Зырянов Г.В. Системы управления многосвязными объектами

Подождите немного. Документ загружается.

)()(

pqpp

−

101

объекта управления. Пусть

(p)| = g

–

(p)g

(p) /p

(p), а |Ф

(p)| = . То-

гда

.)()()(

)(

)()(

)()()()(

)(

111

−

−=−= ppgp

pppp

ppgppq

PQPQ

Отсюда видно, что корректирующий блок будет компенс

)()()()()()()(

)()(

)(

)]([)()()(

−

−−−−

−

−−

=−=

pppgppppg

pgpg

pppp

QPQQΦ

ΦEΦWW

ировать только мини-

мал

вим

(4.24) в формулу (4.11) и, продифференцировав выражение для S

(p)R по Ф

(–p),

получим необходимое условие оптимальности в виде следующего уравнени

ьнофазовую часть передаточной матрицы объекта управления, а появляющая-

ся при этом вырожденная часть системы будет устойчивой.

Условию (4.24) должна удовлетворять передаточная матрица оптимальной

системы и ее вариации. Аналогично случаю минимальнофазового ОУ, подста

я:

).()()()()()()(

pppgpppgpg

T −−−−

=−−−= QSRSΦR

(4.25)

)()()]()()[()()(

)(

})({

ppgppppgpg

nnss

−−−

=−−+−=

−∂

∂

SRSSΦR

Если при этом входные сигналы МСАР s(t) и n(t) коррелированы,

для определения оптимальной передаточной матрицы Ф

(p) запишется так:

то уравнение

−

−−

=−−− )()()()()()()(

pppgpppgpg

QRSRΦS . (4.26)

Решение этого уравнения можно находить так же, как для случая минималь-

нофазового объек рименять метод

неопределенных коэффициентов

и всей МСАР. Чтобы этого не происходило, доста-

точно [9], чтобы передаточн

та управления. При этом удобно, как и ранее, п

4.3.3. Синтез МСАР неустойчивым объектом

В этом случае ν полюсов передаточной матрицы объекта управления W

(p)

{γ

}

располагаются в правой полуплоскости и их компенсация с помощью коррек-

тирующего блока принципиально недопустима, т.к. приводит к неустойчивой вы-

рожденной части, а значит

ая матрица замкнутой системы Ф(p) удовлетворяла

дополнительному условию

Е – Ф(p) = q

–

(p) Ф

(p)

(4.27)

где q

–

(p) – полином наименьшего порядка, корни которого равны, с учетом крат-

ности, правым полюсам W

(p); Ф

(p) – произвольная рациональная матрица с «ле-

выми» полюсами. Легко показать, что в этом случае корректирую

щее звено будет

компенсировать только левые полюса передаточной матрицы объекта управления

и появляющаяся при этом вырожденная часть будет устойчивой.

102

АР – в мон

елей Лагранжа

kl x

}{λ=Λ ; i =1, 2, …, ν, где ν –

число правых полюсов объекта управления, она сводится к задаче отыскания без-

условного минимума функционала J =J

+ J

. При этом функцион

ется следующим выражением:

Составление уравнений оптимальной МСАР и их решение является значи-

тельно более сложной и трудной для решения задачей, чем в случае устойчивого

объекта управления. Из-за громоздкости выражений и их обоснования, ограни-

чимся некоторыми общими замечаниями. Подробные сведения по этому вопросу

можно найти в [4], а для случая дискретных МС ографии [9]. Отметим

только, что это задача определения минимума функционала J

при дополнитель-

ных ограничениях интегрального вида относительно элементов матрицы Е–Ф(p).

