Зырянов Г.В. Системы управления многосвязными объектами

Подождите немного. Документ загружается.

)(

))(

1(1

)(

)(1

)(

−=

−

−−

−

Φ−

−

. (4.4)

Отсюда видно, что = W

−

эi

(p) + 1. Подставив это в (4.3) получим:

)()()()()()(1)()()(

ээ

prprppQpWpGpWpGpG

iiiiiiiiiiiii

<γ≤−=−+=−

−

. (4.5)

Из последней части полученного неравенства при p=jω следует, что годограф

эквивалентной частотной передаточной функции

i-го разомкнутого канала W

эi

(jω)

будет полностью локализован в

полосе, образованной кругами Гершгорина с ра-

диусами

(ω) и центрами в точках годографа i-го диагонального элемента Q

(jω)

матрицы

Q(jω) разомкнутой МСАР. Отсюда следует достаточный критерий Найк-

виста для МСАР со «слабыми» перекрестными связями.

• Если

сумма обходов годографами всех Q

(jω) равна r/2, а критическая точка

(–1,

j0) не попадает ни в одну из полос Гершгорина, окружающих АФЧХ сепарат-

ных каналов, то такая МСАР будет устойчивой. Здесь

r – это число правых харак-

теристических корней (с учетом кратности) разомкнутой МСАР. В общем случае

r будет равно сумме рангов матричных вычетов в правых полюсах для матрицы

Q(p). И только в простых случаях r может оказаться равным числу правых полю-

сов передаточной матрицы разомкнутой МСАР

Q(p).

Примечательно то, что

радиусы кругов Гершгорина

|)(|)(

∑

=ω

≠ij

jii

jQr

на

каждой из фиксированных частот ω определяются только значениями недиаго-

нальных элементов

i-го столбца матрицы Q(jω) разомкнутой МСАР. Поэтому они

не будут зависеть от передаточных функций сепаратных регуляторов в других ка-

налах, хотя сами

эi

(jω) зависят от них в пределах полосы локализации. Благода-

ря этому появляется возможность определять корректирующее устройство в

i-м

канале, не влияя на результаты коррекции в других каналах и наоборот.

Таким образом, оценку устойчивости, а также и синтез корректирующих

звеньев последовательного типа в каждом канале можно осуществлять на основе

рассмотрения частотных характеристик отдельных контуров методами и средст-

вами расчета одномерных систем, если ориентироваться на «размытые» полосами

Гершгорина АФЧХ разомкнутых сепаратных каналов. При этом удобно исполь-

зовать логарифмические частотные характеристики, так как при включении по-

следовательного корректирующего звена в

i-м канале с передаточной функцией

(p), только элементы i-го столбца матрицы Q(p) умножаются все на W

(p), а

остальные столбцы остаются без изменений.

Но так как модуль «желаемой» ПФ

i-го канала |W

жi

(p)| = |W

эi

(p)||W

(p)| и ради-

ус |

жi

(p)| = |r

(p)||W

(p)| получаются одновременным умножением на |W

(p)|, то

границы полосы Гершгорина для желаемой ЛАХ

жi

(ω) получаются сложением

ординат границ области локализации

эi

(ω) с соответствующими ординатами

ЛАХ корректирующего звена

кi

(ω). Аналогичным образом (смещением на ϕ

кi

(ω))

будут получены и границы для областей локализации желаемых фазовых харак-

теристик. Пример расположения областей локализации ЛАХ, соответствующих

передаточным функциям

эi

(p), W

жi

(p) и W

(p), показан на рис. 4.1.

