Зырянов Г.В. Системы управления многосвязными объектами

Подождите немного. Документ загружается.

♦Корреляционная матрица МСП

, t

) = M{X(t

)·X

)}. Если МСП ста-

ционарный (в широком смысле), то

, t

) = R

–t

) = R

(

), где

= t

– t

. Она

характеризует вероятностную связь двух случайных векторов

X(t

) и X(t

♦Матрица спектральной плотности

(ω) = . Она характери-

зует вероятностное распределение энергии процесса по частотам. По

∫

ττ

∞

∞−

ωτ−

)(R

(ω) кор-

реляционная матрица определяется формулой

ωω

∫

=τ

ωτ

∞

∞−

xxxx

)(

♦Матрица дисперсий

= R

(0) =

ωω

∫

∞

∞−

)(

. При этом i-й диагональный

элемент такой матрицы

= M{x

(t)x

(t)} – это дисперсия координаты X

(t), которая

характеризует степень разбросанности ее относительно нулевого значения.

♦Если известна частотная передаточная матрица МСАР по ошибке Φ

(jω), то

матрица спектральной плотности ошибки определяется следующей формулой:

(ω) = . )()()( ωωω−

εε

ΦSΦ

Тогда точность работы МСАР можно оценить значением

обобщенного квадра-

тичного показателя следующего вида:

2об

{}

[

]

∫

ωωω−ρ=

∑

ερ

∞

εε

djjdiagtM

xxiii

)()()(}{Sp)(

ΦSΦ

где Sp[*] – след матрицы, а diag{ρ

} – диагональная матрица весовых множите-

лей, назначаемых с учетом особенностей сепаратных каналов. Индивидуальным

показателем точности для

i-го канала регулирования является дисперсия ошибки:

∫

ωωω

∞

∞−

dSjΦDJ

xiiii

)()(

где – частотная передаточная функция по ошибке

i-го канала;

)( ω

jΦ

)(

–

спектральная плотность входного сигнала для этого же канала.

Обычно является дробно-рациональным выражением относительно ω

)(ω

и его можно записать в виде

)(

)()(

pApA

pBpB

−

, где p=jω, а корни полинома

(p) лежат в левой полуплоскости. Если при этом Ф

(p)= , то

)(/)( pApB

ω=

−

=ω

pApA

pBpB

pApA

pBpB

pApA

pBpB

)()(

)(

Тогда дисперсия ошибки i-го канала D

определяется следующей формулой:

∫

−

∫

ωω

∞

∞−

∞

∞−

εε

iiiii

pApA

pBpB

dSKD

)()(

)(

)0(

Этот интеграл табулирован в виде функции от коэффициентов полиномов

B(p) и A(p) для различных значений порядка n полинома A(p).

4. ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ МСАР

4.1. Общие сведения и виды задач динамического синтеза МСАР

Задача динамического синтеза МСАР имеет такой же смысл и содержание, как

и для одномерных систем. Она состоит в выборе структуры и параметров систе-

мы управления, обеспечивающих выполнение всего комплекса требований к ка-

честву переходных и установившихся режимов. При этом должны косвенно учи-

тываться рекомендации и ограничения инженерного характера, связанные со

сложностью реализации управляющей части системы управления.

По степени общности постановки задачи различают несколько видов динами-

ческого синтеза МСАР:

 Синтез с произвольной структурой (задача синтеза оптимальной системы).

 Синтез с фиксированной структурой (задача параметрического синтеза).

 Синтез с частично заданной структурой (задача синтеза корректирующих

устройств).

первом случае структурная схема системы заранее неизвестна и задача син-

теза состоит в отыскании

оператора преобразования (математической модели)

системы, являющейся «наилучшей» в рассматриваемом классе систем управле-

ния. Например, это может быть множество всех возможных линейных стацио-

нарных МСАР, для которых выполняется условие устойчивости и физической

реализуемости. При этом задан

критерий выбора (функционал, показатель каче-

ства), характеристики внешних воздействий и набор ограничений. Такая задача

решается

аналитически с применением методов вариационного исчисления. В

случае линейной МСАР и квадратичного функционала качества, они позволяют

получить

функциональные уравнения относительно весовой (или передаточной)

матрицы МСАР, обеспечивающей экстремум этого функционала.