С помощью матричных множит

ал J

определя-

∫

∑

⎤⎡

−−

−

∞+

∞−

TiTi

)(()()(()(

1 ΦEΛΦEΛ

. (4.28)

⎥

⎦

⎢

⎣

γ−−γ−

Далее, из необходимого условия минимума функционала J, получают у

ние оптимальной системы

равне-

−

−−−−

∑

γ+

−+−−− )()()()()()()()(

pqppqpppqpq

QRSRΦS . (4.29)

Это матричное уравнение Винера – Хопфа в комплексной области относи-

тельно оптимальной передаточной матрицы Ф

(p). Особенностью этой системы

уравнений является то, что она не распадается на группы независимых уравнений,

что приводит к необ

ходимости совместного решения всех уравнений. В связи с

эти

рицы

МСАР Ф(p)= Ф (p).

Дополнительными неизвестными в этих уравнениях я

жителей Лагранжа Λ

, для определения которых используется соотношение

м выбор величин весовых коэффициентов ρ

будет влиять не только на значе-

ние показателя качества J

, но и на вид оптимальной передаточной мат

вляются матрицы мно-

)(()(

∫

∑

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

γ−−

−−

∞+

∞−

ΦEΛ

. (4.30)

Величина показателя качества при оптимальных хар

принимает минимальное значение и может быть вычислена по формуле

актеристиках системы

∑

∫

=ρ=

∞− j

eeeiie

dpp

DJ ])(Sp[

RS , (4.31)

если в нее подставить решение уравнения (19*) Φ(p)= Φ

∞j

(p).

Из общих соображений понятно, что любое дополнительное условие, в том

числе связанное с неустойчивостью объекта, ухудшают достижимое качество сис-

темы, т.е. увеличивают минимальное значение функционала точности (4.31). По-

этому если имеется возможность с помощью корректирую

щих устройств стаби-

лизировать заданную часть, охватывая объект дополнительной отрицательной об-

103

ратной связью, то считать несуще-

ственным и не учит

тогда свойство неустойчивости объекта можно

ывать его при решении задачи синтеза.

5. ЦИФРОВЫЕ МНОГОСВЯЗНЫЕ МСАР

5.1. Общие сведения о цифровых МСАР

Современной тенденцией развития теории и практики построения управляю-

щих систем является переход от непрерывных способов управления к цифровым.

Применительно к МСАР это проявляется в том, что для реализации сепаратных

регуляторов и компенсаторов перекрестных связей все чаще используются совре-

менные вычислительные средства в виде мини и микро-ЭВМ или специализиро-

ванные микропроцессорные системы. Их применение позволяет обеспечить

МСАР более высокие эксплуатационно-технические характеристики (надеж-

ность, стоимость, помехоустойчивость, ремонтопригодность, удобства эксплуа-

тации и модернизации), а также более высокую точность реализации управляю-

щих алгоритмов. Использование цифровых вычислительных устройств (ЦВУ) в

составе управляющей части МСАР превращает ее в цифровую (дискретную). Для

цифровых МСАР некоторые сигналы в контуре управления являются прерыви-

стыми и представляют собой последовательности цифровых двоичных кодов

(цифровые сигналы). Особенностью цифровых сигналов является то, что их ин-

формационные параметры (значения кодов) обновляются только в разрешенные

(дискретные) моменты времени t = t . Обычно эти моменты t равноотсто

k k

ят по

оси времени на постоянную величину T

, называемую периодом (шагом) дискре-

тизации. Тогда t

= kT

, где k = 0, 1, 2, … – номер шага дискретизации [16].

Если цифровой сигнал получен из непрерывного сигнала f(t) в результате ко-

до-импульсной модуляции первого рода (периодическое аналого-цифровое пре-

образование), то при этом обязательно происходит дискретизация этого непре-

рывного сигнала по времени. Суть ее состоит в выборке (для последующего ис-

пользования) из непрерывного сигнала равноотстоящих по времени (решетча-

тых) значений f(kT ). При этом все промежуточные значения непрерывного си

гна-

ла теряются и в дальнейших преобразованиях не участвуют. Это вносит весьма

существенные особенности в поведение и в математическое описание МСАР.