Из (4.5) следует, что требования по качеству работы МСАР в установившемся

режиме будут обеспечены, если нижняя граница области локализации желаемой

ЛАХ

i-го канала будет располагаться выше границы L

гр

(ω

) запрещенной (по точ-

ности) области:

20lg(

|)(| |)(|

kikii

rjQ

−

) + L

кi

(ω)

> L

гр

(ω

В частности, если заданы ограничения на коэффициенты амплитудных (δ

) и

фазовых (δ

ϕk

) искажений, вносимых i-м каналом на наборе частот {ω

}, то усло-

вие по точности для этого канала принимает следующий вид

20lg(

|)(| |)(|

kikii

rjQ

−

)+L

кi

(ω) > 20lg (1/ρ

где параметр ρ

= min(sin δ

ϕk

, δ

/(1+δ

Процедура синтеза корректирующих устройств для каждого из

n каналов ре-

гулирования в составе МСАР со «слабыми» связями отличается от аналогичной

процедуры для одномерных систем только двумя особенностями:

а) синтезируемые корректирующие устройства не должны нарушать при ω≥0

диагональной доминантности матрицы

G (jω) = 1+ Q(jω);

б) необходимо, чтобы ограничительным условиям, накладываемым на «же-

лаемую» частотную характеристику (запасы устойчивости, частота среза, точ-

ность) удовлетворяла вся область локализации для

жi

(ω) и W

жi

(jω), так как точ-

ные их значения будут зависеть от остальных корректирующих устройств и могут

занимать любое положение внутри областей их локализации.

Ширину областей локализации Δ

(ω) на каждой из частот ω в плоскости ЛАХ

можно оценить следующим образом. Из неравенства (4.5) непосредственно сле-

дует оценка для АЧХ:

(jω)| – r

(ω) < |W

эi

(jω)| < |Q

(jω)| + r

(ω).

Переходя к логарифмическим частотным характеристикам, найдем нижнюю

нi

(ω) и верхнюю L

вi

(ω) границы для L

эi

(ω), а затем и ширину области неопреде-

ленности расположения этой ЛАХ:

(ω) = L

вi

(ω) – L

нi

(ω) =

)(|(|

lg20

ω−ω

iii

rjQ

Отсюда видно, что величина Δ

(ω) не меняется при подключении последова-

тельного корректирующего звена с передаточной функцией

(p), т.к. это приво-

дит к одновременному умножению |

(jω)| и r

(ω) на сомножитель |W

(jω)|. По-

этому области локализации для

жi

(ω) и L

эi

(ω) будут смещены на L

кi

(ω).

Столь же просто можно показать, что ширина полосы локализации фазовой

частотной характеристики равна Δϕ

(ω)= 2arcsin [r

(ω)/Q

(jω)] и она также не бу-

дет зависеть от свойств

i-го сепаратного регулятора.

Последовательность действий при использовании метода прямых массивов

Найквиста выглядит следующим образом.

1. Определить передаточную матрицу (ПМ) объекта управления

(p) и со-

ответствующую матрицу возвратных разностей (МВР)

G(p) = E+W

(p).

2. Построить частотные годографы для

0ii

(p) и нанести круги Гершгорина с

центрами на этих годографах. МВР

G(p) будет доминантной, если полосы

Гершгорина для

0ii

(jω) при ω≥0 для i=1, 2,…, n не содержат точку (–1, j0).

3. Если матрица

G(p) не является доминантной, то выбрать предкомпенсатор,

добиваясь того, чтобы полосы кругов Гершгорина, построенных для ПМ

расши-

ренного

объекта Q(p)=W

(p)P(p) не содержали критической точки (–1, j0).

4. Оценить точки пересечения массивами Найквиста (полосами Гершгорина

для всех

0ii

(jω)) отрицательной части вещественной оси и, применяя достаточ-

ный критерий, оценить устойчивость замкнутой МСАР.

5. На основе массивов Гершгорина (или Островского) построить область лока-

лизации частотной характеристики разомкнутого контура и выбрать ПФ локаль-

ного регулятора

(p), обеспечивающую требуемое качество процессов в данном

контуре любым известным способом (например, с помощью ЛАХ).

6. Изменить элементы матрицы предкомпенсатора

P(p) в соответствии с ха-

рактеристиками построенных локальных регуляторов (каждый

i-й столбец ПМ

компенсатора умножается на

(p)).

