Зырянов Г.В. Системы управления многосвязными объектами

Подождите немного. Документ загружается.

Поскольку обращение диагональной матрицы приводит также к диагональной

матрице, то из этого следует диагональность матриц W

–1

(p) и W(p).Таким обра-

зом, из автономности замкнутой МСАР с ЕООС следует автономность разомкну-

той (по цепи обратной связи) системы, и наоборот.

Запишем условие автономности МСАР в эквивалентном виде:

(p) = [W

(p)W

(p)]

= 0 при i ≠ j . (2.77)

Передаточная матрица регулятора W

(p) содержит nxn неизвестных элементов.

Из них

n элементов находятся на главной диагонали, а остальные n(n–1) неиз-

вестных расположены вне этой диагонали. Для обеспечения автономности МСАР

вполне логично недиагональные элементы W

(p) выбирать из n(n–1) условий ав-

тономности разомкнутой системы (2.77), а диагональные элементы W

(p) назна-

чать так, чтобы каждый из разомкнутых автономных каналов имел

требуемые

свойства (желаемый вид передаточной функции):

(p) = )( pW

∗

. (2.78)

Тогда желаемые свойства будут обеспечены и для замкнутых автономных ка-

налов регулирования:

(p) =

)(1

)(

pФ

∗

. (2.79)

Для автономной МСАР det Ф(

∏∏

===

pФ

)(

. Отсюда следу-

ет, что в этом случае характеристический полином МСАР равен произведению

характеристических полиномов автономных каналов

A(p) = A

(p)A

(p)… A

(p).

При этом корни полиномов при перемножении объединяются, и из устойчиво-

сти автономных каналов следует устойчивость всей системы.

Отмеченные выше особенности автономных МСАР позволяют представить

процесс их динамического синтеза в виде следующих двух независимых этапов:

1. Выбор недиагональных элементов передаточной матрицы регулятора, обес-

печивающих свойство автономности каналов регулирования (см. (2.77)).

2. Выбор диагональных элементов передаточной матрицы регулятора, обес-

печивающих выполнение требуемых показателей качества для каждого автоном-

ного канала регулирования (см. уравнения (2.78)).

Такая декомпозиция существенно упрощает задачу синтеза МСАР, но при

этом в общем случае могут возникнуть проблемы, связанные с физической осу-

ществимостью и устойчивостью перекрестных связей в регуляторе, а также, на-

пример в случае простой автономности, и со сложностью расчета сепаратных ре-

гуляторов. Далее эти вопросы будут рассмотрены более подробно.

Условия

односторонней автономности аналогичны, но отличаются тем, что

передаточные матрицы замкнутой и разомкнутой систем должны быть

тре-

угольными

. Соответственно этому, число неизвестных недиагональных элементов

в передаточной матрице регулятора W

(p) уменьшается до значения n(n–1)/2.

2.7.2. Алгоритмы синтеза перекрестных связей в регуляторе МСАР

Свойство автономности МСАР в любой его модификации обеспечивается вве-

дением

специально организованных дополнительных (компенсирующих) перекре-

стных связей (ПС) между каналами регулирования. Таких способов и мест под-

ключения

компенсаторов ПС в МСАР может быть несколько и, в зависимости от

этого, будут различными формулы расчета их передаточных матриц. Кроме того,

вид этих расчетных формул и алгоритм их получения существенно зависит от

способа представления перекрестных связей в МОУ. Обычно рассматривают два

варианта ПС в МОУ:

а) прямые и б) обратные перекрестные связи (см. рис. 2.16).

Основными вариантами подключения

компенсаторов в МСАР являются:

1) прямая цепь; 2) цепь главной обратной связи; 3) цепь задающего сигнала.

При этом возможны следующие три

вида компенсаторов ПС:

Последовательный: а) с прямыми ПС; б) с обратными ПС (рис. 2. 18). Вари-

анты подключения такого компенсатора: 1) до (или после) «диагонального» регу-

лятора; 2) главная обратная связь и 3) цепь задающего сигнала.

II.

Параллельный: компенсатор ПС подключается параллельно «диагонально-

му» регулятору (рис. 2.19,

а).

III.

Встречно-параллельный: компенсатор подключается в местную обратную

связь, охватывающую «диагональный» регулятор (рис. 2.19,

б).