При этом найденное оптимальное (наилучшее в указанном смысле) решение

может оказаться слишком сложным для технической реализации и поэтому сле-

дующей может быть поставлена задача о

приближенной его реализации и полу-

чении

квазиоптимальной системы. Методологическая значимость такого подхода

к синтезу МСАР состоит в определении

теоретического предела возможностей

по совершенствованию свойств и характеристик систем рассматриваемого клас-

са. Это должно учитываться при назначении требований к показателям качества

на этапе составления технического задания на проектирование МСАР.

Во

втором случае структура МСАР полностью задана, но соответствующая

ей математическая модель известна с точностью до значений

некоторых парамет-

ров γ ={γ

}. Их необходимо определить так, чтобы показатель качества J(γ) (кри-

терий) принимал экстремальное значение (оптимальный параметрический син-

тез), либо его величина была в допустимых пределах (неоптимальный параметри-

ческий синтез). Для решения соответствующей этому случаю экстремальной за-

дачи используются аналитические методы

нелинейного программирования.

Примером постановки и решения задачи оптимального параметрического син-

теза может служить определение наилучших значений параметров промышлен-

ных регуляторов с типовыми законами регулирования в сепаратных каналах

МСАР, когда за критерий качества переходного процесса принята

обобщенная

интегральная квадратичная оценка

= Σρ

или I

= Σρ

(см. п. 3.2).

Примером

неоптимального параметрического синтеза является выбор пара-

метров обратной связи по вектору состояния управляемого объекта, обеспечи-

вающей желаемое расположение характеристических корней системы (задача

синтеза модального регулятора состояния). Решение находится алгебраическим

методом без привлечения графических построений и частотных характеристик.

третьем, наиболее часто встречающемся на практике варианте задачи ди-

намического синтеза, задана

первоначальная схема МСАР, составленная из

функционально необходимых элементов и устройств. При этом, как правило, тре-

бования к качеству работы МСАР не удовлетворяются. Тогда в состав системы

необходимо включать специальные корректирующие звенья, обеспечивающие

выполнение заданных требований. Выбор способа подключения таких звеньев,

определение вида и параметров их передаточных матриц составляют смысл и со-

держание задачи

синтеза корректирующих устройств.

Оптимизационный подход возможен в любой из перечисленных выше поста-

новок задач динамического синтеза. При этом оптимальное (лучшее в некотором

смысле) решение отыскивают

аналитически с применением математических ме-

тодов нахождения экстремумов функционалов или функций многих переменных.

Неоптимальный (обычный) синтез корректирующих звеньев (или только опре-

деление их параметров) может быть выполнен либо аналитическими (алгебраи-

ческими), либо графоаналитическими (частотными) методами.

Наибольшее распространение на практике получили

частотные методы син-

теза МСАР, ориентированные на инженерные представления об оптимальности.

При этом предпочтение отдается тем вариантам проектируемой системы, в кото-

рых заданные ограничения на показатели качества достигаются наиболее просты-

ми для технической реализации средствами (меньше порядок передаточных

функций корректирующих звеньев и уровень усиления помех, полоса пропуска-

ния частот, коэффициенты усиления и др.). Для МСАР эти принципы оптимиза-

ции не менее важны и актуальны, чем для одномерных систем управления.

• Формально, любую МСАР следящего типа можно рассматривать как ком-

плекс устройств, осуществляющих преобразование информации, содержащейся

во внешних (задающих) сигналах. То есть с информационной точки зрения такая

МСАР является фильтром, предназначенным для выделения полезной информа-

ции и подавления разного рода помех. Но в отличие от фильтров, МСАР обяза-

тельно содержит в замкнутом контуре некоторую

заданную часть, содержащую

объект управления и, возможно, другие устройства, характеристики которых не

подлежат изменению и должны учитываться при динамическом синтезе.