эi

(

ω)

жi

(

ω)

кi

(

ω)

L(ω

)

Рис. 4.1. Области локализации ЛАХ

Запрет по

точности

Недостаток рассмотренного метода в том, что иногда, особенно при большом

числе каналов регулирования

n, достаточные условия могут оказаться слишком

далекими от необходимых. Тогда степень неопределенности расположения эк-

вивалентных характеристик разомкнутого

i-го канала будет большой, что приво-

дит к сильно «размытым» областям их локализации. Одним из способов сужения

областей локализации является использование более сильных условий доминант-

ности матриц, получаемых, например, с помощью кругов Островского [2].

Метод обратных массивов Найквиста

Аналогичные результаты для анализа и синтеза диагонально-доминантных

МСАР можно получить методом обратных массивов Найквиста (ОМН), в кото-

ром используются не прямые, а обратные передаточные матрицы.

Пусть Q(p) – передаточная матрица разомкнутой, а Ф(p) = [E+Q(p)]

–1

Q(p) –

передаточная матрица замкнутой МСАР в структуре с ЕООС. Допуская сущест-

вование обратных матриц, запишем

–1

(p) =

)(

pΦ

= Q

–1

(p)[E+Q(p)] = Q

–1

(p) + E.

Тогда, предполагая диагональную доминантность матрицы

)(

pΦ

= Ф

–1

(p),

можно формально записать для нее выражение, аналогичное (4.2):

)()()()(

)(

prprppΦpΦ

iiiiiii

<γ≤−

−

, (4.6)

где r

(p) – радиусы кругов Гершгорина для матрицы

)(

pΦ

=Ф

–1

(p).

При этом формулы коэффициентов γ

(p), с помощью которых определяются

радиусы кругов Островского этой матрицы, будут иметь вид

1)(

1/)(

max

)(

/)(

max

)(

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=γ

≠≠

pQprpΦprp

jjj

ijj

jjj

ijj

где

)(

pΦ

=1+ – j-й диагональный элемент матрицы Ф)(

–1

(p), а – j-й

диагональный элемент матрицы

= Q

)(

–1

(p).

Воспользуемся, как и ранее, приемом эквивалентирования относительно

i-го

канала регулирования. Пусть

эi

(p) = R

(p)W

(p) – эквивалентная передаточная

функция разомкнутого

i-го канала, R

(p) – передаточная функция сепаратного ре-

гулятора в этом канале, а

(p) – передаточная функция «эквивалентного объек-

та», полученная с учетом того, что все остальные каналы регулирования замкну-

ты с помощью единичных отрицательных обратных связей. Если

(p) – переда-

точная функция замкнутого

i-го канала, которая является i-м диагональным эле-

ментом передаточной матрицы замкнутой МСАР

Ф(p) = [E+Q(p)]

–1

Q(p), то пере-

даточные функции

(p) и W

эi

(p) будут связаны между собой следующими соот-

ношениями (формулы замыкания для одномерных контуров):

эi

(p) = Ф

(p)/(1– Ф

(p)) ; 1)(

−=

−

iii

ΦpW .

Подставив второе из этих равенств в (4.6), получим

)()()( |)(

)(|

prprppQpW

iiiiii

<γ≤−

−

. (4.7)

Отсюда следует, что обратный годограф Найквиста разомкнутого

i-го канала

(при условии, что остальные каналы замкнуты) будет локализован в полосе, обра-

зованной кругами Островского и Гершгорина с центрами на частотном годографе

i-го диагонального элемента обратной передаточной матрицы = Q)(

–1

(p).

Если γ

→ 0, то радиусы кругов Островского уменьшаются и → ,

а полоса (массив кругов) Островского будет приближаться к АФЧХ . По-

этому частотные характеристики диагональных элементов обратной матрицы

)(

−

)(

–1

(p), при условии ее доминантности вместе с матрицей

)(

pΦ

= Ф

–1

(p),

могут быть использованы для исследования устойчивости МСАР на основе ана-

лиза обратных массивов Найквиста.

Напомним, что замкнутая МСАР устойчива если, когда

разность между чис-

лом охватов начала координат частотными годографами функций |

E+)| и

|)| равна

r/2, где r – количество «правых» характеристических корней разомк-

нутой МСАР (с учетом кратности), соответствующих корням уравнения |)|=0.

(

Достаточный критери устойчивости Найквиста предполагает, что при

p=jω

обе матрицы ) и E+) являются диагонально-доминантными:

(

pQ (

),(|)(

| |)(

| ω=

∑

ω>ω

≠

ijii

rjQjQ

(4.8)

),(|)(

| |)(

1| ω=

∑

ω>ω+

≠

ijii

rjQjQ ω≥0, i=1, 2, …, n. (4.9)

Поскольку число охватов частотным годографом определителя DD-матрицы

начала координат совпадает с суммарным числом охватов годографами диаго-

нальных элементов начала координат, то отсюда следует следующий важный для

исследования МСАР со «слабыми» связями результат.

♦ Для устойчивости замкнутой МСАР

достаточно, чтобы разность между

суммарными числами оборотов, которые совершают годографы

всех диагональ-

ных элементов вокруг точки (–1,

j0) и вокруг начала координат равнялась

r/2, где r – число «правых» характеристических корней разомкнутой системы (с

учетом их кратности), совпадающих с «правыми» корнями уравнения

. При этом критическая точка и начало координат не будут попадать

в полосы Гершгорина и Островского.

)(

ωjQ

0)(

det =pQ

Последовательность действий при использовании метода обратных массивов

Найквиста (ОМН) для анализа и синтеза МСАР имеет следующий вид:

1. Определить обратную ПМ объекта управления .

)()(

−

= WW

2. Построить частотные годографы для

)(

и нанести круги Гершгорина.

3. Если обратная ПМ объекта не доминантная (начало координат попадает в

одну из полос Гершгорина), то выбором предкомпенсатора, обеспечить доми-

нантность

расширенного объекта с обратной ПМ = Q)(

–1

(p) = P

–1

(p)

)(

4. Проверить доминантность , построив годографы и нанеся круги

Гершгорина для каждого из них (они не должны содержать начало координат).

)(

pQ )(

5. Оценить точки пересечения обратными массивами Найквиста (полосами

Гершгорина) отрицательной части вещественной оси и, применяя достаточный

критерий, оценить устойчивость замкнутой МСАР.

6. На основе массивов Гершгорина (или Островского) построить область лока-

лизации частотной характеристики разомкнутого контура и выбрать ПФ локаль-

ного регулятора

(p), обеспечивающую требуемое качество процессов в данном

контуре любым известным способом (например, с помощью ЛАХ).

7. Изменить элементы матрицы предкомпенсатора

P(p) в соответствии с ха-

рактеристиками построенных локальных регуляторов (каждый

i-й столбец матри-

цы компенсатора умножается на

W (p)).

Несмотря на концептуальную простоту, из-за громоздкости и сложности по-

строений и расчетов, применение методов МН и ОМН в инженерной практике

без человеко-машинных средств анализа и синтеза оказывается нереальным. При

этом весьма важным и сложным этапом применения этих методов является вы-

бор компенсатора, обеспечивающего доминантность обратных передаточных

матриц или матрицы возвратных разностей. Для этой цели известны несколько

способов, но все они, как правило, являются слишком сложными для практиче-

ского использования. Поэтому часто пытаются ограничиться выбором простей-

шего компенсатора, обеспечивающего диагональную доминантность только на

низких частотах. В частности, обратную ПМ компенсатора назначают в виде

)0()(

WP =p

, а если при этом у ПМ W

(p) будет полюс p=0 с коэффициентом

кратности ν, то обратная ПМ компенсатора выбирается в виде

)(

lim

→

4.3. Синтез оптимальных МСАР при случайных входных воздействиях

4.3.1. Синтез МСАР устойчивым минимальнофазовым объектом

Рассмотрим аналитический синтез МСАР следящего типа, находящейся под

воздействием стационарных случайных полезных сигналов и помех. Это означает,

что дополнительные ошибки, связанные с переходными процессами при включе-

нии системы не учитываются. При этом за показатель качества принимается

сумма взвешенных дисперсий ошибок

∑

∫

=ρ=

∞

∞−

eeeiie

dpp

DJ ])(Sp[

RS , (4.10)

где S

(p) при p=jω – спектральная матрица ошибок; R=diag{ρ

}– матрица весовых

коэффициентов, назначаемых с учетом «важности» и индивидуальных особенно-

стей каждого из каналов регулирования МСАР.

