Зырянов Г.В. Системы управления многосвязными объектами

Подождите немного. Документ загружается.

Из-за высокого порядка матрицы A для МСАР, раскрытие определителя поли-

номиальной матрицы и получение характеристического уравнения в развернутом

виде (2.101) часто, по соображениям точности и трудоемкости, проблематично

или даже невозможно. В таких случаях эффективным оказывается

метод Зубова,

который не требует раскрытия определителя |

pE–A| = A(p).

Идея метода основана на дробно-линейной замене переменной

p = (ρ–1)/(ρ+1)

в уравнении (2.102). Особенностью такой подстановки является то, что с ее по-

мощью осуществляется отображение

левой полуплоскости переменной p на внут-

реннюю

часть единичного круга плоскости переменной ρ. В результате этого,

условие устойчивости МСАР относительно корней

преобразованного характе-

ристического уравнения

(ρ) = 0 приобретает вид: |ρ

|<1. Действия по получе-

нию записи такого уравнения в общем виде иллюстрируется ниже.

=−

−

−−−

ρρ

AAEE

ρ(E–A)–(E+A)| = 0; |ρE– (E+A)(E–A)

–1

||(E–A)| = 0;

(ρ) = |ρE– B

| = 0; где BB

= (E+A) (E–A) = E + 2A(E–A) . (2.103)

–1 –1

Матричный критерий устойчивости МСАР формулируется относительно

вспомогательной матрицы B

• Для того, чтобы МСАР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы

матрица [B

] при возрастании k до бесконечности стремилась к нулевой матрице.

Однако в таком виде критерий неконструктивен и пригоден только для теоре-

тических исследований и доказательств. При практическом применении этого

критерия для исследования устойчивости или неустойчивости МСАР используют

следующие его

достаточные формы.

y Достаточный критерий неустойчивости МСАР. Система неустойчива, если

след (сумма диагональных элементов) матрицы B

больше порядка матрицы N:

Sp B

> N.

y Достаточный критерий устойчивости МСАР (I). Система устойчива, если

следы

некоторых трех последовательных степеней матрицы BB

убывают:

Sp [B

] > Sp [B

B ]

k+1

> Sp [BB

]

k+2

y Достаточный критерий устойчивости МСАР (II). Система устойчива, если

норма (любая, например, евклидова норма – квадратный корень из суммы квадра-

тов всех элементов матрицы)

некоторой степени матрицы BB

меньше единицы:

||[B

] || < 1.

Приведенные выше формы матричного критерия устойчивости ориентированы

на компьютерные вычисления. Для нахождения B

по формуле (2.103) применяют

итерационный алгоритм обращения матрицы. При этом, если матрица А для

МСАР со

сложной структурой неизвестна, но заданы матричные коэффициенты в

уравнениях состояния отдельных многомерных динамических звеньев, то для по-

лучения ее следует воспользоваться формулой (2.48), имеющей следующий вид:

A = A* + B*[E – R

D*]

−1

C*.

Если требования достаточного критерия не выполняются, то исследование ус-

тойчивости можно продолжить этим же критерием (возможно в другой форме),

рассматривая более высокие степени для матрицы B

. В случае устойчивой МСАР

искомый ответ обычно получается достаточно быстро. В противном случае счи-

тают, что МСАР неустойчива, либо у нее слишком малы запасы устойчивости,

что с практической точки зрения примерно одно и то же.

♦Критерий Михайлова. Как известно, этот критерий основан на рассмотре-

нии поведения годографа функции Михайлова, получаемой из характеристиче-

ского полинома МСАР при

p=jω. Формально, его относят к группе частотных

критериев, хотя здесь переменная

ω не имеет физического смысла круговой час-

тоты гармонических колебаний. Возможности этого критерия для МСАР на прак-

тике весьма ограничены из-за высокого порядка характеристического полинома.

При этом возникают проблемы с диапазоном и шагом изменения

ω, с проверкой

очередности следования квадрантов, а также с назначением масштабов по осям

координат. Для уменьшения этих затруднений целесообразным является нели-

нейное масштабирование функции Михайлова путем деления ее ординат на воз-

растающую строго положительную функцию. Это может быть, например, функ-

ция

F(ω)=|α

|+|α

|ω

> 0, которая не меняет очередности прохождения квадрантов

годографом Михайлова, но делает его радиус-векторы конечными величинами.