В некоторых методах синтеза

желаемые свойства замкнутой МСАР прину-

дительно задаются (например, в виде передаточной матрицы

Ф*(p)) или опреде-

ляются в результате решения вариационной задачи. При этом необходимые ха-

рактеристики корректирующих звеньев определяются по известным формулам,

связывающих их с передаточными матрицами (ПМ) заданной части и замкнутой

системы. Но такая последовательность действий при синтезе неизбежно приводит

к компенсации нулей и полюсов неизменяемой части полюсами и нулями коррек-

тирующего устройства. В системе появляется

вырожденная (неуправляемая и/или

ненаблюдаемая) часть, для которой свойство устойчивости зависит

только от

вида (расположения) скомпенсированных нулей и полюсов. По этой причине, в

случае неминимальнофазой или неустойчивой заданной части, свобода выбора

ПМ

Ф*(p) будет ограниченной, и это существенно отличает задачу синтеза опти-

мальных МСАР от задачи синтеза многомерных фильтров.

В теории синтеза оптимальных МСАР следящего типа ставится задача выяв-

ления потенциальных возможностей системы и условий, ограничивающих макси-

мально достижимую точность ее работы в установившихся режимах. При этом

существенным моментом является выбор показателя (критерия) точности, кото-

рый обычно (для аналитической разрешимости задачи) принимают в виде

квад-

ратичного функционала

от ошибок регулирования. В общем случае для опреде-

ления оптимальной замкнутой МСАР приходится отыскивать условный экстре-

мум этого функционала, т.к. система управления должна удовлетворять еще и

ряду дополнительных условий, ограничивающих достижимую точность. Такими

ограничительными факторами являются, например, следующие условия:

непроизвольность структуры проектируемой системы;

необходимость учета динамических характеристик заданной части;

учет условий физической реализуемости корректирующих устройств;

наличие помех внутри контура управления;

необходимость учета ограничений по координатам системы;

дополнительные требования к статическим и динамическим характеристи-

кам системы (астатизм, добротность и др.).

Условия 1 – 3 являются обязательными и их необходимо учитывать при любой

постановке задачи синтеза. Остальные могут оказаться несущественными.

Общими требованиями к любой проектируемой МСАР являются:

Устойчивость – свойство МСАР возвращаться в прежнее (невозмущенное)

состояние после прекращения действия возмущений. Это может быть либо со-

стояние покоя (равновесия), либо какой-то известный динамический режим, кото-

рому соответствует некоторое частное решение уравнений динамики МСАР.

Точность регулирования: система должна, по возможности, более точно

воспроизводить

требуемый закон изменения управляемых переменных и подав-

лять возмущения. При отсутствии помех в задающих сигналах это обеспечивается

следующими условиями для передаточных матриц замкнутой МСАР с ЕООС (в

области низкочастотных воздействий, когда |

p| << 1):

а)

Ф(p) = [E+W(p)]

–1

W(p) ≈ E; б) [E+W(p)]

–1

≈ 0.

Выполнение условий точной работы МСАР в стационарных (установившихся)

режимах всегда может быть обеспечено выбором достаточно больших коэффици-

ентов усиления сепаратных регуляторов, а также включением интегральной со-

ставляющей от ошибок регулирования в алгоритм управления. Однако в боль-

шинстве случаев это приводит к ухудшению качества переходных процессов или

даже к потере устойчивости.

Робастность – свойство МСАР сохранять устойчивость и гарантированные

характеристики поведения при вариациях параметров в некоторых пределах. Не-

обходимым условием робастности является

грубость – свойство системы сохра-

нять качественные характеристики поведения при достаточно малых вариациях

параметров. Для линейных систем управления, включая и МСАР, грубость обес-

печивается сохранением свойства их устойчивости.

Живучесть – свойство системы сохранять работоспособность при разрывах

отдельных связей, отказах и отключении оборудования и т.д.

В задачах аналитического синтеза речь идет о решении точно сформулирован-

ной математической задачи, а целью синтеза является получение уравнений регу-

лятора, структурная интерпретация которых может послужить основой техниче-

ской реализации. При этом не всегда удается учесть аналитически некоторые

трудно формализуемые требования к реальным системам: простота структуры,

простота реализации и т.д. Чаще всего они формулируются в виде инженерных

пожеланий и рекомендаций, задающих «шкалу предпочтений» при выборе вари-

анта регулятора среди нескольких допустимых.

4.2. Методы динамического синтеза МСАР

• Оптимальный синтез. В задаче синтеза оптимальной системы ставится во-

прос о предельно достижимом значении критерия качества в конкретных услови-

ях и о соответствующем ему законе регулирования. Результаты теории оптималь-

ных систем определяют возможности линейных систем, а также причины и ис-

точники их ограниченности. Решение находится аналитическими методами.