Кроме того, в процессе аналого-цифрового преобразования происходит еще и

округление кодируемых значений до ближайших разрешенных уровней (округле-

ние). Это соответствует дискретизации кодируемого сигнала по уровню. Однако,

если число разрядов цифрового кода достаточно велико (например, больше 10), то

погрешности (шум) округления будут пренебрежимо малы и их, в первом при-

ближении, не учитывают. Результатом дискретизации по времени будет абст-

рактный дискретный сигнал – последо

вательность выборочных значений, мате-

матическая модель которого f(kT

) = f[k] представляет собой функцию дискретно-

го аргумента (решетчатую функцию).

Ввиду наличия в составе МСАР устройств как непрерывного, так и дискретно-

го действия, математические модели (ММ) цифровых МСАР оказываются сме-

шанного типа (дискретно-непрерывными), и они непригодны для исследования

104

нта будем рассматри-

ват типовую структуру цифровой МСАР с управляющим ВУ, состоящим из

Ц , ЦВУ и ЦАП, расположенным в цепи ошибки, где оно выполняет функции

егулятора и компенсатора перекрестных связей (рис. 5.1.).

на выходе. В частности, это звено может быть компенсато-

ром с прямыми или обратными перекрестными связями. Соответствующая рас-

четная схема МСАР в виде соединения многомерных дискретных звеньев изо-

бражена на рис. 5.2.

егуля-

тор

традиционными методами непрерывного анализа. Для теоретического исследо-

вания таких моделей, их необходимо преобразовывать к специальному (расчет-

ному) виду, содержащему только решетчатые функции f[k], а уже затем к ним

применять методы дискретного анализа и, в частности, методы теории дискрет-

ных систем управления. Выполнить такой переход (дискретизацию ММ) можно

различными методами. Во многих типовых случаях для этой цели оказывается

удобным структурный метод, основанный на замене устройств дискретного

действия (УДД) эквивалентными схемами замещения и на последующих струк-

турных преобразованиях. Далее в качестве базового вариа

Рис. 5.1. Исходная структурная схема цифровой МСАР

Для цифровых МСАР возможны различные сочетания цифровых и непрерыв-

ных средств управления. Ограничимся далее случаем, когда в цифровом виде

представлен диагональный регулятор с дополнительным последовательным кор-

ректирующим звеном

Рис. 5.2. Расчетная структурная схема МСАР с последовательным компенсатором

перекрестных связей на выходе «диагонального» регулятора

Здесь W

(z) – передаточная матрица (ПМ) дискретного диагонального р

а; W

(z) − ПМ дополнительного дискретного последовательного звена (напри-

мер, компенсатора ПС); W

(z) – ПМ неизменяемой (заданной) части – дискрет-

ного звена, соответствующего приведенной непрерывной части (ДЗ ПНЧ).

Для расчета W

(z) и W

(z) при известном выражении для W

(z) можно приме-

нить методы теории дискретных МСАР. Общий порядок их расчета тот же, что и

для непрерывного случая. Сначала, при выбранном периоде дискретности T

, в

качестве начального приближения рассчитываются передаточные функции дис-

кретных сепаратных регуляторов из условия обеспечения заданных свойств каж-

дого сепаратного канала. Напомним, что в этом случае МСАР формально пред-

ЦВУ

Непрер.

часть

y*(t)

e(t)

u(t)

АЦП ЦАП

y(t)

(z) W

(z)

y*[k]

e[k]

u[k]

(z)

y[k]

[

]

Цифровой регулятор

105

оочередно параметры ПФ сепа-

ратных регуляторов дход к задаче ди-

намического синте ей свойства авто-

ном

ющих ПС (прямых

или обратных) в компенсаторе формально такие ж

Не

ставляется в виде совокупности отдельных, несвязанных (сепаратных) каналов

регулирования, получаемых отбрасыванием всех перекрестных связей в МОУ и в

управляющей части (в регуляторе). Но при этом свойства МСАР (как правило!)