(p)

а)

χ(p)

x(p)

(p)

б)

x(p)

χ(p)

(p)

Рис. 2.18. Последовательный компенсатор: а) с прямыми ПС; б) с обратными ПС

(p)

а)

u(p)

e(p)

(p)

б)

e(p)

y(p)

(p)

Рис. 2.19. Регулятор с параллельным и встречно-параллельным компенсатором

(с прямыми и с обратными перекрестными связями)

На этих рисунках обозначены: R

(p), R

(p) – подлежащие определению пере-

даточные матрицы перекрестных связей, т.е. матрицы с нулевыми главными диа-

гоналями; R

(p) – диагональная передаточная матрица, состоящая из передаточ-

ных функций отдельных (сепаратных) регуляторов; W

(p) – передаточная матри-

ца последовательного компенсатора; W

(p) – передаточная матрица регулятора;

E – единичная матрица. Заметим, что структурные схемы для последовательного

компенсатора получаются из схем, представленных на рис. 2.19 при R

(p)=E.

Кроме того, в результате переноса узла и сумматора в этих схемах, можно полу-

чить схемы регулятора МСАР с последовательным компенсатором на выходе

(рис.2.20) и на входе (рис. 2.21). Поэтому схемы, представленные на рис. 2.19 ис-

пользуются далее как базовые при получении формул для передаточных матриц

компенсирующих ПС.

(p)

а)

χ(p)

e(p)

(p)

б)

e(p)

χ(p)

(p)

Рис. 2.20. Регулятор МСАР с последовательным компенсатором ПС на выходе

(с прямыми и с обратными перекрестными связями)

(p)

а)

u(p)

e(p)

(p)

б)

e(p)

y(p)

(p)

Рис. 2.21. Регулятор МСАР с последовательным компенсатором ПС на входе

(с прямыми и с обратными перекрестными связями)

Рассмотрим методику расчета передаточной матрицы компенсатора ПС на не-

скольких типовых примерах.

А. МСАР с прямыми ПС в регуляторе и в МОУ (рис. 2.22).

(p)

u(p)

e(p)

(p)

y(p)

(p)

Рис. 2.22. Разомкнутая МСАР с прямыми ПС в регуляторе и в МОУ

Здесь W

(p) = R

(p) + R

(p); W

(p) = S

(p) + S

(p); R

(p) = ?. При этом пере-

даточная матрица разомкнутой МСАР W(

p) = W

(p)W

(p).

Пусть L(

p) = [W

(p)]

−1

= L

(p) + L

(p) – обратная передаточная матрица МОУ.

Потребуем, чтобы разомкнутая МСАР удовлетворяла условию автономности

(2.77) т.е. была

диагональной (это отмечено индексом D): W(p) = W

(p).

Запишем следующие очевидные равенства, из которых затем определим ис-

комую передаточную матрицу прямых перекрестных связей в регуляторе R

(p):

(p)=R

(p)+R

(p)=L(p)W(p)=(L

(p)+L

(p))W

(p)=L

(p)W

(p)+L

(p)W

(p).

Отсюда получим систему двух матричных уравнений вида

(p) = L

(p)W

(p); (2.80)

(p) = L

(p)W

(p). (2.81)

Решение этой системы дает искомые выражения для W

(p) и R

(p):

(p) = [L

(p)]

–1

(p); (2.82)

(p) = L

(p) [L

(p)]

–1

(p). (2.83)

Для регулятора с последовательным компенсатором

на выходе и с прямыми

перекрестными связями (см. рис. 2.20,

а), условие автономности разомкнутой (и

замкнутой) МСАР не будет зависеть от

диагонального регулятора, поэтому для

получения R

(p) в формуле (2.83) нужно принять R

(p) = E.

Обсудим полученный результат с точки зрения проблем, возникающих при

реализации автономной МСАР в подобных случаях:

1) из (2.82) следует, что W

(p) ≠ S

(p)R

(p), а значит, свойства автономных ка-

налов регулирования не совпадают со свойствами сепаратных каналов. В этом

случае обеспечивается только

простая двусторонняя автономность и из устойчи-

вости сепаратных каналов, в общем случае,

не следует устойчивость автоном-

ных каналов регулирования;

2) если МОУ устойчивый, но

неминимальнофазовый, то его обратная переда-

точная матрица L(

p) = L

(p) + L

(p) будет иметь неустойчивые полюсы. Это

значит, что в соответствии с (2.83), перекрестные связи в регуляторе окажутся

неустойчивыми. Аналогичный вывод следует и для неустойчивого МОУ, т.к. в

этом случае матрица [L

(p)]

–1

в формуле (2.83) будет иметь «правые» полюсы.