Для МСАР следящего типа оптимальный синтез будет иметь смысл только в

стохастической постановке ввиду того, что точные законы изменения задающих

воздействий, а тем более помех, заранее неизвестны. Формально, задача состоит в

определении оптимального фильтра, обеспечивающего минимальное значение

функционала качества (показателя точности работы МСАР)

. Фильтр представ-

ляет собой динамическую систему, имеющую на входе полезный сигнал (задание)

на который наложен сигнал помехи. Оператор преобразования устойчивого опти-

мального фильтра должен обеспечивать наилучшее, в смысле значений функцио-

нала

воспроизведение задающего сигнала (задача слежения). Этот фильтр трак-

туется как устойчивая замкнутая система, при решении уравнений которой учи-

тываются ограничения, обусловленные особенностями расположения нулей и по-

люсов объекта управления, требования устойчивости и физической реализуемо-

сти. Недостаток такого подхода состоит в том, что в постановке задачи фигуриру-

ет только требование устойчивости, а какие либо ограничения на характер и каче-

ство переходного процесса не учитываются.

•

Модальное управление. В задаче модального управления ставится вопрос о

регуляторе с безынерционной обратной связью по состоянию МОУ, обеспечи-

вающей

заданные значения характеристических корней замкнутой МСАР. Это

возможно в том случае, если МОУ является

полностью управляемым. Если, кроме

того, МОУ является полностью наблюдаемым, то вместо вектора состояния

x(t)

можно использовать результаты косвенного измерения его с помощью наблюда-

теля (идентификатора, эстиматора) состояния. Решение находится аналитически

алгебраическими методами. При этом вопросы обеспечения точности и другие

ограничения оказываются неучтенными, что сужает возможности модального

подхода при динамическом синтезе МСАР следящего типа.

•

Частотные методы синтеза МСАР. Для решения задач динамического син-

теза в инженерной практике в основном применяются частотные методы. При

этом обычно стремятся использовать одномерные модели, приближающие проце-

дуру разработки МСАР к традиционной. В основу такого упрощения (редукции)

многомерной задачи может быть положено несколько практических приемов.

Во-

первых

, это разделение всего интервала частот на диапазоны, различным образом

влияющих на свойства системы, причем каждый из них связан с определенной

компонентой закона регулирования. Так, например, в диапазоне низких частот

основную роль играет интегральная составляющая закона регулирования – она

обеспечивает высокие усиления, а, следовательно, и высокую точность. Свойства

системы в области высоких частот определяются объектом управления. Здесь вы-

сокие усиления неприменимы из-за неопределенности модели и нежелательного

воздействия высокочастотных шумов датчиков на регулирующие органы. В диа-

пазоне средних частот свойства системы определяются совместно характеристи-

ками объекта и регулятора. Именно в этом диапазоне частотные характеристики

системы представляют особый интерес и подлежат анализу, который осуществля-

ется для отдельных точек диапазона.

Во-вторых, при любой возможности МСАР стремятся представить совокуп-

ностью одномерных моделей. В одних случаях это будут модели отдельных сепа-

ратных систем с учетом взаимных связей со всеми остальными. Такой методиче-

ский прием называют

эквивалентированием МСАР относительно выбранного ка-

нала. В других случаях это будут формальные частотные соотношения характери-

стических годографов или главных частотных характеристик, трактуемых как мо-

дели разомкнутых контуров. Реализация условий автономности также направлена

на применение одномерных моделей. Сюда относятся и приемы частотного раз-

деления каналов при их существенном различии по быстродействию.

Синтез автономных МСАР. Возможность динамического разобщение кана-

лов регулирования МСАР с помощью компенсаторов перекрестных связей созда-

ет предпосылки для применения традиционных частотных методов теории одно-

мерных систем при расчете сепаратных регуляторов в составе каждого канала ре-

гулирования. Тогда теоретически, в рамках линейных представлений при усло-

вии отсутствия правых нулей и полюсов передаточной матрицы МОУ и помех в

задающих воздействиях, можно обеспечить выполнение любых заданных требо-

ваний к качеству установившихся и переходных процессов. Однако, в общем слу-

чае, возможность и сложность реализации автономной системы в значительной

степени зависят от вида перекрестных связей в объекте, от способа подключения

компенсатора и выбранной в нем структуры перекрестных связей.