оказываются неудовлетворительными. Поэтому далее необходимо либо изме-

нять ПФ сепаратных регуляторов, либо вводить в регуляторе дополнительные

ПС так, чтобы свойства МСАР (с учетом ПС в МОУ) соответствовали заданным

требованиям. К сожалению, эта непростая задача даже в непрерывном варианте

МСАР не имеет однозначного, и тем более аналитического решения. Ее прихо-

дится решать итерационным способом, изменяя п

или параметры ПС в регуляторе. Другой по

за цифровой МСАР состоит в обеспечении

ности относительно задающих воздействий.

5.2. Синтез автономной цифровой МСАР

Наиболее простой способ обеспечения требуемых свойств МСАР в переход-

ных и установившихся режимах связан с динамической развязкой каналов регу-

лирования с помощью цифрового последовательного компенсатора перекрест-

ных связей, имеющего дискретную передаточную матрицу W

(z). При этом алго-

ритмы синтеза передаточных матриц дискретных компенсиру

е, как для непрерывной МСАР.

обходимая для этого передаточная матрица дискретного звена приведенной не-

прерывной части ПНЧ определяется по следующей формуле:

{

}

ppWΖzzW /)()1()(

нч

−

−= = S

(z) + S

(z). (5.1)

Поскольку ПС в составе неизменяемой

(заданной) части МСАР в этом случае

получаются прямыми с передаточной матрицей S

(z), то для получения абсолют-

ой автономности дискретной МСАР перекрестные связи в компенсаторе целе-

ообразно выбрать обратными (рис. 5.3).

вому звену (не со-

держит нулей и полюсов вне еди

для

Рис. 5.3. Расчетная структурная схема разомкнутой дискретной МСАР

с последовательным компенсатором ПС в регуляторе

Если W

(z) соответствует устойчивому минимально фазо

ничного круга), то передаточную матрицу R

(z)

обратных перекрестных связей в компенсаторе рассчи ывают аналогично

непрерывному случаю (см. (2.87) при R

(p) = E) по формуле:

(z) = −[S

(z)]

–1

(z). (5.2)

В тех случаях, когда для некоторых элементов матрицы R

(z) не выполняются

условия физической осуществимости (порядок числителя выше порядка знамена-

теля), используется приближенная реализация условия (5.2) в полосе частот

(z)

e(z)

u(z) y(z)

(z) z)

(z)

106

танов-

кой

буд

тон

из

усл

рапеций. Точ-

но

получа ким способом дискрет

шить ег

входных воздействий. Вне этого диапазона ориентируются исключительно на

выполнение условий физической осуществимости. При этом сначала подс

вида z=(2+jλT

)/(2−jλT

) в (5.2) получают псевдочастотную передаточную

матрицу перекрестных связей R

(jλ), а затем при аппроксимации отдельных ее

элементов используют логарифмические псевдочастотные характеристики.

Результатом этого ет приближенное выполнение условий абсолютной ав-

омности, которое без дополнительной проверки условий диагональной доми-

нантности (2.107) для частотной передаточной матрицы разомкнутого контура

МСАР W*(jω) =

)(

при ω∈[0, π/T

] не гарантирует устойчивости МСАР.

• Другой подход к решению этой же задачи основан на использовании непре-

рывной автономной МСАР в качестве аналогового прототипа. При этом непре-

рывные регулятор и компенсатор МСАР приближенно заменяют на их цифровые

аналоги. Необходимая для этого величина шага дискретизации T

выбирается

овия ω

< 2Δϕ

, где Δϕ

– допустимое (например, на 10%) уменьшение за-

паса устойчивости по фазе (в радианах!) для наиболее быстрого сепаратного ка-

нала регулирования, а ω

– частота среза ЛАХ этого же разомкнутого канала.

