Зырянов Г.В. Системы управления многосвязными объектами

Подождите немного. Документ загружается.

При этом, если темпы (скорость и время затухания) переходных процессов в

сепаратных каналах МСАР существенно различны, то вместо обобщенных пока-

зателей

об

и t

р.об

следует применять аналогичные показатели для групп перемен-

ных (каналов) или же обычные индивидуальные значения показателей перерегу-

лирования

= σ

и времени регулирования t

рi

= t

рii

. Именно такой подход рацио-

нален для систем, в которых модальные составляющие «распределены» между

каналами или группами. Примером таких систем являются автономные МСАР.

Косвенные показатели качества. Сюда относятся интегральные, частотные

и корневые показатели. Они не непосредственно, а косвенно отражают свойства

колебательности и быстроты затухания переходного процесса в МСАР, но более

удобны для применения, т.к. они более просто, чем прямые ПК ПП связаны со

структурой и параметрами системы. В то же время, оказывается возможным уста-

новить их приближенную связь с прямыми показателями. Многие методы синтеза

МСАР опираются на косвенные ПК ПП как на исходные данные.

• Интегральные ПК ПП. Они представляют собой квадратичные функциона-

лы от переходной составляющей ошибки регулирования при ступенчатых еди-

ничных воздействиях на входах. Их значения учитывают и величину отклонений

в переходном процессе, и число колебаний, и время затухания процесса. При этом

качество МСАР в переходном процессе можно оценить матрицей

J ={J

}

nxn

инте-

гральных квадратичных оценок (ИКО). На главной диагонали ее – интегральные

оценки J

= I

по собственным внешним воздействиям на каналы регулирования, а

остальные J

– по «чужим» воздействиям. Для выбора лучшего варианта МСАР,

все интегральные оценки должны быть сведены к одной. Для этого используют

норму вектора интегральных оценок J

, например, в виде взвешенной суммы

, где

∑ρ

∑

ρ=

= 1. При этом величины весовых коэффициентов ρ

назнача-

ются исходя из требований к отдельным каналам регулирования.

На практике часто используют другую форма обобщенной интегральной оцен-

ки, учитывающая желаемый характер ее распределения по сепаратным каналам с

помощью коэффициентов распределения

> 0. Это требование можно задать сле-

дующим образом [10]:

= χ

= … = χ

= I*, где . (3.1) 1

=χ

∑

Фактические значения коэффициентов распределения оценок

по сепарат-

ным каналам отличаются от их желаемых значений

∗

, поэтому

1/ ≠χχ=θ

∗

iii

, а

их различие можно охарактеризовать коэффициентами отклонений:

(

)

iii

−

δ 2

При желаемом распределении оценок по сепаратным каналам все коэффици-

енты δ

=1 и они будут возрастать при отклонениях от него. Тогда за обобщенную

оценку можно принять

об

= = Sp[diag{δ

∑

}⋅J], где Sp[*] – след матрицы.

В практических приложениях чаще других используют

простую и улучшен-

ную

интегральные оценки качества переходных процессов.

Простая интегральная квадратичная оценка (ИКО) – это величина интеграла

∫

=ε=

∞∞

п0

)(

djEdttI

iii

, (3.2)

где ε

пi

(t) = h

(∞) – h

(t) – переходная составляющая ошибки в i-м канале при сту-

пенчатом единичном задающем сигнале на входе только

этого канала, а E

пi

(jω) –

ее комплексный спектр (т.е. одностороннее преобразование Фурье).

Улучшенной ИКО называют интегральный функционал

[]

∫

τ+

∫

=ετ+ε=

∞∞∞

djEdjEdttI

ii iiiii

222

п1

)(

пп

. (3.3)

Такая ИКО, используемая для выбора параметров МСАР, дает возможность

получить менее колебательный вид

(t), чем простая ИКО. Значения парамет-

ров, минимизирующие этот функционал, обеспечивают наилучшее приближение

переходной функции

(t) к «эталонной» экспоненте h

эт

(t)=h(∞)⋅[1– exp(–τ

t)].