Отметим ряд проблем, возникающих при реализации автономных МСАР.

Во-первых, условия автономности, полученные аналитическим путем, обычно

приводят к весьма сложным передаточным функциям перекрестных связей в ре-

гуляторе, которые часто оказываются (из-за соотношения порядков) физически

неосуществимыми. Поэтому их реализуют

приближенно с использованием про-

стых компенсаторов, а также с учетом того, что на низких частотах эффект ра-

зобщения достигается в астатических системах, а также и в статических системах

при больших коэффициентах усиления, за счет действия обычных сепаратных ре-

гуляторов по отклонению.

Во-вторых, математические условия полной автономности каналов регулиро-

вания принципиально предполагают минимальнофазовость и устойчивость объ-

екта управления, так как компенсация «правых» нулей и полюсов его передаточ-

ной матрицы недопустима из-за появления неустойчивой вырожденной части.

В-третьих, при автономном регулировании в МСАР на независимые прямые

каналы распадается «расширенный»

объект, состоящий из последовательного со-

единения компенсатора и реального объекта управления. При этом требуемое из-

менение некоторого конкретного выхода объекта обеспечивается

одновременным

перемещением

сразу нескольких регулирующих органов. Поэтому условия линей-

ности для выходов исполнительных элементов и регулирующих органов при

од-

новременной

работе всех каналов регулирования могут оказаться нарушенными.

Кроме того, поскольку пути распространения внешних возмущений, действую-

щих на МОУ, остаются общими, то каждое из них будет возбуждать процессы

одновременно в нескольких каналах регулирования.

Для ряда практических приложений важным оказывается понятие

односто-

ронней

автономности, условием которой является нижний треугольный вид пере-

даточной матрицы разомкнутой системы. Это означает, что регулируемые пере-

менные пронумерованы в порядке их значимости (важности) и выход любого из

каналов не реагирует (инвариантен) на задающие воздействия каналов с бόль-

шими номерами. При этом характеристический полином замкнутой системы бу-

дет представлен произведением характеристических полиномов отдельных кана-

лов регулирования и МСАР оказывается динамически разобщенной.

На практике также используется понятие

статической автономности, при ко-

торой независимость (инвариантность) регулируемых переменных от заданий в

«чужих» каналах обеспечивается только в

статическом режиме. Этому соответ-

ствует диагональный вид передаточной матрицы замкнутой системы

Ф(p) при

p=0. Поскольку динамического разобщения каналов при этом не происходит, то

здесь правильнее говорить о специальном виде инвариантности. Ввиду простоты

реализации, этот вид автономности находит широкое применение в виде безы-

нерционных перекрестных связей между каналами (в частности в составе предва-

рительного компенсатора в цепи задающих воздействий).

Синтез неавтономных МСАР с децентрализованным управлением. Метод

синтеза основывается на многократном применении приема эквивалентирования,

при котором

МСАР в целом на каждом этапе расчета представляется состоящей

из очередного канала, взаимодействующего со всеми остальными каналами через

«эквивалентный» объект. На одном шаге итерационной процедуры поочередно

уточняются структура и параметры каждого сепаратного регулятора. Эти уточне-

ния изменяют характеристики эквивалентных объектов и пересчет сепаратных

систем должен осуществляться, вообще говоря, несколько раз. Как обычно, про-

цедура уточнения заканчивается, если поправки к характеристикам всех каналов

регулирования оказываются малыми в соответствии с назначенными заранее до-

пусками. Сходимость такой процедуры не гарантируется. Эмпирическое правило:

рекомендуется отдельные каналы регулирования на каждом шаге такой итераци-

онной процедуры рассчитывать в порядке снижения их быстродействия. Это

улучшает сходимость процедуры синтеза регуляторов в отдельных каналах, так

как влияние быстрых систем на медленные, как правило, гораздо существеннее.