Передаточную матрицу для цифрового диагонального регулятора W

(z) можно

получить из передаточной матрицы непрерывного диагонального регулятора

(p) подстановкой p = 2(T

)

–1

(z–1)/(z+1). Это соответствует замене непрерывных

интеграторов в схеме моделирования W

(p) на цифровые (диграторы), которые

выполняют приближенное численное интегрирование по методу т

так же можно получить и передаточную матрицу обратных перекрестных свя-

зей R

(z) в составе цифрового компенсатора ПС. При необходимости, передаточ-

ную матрицу R

(z) можно получить по формуле, аналогичной (5.1).

В результате приближенной замены непрерывного компенсатора, обеспечи-

вающего автономность непрерывной МСАР, цифровым, дискретная МСАР будет

неавтономной. Но так как рассмотренные виды приближений достаточно точные,

то связи между каналами обычно оказываются несущественными (слабыми). Если

при этом запасы устойчивости сепаратных каналов не слишком малы, то дискрет-

ная (цифровая) МСАР оказывается также устойчивой. Тем не менее, вопрос об

исследовании устойчивости емой та ной «квазиавто-

номной» МСАР возникает, и ре о можно, применяя матричный критерий

Найквиста. Необходимые для расчета годографа определителя матрицы возврат-

ных разностей H*(jω)=|E+

)( ω

∗

jW | = |E+ )(

ωj WW )()(

ωω jj

W | значения час-

тотной передаточной

W наборе частот из диапаз ]

мож

матрицы

)(

j на она [0, ω

но получать с помощью приближенной формулы

))((

)(

ωωω

rjj

0пнч

−≈

∑

, где

)(

−

=ω

−

−=

0пнч

ωjW

; m ≈ 6÷7.

Формулировка критерия устойчивости для дискретной системы управления

остается той же самой, что и для непрерывной МСАР:

♦ Для того, чтобы цифровая МСАР, разомкнутый контур которой с переда-

точной матрицей W(z) имеет r характеристических корней вне единичного круга,

107

число нулевых полюсов p

=0 у

(p) я пра-

вил

и различ-

ны

тм анализа

уст

енных про-

гра

дискретизации по

вре

была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф функции

Н*(jω) при изменении частоты ω от 0 до ω

/2=π/T

охватывал начало координат в

положительном направлении r/2 раз. При этом следует иметь в виду, что число

неустойчивых полюсов для передаточных матриц W

(z) и W

(p) будет всегда од-

ним и тем же. Точно так же одинаковым будет

и число полюсов z

= 1 у W

(z). Их количество необходимо знать дл

го построения «дополнения на бесконечности» при ω=0 обобщенно

ьно го го-

дографа Найквиста для дискретной МСАР.

5.3. Устойчивость цифровых МСАР с произвольной структурой

В общем случае исходная структурная схема цифровой МСАР, детализиро-

ванная до уровня соединения одномерных звеньев, может оказаться слишком

сложной и содержит много замкнутых контуров передачи воздействий

е (простые и перекрещивающиеся) взаимные связи между ними. При этом в

некоторых контурах или связях могут располагаться цифровые вычислительные

устройства, а также импульсные элементы с амплитудной модуляцией.

Применение частотных критериев устойчивости к таким системам проблема-

тично, т.к. все известные критерии используют каноническое представление ма-

тематических моделей и соответствующих им структурных схем. Обычно это од-

но- или многомерные одноконтурные структуры с единичной отрицательной об-

ратной связью, получить которые для цифровых систем с произвольно сложной

структурой взаимодействий невозможно ввиду большой сложности аналитиче-

ских преобразований. В таких случаях необходим специальный алгори

ойчивости, который использует наиболее общие структурные представления и

формы математического описания сложной системы, и ориентирован на примене-

ние компьютерных средств и современных программных пакетов [16].

