!
1
)()0(
!
1
)(
0
)(
0
)(
axRax
n
zRz
n
z
n
n
k
kk
n
n
k
kk
.
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
19
Сравнив последнюю формулу с формулой Тейлора для функции
)(xf
нетрудно заметить,
что формула Маклорена для функции
)(z
является формулой Тейлора для функции
)(xf
, при этом
)()0(
)()(
af
kk
.
Взаимосвязь между формулами Тейлора и Маклорена используется для получения разло-
жений функций по формуле Тейлора с помощью справочного набора известных разложе-
ний Маклорена.
Формальное определение рядов Тейлора и Маклорена
Рядами Тейлора и Маклорена называют формулы Тейлора и Маклорена, получаемые в
пределе
n
0
)(
))((
!
1
)(
k
kk
axaf
k
xf
,
0
)(
)0(
!
1
)(
k
kk
xf
k
xf
.
При этом описанная выше взаимосвязь между формулами Тейлора и Маклорена перено-
сится и на ряды.
Ясно, что ряды Тейлора и Маклорена могут быть получены только тогда, когда рассмат-
риваемая функция имеет в рассматриваемой точке производные любого порядка (такие
функции называют бесконечно дифференцируемыми).
Можно сказать и иначе, - ряд Тейлора задает бесконечно дифференцируемую функцию.
Однако при этом возникает простой, но нетривиальный вопрос, - при каких значениях пе-
ременной определена бесконечно дифференцируемая функция, задаваемая рядом Тейло-
ра? Для ответа на этот вопрос необходимо разобраться с понятием бесконечной суммы
более детально.
Сумма числового ряда
Числовыми рядами называются бесконечные суммы чисел вида
)2()1()()( pfpfpfkf
pk
где
)(kf
некоторая формула, по которой вычисляются слагаемые, - члены ряда.
Если все члены ряда имеют одинаковый знак, числовой ряд называют знакопостоянным,
в противном случае ряд называют знакопеременным. Частным случаем знакопеременных
рядов являются знакочередующиеся ряды, соседние члены которых имеют противополож-
ные знаки. Поскольку ряды с отрицательными членами можно получить из рядов с поло-
жительными членами умножением на минус единицу, при изучении знакопостоянных ря-
дов ограничиваются рядами с положительными членами.
Знакопостоянные ряды во многом ведут себя подобно обычным суммам, - их члены мож-
но переставлять местами, а сами ряды складывать и перемножать как обычные конечные
суммы. Знакопеременные ряды подобными свойствами, в общем случае не обладают. Од-
нако, среди всех знакопеременных рядов можно выделить важнейший класс абсолютно
сходящихся рядов, которые по отношению к арифметическим операциям и перестановке
слагаемых ведут себя также, как и знакопостоянные ряды.
Определение суммы ряда
Определение суммы ряда опирается на предельный процесс, состоящий в неограниченном
увеличении слагаемых конечной суммы, называемой частичной суммой ряда
n
pk
nn
n
kfsss )(,lim
.
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
20
Когда предельное значение частичных сумм является конечным числом, ряд называется
сходящимся, в противном случае ряд называется расходящимся.
Важнейшим примером числового ряда является геометрический ряд
0
2
1
k
kk
qqqq
.
Его частичной суммой является сумма геометрической прогрессии
q
q
qqqs
n
n
n
1
1
1
12
.
Предельное поведение частичной суммы зависит от величины знаменателя прогрессии
q
.
Когда
1|| q
функция
n
q
является бесконечно малой при
n
, и предельное значение
частичных сумм
)1/(1 qs
, при всех остальных значениях знаменателя прогрессии гео-
метрический ряд расходится.
Геометрический ряд является одним из простейших примеров рядов, для которых форму-
лу частичной суммы можно получить в явном виде. Если формулу для частичной суммы
получить нельзя, приходится использовать косвенные условия существования суммы, на-
зываемые признаками сходимости рядов.
Основой построения признаков сходимости является принцип сравнения рядов, который
формулируется следующим образом.
Пусть для рядов с положительными членами при
pk
выполняются неравенства
kk
ba
.
Тогда ряд
0k
k
bB
сходится, если сходится ряд
0k
k
aA
и наоборот, ряд
A
расходится,
если расходится ряд
B
.
С точки зрения сравнения частичных сумм, принцип сравнения рядов выглядит просто,
так как основывается на очевидном неравенстве
n
pk
k
n
pk
k
ba
. Однако при этом остается
открытым принципиально важный вопрос о существовании суммы ряда с положительны-
ми членами
pk
k
a
. Решение этого вопроса не является очевидным и простым, а опирается
на определение вещественного числа как такового.
Для понимания дальнейшего материала детали определения понятия вещественного числа
(смотри дополнение) не являются обязательными. Заметим лишь, что для дальнейшего
достаточно следующего утверждения, гарантирующего существование суммы ряда: если
частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху
cs
n
, то суще-
ствует вещественное число
s
, такое что разность
n
ss
является бесконечно малой, то
есть сумма ряда
n
n
ss
lim
.
Из существования суммы ряда сразу следует условие, нарушение которого гарантирует
расходимость ряда:
0)()(
11
n
nnnnn
ssssssa
(поэтому оно называется необхо-
димым условием сходимости ряда).
Конкретизацией принципа сравнения рядов является признак сходимости, основанный на
сравнении исследуемого ряда с геометрическим рядом.
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
21
Если для ряда с положительными членами начиная с некоторого номера
pk
, выполня-
ется условие
k
k
qOa
, где
10 q
, исходный ряд сходится.
Существует два способа вычисления входящей в этот признак сходимости константы
q
.
Признак Даламбера. Пусть
|/|lim
1 nn
n
aaq
. Ряд сходится при
1q
, расходится при
1q
,
а при
1q
сходимость требует дополнительного исследования.
Признак Коши. Пусть
n
n
n
aq
/1
||lim
. Ряд сходится при
1q
, расходится при
1q
, а при
1q
сходимость требует дополнительного исследования.
8
Определение абсолютно сходящегося ряда
Ряд
pk
kf )(
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
pk
kf |)(|
, составлен-
ный из абсолютных величин его членов. Поскольку частичные суммы знакопеременного
ряда удовлетворяют очевидному неравенству
n
pk
n
pk
n
kfkfS |)(|)(
, сходимость ряда
из абсолютных величин гарантирует сходимость исходного ряда.
Степенные ряды и их интервал сходимости
Степенными рядами называются бесконечные суммы, задаваемые формулами
0
)(
k
k
k
azc
, (ряд с центром в точке
az
)
0k
k
k
zc
(ряд с центром в точке
0z
).
По аналогии с многочленами, входящие в данную формулу константы
k
c
называются ко-
эффициентами степенного ряда. Так как степенные ряды с центрами в точках
az
и
0z
связаны заменой переменной
zaz
, дальнейшие результаты формулируются для
рядов с центром в точке
0z
, (их перенос на случай
az
тривиален).
Важнейшей задачей, связанной со степенными рядами, является нахождение интервала
значений переменной, при которых ряд сходится абсолютно, то есть мы хотим найти та-
кие значения переменной, при которых со слагаемыми ряда можно поступать как с
обычными суммами. Для этого будем рассматривать переменную как постоянный пара-
метр, и исследуем сходимость числового ряда
00
||||||
k
k
k
k
k
k
zczc
.
Для конкретности, используем признак сходимости Даламбера. Тогда
Rzcczzczc
k
kk
k
k
k
k
/||||/|||||||:|||||
1
1
1
, где
Rcc
kk
k
/1||/||lim
1
.
Следовательно, ряд будет сходиться абсолютно при выполнении неравенства
1/|| Rz
, то
есть в интервале
);( RRz
.
Рассмотрим далее степенной ряд, получаемый формальным дифференцированием исход-
ного ряда
8
Условие
1q
фактически означает нарушение необходимого условия сходимости ряда.
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
22
1
1
k
k
k
zkc
Снова используем признак Даламбера
Rzcckzzckzck
k
kk
k
k
k
k
/||||/||)/11(|||||:||||)1(|
1
1
1
,
то есть степенной ряд, получаемый дифференцированием, сходится абсолютно в том же
интервале, что и исходный ряд.
Таким образом, получаем следующее утверждение, - внутри интервала сходимости лю-
бой степенной ряд определяет дифференцируемую функцию.
Поскольку производная степенного ряда также является степенным рядом, дифференци-
рование в интервале сходимости можно продолжать и далее любое число раз, не изменяя
интервала сходимости получающихся степенных рядов. Следовательно, внутри интерва-
ла сходимости степенной ряд определяет бесконечно дифференцируемую функцию.
Продифференцировав степенной ряд несколько раз, и подставив в полученную формулу
0z
, получаем связь между коэффициентами ряда и производными функции, задаваемой
рассматриваемым степенным рядом
!)0(,)1()1()(
)()(
ncfznkkkczf
n
n
nk
nk
k
n
.
Другими словами, степенной ряд в интервале сходимости определяет функцию, для ко-
торой он является рядом Маклорена.
Операции над степенными рядами
Поскольку степенные ряды в их интервале сходимости определяют бесконечно диффе-
ренцируемые функции, их можно дифференцировать и интегрировать. Ряды можно скла-
дывать, вычитать и умножать. Результат будет определен, как и при операциях над любы-
ми функциями, на общей области определения операндов, а сами операции проводятся по
тем же алгебраическим правилам, что и операции с конечными суммами или многочлена-
ми (перемножение скобки на скобку, приведение подобных, группировка и т.п.).
Остановимся подробнее на операции деления степенных рядов. Основой операции деле-
ния является деление произвольного степенного ряда
0k
k
k
za
на степенной ряд, начи-
нающийся с константы
0,
0
0
bzb
k
k
k
. Частное этих двух рядов
0k
k
k
zc
определяется
как решение системы уравнений, получаемой путем приравнивания коэффициентов при
одинаковых степенях переменной в формуле для произведения
000 k
k
k
k
k
k
k
k
k
zazczb
,
,
,
,
,
022110
2201102
11001
000
nnnnn
acbcbcbcb
acbcbcb
acbcb
acb
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
23
Полученная система решается последовательным определением коэффициентов
k
c
, начи-
ная с верхнего уравнения.
Замечание. Если ряд-делитель начинается не с константы
0,
p
pk
k
k
bzb
, его записы-
вают в виде
00
~
k
k
k
p
k
k
pk
p
zbzzbz
и деление проводят в два этапа:
выполняют деление на ряд
0
~
k
k
k
zb
, как описано выше;
делят полученный ряд на степень
p
z
.
Полученный в результате такого деления ряд уже не будет рядом Маклорена, так как он
содержит не только положительные, но и отрицательные степени переменной (такие ряды
называются рядами Лорана).
Экспонента и экспоненциальный рост функций
Одной из важнейших функций, задаваемая степенным рядом, является стандартная пока-
зательная функция (экспонента)
n
k
k
z
n
zzzz
k
z
!
1
!3
1
!2
1
1
!
1
)exp(
32
0
.
Отсюда видно, что экспонента положительна при положительных значениях переменной.
Поскольку
0
1
||
!
1
:
)!1(
1
1
n
nn
n
z
z
n
z
n
ряд для экспоненты сходится абсолютно при любом значении переменной. Следователь-
но, экспонента является бесконечно дифференцируемой функцией в точке
0z
, а все ее
производные в этой точке равны единице. Основное свойство экспоненты
)exp()exp()exp(
2121
zzzz
,
получается прямым перемножением рядов для функций
)exp(
1
z
и
)exp(
2
z
с использова-
нием бинома Ньютона при группировке слагаемых
)exp()(
!3
1
)(
!2
1
)(1
)33(
!3
1
)2(
!2
1
)(1
!3
1
!2
1
1
!3
1
!2
1
1)exp()exp(
21
3
21
2
2121
3
21
2
22
2
1
3
121
2
2
2
121
3
2
2
22
3
1
2
1121
zzzzzzzz
zzzzzzzzzzzz
zzzzzzzz
Из основного свойства экспоненты следует, что она является бесконечно дифференцируе-
мой функцией при любом значении переменной, и ее производная
)exp()(pex zz
(раз-
ложите
)exp()exp()exp( zzzz
по степеням
z
). Из основного свойства экспоненты
следует формула
)exp(/1)exp( zz
, то есть экспонента положительна при любых значе-
ниях переменной (запишите тождество
)exp()exp()exp()0exp( zzzz
).
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
24
Важным свойством экспоненты является то, что при больших положительных значениях
переменной экспонента растет быстрее любой степени. Это свойство легко увидеть из
следующего разложения
)!2()!1(!
1
)!1(
111
!
11)exp(
2
1
0
n
z
n
z
nnzzz
z
kzz
z
nn
k
k
nn
,
которое при больших значениях переменной является суммой конечного числа бесконеч-
но малых, константы и бесконечного числа положительных бесконечно больших функ-
ций, то есть положительной бесконечно большой функцией
z
n
z
z)exp(
.
Определение экспоненциального роста и экспоненциальной малости.
Бесконечно большие функции
0,)exp()(
bzbOzf
z
называют экспоненци-
ально большими функциями или функциями экспоненциального роста
Бесконечно малые функции, получаемые из экспоненциальных бесконечно боль-
ших
0,)exp()(/
bzbOzfC
z
называют экспоненциально малыми.
Порядок экспоненциального роста (малости) характеризуется параметром
0b
,
называемым показателем экспоненциального роста (малости).
Замечание об обозначениях экспоненты. Значение экспоненты
)1exp(
является универ-
сальной математической константой, обозначаемой
e
. Основное свойство экспоненты по-
зволяет свести вычисление экспоненты при рациональных значениях аргумента к возве-
дению числа
e
в дробную степень
mn
emn
/
)/exp(
, отсюда другое обозначение экспонен-
ты
x
e
. Однако обобщение экспоненты на любые вещественные значения аргумента воз-
можно только на основе рассмотренного выше определения через степенной ряд.
Дополнение.
Вещественное число как предел фундаментальной
последовательности Коши
Представление о множестве вещественных чисел как о точках числовой прямой, является
достаточным для многих целей, однако, его требуется уточнить для решения вопроса о
сумме бесконечного числа слагаемых (сумме ряда). Для определения суммы ряда мы рас-
сматриваем множество, образованное частичными суммами ряда
,,,,
21 n
sss
, назы-
ваемое - числовой последовательностью. Вопрос, на который необходимо дать ответ со-
стоит в следующем: стремятся ли члены последовательности (частичные суммы ряда) к
конечному предельному значению при неограниченном увеличении числа слагаемых
ss
n
n
lim
, и как это определить по поведению членов последовательности, без обращения
к явной формуле для частичной суммы.
Поставленный вопрос решает утверждение, называемое необходимым и достаточным
условием сходимости Коши, которое гласит: последовательность стремится к конечному
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
25
пределу, если разность
pnn
ss
является бесконечно малой для любого натурального
p
, -
0||
n
pnn
ss
.
9
Необходимость условия сходимости Коши доказывается очень просто. Когда члены по-
следовательности стремятся к пределу
s
, разность
ss
n
является бесконечно малой. То-
гда из неравенства
|||||||| ssssssssss
pnnpnnpnn
сразу следует, что для
любого
p
разность
||
pnn
ss
также является бесконечно малой.
Главный вопрос, который остался без ответа, это достаточность условия сходимости Ко-
ши, - следует ли из условия
0||
,
mn
mn
ss
существование такого числа
s
, что последо-
вательность
ss
n
является бесконечно малой?
Ответ на этот вопрос связан с определением вещественного числа как такового. Фактиче-
ски все приводимые в учебниках анализа построения системы вещественных чисел сво-
дятся к тому, чтобы обосновать условие сходимости Коши, как достаточное условие. По-
этому возьмем за основу построения системы вещественных чисел следующие аксиомы:
Основой для построения множества вещественных чисел является множество
рациональных чисел
Любая фундаментальная последовательность Коши рациональных чисел опреде-
ляет вещественное число, рациональное или иррациональное, которое и является
пределом этой последовательности
n
n
ss
lim
В рамках этих аксиом все операции над вещественными числами обосновываются как
операции над представляющими эти числа последовательностями:
Числа
s
и
t
равны, если последовательность
nn
st
является бесконечно малой;
Суммой, разностью и произведением чисел
s
и
t
являются пределы последова-
тельностей
nn
st
,
nn
st
и
nn
st
соответственно;
Если
0t
, то частным
ts/
является предел последовательности
nn
ts /
.
Фактически условие сходимости Коши позволяет строить действительные числа. Для ил-
люстрации этого покажем, что ограниченная сверху последовательность частичных сумм
ряда с положительными членами является фундаментальной последовательностью Коши.
Конкретнее, исходя из наложенных на члены последовательности
,,,,
21 n
sss
условий
nn
ss
1
,
cs
n
, требуется построить такое вещественное число
s
, что для любого поло-
жительного
интервал
),(
ss
не содержит членов последовательности, а интервал
),( ss
содержит хотя бы один член последовательности. Для этого построим по описы-
ваемой ниже схеме последовательность, покажем, что она является фундаментальной по-
следовательностью Коши и определяет то же самое число, что и последовательность час-
тичных сумм.
Накроем числовую прямую целочисленной сеткой (то есть отметим на ней точки,
изображающие множество целых чисел). Найдем на целочисленной сетке элемент
cu
1
, ближайший к
c
, а слева от него наибольший элемент сетки
1
d
, справа от
которого есть члены последовательности частичных сумм. Число
1
d
берем в каче-
9
Это условие можно также записать в эквивалентной форме
0||
,
mn
mn
ss
. Если члены последователь-
ности удовлетворяют данному условию, она называется фундаментальной последовательностью Коши.
Функции одной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
26
стве первого элемента конструируемой последовательности. При этом важно, что
между точками
1
d
,
1
u
находится конечное число точек целочисленной сетки.
Уплотним целочисленную сетку вдвое, то есть введем промежуточные точки деле-
ния, каждая из которых делит элемент целочисленной сетки на две равные части
(такую сетку естественно назвать сеткой половинных долей). Находим на сетке по-
ловинных долей максимальный элемент
2
d
, справа от которого есть элементы по-
следовательности частичных сумм (ясно, что
12
dd
)
Уплотним вдвое сетку половинных долей, и найдем на ней максимальный элемент
23
dd
, справа от которого есть элементы последовательности частичных сумм.
Продолжаем процесс уплотнения сетки далее, вводя в рассмотрение все более мел-
кие сетки, размера
n
2
, и выбирая на ней максимальный элемент
1
nn
dd
, справа
от которого находятся элементы последовательности частичных сумм.
В результате описанной процедуры построена последовательность рациональных чисел
,,,,
21 n
ddd
, удовлетворяющая условиям:
Из неравенства
n
npn
dd
20
, справедливого для любого натурального
p
, сле-
дует, что последовательность
,,,,
21 n
ddd
является фундаментальной последо-
вательностью Коши.
Внутри любого интервала
)2,(
n
nn
dd
находятся не менее одного элемента после-
довательности частичных сумм
Из последнего условия следует, что частичные суммы ряда также образуют фундамен-
тальную последовательность Коши, и
||
nn
sd
является бесконечно малой последова-
тельностью. Этим и завершается построение вещественного числа, являющегося суммой
ряда с положительными членами.
Замечание. При анализе сходимости конкретных рядов с помощью условия сходимости
Коши, его удобно записывать в виде
0)(||
n
pn
nk
pnn
kfss
.
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Сведения из элементарной математики
Натуральные, целые и рациональные числа
Математика в значительной степени основывается на понятии числа. Поэтому разнооб-
разные арифметические задачи являются весьма полезными упражнениями на различных
этапах подготовки. При этом для решения арифметических задач может быть использова-
на самая разнообразная техника, как алгебраическая, так и геометрическая.
Основой арифметики является понятие натурального числа и позиционной системы счис-
ления. Множество натуральных чисел обозначают символом
};3;2;1{ N
. Это множест-
во замкнуто относительно операций сложения и умножения. Обратные операции, вычита-
ние и деление в общем случае выводят за пределы множества натуральных чисел и приво-
дят к обобщению понятия числа.
Позиционная система счисления основана на дополнении множества натуральных чисел
числом нуль и представлении натурального числа в виде многочлена
01
2
2
2
2
1
1
azazazaza
n
n
n
n
.
В этом представлении натуральное число
1z
называется основанием системы счисле-
ния, а коэффициенты многочлена
zaaa
n
110
,,
, - цифрами рассматриваемого числа.
Самой распространенной системой счисления является система с основанием
10z
, - де-
сятичная система счисления. С развитием вычислительной техники широкое распростра-
нение получили двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, с ос-
нованиями два, восемь и шестнадцать соответственно.
Множество целых чисел и множество рациональных чисел строятся на основе расшире-
ния множества натуральных чисел исходя из следующей простой идеи: операции вычита-
ния. и деления должны быть выполнимыми для любой пары чисел.
Целое число определятся как разность между некоторой парой натуральных чисел. Если
уменьшаемое меньше вычитаемого, то получающаяся разность называется отрицательным
целым числом.
Рациональное число определяется как частное некоторой пары целых чисел (с запретом
деления на ноль). Если делимое не делится на делитель без остатка, то получающееся ча-
стное называется рациональной дробью.
В результате множество целых чисел
};3;2;1;0;1;2;3:{ Z
оказывается замкну-
тым относительно трех арифметических операций сложения, умножения и вычитания, а
множество рациональных чисел
}0,:/{ ZmnmnQ
, - относительно всех арифмети-
ческих операций, - сложения, умножения, вычитания и деления.
Вещественные (действительные) числа
Действительные и вещественные числа, - это одно и то же. Все зависит от того, кем пи-
шется книга, если ленинградцами, то числа называются вещественными, а если москвича-
ми, - то действительными. Поскольку автор не принадлежит к этим категориям избран-
ных, он использует по ходу изложения то название, которое ему в данный момент пришло
в голову.
Если Вы не собираетесь стать профессиональным математиком, то Вам будет достаточно
знать о действительных числах следующее.