В том случае, когда быстродействие прямых каналов в объекте значительно

различается, то может быть применен приближенный метод частотного разделе-

ния каналов на две группы – быструю (1) и медленную (2). За счет перенумерации

каналов ОУ его передаточная матрица

S(p) представляется как блочная матрица с

элементами

(p), S

(p). Тогда расчетная модель МСАР принимает-

ся в виде двух более простых

независимых МСАР: а) для быстрых каналов и б)

для медленных каналов с передаточными матрицами эквивалентных объектов

(p)=S

(p), W

(p)=S

(p)[S

(p)]

–1

(p) и передаточными матрицами регулято-

ров

(p), R

(p) соответственно. Допустимость такого разделения проверятся по-

сле окончания расчетов путем сопоставления результатов моделирования для

полной и упрощенной модели МСАР.

Синтез «почти автономных» МСАР с децентрализованным управлением

Приближенная реализация условий автономности давно практиковалась при

решении задач регулирования многосвязных объектов с целью упрощения техни-

ческой реализации, а также и самой процедуры проектирования. Однако первона-

чально влияние неточностей реализации оценивалось только путем последующе-

го моделирования. Полученные позднее

достаточные условия устойчивости в

форме Найквиста позволили количественно оценить влияние приближений на

этапе динамического синтеза как размеры гарантии того, что неточности компен-

сации не приведут к потере устойчивости. Методы этой группы основываются на

графических представлениях результатов расчета и могут быть эффективно при-

менены в удобной для инженера форме с использованием машинной графики.

При этом процедура проектирования в общих чертах состоит в следующем.

Определяется передаточная матрица (ПМ) подключенного к входу объекта

последовательного многосвязного компенсатора, обеспечивающего

диагональную

доминантность

ПМ эквивалентного (расширенного) объекта.

Для диагональных элементов ПМ эквивалентного объекта определяют се-

паратные регуляторы, обеспечивающие заданные запасы устойчивости и динами-

ческие свойства сепаратных контуров при условии, что частотная характеристика

каждого разомкнутого контура известна с точностью до принадлежности полосе

кругов Гершгорина. В разных вариантах методов синтеза для этого используется

либо прямая, либо обратная передаточная матрица объекта. Соответственно этому

рассматривают методы прямых и обратных массивов Найквиста.

Компенсатор на первом этапе обычно стремятся выбрать простейшим, напри-

мер состоящим только из усилительных звеньев, когда

(p) = K. Выбором эле-

ментов матрицы

K диагональная доминантность (ДД) передаточной матрицы эк-

вивалентного объекта обеспечивается на частотах, близким к частотам пересече-

ния АФХ прямых каналов объекта отрицательной вещественной полуоси (средне-

частотный диапазон). Для этой цели возможно использование следующих двух

методов. В первом из них последовательно,

приближенно исключаются недиаго-

нальные элементы комплексной матрицы

(jω

) = W

(jω

)K на выбранной часто-

те ω

путем суммирования с ними диагональных элементов соответствующих

строк с вещественными сомножителями. Каждая такая операция определяет эле-

ментарную матрицу преобразования, а произведение их в порядке, обратном вы-

полнению этих операций, дает матрицу компенсатора

K. В другом методе для вы-

бранного ряда частот ω

из среднечастотного диапазона подбором элементов мат-

рицы

K минимизируют показатель J =

∑∑

≠s

sik

jS )(

, i = 1, 2, …, n.

В обоих этих методах диагональная доминантность не гарантируется и при

необходимости компенсатор усложняют, переходя к динамическому варианту.

Метод массивов Найквиста

Метод массивов Найквиста (МН) является наиболее ярким представителем

частотных методов в задачах синтеза многомерных систем управления. Он отно-

сится к классу методов, использующих декомпозицию объекта управления на

слабосвязанные подсистемы за счет прямой компенсации взаимодействий под-

систем на основе введения пред- или посткомпенсаторов.

Из

канонической структуры объекта (см. рис. 2.14) следует, что всегда суще-

ствует теоретическая возможность компенсации перекрестных связей в МОУ за

счет выбора передаточных матриц пред- и посткомпенсаторов в виде

(p) = T

–1

(p), R

(p) = S

–1

(p).