Такой формой является математическое описание системы в виде совокупно-

сти уравнений "вход-выход" (или соответствующих передаточных функций) для

отдельных ее элементов и описание способов их взаимодействия в виде линей-

ных алгебраических выражений. Такое унифицированное представление матема-

тических моделей позволяет эффективно исследовать устойчивость частотными

методами как непрерывных, так и дискретных (цифровых и импульсных) много-

контурных и многосвязных систем управления. А применение соврем

ммных пакетов для ПЭВМ в сочетании с матричными методами вычислений

позволяет избежать громоздких структурных преобразований и тем самым упро-

стить процедуру анализа устойчивости таких динамических систем.

Рассмотрим задачу исследования устойчивости цифровой (или импульсной)

системы управления, эквивалентная структурная схема которой представлена в

виде некоторого соединения n

дискретных (ДДЗ) и n

непрерывных (НДЗ) ли-

нейных динамических звеньев. При этом предполагается, что выходы ДДЗ посту-

пают на входы НДЗ в экстраполированном виде через фиксаторы Ф

, а выходы

НДЗ поступают на входы ДДЗ в виде выборочных (с шагом

мени Т

) последовательностей значений. Передаточные функции W

(z) или

108

нтированный на

ком

бой многомерной дискретн валентного многомерного

ной

под зави-

симостей входов Н между собой).

Полюсы матриц

= exp(p

), а

число

где ей ДДЗ между собой; u*

(z)

– векто

цей R

нд

вектора выходов ДДЗ y*

(z); R

дн

– матрица коэффициентов линейных за-

висимостей входов выходов НДЗ в моменты времени.

Перепишем эти уравнения в специальном виде:

)(0

⎣

нд

Выражение (5.3) дл отсутствии взаимо-

дей

(p) для всех ДДЗ и НДЗ считаются известными, а зависимости входов звень-

ев от выходов (взаимосвязи) − линейными и безынерционными.

Такая система будет устойчивой, если характеристические корни z

ее дис-

кретной модели принадлежат единичному кругу. Однако проверить это непо-

средственно или с помощью известных критериев устойчивости в их традицион-

ных формах практически невозможно из-за сложности структуры системы. Ниже

рассматривается матричный частотный метод решения поставленной задачи,

использующий данные о структурной схеме системы и орие

пьютерные вычисления. Для решения вопроса об устойчивости используется

математическая модель «изолированной» системы (при отсутствии внешних воз-

действий) в виде совокупности уравнений относительно операционных изображе-

ний переменных (преобразования Лапласа и Z-преобразования).

В векторно-матричных обозначениях структурную схему рассматриваемой

изолированной МСАР можно представить в виде взаимодействующих между со-

ой подсистемы (ДПС) и экви

дискретного звена (ЭМДЗ), которое представляет собой многомерную непрерыв-

ную подсистему (НПС) с фиксаторами Ф

на входах и устройствами выборки

(ключами) на выходах. Передаточная матрица ЭМДЗ может быть записана в виде

(z) =(1–z

–1

)⋅Z{W

нн

(p)/p},

где W

нн

(p) = (E − W*

(p) R

)

−

(p) – передаточная матрица непрерыв

системы; W*

(p) = diag{W

(p)}; R

– матрица коэффициентов линейных

ДЗ от их выходов (матрица взаимосвязей НДЗ

(z) и W

нн

(p) связаны соотношением вида z

неустойчивых” полюсов N для них будет одним

поэтому “

и тем же.

Запишем уравнения дискретной модели изолированной системы в виде

(z) = W*

(z)u*

(z); y*

(z) = W

(z) u*

(z);

(z) = R

(z) + R

дн

(z); u*

(z) = R

нд

(z),

(z) = diag{W

(z)}; R

– матрица взаимосвяз

р входов фиксаторов, являющийся линейным преобразованием с матри-

ДДЗ от дискретные

y(z) = W*(z)u(z); u(z) = R

y(z), где y = (y*

, y*

); u = (u*

, u*

); (5.3)