Значения

и I

при известных коэффициентах полиномов числителей и зна-

менателей изображений Лапласа

пi

(p) и можно определить по справоч-

ным таблицам, либо по специальным рекуррентным формулам [11].

)(

Следует отметить, что использование ИКО для МСАР имеет существенную

особенность вследствие того, что переходные процессы по отдельным сепарат-

ным каналам могут сильно различаться по длительности при одинаковых (или

близких) значениях других показателей. Поэтому использовать их в натуральном

масштабе времени

недопустимо и их необходимо нормировать по времени. В ка-

честве базисного времени

для i-го канала регулирования выбирают время, ха-

рактеризующее его инерционность, например величину

обратную частоте среза

этого сепаратного канала или же частоте его собственных колебаний [10]:

[

]

aappppT

321

/==

−

. (3.4)

Здесь

– корни характеристического уравнения A

(p)=0 для замкнутого i-го

сепаратного канала регулирования, а a

и a

– коэффициенты этого уравнения

при нулевой и старшей степенях

•

Корневые ПК ПП. Для устойчивой МСАР характер изменения во времени

элементов матрицы отклонений Δ

h(t)=h(∞) – h(t) = {ε

пij

(t)}

nxn

определяется, в ос-

новном, расположением ее характеристических корней

= –α

+jβ

относительно

осей координат комплексной плоскости

p. При этом, если все корни некратные

(простые), то ε

пij

(t) = Здесь C.

∑

– константы, значения которых зависят

как полюсов, так и от нулей элементов

(p) передаточной матрицы замкнутой

МСАР. Корневые ПК ПП определяются через параметры границ области распо-

ложения (локализации) характеристических корней следующим образом:

Степень устойчивости

min

. Это расстояние до мнимой оси бли-

жайшего

к ней характеристического корня. Величина η определяет наибольшее

время 95%-ного затухания среди парциальных составляющих переходного про-

цесса соотношением

≈3/η. При прочих равных условиях, чем больше значение

η, тем быстрее затухает переходный процесс в МСАР и выше ее быстродействие.

Коэффициент колебательности

=μ max

. Его геометрический смысл:

μ=tg (ψ/2), где ψ – наименьший центральный угол, в котором локализованы

все

характеристические корни

устойчивой системы. При этом величина показателя

примерно равна удвоенному числу колебаний за время затухания τ

той парци-

альной составляющей процесса, которая соответствует комплексному корню, ле-

жащему на границе угла ψ. Иногда рассматривается обратная величина

m =

–1

называемая степенью колебательности [13], которая равна минимальному значе-

нию отношений вещественных и мнимых частей среди комплексных корней.

Максимальное расстояние корней от мнимой оси l = |Re p

max

С помощью этого показателя характеризуют

степень разбросанности корней

в направлении вещественной оси: χ =

l/η. Если χ>>1, то можно выделить группу

доминирующих корней, которые будут в основном определять характер и вид ПП.

При этом остальные (удаленные) корни в первом приближении можно не учиты-

вать и рассматривать более простую математическую модель МСАР.

4. Среднегеометрический корень

ppp L

=Ω

. Этот показатель характери-

зует

среднюю удаленность области локализации корней устойчивой системы от

начала координат. Если корни двух МСАР отличаются только масштабом

R (по-

добные распределения корней), то у них показатели μ и χ будут одинаковыми, а

l, η и Ω будут отличаться также в R раз. Поэтому показатель Ω косвенно, при про-

чих равных условиях, характеризует свойство быстродействия МСАР.

Ввиду высокого порядка математической модели МСАР, при определении

не-

которого

корневого показателя γ более предпочтительными оказываются не пря-

мые, а

косвенные методы, которые не требуют нахождения корней {p

}. Один из

таких методов основан на подстановке

p = f(q,γ) в характеристический полином

A(p) устойчивой МСАР. Конкретный вид этой подстановки зависит от вида кор-

невого показателя. Так, например, для γ = η функция

f(q, η) = q – η; при γ = μ она

имеет вид

p = f(q,μ) = q(1+j/μ), а если γ = m, то f(q, m) = q(1+jm). Далее предпола-

гают, что

преобразованный полином A*(q, γ) соответствует некоторой «преобра-

зованной» системе, находящейся на

колебательной границе устойчивости, когда

q = jω является корнем, а остальные корни q

расположены слева от мнимой оси.

Из этого граничного условия определяется значение показателя γ=γ*. Для этой

цели удобно строить (компьютерным способом!) семейство масштабированных

годографов функции Михайлова «преобразованной» системы

M(jω,γ)=A*(jω, γ),

подбирая такое γ = γ*, при котором этот годограф на некоторой частоте ω=ω

про-

ходит через начало координат. Например, при выборе γ=η «расширенная» функ-

ция Михайлова имеет вид

M(jω,η) =A(jω– η), а если γ=m, то M(jω, m) = A(jω–mω).

Другой метод использует для той же цели частотный годограф определителя

матрицы возвратных разностей (

обобщенный годограф Найквиста). Здесь рас-

сматривается функция

H(p)=det[E+W(p)] при подстановке p=f(jω,γ), т.е. функция

H(jω,γ) = det[E+W(jω,γ)]. Затем, начиная с малых значений, подбирается такое

γ=γ*, при котором годограф функции

H*( jω, γ) проходит через начало координат.

Так если γ = η, то функция

H*(jω,η) = det[E + W(jω–η)], а при γ = m она при-

мет вид

H*(jω, m) = det[E+W(jω–mω)]. В том случае, когда используется унифи-

цированное

структурное представление МСАР, то определитель матрицы воз-

вратных разностей принимается в виде

H(p) = det[E – W*(p)R

], где R

– матрица

взаимосвязей звеньев в составе ее исходной структурной схемы (см. п. 2.4.2).

•

Частотные ПК ПП. Аналогично одномерному случаю, свойства устойчи-

вой

МСАР в переходном процессе (колебательность и время затухания) можно

косвенно оценить по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой

МСАР. Особенностью ЧХ МСАР, затрудняющей анализ, является то, что они

представляют собой двумерные массивы (матрицы). Элемент

(jω) этих матриц

представляет собой обычную (одномерную) частотную передаточную функцию

канала передачи воздействия от

j-го входа до i-го выхода. Это же относится к ам-

плитудным, фазовым, а также к вещественным и мнимым частотным характери-

стикам разомкнутой или замкнутой МСАР. Некоторые из параметров графиков

этих характеристик могут быть приняты за частотные ПК ПП.

Пусть

Ф(jω) ={Ф

(jω)}

– частотная передаточная матрица устойчивой замк-

нутой

МСАР. Тогда М(ω)={|Ф

(jω)|} и ϕ(ω) ={arg Ф

(jω)}–матрицы АЧХ и ФЧХ;

P(ω) ={ReФ

(jω)} и Q(ω) = {ImФ

(jω)}– матрицы ВЧХ и МЧХ этой системы.

Матрица переходных функций

h(t) устойчивой системы связана с матрицей

вещественных частотных характеристик (ВЧХ)

Р(ω) следующей формулой:

∫

ωω

∞

sin

)(2

)( tdt

. (3.5)

Поэтому некоторые из параметров графиков

(ω) могут быть использованы

для

косвенной оценки свойств колебательности и быстродействия МСАР.

Такими параметрами могут быть следующие

индивидуальные ПК ПП, опреде-

ленные для каждого канала регулирования:

1) ω

пi

– граничная частота диапазона положительности ВЧХ – она характери-

зует быстродействие

i-го канала МСАР, способность его реагировать на сигналы с

широким спектром;

maxi

и P

mini

– абсолютные величины первого максимума и первого мини-

мума

ВЧХ – они характеризуют колебательные свойства реакции i-го канала на

собственное входное ступенчатое воздействие.

Если МСАР

минимальнофазовая, то ее ЧХ M

(ω) и ϕ

(ω) связаны между со-

бой преобразованием Гильберта. А так как

(ω) = M

(ω)cos

(ω), то в соответст-

вии с (3.5) динамические свойства и переходная функция такой системы по

i-му

каналу будут полностью определяться свойствами

(ω). Поэтому параметры

графика

(ω) можно также использовать для косвенной оценки свойств быстро-

действия и колебательности этого канала. Такими параметрами являются:

рi

– частота амплитудного резонанса (частота максимума M

(ω));

прi

– граница полосы пропускания частот на уровне 0.707M

(0);

= max {M

(ω)/M

(0)} – показатель колебательности.

При этом ω

рi

и ω

прi

характеризуют быстродействие, а M

– колебательные свой-

ства

i-го канала системы в переходном процессе.

Для МСАР с единичной обратной связью ЧХ

(ω) и M

(ω) зависят только от

передаточной функции

iiэ

(jω) i-го разомкнутого канала, при замкнутых осталь-

ных каналах

. А это значит, что параметры графиков ЛАХ L

iiэ

(ω) и ЛФХ

iiэ

(ω)

также можно использовать для оценки быстродействия и колебательных свойств

(запасов устойчивости) замкнутой системы. Такими параметрами ЛЧХ разомкну-

той по

i-му каналу МСАР являются:

срi

– частота среза ЛАХ «эквивалентного» i-го разомкнутого канала;

зi

– запас устойчивости по коэффициенту усиления (по модулю);

зi

– запас устойчивости по фазе.

Кроме того, для минимальнофазовых САР с

типовым видом асимптотических

ЛАХ, значения

maxi

, P

mini

и M

зависят от протяженности участка ЛАХ с накло-

ном –20 дБ/дек в окрестности ω

срi

Названные выше параметры ЧХ

maxi

, P

mini

, L

зi

, ϕ

зi

, ω

пi

, ω

рi

, ω

прi

, ω

срi

явля-

ются

индивидуальными частотными показателями качества переходных процессов

для каждого

i-го канала регулирования. Но они не дают представления о качестве

ПП МСАР в целом. Для этого необходимо рассматривать

обобщенные частотные

ПК ПП. Это могут быть, например, следующие величины [3]:

а) ϕ

= min (ϕ

зi

); б) L

= min (L

зi

); в) M = max (M

). (3.6)

Здесь ϕ

зi

; L

зi

; M

– запасы устойчивости для i-го канала, определенные при ус-

ловии замыкания всех остальных каналов (прием, называемый эквивалентирова-

нием МСАР относительно

i-го канала).

Кроме того, для многомерной системы удобно ввести понятие

эквивалентной

одномерной САР с передаточной функцией

(p) = W

(p)[1+ W

(p)]

–1

, (3.7)

где

(p) = H(p) – 1, а H(p) – определитель матрицы возвратных разностей.

Рассматривая

формально для эквивалентной системы такие ПК ПП, как ω

ср.э

;

зэ

; ϕ

зэ

; M

; ω

рэ

, получают обобщенные частотные показатели качества МСАР. Они

по своему физическому содержанию беднее, чем введенные ранее индивидуаль-

ные показатели и их невозможно определить экспериментально.

3.3. Анализ качества установившихся режимов в МСАР

Заданный алгоритм функционирования технического объекта наполняет со-

держанием и конкретизирует такие понятия как «цель управления» и «идеальная

система управления». Поэтому качество САУ и процесса управления в ней мож-

но оценить по степени выполнения требований алгоритма функционирования.