Тем самым модель МОУ преобразуется к диагональному виду в новых,

кано-

нических

переменных входа и выхода. Эта принципиальная возможность (но не

необходимость) диагонализации МОУ лежит в основе современных методов час-

тотной области. Их различия касаются преобразования передаточной матрицы

объекта к виду, удобному для применений, т.к. существующие процедуры приве-

дения передаточных матриц к канонической форме не конструктивны.

В методе МН используется непосредственная компенсация взаимосвязей

МОУ до некоторого «разумного», достаточного уровня, при котором обеспечива-

ется устойчивость и требуемое качество переходных процессов в каждом контуре

управления выбором соответствующих

локальных регуляторов. Мерой разумного

уровня компенсации выступают условия

диагональной доминантности переда-

точной матрицы (ПМ), доведенные до обобщения графоаналитического критерия

устойчивости Найквиста. Для ПМ разомкнутой МСАР

Q(p) = {Q

(p)} при p = jω и

ω∈[0, ∞) условия доминантности имеют следующий вид:

а)

)(|)(| |)(| prpQpQ

ijii

∑

≠

или б)

)(|)(| |)(| prpQpQ

ijjj

∑

≠

. (4.1)

Из этих условий вытекает ряд следствий, важных для анализа свойств МСАР и

для их динамического синтеза:

диагонально-доминантная матрица Q(p) при p= jω не вырождена;

число обходов начала координат частотным годографом определителя диа-

гонально доминантной матрицы det

Q(j

) равно сумме числа обходов начала ко-

ординат

частотными годографами всех ее диагональных элементов Q

(jω);

устойчивость замкнутой (с помощью отрицательных обратных связей) сис-

темы определяется числом обходов начала координат (0,

j0) и «критической» точ-

ки (–1,

j0) каждым из частотных годографов диагональных элементов обратной

передаточной матрицы

разомкнутой МСАР

)()(

−

= QQ

;

круги Гершгорина с центрами на частотном годографе каждого диагональ-

ного элемента

(p) доминантной матрицы Q(p) концентрически охватывают кру-

ги с

меньшими радиусами, в которых находятся значения , обратные зна-

чениям диагональных элементов обратной матрицы при

p = jω:

)(

−

)()(

−

= QQ

)()()()()(

prprppQpQ

iiiiiii

<γ≤−

−

1)(/)(

max

)(

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=γ

≠

pQprp

jjj

ijj

, (4.2)

где r

(p) – радиус кругов Гершгорина для доминантной по столбцам (или по стро-

кам) матрицы

Q(p);

если доминантной будет матрица G(p)=E+Q(p), то устойчивость МСАР с

ЕООС определяется числом охватов критической точки (–1,

j0) частотными годо-

графами диагональных элементов передаточной матрицы

Q(p).

Применительно к задачам синтеза МСАР методом МН круги, вложенные в

круги Гершгорина, при условии диагональной доминантности матриц замкнутой

и разомкнутой систем, получили название кругов Островского. Они, как и круги

Гершгорина, выполняют две функции:

1) локализуют область расположения значений

эквивалентной передаточ-

ной функции

эi

(p) разомкнутого i-го контура регулирования при условии, что

все остальные контуры в системе замкнуты;

2) позволяют оценить запасы устойчивости в каждом контуре регулирования.

Убедимся в справедливости этих, важных для синтеза МСАР, свойств.

Пусть

G(p) = E+Q(p) – матрица возвратных разностей (МВР), удовлетворяю-

щая условию диагональной доминантности (по столбцам) при

p = jω, ω∈[0, ∞):

)(|)(||)(| |)(| prpQpGpG

jiii

∑

≠≠

, i = 1, 2,…, n.

Для этой матрицы также будет выполняться неравенство, аналогичное (4.2):

)()()()()(

prprppGpG

iiiiiii

<γ≤−

−

. (4.3)

Так как Ф(p)=[E+Q(p)]

–1

Q(p) = G

–1

(p)[G(p) – E] = E–G

–1

(p), то диагональные

элементы матриц

Ф(p) и

)()(

−

= GG

связаны формулой Ф

(p)=1– . Здесь

)(

(p) – передаточная функция i-го замкнутого канала, учитывающая все взаимо-

связи с другими каналами. Тогда для

эквивалентной передаточной функции i-го

разомкнутого канала

эi

(p) (с учетом того, что остальные каналы замкнуты об-

ратными связями) будет справедлива следующая формула: