Зырянов Г.В. Системы управления многосвязными объектами

Подождите немного. Документ загружается.

y={y

} и многомерным оператором преобразования A

, который устанавливает

правило преобразования входных сигналов в выходные. В общем случае этот

оператор может быть линейным и нелинейным, стационарным и нестационарным,

непрерывным и дискретным. Соответственно меняется и название (тип) МДЗ.

Будем сначала рассматривать непрерывные МДЗ с оператором A

, который

определен (т.е. имеет смысл) для функций непрерывного аргумента t (время):

: u(t)→ y(t) или y(t) = A

{u(t)}. (2.3)

При этом

={A

} имеет вид столбца, элементы которого A

устанавливают

правило преобразования вектора входа u(t) в координату выхода y

(t).

По свойству суперпозиции для линейного непрерывного МДЗ можно записать:

)}({)( tuty

∑

= A , j = 1…n. (2.4)

В векторно-матричных обозначениях это выражение будет иметь следующий

вид:

y(t) = A

{u(t)}, где A

= { } − матрица линейных непрерывных операторов

(матричный оператор), размер которой равен n

xm.

Оператор преобразования МДЗ

может быть задан явно (формулой) и неяв-

но − одним или несколькими функциональными уравнениями различного типа.

Для линейного непрерывного МДЗ каноническими формами неявного задания

оператора преобразования

являются следующие:

1. Уравнения "вход-выход"

, (2.5)

nituDPtyDQ

jij

,,2,1 ,)()()()(

∑∑

где Q

(D) и P

(D) – полиномы степеней n

и m

относительно оператора диффе-

ренцирования по времени

D =

. Эти уравнения можно записать в более ком-

пактном векторно-матричном виде

Q(D)y(t) = P(D)u(t), (2.6)

где

Q(D) и P(D) − полиномиальные матрицы размеров nxn и nxm соответственно.

Порядок N математической модели МДЗ в этом случае определяется как сумма

порядков по каждой выходной переменной, т.е. N = ∑n

при i = 1, 2, ..., n.

2. Уравнения состояния МДЗ (только для физически осуществимых звеньев):

).()(

),()(

DuCxy

BuAxx

(2.7)

Здесь

x={x

}

Nx1

– вектор состояния МДЗ. При этом физическая природа и спо-

соб выбора переменных состояния могут быть различными, и они определяют

базис в N-мерном пространстве состояний. Обычно их назначают как выходы

интеграторов в детализированной схеме моделирования уравнений (2.5), либо

специальным образом из условия простоты решения (2.7). Для инерционных

МДЗ, у которых отсутствует безынерционная связь выхода и входа, матрица

D=0.

Дифференциальные уравнения "вход-выход" (2.5) получают в результате тео-

ретического рассмотрения и описания процессов в соответствующем многомер-

ном блоке после исключения в исходной математической модели всех промежу-

точных переменных кроме координат векторов входа и выхода.

• Реакция линейного МДЗ при некоторых начальных условиях и произволь-

ном входе

u(t) определяется общим решением уравнения (2.6) и имеет вид

y(t) = y

(t) + y

(t). (2.8)

Здесь

(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения (без

правой части). Его называют также свободной составляющей выхода МДЗ;

(t) – некоторое частное решение неоднородного уравнения (2.6).

Вид общего решения

(t) существенно зависит от типа, кратности и располо-

жения на комплексной плоскости корней p

характеристического уравнения МДЗ

det

Q(p) = a

+ a

p +...+ a

= 0. (2.9)

Так, например, в случае простых (некратных) характеристических корней p

формула для свободной составляющей

(t) имеет следующий вид:

(t) = , (2.10)

∑

где

– векторные константы, зависящие от начальных значений выходных ко-

ординат и их производных, а также от вида частного решения

(t).

Выбор частного решения

(t) и формы его записи является неоднозначным.

Поскольку закон изменения во времени для вектора входа

u(t), как правило, зара-

нее неизвестен, то удобно

(t) записывать в общем виде для случая нулевых на-

чальных условий в форме интегрального преобразования:

(t)= . (2.11)

∫

)(),(

τττ

Здесь

),(

= {w

(t,τ)}={ {δ(t–τ)}} – ядро интегрального оператора, которое в

теории МСАР называют матрицей весовых функций (весовой матрицей) МДЗ.