При этом годограф

модифицированной функции Михайлова M*(jω) = A(jω)/F(ω)

будет целиком располагаться в сравнительно небольшой окрестности начала ко-

ординат, приближаясь при

ω→∞ к точке j

на одной из координатных осей.

Для МСАР со сложной структурой в виде соединения

многомерных динами-

ческих звеньев расчет координат точек годографа Михайлова следует выполнять

на ЭВМ по формуле (2.100) при

p=jω, которая принимает следующий вид:

M(jω) = det [Q*( jω) − P*( jω)R

]. (2.104)

Здесь Q*(

p)=diag{Q

(p)} и P*(p)=diag{P

(p)} – блочно-диагональные полиноми-

альные матрицы, составленные из матричных коэффициентов уравнений «вход-

выход» каждого

i-го многомерного звена: Q

(p)y

(p) = P

(p)r

(p); R

= {R

} –

блочная матрица взаимосвязей, где R

– матричный коэффициент линейной безы-

нерционной зависимости вектора входов

i-го звена от вектора выходов j-го звена.

Задача построения годографа функции Михайлова существенно упрощается,

если использовать не матричную, а детализированную (до уровня соединения од-

номерных звеньев) структурную схему МСАР. В этом случае диагональные мат-

рицы P*(

p) и Q*(p) составляются, соответственно, из числителей и знаменателей

передаточных функций отдельных динамических звеньев

(p) = P

(p)/Q

(p).

y Устойчивой МСАР соответствует «правильный» порядок прохождения го-

дографом модифицированной функции Михайлова

M*(jω) = M(jω)/F(ω) через

первые N квадрантов. При этом величина d = min |M*(jω)| является обобщенным

показателем «расстояния» МСАР до колебательной границы устойчивости.

♦Критерий Найквиста. Этот критерий относится к группе частотных крите-

риев устойчивости МСАР и имеет три различных формы: а) матричная; б) ите-

рационная и в) достаточная.

y Матричная форма критерия Найквиста. Рассмотрим сначала МСАР с кано-

нической структурой ЕООС и передаточной матрицей разомкнутого контура

p) = Q

–1

(p)P(p). Обозначим характеристический полином разомкнутой систе-

мы как

(p)=|Q(p)|. Из выражения для передаточной матрицы замкнутой МСАР

Ф(p)=[E+W

−1

(p)]

−1

= [E+PP

−1

(p)Q(p)]

−1

= [P(p)+Q(p)]

−1

P(p)

следует, что ее характеристический полином имеет вид ϕ

(p) = |P(p)+Q(p)|.

Рассмотрим

определитель матрицы возвратных разностей G(p) = E+W(p):

det G(

p) = |E+W(p)| = |Q(p)+P(p)|⋅|Q(p)|

−1

= ϕ

(p)/ϕ

(p) = Н(p). (2.105)

Легко заметить, что полученная таким образом функция

Н(p) имеет абсолютно

тот же вид и смысл, что и функция Найквиста, используемая при доказательстве

критерия Найквиста в одномерном случае – это отношение характеристических

полиномов замкнутой и разомкнутой систем. Поэтому относительно этой функ-

ции необходимое и достаточное условие устойчивости (критерий) будет иметь тот

же вид, что и для одномерной системы:

y Для того чтобы МСАР, разомкнутый контур которой с передаточная матри-

цей W(

p) имеет r правых характеристических корней, была устойчивой, необхо-

димо и достаточно

, чтобы частотный годограф функции Н(jω) при изменении ω

от 0 до

∞ охватывал начало координат в положительном направлении r/2 раз.

Чтобы придать этому критерию еще более знакомую формулировку, можно

перейти к вспомогательной функции

(p) = H(p) – 1 и подсчитывать число обо-

ротов годографом

) точки (–1, j0). Но в отличие от одномерного случая,

комплекснозначная функция

) здесь не будет иметь какого-либо физическо-

го смысла, хотя для нее

формально можно рассматривать амплитудные и фазовые

частотные характеристики (в том числе и логарифмические).