3) в случае инерционного МОУ высокого порядка, для

некоторых элементов

передаточной матрицы R

(p) могут не выполняться условия физической осуще-

ствимости (порядки числителей больше порядков знаменателей). Тогда вместо

полной автономности пытаются обеспечить

приближенную автономность, при ко-

торой условия автономности приближенно выполняются только в диапазоне

ра-

бочих частот

. Вне этого диапазона частотные характеристики для таких элемен-

тов назначаются исходя из условия физической осуществимости.

Б. Многомерный регулятор с прямыми ПС, а МОУ с обратными перекрестны-

ми связями (рис. 2.23).

(p)

u(p)

y(p)

(p)

e(p)

(p)

Рис. 2.23. Разомкнутая МСАР с прямыми ПС в регуляторе и обратными ПС в МОУ

Для определения R

(p) применим ту же методику, что и в предыдущем при-

мере. Сначала запишем выражение для передаточной матрицы разомкнутой

МСАР и потребуем выполнения условия автономности (т.е. диагональности):

p)=W

(p). Далее, из полученной системы матричных равенств найдем R

(p):

[E– S

(p)L

(p)]

–1

(p)[R

(p) + R

(p)] = W

(p);

(p)[R

(p) + R

(p)] = [E – S

(p)L

(p)]W

(p);

(p)+R

(p) = [S

(p)]

–1

(p) – L

(p) W

(p);

(p) = [S

(p)]

–1

(p); R

(p) = – L

(p)W

(p);

(p)= S

(p) R

(p); (2.84)

(p)= – L

(p)S

(p)R

(p). (2.85)

Для регулятора с последовательным компенсатором и с прямыми перекрест-

ными связями на выходе (см. рис. 2.20,

а) условие автономности разомкнутой

(и замкнутой!) МСАР не зависит от свойств диагонального регулятора, поэтому

для получения R

(p) в формуле (2.85) нужно полагать, что R

(p) = E.

Обсудим полученный результат с точки зрения проблем, возникающих при

реализации автономной МСАР в этих случаях:

1) из (2.84) следует, что W

(p) = S

(p)R

(p), а значит, свойства автономных ка-

налов регулирования

совпадают со свойствами сепаратных каналов. В этом слу-

чае обеспечивается абсолютная и двусторонняя автономность, при которой из

устойчивости сепаратных каналов всегда следует устойчивость соответствующих

автономных каналов регулирования;

2) если МОУ устойчивый, но неминимальнофазовый, то обратная передаточ-

ная матрица объекта L(

p) = S

(p) – L

(p) будет иметь неустойчивые полюсы, а

значит, в соответствии с (2.85), перекрестные связи в регуляторе окажутся неус-

тойчивыми; аналогичный вывод следует и для неустойчивого МОУ. Таким обра-

зом, прямые компенсирующие связи в регуляторе можно использовать только то-

гда, когда МОУ является устойчивым и минимальнофазовым.

3) в случае инерционного МОУ высокого порядка, для некоторых элементов

передаточной матрицы R

(p) могут не выполняться условия физической осуще-

ствимости (порядки числителей больше порядков знаменателей). Тогда ПС выби-

раются из приближенных условий автономности для рабочего диапазона частот,

но при этом могут нарушиться условия устойчивости МСАР.

В. Многомерный регулятор с обратными ПС, а МОУ с прямыми перекрестны-

ми связями (рис. 2.24).

(p)

e(p)

(p)

u(p) y(p)

(p)

Рис. 2.24. Разомкнутая МСАР с обратными ПС в регуляторе и прямыми ПС в МОУ

Для определения R

(p) применим ту же методику, что и в предыдущих приме-

рах. Сначала запишем выражение для передаточной матрицы разомкнутой МСАР

и потребуем выполнения условия автономности в виде ее диагональности:

p)=W

(p). Далее, из полученной системы матричных равенств найдем R

(p):

p)=W

(p)W

(p) = [S

(p)+S

(p)][E−R

(p)R

(p)]

–1

(p) =

(p);

(p) + S

(p)=W

(p)[R

(p)]

–1

[E−R

(p)R

(p)] = W

(p)[R

(p)]

–1

−W

(p)R

(p);

(p) = W

(p)[R

(p)]

–1

; S

(p) = −W

(p)R

(p);

(p) = S

(p)R

(p); (2.86)

(p) = −[R

(p)]

–1

(p)]

–1

(p). (2.87)

Полагая в (2.87) R

(p) = E, можно получить передаточную матрицу для обрат-

ных ПС в последовательном компенсаторе, включенном на выходе диагонального

регулятора. Из (2.86) следует, что в этих случаях имеет место

абсолютная авто-

номность. Кроме того, МОУ обязательно должен быть не только устойчивым, но

и минимальнофазовым, т.е. его передаточная матрица W

(p) не должна иметь ну-

лей и полюсов в правой полуплоскости.

Расположением последовательного компенсатора в цепи главной обратной

связи можно обеспечить выполнение условий инвариантности (автономности) по

отношению к выходам этого компенсатора y

(t), которые затем подлежат сравне-

нию (вычитанию) с задающими сигналами. Методика получения прямых или пе-

рекрестных связей в таком компенсаторе такая же, как и в приведенных выше

примерах. Покажем это на примере последовательного компенсатора с прямыми

ПС, когда перекрестные связи в МОУ обратные (рис. 2.25).

Для получения передаточной матрицы перекрестных связей R

(p) из условия

автономности, запишем передаточную матрицу разомкнутого контура регулиро-

вания W(

p) = W

(p)R

(p) и потребуем, чтобы она была диагональной. Но так как

регулятор диагональный, то достаточно обеспечить диагональность передаточной

матрицы W

(p) = W

ос

(p)W

(p).

(p)

u(p)

(p)

y(p) y

(p)

e(p)

Рис. 2.25. Последовательный компенсатор с прямыми ПС в цепи главной ОС МСАР

Указанным выше действиям соответствуют следующие выражения:

(p) = [E+R

(p)][E−S

(p)L

(p)]

–1

(p) = W

(p);

E+R

(p) = W

(p)

(p)]

–1

[E−S

(p)L

(p)] = W

(p)[S

(p)]

–1

− W

(p)L

(p);

E= W

(p)[S

(p)]

–1

; W

(p) = S

(p); W(p) = W

(p)R

(p) = S

(p) R

(p); (2.88)

(p) = − W

(p)L

(p) = − S

(p)L

(p). (2.89)

При таком способе включения компенсатора получим абсолютную автоном-

ность каналов регулирования, но только относительно выхода

(t), а не y(t).

Здесь, как и ранее, МОУ должен быть устойчивым и минимальнофазовым.

Замечание. В случае двухмерной САР, когда число перекрестных связей в ком-

пенсаторе невелико, их передаточные функции легко получить на основе принци-

па двухканальности Б.Н. Петрова [10]. Покажем это на примере МСАР с парал-

лельным компенсатором. Для этого рассмотрим детализированную до уровня од-

номерных звеньев структурную схему разомкнутой МСАР (рис. 2.26).

(p)

Рис. 2.26. К расчету компенсатора ПС на основе принципа двухканальности

Передаточную функцию прямой перекрестной связи R

(p) определим из усло-

вия равенства нулю

суммы передаточных функций двух каналов распространения

сигнала

(p) до второго выхода МОУ y

(p):

(p)S

(p) + R

(p)S

(p) = 0; R

(p)= – R

(p)S

(p)/S

(p). (2.90)

Аналогично определим передаточную функцию

(p):

(p)S

(p) + R

(p)S

(p) = 0; R

(p)= – R

(p)S

(p)/S

(p). (2.91)

Из этих формул видно, что для неустойчивого и/или неминимальнофазового

МОУ компенсирующие связи будут неустойчивыми. Кроме того, из рис. 2.26

следует, что

(p) = R

(p)S

(p) + R

(p)S

(p) ≠ R

(p)S

(p).

Аналогично этому и

(p) ≠ R

(p)S

(p). А это значит, что свойства автоном-

ных каналов регулирования отличаются от свойств сепаратных каналов и авто-

номность

не будет абсолютной. Тот же результат можно получить и по матрич-

ной формуле (2.83).

2.8. Исследование устойчивости многосвязных САР

Под устойчивостью МСАР понимается свойство системы возвращаться в

прежнее (невозмущенное), состояние после окончания действия возмущений. Та-

ким состоянием может быть либо состояние покоя, либо состояние невозмущен-

ного движения, соответствующее некоторому режиму работы МСАР.

Для любой линейной стационарной, в том числе и для многосвязной САР из-

вестно несколько

эквивалентных определений свойства устойчивости. Поэтому

при исследовании МСАР, в зависимости от вида располагаемой информации и

имеющихся в распоряжении инструментальных и программных средств, можно

пользоваться наиболее подходящим видом такого определения.

Предположим, что линейная МСАР

полностью управляема и наблюдаема (т.е.

не содержит вырожденной части). Тогда ее реакцию y(

t) на любое внешнее воз-

действие можно представить суммой

переходной и вынужденной составляющих:

t) = y

(t) + y

(t).

В таком случае для устойчивой МСАР выполняются следующие необходимые

и достаточные условия, каждое которых может быть использовано, при необхо-

димости, в качестве определения ее асимптотической устойчивости.

1. Переходная составляющая реакции y

(t) → 0;

2. Полная реакция y(

t) → y

(t);

3. Весовая матрица w(

t) → 0;

4. Переходная матрица h(

t) → сonst;

5. Для

всех характеристических корней Re p

< 0.

При этом условия 1 – 4 фактически являются следствиями последнего (пятого)

условия для характеристических корней. Если эти условия не выполняются, то

МСАР либо неустойчивая, либо находится на колебательной или апериодической

границе устойчивости.

Хотя принципиальных отличий в определениях устойчивости для многосвяз-

ных и одномерных САР нет, но имеются особенности методов ее исследования

для МСАР, связанные с размерностью и с формой представления математических

описаний. Поэтому остановимся на некоторых из них более подробно.

2.8.1. Формы записи характеристического полинома и уравнения МСАР

Для одномерных САР проблема, связанная с получением характеристического

полинома возникает только в случае сложной и многоконтурной структуры сис-

темы, когда получение передаточной функции для нее затруднено. Рассмотрим

эту задачу для МСАР при различных вариантах задания исходных данных.

♦Известно матричное уравнение «вход – выход» для замкнутой МСАР

D)y(t) = P(D) y*(t). (2.92)

Характеристическое уравнение, корни которого определяют устойчивость и

качество процесса управления, в этом случае имеет вид

det Q(

p) = 0. (2.93)

♦Известна передаточная матрица Ф(p) для замкнутой МСАР относительно

вектора задающих воздействий y*(

t). Тогда, в соответствии с (2.92) можно запи-

сать выражение для Ф(

p) = Q

–1

(p)P(p). При этом определитель передаточной мат-

рицы МСАР |Ф(

p)| = |P(p)|/|Q(p)|. Полюсы ПМ Ф(p) будут являться характеристи-

ческими корнями МСАР. Но так как |Ф

–1

(p)| = |Q(p)|/|P(p)|, то характеристическое

уравнение замкнутой МСАР можно записать следующим образом:

det Ф

–1

(p) = 0. (2.94)

Представление о характеристических корнях, но без учета их кратности можно

получить, рассмотрев множество полюсов для всех элементов Ф

(p) передаточной

матрицы Ф(

p).

♦Известны уравнения состояния замкнутой МСАР

).()(

),()(

DCxy

BAxx

(2.95)

В этом случае характеристические корни МСАР представляют собой собст-

венные значения матрицы A, т.е. корни характеристического уравнения

det (

pE – A) = 0.

♦Известна передаточная матрица W(p) разомкнутой МСАР в структуре с еди-

ничной отрицательной обратной связью.

Тогда Ф

−1

(p) = W

−1

(p)[E+W(p)] = E+W

–1

(p) и из (2.94) следует формула для

получения характеристического уравнения замкнутой МСАР

det [E+W(

p)] = 0. (2.96)

Выражение E+W(

p) называют матрицей возвратных разностей. Ее опреде-

литель

представляет собой дробно-рациональную функцию H(p), в числителе ко-

торой – расположен характеристический полином

(p) для замкнутой МСАР, а в

знаменателе – характеристический полином

(p) для разомкнутой МСАР:

H(p) = ϕ

(p)/ϕ

(p). (2.97)

Эта особенность функции

H(p) используется далее для получения обобщенно-

го

критерия Найквиста при исследовании устойчивости замкнутой МСАР.

Справедливость (2.97) следует из следующих уравнений замкнутой МСАР:

D)y(t) = P(D)ε(t); ε(t) = f*(t) – y(t);

[Q(

D) + P(D)]y(t) = P(D)*f(t).

Тогда |Q(

p)| = ϕ

(p) – характеристический полином разомкнутой МСАР, а

|Q(

p)+P(p)| = ϕ

(p) – характеристический полином замкнутой МСАР. Поскольку

при этом W(

p) = Q

–1

(p)P(p), то

det [E+W(

p)] = |E+Q

–1

(p)P(p) | = |Q (p)+P(p)|⋅| Q

–1

(p)| = ϕ

(p)/ϕ

(p) = H(p).

♦Известна унифицированная структурная схема МСАР (см. рис. 2.12) и пере-

даточные матрицы всех ее блоков. Тогда передаточная матрица замкнутой МСАР

имеет вид (2.44):

Ф(

p) = S

[E − W*(p)R

]

–1

W*(p)R

+ S

Здесь W*(

p) – блочно-диагональная матрица, элементами которой (блоками)

на главной диагонали являются передаточные матрицы отдельных МДЗ, обра-

зующих МСАР; R

, R

, S

– числовые матрицы, представляющие собой клетки

таблицы связей (см. табл. 2.3).

При этом полюсами элементов передаточной матрицы Ф(

p), т.е. характери-

стическими корнями, будут корни уравнения

det [E−W*(p)R

] = 0. (2.98)

Здесь матрица E−W*(p)R

– это аналог рассмотренной ранее матрицы воз-

вратных разностей. Ее определитель также является дробно-рациональной функ-

цией, в числителе которой, аналогично (2.97), будет характеристический полином

(p) для замкнутой МСАР, а в знаменателе – характеристический полином ϕ

(p)

для

разомкнутой по всем связям (т.е. при R

= 0) системы:

H(p) = ϕ

(p)/ϕ

(p). (2.99)

Эта особенность функции

H(p) может быть использована для исследования ус-

тойчивости МСАР с произвольной структурой.

♦Если для каждого i-го МДЗ в составе МСАР известны уравнения «вход-

выход»: Q

(D)y

(t) = P

(D)r

(t), то W*(p) = [Q*(p)]

−1

P*(p), где Q*(p) = diag{Q

(p)}

и P*(

p) = diag{P

(p)} – блочно-диагональные полиномиальные матрицы. Тогда из

(2.98) можно получить выражение для характеристического уравнения в виде

det [Q*(

p) − P*(p)R

] = 0. (2.100)

2.8.2. Методы и критерии исследования устойчивости МСАР

Известно несколько подходов, используемых при исследовании устойчивости

линейных стационарных МСАР. Все их можно разделить на две группы. В пер-

вую входят

прямые методы, которые основаны на непосредственной проверке

любого из пяти сформулированных ранее необходимых и достаточных условий

асимптотической устойчивости МСАР. Очевидно, что все они требуют предвари-

тельного нахождения решений дифференциальных уравнений при известных (ти-

повых) воздействиях, либо определения характеристических корней МСАР. Не

останавливаясь на проблемах такого подхода, отметим

вторую группу методов,

не требующую нахождения таких решений. Они основаны на более простых про-

верках некоторых условий (правил) для коэффициентов ММ МСАР, либо для час-

тотных характеристик или других частотно-зависимых функций. Такие правила и

условия, используемые для анализа устойчивости, называют

критериями устой-

чивости

, а методы их применения – критериальными методами. Эти критерии и

методы, в свою очередь, делятся на алгебраические и частотные. Первые из них

(алгебраические) подразделяются на

коэффициентные и матричные. Для при-

менения коэффициентных критериев устойчивости необходимо располагать вы-

ражением для характеристического полинома МСАР. Для применения матричных

критериев в качестве исходных данных используется матрица А в уравнениях со-

стояния МСАР. Частотные критерии устойчивости МСАР требуют для своего

применения графики специальных частотно-зависимых функций, либо некоторые

частотные характеристики каналов регулирования. Наиболее известными среди

них являются критерий Михайлова и Найквиста. Дадим краткую характеристику

названных критериев и схем их применения.

♦Коэффициентные методы. Предположим, что для исследуемой МСАР из-

вестны значения всех коэффициентов характеристического уравнения

A(p) = 0:

+ α

p + α

+ α

+ … + α

= 0; (2.101)

В этом случае единственной отличительной особенностью МСАР по сравне-

нию с одномерными системами является гораздо более высокий порядок

N по-

линома

A(p). Именно с этим обстоятельством и связаны все трудности получения

достаточно точных значений коэффициентов уравнения (2.101) и формального

применения критериев устойчивости Рауса, Гурвица, Льенара–Шипара.

♦Матричный метод. Предполагается, что для МСАР известна матрица ди-

намики А в уравнениях состояния (2.95). Это позволяет записать характеристиче-

ское уравнение исследуемой системы в следующем виде:

pE–A| = 0. (2.102)