Для стационарного МДЗ вид реакций на приложенное воздействие не зависит

от момента времени

τ, в который начинает действовать внешний сигнал. Поэтому

w(t,

τ) = w(t–τ) и формулу (2.11) можно записать так:

(t) = .

∫

⊗=−

ttdt

)()()()( uw

τττ

Здесь w(t)={w

(t)} – весовая матрица МДЗ при τ=0. Физический смысл ее состоит

в том, что каждый k-й ее столбец представляет собой реакцию МДЗ на входное

воздействие u

(t)=δ(t), подаваемое (при нулевых начальных условиях!) только на

один вход с номером k. Отсюда следует, что w(t)=0 при t<0. Это выражение из-

вестно как условие физической реализуемости стационарного МДЗ.

С учетом (2.11) полная реакция стационарного МДЗ на внешнее воздействие

u(t) при произвольных начальных условиях запишется в следующем виде:

y(t) =

∑

∫

. (2.12)

−

)()(

τττ

Здесь первое слагаемое соответствует нулевым входным сигналам (u(t) = 0) и

представляет собой свободную реакцию (движение) МДЗ за счет ненулевых на-

чальных условий. Если начальные условия нулевые, то все C

= 0 и свободная со-

ставляющая реакции звена в (2.12) будут равны нулю, а y(t) = y

(t).

Линейное МДЗ называется устойчивым, если свободная составляющая полной

реакции на внешнее воздействие y

(t) затухает, т.е. асимптотически стремится к

нулю. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости

МДЗ, как и для одномерных линейных звеньев, является отрицательность вещест-

венных частей для всех характеристических корней: Re p

< 0. В противном слу-

чае МДЗ будет либо неустойчивым (при наличии «правых» корней), либо нахо-

дится на границе устойчивости (нет правых корней, но есть хотя бы один корень,

расположенный на мнимой оси комплексной плоскости p).

Из физического смысла весовой матрицы и понятия устойчивости, как свойст-

ва динамических звеньев и систем возвращаться в прежнее (невозмущенное) со-

стояние после окончания действия возмущения, следует, что весовая матрица

асимптотически устойчивого линейного МДЗ стремится к нулевой матрице:

∞→

)(lim t

Если ММ МДЗ не содержит вырожденных частей (неуправляемых и ненаблю-

даемых), то весовая матрица характеризует (во временной области) как собствен-

ные, так и преобразовательные свойства МДЗ. Она позволяет судить об устойчи-

вости МДЗ и его физической реализуемости, о характере переходных процессов, а

также дает возможность определять выход МДЗ при заданном входе u(t) (при ну-

левых начальных условиях) по формуле, известной как интеграл свертки:

y (t) = y

(t) = = A

∫

⊗=−

ttdt

)()()()( uw

τττ

{u(t)}. (2.13)

Это выражение в явном виде задает оператор преобразования

линейного

МДЗ, находящегося в покое до подачи внешнего воздействия.

Ещё одной характеристикой свойств МДЗ во временной области является мат-

рица переходных функций h(t) (переходная матрица). Формально она определя-

ется как интеграл от весовой матрицы. Тогда весовая матрица будет равна произ-

водной по времени от переходной матрицы:

h(t)= ;

∫

)(

ττ

).()( t

h=w

(2.14)

Физический смысл переходной матрицы более понятен, т.к. рассматриваются

реакции МДЗ на единичное ступенчатое воздействие u(t) = 1(t): при подаче такого

сигнала на вход МДЗ с номером k, на выходах звена будет наблюдаться k-й

столбец матрицы h(t). При этом, исходя из принципа причинности, h(t)=0 при t<0

(условие физической реализуемости). Для устойчивого МДЗ h(t) будет асимпто-

тически приближаться к некоторой постоянной матрице, так как ее производная –

весовая матрица стремится к нулю. Кроме того, с переходной матрицей h(t) свя-

зывают условие физической осуществимости, как требование отсутствия в соста-

ве ее элементов разрывов второго рода (δ-функций времени и их производных).

• При задании оператора

линейными уравнениями состояния (2.7), их об-

щее решение относительно выхода y(t) (т.е. реакция МДЗ) имеет следующий вид:

∫

τττ−δ++=

τ−

dteet

)(

)()}({)0()( uDBCxCy

. (2.15)

В этой формуле второе слагаемое (интеграл) представляет собой частное ре-

шение уравнений состояния МДЗ, соответствующее нулевым начальным услови-

ям x(0)=0 (реакция находящегося в покое звена на входное воздействие u(t)), а

первое слагаемое – это свободная составляющая решения, вызванная ненулевыми

начальными условиями для вектора состояния при u(t)=0. Полагая здесь x(0)=0 и

сравнивая с (2.12), получим формулу для весовой матрицы МДЗ:

w(t) = . (2.16)

)(te

δ+ DBC

Кроме описаний и характеристик многомерного линейного стационарного

звена во временной области, часто рассматривают его описания и характеристики

в комплексной и частотной областях. Для этой цели используют интегральное

преобразование Лапласа и одностороннее преобразование Фурье.

Так, переходя в (2.12) к изображениям Лапласа при нулевых начальных услови-

ях, получим формулу связи изображений векторов выхода и входа МДЗ:

y(p) = W(p)u(p). (2.17)

Здесь W(p) =

£{w(t)} = {W

(p)}

− передаточная матрица МДЗ, элементы ко-

торой являются передаточными функциями для различных пар вход-выход. На-

пример, W

(p) – это передаточная функция канала передачи воздействия от j-го

входа до i-го выхода. Если для МДЗ известны матричные коэффициенты A, B, C

и D в уравнениях состояния (2.7), то передаточная матрица W(p), с учетом (2.16),

определится по формуле

W(p) =

£{w(t)} = DBAEC +−

−

][ p . (2.18)

Выражению (2.17) соответствует структурное представление МДЗ на рис. 2.6.

W(p)

u(p)

y(p)

Рис. 2.6. Структурное представление МДЗ

Передаточную матрицу МДЗ можно получить также из уравнения (2.6), пере-

ходя к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях. Определяя из

него y(p) и сравнивая его с (2.17), получим еще одно выражение для передаточ-

ной матрицы линейного многомерного (многосвязного) динамического звена:

W(p) = Q

–1

(p)P(p). (2.19)

Из-за наличия сомножителя Q

–1

(p) в этом выражении, все элементы переда-

точной матрицы W

(p) имеют дробно-рациональный вид, а их полюсы будут кор-

нями уравнения det Q(p)=0 (т.е. характеристическими корнями). Но при этом мо-

жет оказаться, что в результате алгебраических преобразований и сокращений

одинаковых множителей в числителях и знаменателях дробных выражений, не все

характеристические корни p

войдут в число полюсов элементов W

(p) передаточ-

ной матрицы. По этой же причине, коэффициенты кратности полюсов в W

(p)

могут не совпадать с коэффициентами кратности соответствующих характеристи-

ческих корней. Очевидно, что часть информации о свойствах МДЗ при подобных

сокращениях теряется, и передаточная матрица в таких случаях не будет являться

полной характеристикой динамических свойств многомерного звена.

Условие физической осуществимости МДЗ применительно к его переда-

точной матрице состоит в том, чтобы все ее элементы W

(p) имели порядок зна-

менателя не меньше порядка числителя. Только в этом случае элементы переход-

ной матрицы h

(t) будут ограничены и не содержат δ-функций и их производных.

Отметим следующую особенность преобразования Лапласа: умножение чис-

лителя и знаменателя изображения F(p) на произвольный полином R(p) не меняет

функции оригинала f(t). Поэтому различным передаточным матрицам может со-

ответствовать одна и та же весовая матрица w(t)= £

–1

(p)}, где W

(p) – переда-

точная матрица «невырожденной» части математической модели МДЗ, получен-

ная с учетом всех возможных алгебраических сокращений. Отсюда следует так-

же, что передаточная матрица при наличии несокращенных, но одинаковых нулей

и полюсов в элементах W

(p), будет более информативной характеристикой

свойств МДЗ, чем его весовая матрица. В частности это касается порядка МДЗ и

некоторых его свойств (например, устойчивости), связанных с наличием пар сов-

падающих нулей и полюсов (диполей), расположенных в правой полуплоскости.

Преобразовательные свойства линейных МДЗ и их соединений удобно изу-

чать, рассматривая частотные характеристики (ЧХ), такие как частотная пере-

даточная матрица (ЧПМ), матрицы амплитудно-частотных (АЧХ), фазо-

частотных характеристик (ФЧХ) и др.

Частотную передаточную матрицу МДЗ W(jω) получают из W(p) формаль-

ной подстановкой p = jω. При этом W

(jω) – это обычная частотная передаточная

функция канала передачи сигнала от j-го входа до i-го выхода. Соответственно

этому можно рассматривать матрицы АЧХ и ФЧХ:

(ω)={Mod W

(jω)}

; ϕ

(ω) = {arg W

(jω)}

Как и в одномерном случае, при построении графиков ЧХ для W

(jω) можно

использовать не линейные, а логарифмические масштабы по осям координат.

• Для МДЗ можно обобщить все понятия одномерного линейного анализа (ус-

тойчивость, свойство минимальной фазы, модальное представление, управля-

емость и наблюдаемость). Кроме того, вводятся и некоторые новые понятия.

Непрерывное многомерное звено называется минимальнофазовым, если все

нули и полюсы его передаточной матрицы W(p) расположены в левой полуплос-

кости. Иначе МДЗ будет неминимальнофазовым.

Полюсы W(p) – это множество комплексных чисел {p

}, образованное объе-

динением корней знаменателей (полюсов) всех элементов W

(p) в составе переда-

точной матрицы. Как отмечалось ранее, они, с точностью до коэффициентов

кратности, входят в множество характеристических корней МДЗ.

Нулями передаточной матрицы W(p) являются те значения p=p

, при которых

происходит понижение ранга матрицы W(p). Очевидно, что если все элементы

столбца (или строки) имеют одинаковый нуль p=p

, то он обязательно будет ну-

лем передаточной матрицы. В том случае, если W(p) – квадратная матрица (коли-

чество входов и выходов МДЗ одинаково), то ее нули определяются как корни

следующего уравнения: det W(p)=0. В нулях передаточная матрица вырождается.

Если все элементы W

(p) квадратной передаточной матрицы имеют вид дроб-

но-рациональных выражений, то ее определитель представляет собой отношение

полиномов: det W(p) = M(p)/N(p). При этом МДЗ будет минимально-фазовым, ес-

ли все нули и полюсы этого определителя (при отсутствии сокращений!) распо-

лагаются в левой полуплоскости.

Необходимо отметить, что свойство минимальной фазы в общем случае может

оказаться не связанным с нулями элементов W

(p) передаточной матрицы, а будет

определяться взаимодействием каналов в МДЗ.

• В отличие от одномерного случая, нули передаточной матрицы W(p) харак-

теризуются не только их геометрическим расположением на комплексной плос-

кости, но также и тем, что с каждым из них связывается два вектора:

а) нуль-вектор входа U

W(p

= 0; (2.20)

б) нуль-вектор выхода V

W(p

) = 0. (2.21)

Математический смысл U

V состоит

в том, что они являются правым и

левым собственными векторами для вырожденной комплексной числовой мат-

рицы W(p ), которые соответствуют ее нулевому собственному значению λ =0.

Но так как |W(p )| = 0, то у этой матрицы всегда есть такое нулевое собственное

значение и соответствующие ему правый U и левый собственные векторы.

Они определяются с точностью до постоянного множителя и задают определен-

ные «направления» в пространстве входов и выходов.

k k

Для пояснения физического смысла нуль-векторов рассмотрим вспомогатель-

ные схемы, изображенные на рис. 2.7, где α − произвольный числовой вектор.

W(p)

y(t)

W(p)

y(t)

Рис. 2.7. К пояснению смысла нуль-векторов входа а) и выхода б)

б)

z(t)

Убедимся в том, что вынужденные составляющие выходов для каждой этих

схем при указанных входах будут нулевыми. Для этого сначала определим изо-

бражения Лапласа для выходов y(p) и z(p). Тогда y

вын

(t) и z

вын

(t) будут равны, со-

ответственно, вычетам выражений y(p)e

и z(p)e

в полюсе p=p

изображения

входного сигнала. При этом учтем свойства (2.20) и (2.21):

.0)(

)()(lim)(

;)(

)()(lim)(

1вын

11вын

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

→

epe

ppptz

epe

pppt

αWVαWV

0UWUWy

(2.22)

Первое из этих равенств показывает, что МДЗ обладает свойством селектив-

ной инвариантности по отношению к сигналу u(t)=

. Это особенно неже-

лательно тогда, когда нуль матрицы p

=0. В этом случае МДЗ будет статически

вырожденным относительно режима, когда u(t) = U

= const. Очевидно, что такой

режим не должен входить в число возможных статических режимов МДЗ. Одной

из причин статической вырожденности может быть неправильное назначение

прямых (сепаратных) каналов и перекрестных связей в МОУ на этапе его струк-

туризации, а также наличие некоторой (внешней для МОУ) функциональной за-

висимости между выходными переменными.

Второе из равенств (2.22) показывает, что сигнал вида y(t) = на

выходе многомерного звена не может быть измерен в «направлении» нуль-

вектора выхода. Это будет и тех случаях, когда p

ep αW )(

=0, а y(t) = W(0)α = const при

произвольном значении α. Такие статические режимы на выходе многосвязного

объекта управления (МОУ) не измеряются в «направлении» вектора

При обнаружении вырожденности МОУ задачу регулирования нужно пере-

формулировать, по-другому назначив сепаратные каналы и перекрестные связи.

• Ряд других свойств и особенностей МДЗ связан с полюсами его передаточ-

ной матрицы W(p). Это значения p = p

, являющиеся полюсами, т.е. корнями

знаменателей элементов W

(p). Они входят в множество характеристических кор-

ней МДЗ, но в общем случае не исчерпывают его по причине возможных алгеб-

раических сокращений. Т.е. некоторые характеристические корни могут не яв-

ляться полюсами W(p) или могут отличаться от них коэффициентами кратности.

Отметим также то, что полюсы квадратной передаточной матрицы совпадают

с нулями ее обратной матрицы так как

det W(p) = 1/det

–1

(p)}. (2.23)

Свойство устойчивости МДЗ связано с расположением полюсов p

элементов

(p) передаточной матрицы W(p): все они должны лежать в левой полуплоско-

сти (ЛПП). Но в отличие от одномерного звена, их кратность и количество не да-

ет ответа на вопрос о кратности соответствующих и равных им по значению ха-

рактеристических корней, а значит и о порядке МДЗ. Так, например, даже в слу-

чае простого полюса, кратность r

соответствующего ему характеристического

корня p

будет равна рангу матрицы G

, представляющей собой вычет матрицы

W(p) в ее полюсе p= p

= (p − p

pp→

lim

)W(p); r

= rank G

. (2.24)

При этом порядок N невырожденной (несокращаемой) части многомерного

звена будет равен сумме рангов этих матричных вычетов:

N =

∑

. (2.25)

• С полюсами МДЗ связана так называемая модальная форма его передаточ-

ной матрицы, являющаяся матричным обобщением формулы разложения дробно-

рациональных выражений на сумму элементарных дробей. В случае простых по-

люсов и характеристических корней p

эта формула будет иметь следующий вид:

W(p) =

BWCBCG

)(

)()(

ppppp

kkk

∗

−

∑∑

=−=−

. (2.26)

Здесь для матрицы G

, имеющей (по условию) ранг r

=1, использовано представ-

ление ее в виде произведения матрицы-столбца С

и матрицы-строки BB

, а затем,

для краткости записи, обозначено:

=[C

…C

];

= colon {BB

}; }){(diag)(

1−

∗

−=

pppW . (2.27)

В соответствии с формулой (2.26) на рис. 2.8 изображена модальная структу-

ра МДЗ для случая некратных характеристических корней. Если корни p

крат-

ные, то модальное представление МДЗ будет существенно более сложным [13].

…

–1

…

u(t)

y(t)

Мод. звено 1

Мод. звено N

Мод. звено i

Рис. 2.8. Модальная структура МДЗ (случай простых корней)

Элементы этой структуры в виде одномерных контуров с обратными связями

называются модальными звеньями. Они определяют внутренний "механизм"

МДЗ. Матрицы

составлены, соответственно, из строк BB

и столбцов C

Собственные динамические свойства МДЗ полностью определяются модаль-

ными контурами, каждый из которых связан с определенным характеристическим

корнем (модой). При этом взаимодействие различных пар вход-выход зависит от

числовых матриц

. Из схемы видно, что при наличии нулевых блоков в со-

ставе матрицы

, некоторые модальные звенья будут недоступны для управления

с помощью вектора входа u(t). Аналогично этому, при наличии нулевых блоков в

составе матрицы

, выходы некоторых модальных звеньев не участвуют в фор-

мировании вектора выхода y(t). Это соответствует случаям неполной управляемо-

сти или неполной наблюдаемости МДЗ.

♦Методы современной теории управления используют математические мо-

дели динамических систем в виде уравнений состояния. Для линейных стацио-

нарных МДЗ их обычно записывают в канонической форме:

).()(

),()(

DuCxy

BuAxx

(2.28)

При анализе и синтезе МСАР современными методами базис пространства со-

стояний может выбираться наиболее удобным для формального решения задачи.

Это соответствует различным способам выбора (назначения) переменных состоя-

ния. Тогда и матричные коэффициенты A, B, C, D в уравнениях (2.28) соответст-

вующим образом будут изменяться и могут принять некоторый специальный вид.

Например, матрица А может оказаться блочной или диагональной.

Легко показать, что при смене базиса все характеристики вход-выход МДЗ

(передаточная, весовая и переходная матрицы, частотные характеристики), а так-

же характеристические корни не меняются. Иначе говоря, они являются инвари-

антными к выбору базиса и переменных состояния. Покажем это, переходя в

уравнениях (2.28) от вектора "старых" переменных состояния x к вектору "но-

вых" переменных состояния

с помощью линейного неособого преобразования с

матрицей Т:

= Tx. Тогда, выражая отсюда x = T

–1

, после простых преобразо-

ваний запишем уравнения состояния МДЗ в эквивалентном виде:

),(

)(

),(

)(

uDxCy

uBxAx

(2.29)

где

= T

–1

AT,

= T

–1

B, C

= CT,

= D. (2.30)

Тогда

DBTATTECTDBAECW +−=+−=

−

− 1111

][

]

[

)(

ppp = W(p). (2.31)

В отдельных случаях матричные коэффициенты в (2.29) будут иметь некото-

рый специальный вид, упрощающий получение решения поставленной задачи.

Так, например, если Т составлена из собственных векторов матрицы А, то в слу-

чае некратных собственных значений p

будет диагональной с элементами p

на главной диагонали. Такое представление математической модели соответству-

ет модальному базису и модальной структуре МДЗ, показанной на рис. 2.8.

При изучении свойств МДЗ и их соединений большое внимание уделяется ис-

следованию их управляемости и наблюдаемости. Под управляемостью понимает-

ся возможность перевода МДЗ путем изменением входа u(t) из любого начально-

го состояния x(t

) в произвольное другое состояние x(t) за конечное время. Анало-

гично этому, под наблюдаемостью понимается возможность восстановления ин-

формации о начальном состоянии МДЗ x(t

) по результатам измерений его выхода

y(t) и входа u(t) на интервале времени [t

, t].

Если указанные выше свойства не выполняются, то МДЗ не будет являться

полностью управляемым и наблюдаемым. В подобных случаях можно так назна-

чить переменные состояния (т.е. выбрать базис в пространстве состояний), что в

структуре математической модели (ММ) МДЗ окажется возможным явно выде-

лить управляемую и неуправляемую части, причем каждая из них может оказаться

наблюдаемой или ненаблюдаемой. На вектор состояния неуправляемой части ММ

внешнее воздействие u(t) не оказывает никакого влияния, а координаты вектора

состояния ненаблюдаемой части не участвуют в формировании вектора выхода

y(t). В соответствии с этим, новый вектор координат состояния МДЗ

будет

представлять собой составной вектор =(

III

) (табл. 2.1):

− вектор состояния управляемой, но ненаблюдаемой части;

− вектор состояния управляемой и наблюдаемой части;

III

− вектор состояния неуправляемой и ненаблюдаемой части;

− вектор состояния неуправляемой, но наблюдаемой части.

Таблица 2.1

Составные части ММ МДЗ и их векторы состояния

III

)

Ненаблюдаемая Наблюдаемая

Управляемая

II.

Неуправляемая

III.

III

IV.

При этом матричные коэффициенты в преобразованных уравнениях состояния

МДЗ будут иметь блочную структуру:

[]

;

242

3433

2422

14131211

DDC0C0C

A000

AA00

A0A0

AAAA

A ==

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

(2.32)

Структурное представление ММ МДЗ в случае его неполной управляемости и

наблюдаемости показано на рис. 2.9.

“II”

“I”

“III”

“IV”

u(t)

y(t)

III

Рис. 2.9. Структурное представление ММ МДЗ