Обобщенной характеристикой запаса устойчивости МСАР может служить ве-

личина

h = min H(jω) – наименьшее расстояние годографа функции H(jω)=|G(jω)|

устойчивой системы до начала координат. Кроме того, для МСАР можно ввести

понятие «эквивалентной

одномерной системы» с передаточными функциями

(p) = H(p) – 1 и Ф

(p) = W

(p)/(1+ W

(p)). Частотные показатели качества такой

системы (запасы устойчивости по фазе, по модулю, показатель колебательности и

др.) будут для МСАР

обобщенными (абстрактными, не имеющими физического

смысла) частотными показателями. Но, несмотря на это, они вполне могут быть

использованы для сравнительного анализа различных вариантов МСАР.

Если среди полюсов W(

p) есть полюс p

= 0 кратности s

, то кратность m

соот-

ветствующего характеристического корня

= 0 разомкнутой МСАР равна рангу

вычета матрицы W(p) в этом полюсе (см., например, формулу (2.24) для случая,

когда

=1). Формальное дополнение расчетной части годографа при ω=0 дугой

бесконечного радиуса, проходящей через

квадрантов в положительном на-

правлении, осуществляется точно так же, как и для одномерных САР.

Устойчивость МСАР с ЕООС можно исследовать также и по

обратной пере-

даточной матрице

=)(

–1

(p) разомкнутой МСАР. Покажем это, представив

функцию

H(p) в эквивалентном виде

Н(p)=|E+W(p)| = |W

–1

(p) + E |/|W

–1

(p)| = ϕ

(p)/ϕ

(p).

Тогда критерий устойчивости Найквиста для многосвязной системы автома-

тического регулирования может быть сформулирован следующим образом.

• Замкнутая МСАР устойчива только в том случае, когда разность между чис-

лом охватов (оборотов)

начала координат комплексной плоскости частотными

годографами определителей |W

–1

(p) + E| и |W

–1

(p)| равна r/2. Здесь r – это коли-

чество «правых» характеристических корней разомкнутой МСАР (с учетом их

кратности),

соответствующих нулям обратной передаточной матрицы W

–1

(p),

т.е. корням уравнения |W

–1

(p)| = 0.

В том случае, когда в качестве модели МСАР используется унифицированная

структура (см. рис. 2.12), то обобщенная функция Найквиста

H(p) будет иметь вид

Н(p) = det [E − W*(p)R

] = ϕ

(p)/ϕ

(p). (2.106)

Соответственно этому, все неустойчивые и нулевые полюса разомкнутого

контура МСАР должны определяться для блочно-диагональной матрицы W*(

p).

Трудности, связанные с определением коэффициентов кратности

для харак-

теристических корней можно уменьшить, если рассматривать

детализированную

(до уровня одномерных звеньев) структурную схему МСАР. При этом роль мат-

рицы возвратных разностей (МВР) выполняет матрица G*(

p):

G*(

p) = E–W*(p)R

где W*(

p) = diag{W

(p)} – диагональная матрица, элементами которой являются

передаточные функции

(p) всех одномерных звеньев в составе детализирован-

ной структурной схемы МСАР, а R

={R

}– матрица их взаимных связей.

Критерий Найквиста в этом случае формулируется аналогично предыдущему

случаю, но с учетом того, что

H(p) = det G*(p), а r – число правых корней (с уче-

том их кратности!) разомкнутой

по всем связям системы (т.е. при R

= 0). Число

таких корней можно легко определить по полюсам передаточных функций

(p)

всех одномерных звеньев в составе исследуемой структурной схемы.

Следует особо отметить, что матричный метод в сочетании с возможностями

современных математических пакетов типа Mathcad и MatLab позволяет ради-

кально упростить задачу исследования устойчивости МСАР.

y Итерационная форма критерия Найквиста. Рассматривается МСАР с кано-

нической структурой ЕООС и передаточной матрицей разомкнутого контура

p). Сначала все каналы регулирования считают разомкнутыми и строится час-

тотный годограф Найквиста первого сепаратного канала. При этом подсчитывает-

ся число охватов

(с учетом знака!) этим годографом критической точки (–1, j0).

Далее, считая первый канал замкнутым, строится годограф Найквиста для второго

канала и аналогично подсчитывается число охватов

критической точки и т.д.

На последнем

n-м шаге строится годограф Найквиста для n-го канала (все преды-

дущие каналы считаются замкнутыми) и определяется число охватов

. После

этого критерий устойчивости формулируется следующим образом:

• Для устойчивости замкнутой МСАР необходимо и достаточно, чтобы ал-

гебраическая

сумма числа охватов критической точки

∑

Здесь

r – это количество «правых» характеристических корней разомкнутой

МСАР с учетом их коэффициентов кратности. Значения (величины) таких корней

определяются по расположению полюсов элементов

(p) на комплексной плос-

кости. Коэффициент кратности

каждого правого корня определяется через ранг

матричного вычета в соответствующем полюсе передаточной матрицы W(

p). За-

метим, что эта форма критерия в настоящее время имеет скорее историческую,

чем практическую ценность, т.к. матричная форма критерия позволяет решать во-

прос об устойчивости МСАР более удобным способом.

• Достаточная форма критерия Найквиста. Рассмотрим МСАР с канониче-

ской структурой ЕООС и передаточной матрицей разомкнутого контура W(

p).

Сначала отметим следующие известные и почти очевидные утверждения.

1. Если W(

) диагональная (система автономна), то МСАР будет устойчи-

вой, если выполняются условия устойчивости для каждого

автономного канала

регулирования (например, условия критерия Найквиста). Если при этом автоном-

ность абсолютная, то для устойчивости всей МСАР достаточно (при устойчивых

перекрестных связях) устойчивости каждого

сепаратного канала.

2. Если W(

) не является диагональной, то между каналами регулирования

присутствуют перекрестные связи (ПС). Это может быть, в частности, при неточ-

ной реализации условий автономности. Если элементы главной диагонали суще-

ственно больше (

по модулю) всех остальных элементов матрицы и сепаратные

каналы имеют запасы устойчивости, то

возможны случаи, когда степень интен-

сивности («величина») ПС недостаточна для того, чтобы МСАР стала неустойчи-

вой. В подобных случаях перекрестные связи являются

слабыми.

• При выполнении условий «слабости» и устойчивых ПС, МСАР будет устой-

чивой, если будет устойчивым

каждый из сепаратных каналов.

Математические условия слабости ПС – это условия

диагональной доми-

нантности

матрицы возвратных разностей, могут быть сформулированы различ-

ными способами. Наиболее часто их формулируют в частотной области. Приве-

дем без доказательства такие условия в форме, полученной О.С. Соболевым [13].

Перекрестные связи между каналами регулирования считаются слабыми, если

выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:

; ),,0[ ,)(1)( ijWjW

∀∞∈ω∀ω+<

∑

≠

(2.107)

ijWjW

∀∞∈ω∀ω+<

∑

≠

),,0[ ,)(1)( . (2.108)

Для МСАР со слабыми ПС исследование устойчивости упрощается и сводится

к проверке устойчивости каждого из сепаратных каналов и каждой из ПС.

Иногда условия слабости перекрестных связей удобно записывать в другой,

эквивалентной форме с использованием ранее введенных понятий частотных

функций связности (см. формулы (2.73), (2.74)):

; ),,0[ |,)(|)(θ)()(1 ijWjWjW

iii

kiii

∀∞∈ω∀ωω=

∑

ω>ω+

≠

(2.109)

. ),,0[ |,)(|)()()(1 ijWkjWjW

iii

ikii

∀∞∈ω∀ωω=

∑

ω>ω+

≠

(2.110)

Здесь θ

(ω) и k

(ω) − частотные функции связности по входам и по выходам для

разомкнутой МСАР, которые определяются по следующим формулам:

(ω) =

|)(|/|)(|

∑

≠

jWjW

; (2.111)

(ω) =

|)(|/|)(|

∑

≠

jWjW

. (2.112)

Легко показать, что в случае диагонального регулятора МСАР функции связ-

ности по входам θ

(ω) и по выходам k

(ω) для разомкнутой МСАР не зависят от

свойств регулятора. Тогда каждое из условий (2.109) и (2.110) будет зависеть

лишь от свойств соответствующего сепаратного регулятора и объекта в целом, и

не зависит от свойств регуляторов других каналов. Это позволяет выбирать диа-

гональный регулятор так, чтобы выполнялись условия слабости ПС (2.109) и

(2.110) и обеспечивалась устойчивость МСАР.

Достаточной форме критерия устойчивости Найквиста можно придать простое

геометрическое толкование. С этой целью на плоскости для каждого i-го

сепаратного канала построим его годограф Найквиста. Задавая ω=ω

)( ωjW

, определим

величины θ

(ω

)⋅|W

(jω

)| =

. Это будут радиусы круговых областей с центрами

в точках годографа . Семейство круговых областей, ограниченных эти-

ми окружностями задает полосу Гершгорина, внутри которой, как ось, располага-

ется годограф Найквиста для i-го сепаратного канала (рис. 2.31). Если все сепа-

ратные каналы и перекрестные связи устойчивы, а каждая из n полос Гершгорина

не содержит критическую точку (–1, j0), то МСАР будет устойчивой.

)(

kii

jW ω

–1, j0

• ω

•

(jω

)

(jω)

i=1,2, …, n

Рис. 2.31. Геометрический смысл достаточных условий устойчивости МСАР

со «слабыми» перекрестными связями

)

Аналогичный, но несколько более сложный смысл имеет достаточный крите-

рий устойчивости, сформулированный относительно поведения частотных годо-

графов диагональных элементов обратной передаточной матрицы

=)(

–1

(p).

Достаточный критерий в этом случае предполагает, что одновременно диаго-

нально-доминантными при p = jω являются матрицы ) и

E+ :

(

Q (

(2.113)

),(|)(

| |)(

| ω=

∑

ω>ω

≠

ijii

rjQjQ

ω≥0, i =1, 2, …, n. (2.114)

),(|)(

| |)(

1| ω=

∑

ω>ω+

≠

ijii

rjQjQ

Тогда для устойчивости замкнутой МСАР достаточно, чтобы разность меж-

ду суммарными числами оборотов, которые совершают годографы диагональных

элементов

)(

ωjQ

вокруг точки (–1, j0) и вокруг начала координат равнялась r/2,

где r – число «правых» характеристических корней разомкнутой системы. Гео-

метрический смысл этого критерия и особенности применение для синтеза кор-

ректирующих звеньев, обеспечивающих требования к качеству процессов регу-

лирования в каждом канале МСС такие же, как и в предыдущем методе.

Замкнутая МСАР со слабыми связями будет устойчивой в том случае, когда

каждый сепаратный канал и все перекрестные связи устойчивы, а начало коорди-

нат (0, j0) и критическая точка (–1, j0) не попадают в каждую из полос Гершгори-

на, построенных для диагональных элементов

)(

ωjQ

. На рис. 2.32 иллюстриру-

ется пример применения достаточного критерия с использованием обратной пе-

редаточной матрицы разомкнутой МСАР. Если сепаратные каналы и перекрест-

ные связи устойчивы, то в рассматриваемом случае МСАР будет устойчивой.

Рис. 2.32. К исследованию устойчивости МСАР

методом обратных массивов Найквиста

Полосы Гершгорина в этом случае называют обратными массивами Найкви-

ста. Их можно использовать при выборе корректирующих звеньев в составе каж-

дого из сепаратных регуляторов, а также для оценки точности следящих МСАР

при полигармонических воздействиях. Если аналитически установлено выполне-

ние условий доминантности (2.113), (2.114), то нет необходимости наносить по-

лосы Гершгорина, а можно ограничиться построением только частотных годо-

графов для диагональных элементов матрицы

Q .

)(

–1, j0

•

(jω)

(jω

)

•

i = 1, 2, …, n

•

3. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ В МСАР

3.1. Общие понятия о качестве МСАР и способах его оценки

Устойчивость является важнейшим, но недостаточным условием нормального

функционирования МСАР. Кроме свойства возвращаться в невозмущенное со-

стояние (или его окрестность) после прекращения действия возмущений, к виду и

характеру процессов в динамических системах предъявляется ряд дополнитель-

ных требований, связанных с уровнем соответствия этой системы некоторому

эталону. Для МСАР в составе РСУ эталоном (идеалом) является безынерционная

система, обеспечивающая точное воспроизведение требуемого закона изменения

управляемых переменных. Свойство объектов и процессов соответствовать при-

нятому идеалу (эталону) составляет смысл понятия «качество». Для количествен-

ной характеристики степени соответствия эталону используются показатели

(критерии) качества. Значения этих показателей называют оценками качества.

Здесь мы будем говорить о качестве МСАР и процесса управления в ней.

Количество показателей качества МСАР, их вид и физический смысл могут

быть различными. Чем больше используемых для этой цели показателей, тем бо-

лее детально и всесторонне характеризуется процесс управления, однако вектор-

ный характер оценки существенно затрудняет сравнительный анализ и отбор ва-

риантов. При этом некоторые показатели качества могут относиться к переход-

ному процессу, другие – к стационарному режиму работы МСАР, а третьи – ко

всему процессу управления или к системе в целом. Кроме того, возможны не

только прямые, но и косвенные способы оценки качества, которые непосредст-

венно не связанны с графиками управляемого процесса во времени, а основаны на

использовании некоторых других, например частотных характеристик МСАР.

Понятие качества регулирования в МСАР и его оценка являются значительно

более широкими и неоднозначными, чем для односвязных САР.

Как известно, реакция устойчивой линейной МСАР при нулевых начальных

условиях на внешние воздействия имеет две составляющих: а) переходная и б)

вынужденная. Первая из них – это собственная сопровождающая процесса

управления. Характер изменения ее во времени, в основном, определяется собст-

венными свойствами МСАР (нулями и полюсами передаточной матрицы). Вто-

рая, вынужденная составляющая, определяется в основном, видом внешних воз-

действий, но зависит также и от свойств МСАР в стационарных режимах.

Если МСАР устойчивая, то переходная составляющая процесса в ней асимпто-

тически затухает во времени, а полная реакция приближается к вынужденной со-

ставляющей, представляющей собой частное решение уравнений динамики

МСАР. При этом вид вынужденной составляющей, в основном, определяется по-

люсами внешних воздействий.

К каждой из составляющих процесса в МСАР, в зависимости от особенностей

ее применения, предъявляются требования, условия и ограничения, конкретизи-

рующие понятие качества управления. В соответствии с этим можно говорить о

качестве переходных и установившихся (стационарных) режимов в МСАР.

Для оценки степени приближения свойств МСАР к идеалу (эталону) в назван-

ных режимах используют различные виды показателей (критериев) качества

(ПК). Для устойчивой МСАР числовые значения ПК позволяют дать количест-

венную характеристику (меру) качества процесса управления. Их используют при

формулировке требований к точности и к динамике системы, а также при анализе

свойств системы на соответствие этим требованиям. К значениям ПК могут

предъявляться требования (условия) двух видов: а) ограничительные и б) опти-

мизационные. В ограничительных требованиях величина ПК, в зависимости от

его смысла, регламентируется заданным (допустимым) интервалом значений или

одной из границ (верхней или нижней). Суть оптимизационных требований со-

стоит в обеспечении предельно возможного (экстремального) значения показате-

ля качества, который в таких случаях часто называют функционалом качества.

Те из показателей качества управления, которые характеризуют поведение и

величины ошибок регулирования, принято называть показателями точности.

Специфика проблемы оценки качества МСАР

определяется двумя обстоятель-

ствами. Во-первых, требование обеспечить одновременное регулирование не-

скольких режимных переменных многосвязного ОУ приводит к необходимости

вводить для каждой из них показатели точности. Они в совокупности образуют

векторный показатель точности. С другой стороны, подчинение задачи регулиро-

вания некоторой единой цели управления МОУ и взаимная обусловленность ха-

рактеристик поведения этих переменных создает возможность формулировки од-

ного общего показателя, который характеризует свойства системы в целом.

Формулировка обобщенного показателя качества МСАР имеет принципиаль-

ное значение: он позволяет учитывать самые разнородные и противоречивые тре-

бования к системе. При наличии такого единого показателя выбор допустимого

(или лучшего) варианта среди нескольких становится более определенным, т.к.

обычно улучшение характеристик системы по одним показателям приводит к

ухудшению значений каких-то других показателей.

Таким образом, при исследовании МСАР могут рассматриваться ПК двух ви-

дов: а) индивидуальные, характеризующие поведение отдельных переменных и

каналов регулирования и б) общие, отражающие динамику и свойства системы

управления в целом. Кроме того, иногда используются групповые показатели,

относящиеся не ко всем, а только к нескольким (т.е. к группе) переменным.

Применение индивидуальных показателей приводит к необходимости рас-

сматривать составленные из них одномерные или двухмерные массивы (векторы

или матрицы). Это создает определенные неудобства и неоднозначность принятия

решения при исследовании и проектировании МСАР. Выходом из такой ситуации

является применение норм для векторов и матриц в сочетании (при необходимо-

сти) с идеями масштабирования переменных.

Все сказанное выше в равной мере относится как к оценке качества переход-

ных процессов в МСАР, так и к оценке их точности в установившихся режимах.

Очевидно, что изменения во времени управляемых и управляющих перемен-

ных, т.е. процесс управления в МСАР, определяются не только динамическими

свойствами системы, но и видом внешних (например задающих) воздействий. Но

поскольку на этапе проектирования (динамического синтеза) системы точные за-

коны их изменения заранее неизвестны, то для сравнительного анализа качества

различных вариантов МСАР используют либо наиболее нежелательные (неблаго-

приятные), либо, наоборот, наиболее характерные (типовые) виды сигналов. Так,

например, при оценке качества МСАР следящего типа в переходных режимах

обычно выбирается внезапное (ступенчатое) изменение задающих воздействий.

При этом все особенности МСАР в динамических режимах проявляются наиболее

интенсивно, т.к. величины рассогласований (ошибок регулирования) в момент

подачи таких воздействий оказываются наибольшими.

В отличие от этого, для сравнительной оценки точности работы МСАР в уста-

новившихся режимах назначают (в соответствии с условиями конкретного при-

менения) типовые законы изменения во времени задающих сигналов. Это могут

быть, например, следующие виды воздействий:

1. Полиномиальный (степенной).

2. Полигармонический (гармонический).

3. Медленный сигнал с ограничением значений скорости и ускорения.

4. Случайный сигнал с типовым видом статистических характеристик.

3.2. Оценка качества переходных процессов в МСАР

Формально, для оценки качества переходных процессов в МСАР можно рас-

сматривать такие же виды показателей, что и для одномерных САР:

Прямые – параметры графиков переходных функций (перерегулирование,

время регулирования, коэффициент затухания и др.).

Интегральные – простые, улучшенные и обобщенные в виде интегральных

функционалов от переходной составляющей ошибки регулирования и, воз-

можно, от управляющей координаты.

Корневые – параметры области локализации характеристических корней

МСАР.

Частотные – параметры графиков ВЧХ, АЧХ замкнутой системы; АЧХ и

ЛЧХ разомкнутой системы, полоса пропускания, частота среза и др.

Однако векторный характер управляющих и управляемых переменных систе-

мы, а также векторно-матричный вид уравнений динамики и характеристик

МСАР, создает определенную специфику и затруднения при практическом ис-

пользовании названных показателей качества переходных процессов (ПК ПП).

Остановимся подробнее на этих показателях (критериях) и их особенностях.

Прямые показатели качества. Традиционно [10], их принято определять по

матрице переходных функций замкнутой МСАР

h(t)={h

(t)}. Для оценки коле-

бательных свойств системы в переходном процессе по графикам функций h

(t)

может быть составлена матрица положительных перерегулирований

∑ =

}{

, а

затем и одна из норм этой матрицы

об

= ||∑||. Оценить длительность переходно-

го процесса можно, рассматривая обобщенное время регулирования t

р.об

как ин-

тервал, за который норма матрицы

h(t) «попадает» в 5% зону относительно ее

установившегося значения ||

h(∞)||.