Для

следящих МСАР показатели эффективности (качества) управления должны

определяться

отклонениями управляемых переменных от предписанных (извне)

законов их изменения во времени. С величинами этих отклонений связываются

понятия ошибок и точности регулирования. Но так как на этапе динамического

синтеза

многосвязных следящих систем задающие воздействия достоверно не-

известны, то для

сравнительной оценки точности работы таких МСАР в устано-

вившихся режимах принято назначать для них (в соответствии с условиями кон-

кретного применения)

типовые законы изменения во времени. При этом наиболее

часто рассматриваются следующие виды типовых задающих воздействий:

1. Полиномиальный (степенной).

2. Полигармонический (гармонический).

3. Медленный с ограниченными значениями скорости и ускорения.

4. Случайный с известным (заданным) видом статистических характеристик.

Показатели качества (точности) определяют по вынужденной составляющей

ошибок регулирования при подаче на вход МСАР таких воздействий. При этом

могут использоваться графики ошибок, а также некоторые функционалы от них

во временной, в частотной или в комплексной областях.

3.3.1. Анализ точности при полиномиальных воздействиях

Рассмотрим устойчивую МСАР с типовой структурой (соединение с единич-

ной обратной связью), на вход которой поступает

n-мерный задающий сигнал

X(t) полиномиального вида l-го порядка:

X(t) = . (3.8)

∑

Пусть ε(

t) = X(t)–Y(t) – вектор отклонений управляемых переменных от пред-

писанных законов изменения (вектор ошибок), а

(p) – передаточная матрица

МСАР по ошибке. Тогда изображение Лапласа вектора ошибок

ε(

p) = Ф

(p)X(p). (3.9)

Для полиномиального воздействия вида (3.8) все полюсы элементов вектора

X(p) будут нулевыми (p

= 0) с коэффициентами их кратности m

≤ l+1. Поскольку

(см. формулу нахождения оригинала по изображению) вынужденная составляю-

щая ошибки ε

(t) равна сумме вычетов выражения ε(p)e

в полюсах X(p), то она

определяется локальными свойствами

(p) в малой окрестности начала коорди-

нат, где |

p|<<1. В этом случае Ф

(p) представима степенным рядом

(p) = С

+ С

p + C

+ ..., где . (3.10) !/)0(

)(

i ε

= ФC

Тогда выражение для ε

(p) запишется следующим образом:

(p) = С

X(p) + С

p X(p) + C

X(p) + … . (3.11)

Применив обратное преобразование Лапласа к ε

(p), получим выражение

(t) = С

X(t) + C

(1)

(t) + C

(2)

(t) + ... (3.12)

Такое разложение вынужденной ошибки ε

(t) по производным входного сиг-

нала называется

рядом ошибок. Его слагаемые – составляющие вектора ошибок

(t), пропорциональные задающему воздействию, его скорости, ускорению и т.д.

Коэффициенты

этого ряда – коэффициенты ошибок. Очевидно, что чем мень-

ше значения элементов этих

матричных коэффициентов, тем меньше вынужден-

ная ошибка ε

(t) и выше точность МСАР. Поэтому коэффициенты ошибок C

можно использовать для

косвенной оценки качества процесса управления в уста-

новившемся режиме при полиномиальных (или степенных) воздействиях.

Для "идеальной" системы

(p) = 0, поэтому все С

= 0 и ε

(t) = 0. В этом случае

будет

полная инвариантность (т.е. независимость) ошибки ε

(t) от задающего

воздействия

любого, а не только полиномиального вида. В реальных системах

обеспечить точное выполнение всех условий полной инвариантности невозмож-

но. Вместо этого, они могут быть реализованы: а) частично (

некоторые из С

= 0);

б) приближенно (

≈ 0, i = 0, …, r или Ф

(jω) ≈ 0 в рабочей полосе частот); в) из-

бирательно для сигналов определенного вида, когда

) = 0. Соответственно

этому различают

частичную, приближенную и селективную инвариантность.

Нулевые или достаточно малые значения коэффициентов ошибок

можно

получить разными способами. При этом с их величинами в ТАУ связаны понятия

статической и астатической систем.

• МСАР называется

статической относительно X(t), если С

≠ 0. В такой

системе

статическая ошибка ε

ст

будет пропорциональна величине постоянных

задающих воздействий. В противном случае, т.е. когда С

=0, МСАР называет-

ся

астатической и для нее ε

ст

= 0. Для астатических систем вводится понятие по-

рядка астатизма

ν, который формально совпадает с индексом первого не равного

нулю коэффициента ошибок. Так для МСАР с астатизмом ν-го порядка

= С

=...= С

ν–1

= 0, а С

≠0. В таких системах достигается селективная инвари-

антность относительно тех полиномиальных сигналов, порядок которых

l < ν.

• Особенность ряда ошибок (3.12) при полиномиальном задающем сигнале

го порядка в том, что он содержит

конечное число слагаемых из-за того, что про-

изводные входного сигнала

(i)

(t) ≡ 0 при i > l:

(t) = С

X(t) + C

(1)

(t) + C

(2)

(t) + ... C

(l)

(t).

Отсюда следует, что закон изменения вынужденной ошибки ε

(t) будет зави-

сеть от соотношения порядка сигнала

l и порядка астатизма системы ν:

а) ε

(t)=0 при l<ν; б) ε

(t)=С

ν! при l=ν; в) ε

(t)=P

l–ν

(t) при l > ν, (3.13)

где

l–ν

(t) – матричный полином порядка l–ν относительно t.

В частности, для статической МСАР при

X(t)=A

ошибка ε

ст

= С

, а при ли-

нейном задающем воздействии

X(t)=A

t вынужденная составляющая ошибки бу-

дет линейной функцией времени:

(t) = С

t + C

. Для МСАР с астатизмом

первого порядка в этом случае ν=1,

=0, C

≠0, а ε

(t) = C

МСАР будет астатической относительно задающих воздействий, если

каж-

дый

из сепаратных каналов МОУ содержит, по меньшей мере, один интегратор,

не охваченный перекрестными или собственными местными обратными связями.

При этом

(0) = С

= 0. Статические (равновесные) режимы в каналах регу-

лирования астатической МСАР независимы, т.к.

постоянные значения управляе-

мых переменных не зависят от постоянных задающих воздействий в «чужих» ка-

налах, а значит, такая система является

статически автономной.

• Повысить порядок астатизма (или сделать МСАР астатической) можно с по-

мощью диагонального регулятора, если сепаратный регулятор в каждом канале

содержит,

хотя бы один интегратор, не охваченный собственными или перекре-

стными локальными обратными связями. Если (при статическом МОУ) часть се-

паратных регуляторов не содержит интеграторов, то МСАР не будет полностью

астатической и соответствующие строки матрицы

будут ненулевыми. Умень-

шить величину элементов в этих строках можно путем повышения коэффициен-

тов усиления «статических» сепаратных регуляторов.

В общем случае возможны и другие способы повышения точности МСАР и

порядка ее астатизма, например применением перекрестных связей специального

вида или комбинированного принципа управления с компенсирующими связями

по задающему сигналу и др.

• При анализе точности МСАР возникает важный для их синтеза вопрос о свя-

зи коэффициентов ошибок МСАР с коэффициентами ошибок сепаратных каналов

[10]. Рассмотрим с этой целью типовую структуру МСАР с ЕООС.

Пусть

H(p)={H

(p)} и R(p)={R

(p)} – передаточные матрицы (ПМ) объекта

управления и многомерного регулятора, а

W(p) = H(p)R(p) = {W

(p)} – ПМ ра-

зомкнутой МСАР, где

(p) = . Тогда ПМ замкнутой МСАР по

ошибке будет равна

∑

kjik

pRpH

)()(

(p) = [E+W(p)]

–1

Представим матрицу

E+W(p) в виде произведения двух матриц, одна из кото-

рых диагональная:

E+W(p) = diag{1+W

(p)}U(p). Здесь U(p)={U

(p)}– матрица

общего вида, элементы которой

(p) определяются следующим образом [10]:

(p)=

)(1

)(

, если i≠j, а U

(p) =1. (3.14)

Тогда

(p) = U

–1

(p)⋅diag{1/(1+W

(p))} =

–1

(p)⋅diag{(1+H

(p)R

(p))/(1+W

(p))}⋅diag{1/(1+ H

(p)R

(p))}. (3.15)

Поскольку при этом диагональная матрица diag{1/(1+ H

(p)R

(p))} = Ф

εs

(p)

представляет собой ПМ по ошибке многомерной САР, состоящей из несвязанных

между собой сепаратных каналов, то ошибку МСАР ε(

p) можно выразить через

вектор ошибок сепаратных каналов ε

(p) = Ф

εs

(p)X(p) следующей формулой:

ε(

p) = Ф

(p) X(p) = U

–1

(p)⋅diag{(1+H

(p)R

(p))/(1+W

(p))}ε

(p). (3.16)

При этом, учитывая то, что

= Ф

(0), а C

= Ф

εs

(0), получим

= U

–1

(0)⋅diag{(1+H

(0) R

(0))/(1+W

(0))}⋅C

. (3.17)

Если МСАР в целом, а также

каждый из сепаратных каналов регулирования

имеют один и тот же порядок астатизма ν, то матричные коэффициенты ошибок

и С

νs

= diag{C

νsi

} будут связаны формулой, аналогичной (3.17). Это следует из

выражений (3.10), (3.15) и того, что

→

)(

lim

, а С

νs

→

)(

lim

3.3.2. Анализ точности при гармонических воздействиях

Рассмотрим МСАР с канонической структурой ЕООС, на вход которой посту-

пает типовой задающий сигнал вида

X(t) =

sinA , где A=colon{A

}. Для удобст-

ва анализа

установившихся режимов, представим формально этот сигнал в ком-

плексной форме

X(t)=Ae

jωt

. Тогда вектор ошибок ε

(t) будет также иметь вид мно-

гомерного гармонического сигнала

(t)=A

jωt

, где A

=colon{A

εi

} – вектор ком-

плексных

амплитуд. При известной частотной передаточной матрице МСАР по

ошибке

(jω)={Ф

εij

(jω)}, комплексная амплитуда ошибки i-го канала A

εi

опреде-

ляется следующей формулой

εi

= = . (3.18)

AjΦ )(

∑

AeM

)(

ωϕ

∑

Это будет соответствовать гармоническому закону изменения вынужденной

(установившейся) составляющей ошибки ε

вi

(t) = E

sin (ωt+ϕ

), где

= mod ; ϕ

)(

ωϕ

∑

eAM

= arg . (3.19)

)(

ωϕ

∑

eAM

Отсюда следует, что можно оценивать точность воспроизведения задающего

сигнала вида

X(t) =

ωsinA , если известны матрицы АЧХ и ФЧХ замкнутой

МСАР (по ошибке)

( ω) ={|Ф

εij

(jω)|} и ϕ

(ω) ={arg Ф

εij

(jω)}.

Так, например, если все входы МСАР будут одинаковыми (

=A), то тогда

отнi

/A ≤ . (3.20) )(

∑

В другом случае, когда только один вход ненулевой (

=A, а A

=0 при k≠ i), то

отнi

. Эти же показатели точности можно рассматривать не для одной кон-

кретной частоты ω=ω

, а для некоторого набора частот ω

, ω

, …, ω

При этом кроме рассмотренных выше индивидуальных показателей для каж-

дого

i-го канала регулирования, можно рассматривать обобщенные (для всей

МСАР) показатели точности, например θ = ∑γ

и др.

♦Другой подход к оценке точности МСАР следящего типа при гармониче-

ских типовых задающих сигналах основан на рассмотрении

амплитудных и фазо-

вых

искажений на некотором наборе частот рабочего диапазона, вносимых каж-

дым из каналов регулирования. Здесь используется частотная передаточная мат-

рица (ЧПМ) замкнутой МСАР

Ф(jω) = {Ф

(jω)}

Ф(jω) = [E+W(jω)]

–1

W(jω).

При

этом ЧПМ Ф(jω) определяется матрицами АЧХ M(ω)={mod Ф

(jω)}

и ФЧХ ϕ(ω) = {arg

(jω)}. Для идеальной МСАР M(ω) = E, а ϕ(ω) = 0, поэтому

оценить величины вносимых амплитудных и фазовых искажений на некоторой

частоте ω можно по элементам (или по нормам) матриц Δ

(ω) и Δ

(ω):

(ω) = {| mod Ф

(jω) – 1|} = {δ

aij

}; Δ

(ω) = {|arg Ф

(jω)|}={δ

}. (3.21)

Для этих же целей можно использовать

обратную частотную передаточную

матрицу замкнутой МСАР

–1

(jω) = E+W

–1

(jω). Поскольку для идеальной систе-

мы

–1

(jω)= E, то отличие от идеала можно оценивать по элементам обратной

ЧПМ разомкнутой МСАР

F(jω) = W

–1

(jω). При этом рассматриваются либо эле-

менты, либо нормы матрицы

(ω) ={mod F

(jω)} для ряда частот ω

, ω

, …, ω

из рабочего диапазона. Чем меньше значения |

(jω

)|, тем выше точность МСАР.

3.3.3. Анализ точности МСАР при медленных воздействиях

Часто, в основном из практических соображений, известно только то, что за-

дающие воздействия

(t) для каждого i-го канала регулирования гладкие, непре-

рывные и имеют ограниченные значения первой и второй производных. В по-

добных случаях для

грубой оценки точности МСАР можно использовать при-

ближенную замену каждого из

(t) «эквивалентным» гармоническим сигналом

эi

(t) = А

эi

sinω

эi

t. При этом частота ω

эi

и амплитуда А

эi

такого гармонического

сигнала выбираются так, чтобы максимальные значения первой и второй произ-

водных (скорость и ускорение) для гармонического и произвольно меняющегося

медленного задающего сигналов совпадали:

эi

max

; А

эi

max

. (3.22)

Далее, полагая, что «эквивалентные» сигналы X

эi

(t) действуют на входы кана-

лов МСАР

поочередно, по известной матрице АЧХ M

(ω

эi

)={|Ф

εij

(jω

эi

)|}={M

}

замкнутой МСАР определяют, как для случая гармонического типового сигнала,

относительную ошибку ε

отнi

= E

эi

= M

, а затем и E

3.3.4. Анализ точности МСАР при случайных воздействиях

Во многих случаях на этапе проектирования МСАР задающий вектор МСАР

удобно представлять

суммой двух компонент:

А)

детерминированная составляющая в виде вектора типовых воздействий;

Б)

недетерминированная составляющая в виде векторного центрированного (с

нулевым средним)

случайного стационарного процесса с типовыми статистиче-

скими характеристиками.

линейной МСАР вынужденная ошибка ε

(t) также будет состоять из двух не-

зависимых составляющих, каждую из которых можно анализировать раздельно

соответствующими методами.

Так как анализ точности МСАР при типовых детерминированных задающих

воздействиях был рассмотрен ранее, поэтому

здесь будем полагать, что задающий

сигнал

X(t) представляет собой векторный стационарный случайный процесс с

нулевым

математическим ожиданием (центрированный), для которого известны

корреляционная и спектральная матрица. Точность МСАР будем оценивать взве-

шенной суммой

дисперсий ошибок каждого канала регулирования.

♦Многомерный случайный процесс (МСП)

X(t) – это случайный вектор, коор-

динаты которого

представляют собой зависящие от времени t случайные вели-

чины. Если МСП

центрированный, то его математическое ожидание равно ну-

лю:

M{X(t)} = colon{M{X

(t)}}= m

(t) = 0.