W*(z)=

⎥

⎤

⎢

⎣

⎡

∗

0)(

; R

⎥

⎤

⎢

⎡

днд

⎦

я y(z) описывает систему при полном

ствий между звеньями посредством дискретных сигналов, а формула (5.3) для

u(z) отдельно описывает эти взаимодействия. Тогда уравнение «изолированной»

системы запишутся в виде:

y(z) = −W(z) y(z); W(z) = −W*(z)R

109

ной САР с единич-

ной

z) = det

жительном на-

пра

сти!) полюсов для пе-

редаточных функций ДДЗ й, а число неустойчивых

полюсов N для передаточной т (см. замечание выше) с

чис

Для этого строится его частотный годограф при ω ∈ [0, ∞), а

ся формула N

= N

– ΔArg Q

(jω)/

, где N

–

количество “правых

уче

Формально будем считать, что это уравнение динамики для некоторой изоли-

рованной от внешней среды замкнутой многомерной дискрет

ООС, у которой в прямой цепи расположено многомерное дискретное дина-

мическое звено с передаточной матрицей W(z). Характеристический определи-

тель такой замкнутой дискретной системы Q( (E+W(z)) представляет со-

ой отношение характеристических полиномов для замкнутой и для разомкнутой

(по всем дискретным сигналам) системы, т.е. Q(z) = d(z)/d

(z).

Поэтому для исследования устойчивости такой системы можно применить

обобщенный критерий Найквиста: дискретная система устойчива только тогда,

когда частотный годограф функции Q*(jω) =

)(

при изменении ω

от 0 до

охватывает начало координат комплексной плоскости в поло

влении r/2 раз. Здесь r = N

+ N

– это количество “неустойчивых” характери-

стических корней для разомкнутой (по всем дискретным сигналам!) системы. В

данном случае, такие неустойчивые корни будут совпадать с теми полюсами пе-

редаточных функций ДДЗ W

(z) и полюсами передаточной матрицы W

(z), кото-

рые не принадлежат единичному кругу комплексной z-плоскости.

Определение числа N

“неустойчивых” (с учетом кратно

(z) не вызывает затруднени

матрицы W (z) совпадае

1+ э

лом неустойчивых полюсов N

для передаточной матрицы непрерывной под-

системы

нн

(p). Значение N

можно определить по изменению аргумента ха-

рактеристического определителя непрерывной подсистемы

(jω) = det(E

−

(jω)R

затем использует-

” полюсов (с

том их кратности) для всех непрерывных звеньев с передаточными функциями

(p). С учетом равенства для N

, необходимое и достаточное условие устойчи-

вости дискретно-непрерывной (цифровой) системы можно записать в виде:

).()( )(*

ндн

0/ 0

NNjQArgjQArg

∞<ω≤π<ω≤

(5.4)

Учитывая, что изменение аргумента на 2π соответствует одному полному ох-

вату годографом начала координат (НК), условию (5.4) можно прид

ать нагляд-

ную

ом

направлении и числа охватов (с учетом направления!) НК годографом функции

(jω) при ω

∈ [0,∞) равна половине суммарного количества устойчивых по-

люсов для дискретных и непрерывных звеньев с учетом их кратности.

ри расчетах точек годографа функ зовать следую-

щу

геометрическую формулировку. Цифровая система будет устойчивой, если

сумма числа охватов НК годографом Q*(jω) при ω

∈ [0,

] в положительн

не

П ции Q*(jω) удобно исполь

ю приближенную формулу для частотной передаточной матрицы W*

(jω):

))

((

)()(

∑

−=

−ω==ω

WWW

110

где

)ω/()e(1)ω(

Тj

WW ⋅−=

−

], а m ≈ 6÷7.

)ω(

нн

, ω

∈ [0,

Рассмотренный метод позволяет с помощью ПЭВМ исследовать устойчивость

сложных цифровых МСАР на основе исходных данных, взятых непосредственно

с детализированной исходной структурной схемы системы.