Ограничительные условия 2 – 6 (см. п. 4.1), выраженные в интегральной фор-

ме позволяют применить единый подход к задачам синтеза МСАР, оптимальных в

смысле минимума показателя (4.10).

Для конкретности, рассмотрим МСАР, на вход которой поступает аддитивная

смесь

полезного сигнала s(t) и помехи n(t): r(t)= s(t) + n(t), где s(t) и n(t) – реали-

зации случайных стационарных процессов (ССП) с нулевыми средними значе-

ниями (

= m

= 0). Схема формирования сигнал ошибки показана на рис. 4.2.

Рассмотрим простейший случай, когда воздействия

s(t) и n(t) не коррелирова-

ны между собой

, а объект управления (заданная часть системы) устойчивый и

минимальнофазовый с передаточной матрицей W

(p), не имеющей «правых» ну-

лей и полюсов. При этом требование устойчивости МСАР не накладывает допол-

нительных ограничений на вид ПМ

Ф(p), а единственное условие, ограничиваю-

щее свободу ее выбора, связано с физической реализуемостью регулятора:

Ф(p)

– произвольная устойчивая рациональная матрица, все элементы которой имеют

степень числителя меньше (по крайней мере – на единицу), чем порядок знаме-

нателя.

Предположим, что известны спектральные матрицы входных сигналов

(p) и

(p), а матрицы взаимных спектральных плотностей нулевые, т.е.

Ф(p)

s(t)

n(t)

(t) y

(t)

Рис. 4.2. Схема формирования ошибки МСАР при случайных сигналах

(p)=S

(p)=0. Тогда, в соответствии с результатами п. 3.3.4, спектральная мат-

рица МСАР

(p) определяется формулой

(p)= . (4.11) )()()()}(){()}({ pppppp

ΦSΦΦESΦE −+−−−

Задача динамического синтеза сводится к определению

Ф(p) ={Ф

(p)} из усло-

вия минимума функционала точности

∑

∫

=ρ=

∞

∞−

eeeiie

dpp

DJ ])(Sp[

RS .

Для решения этой задачи используется

необходимое условие минимума функ-

ционала

в виде равенства нулю вариации δJ

, вызванной вариациями δФ

(p) и

(–p) элементов передаточных матриц Ф(p) и Ф(–p).

С учетом формулы для

, это условие оптимальности можно записать в виде

dpp

pΦ

dppΦ

pΦ

)(

])(Sp[

)(

])(Sp[

−Φδ

∫

∑

−∂

∂

+δ

∫

∑

∂

=δ

∞

∞−

∞

∞−

RSRS

= 0.

Поскольку по свойству четности

(p) = S

(–p), то первый интеграл сводится

ко второму заменой

p на –p, а их значения будут одинаковыми и равными нулю:

dpp

pΦ

)(

])(Sp[

−Φδ

∫

∑

−∂

∂

∞

∞−

= 0.

При отыскании решений, удовлетворяющих условию устойчивости, все ва-

риации δ

(p) должны иметь особые точки (полюсы) только слева от мнимой

оси. Но тогда все δ

(–p) будут аналитическими функциями в левой полуплос-

кости. Таким же свойством должны обладать и все частные производные:

)(

])(Sp[

pΦ

−

−∂

∂ RS

, i = 1, 2, …, n; k = 1, 2, …, n, (4.12)

где – некоторые рациональные функции, аналитические в левой полуплос-

кости, т.е. не имеющие «левых» полюсов. Эти равенства представляют собой сис-

тему

)( pq

−

уравнений, которые используются для определения элементов передаточ-

ной матрицы оптимальной МСАР. Их принято записывать в матричном виде:

)(

])(Sp[

−

−∂

∂

, (4.13)

где

–

(p) = { })( pq

−

– неизвестная рациональная матрица, аналитическая в ле-

вой полуплоскости.

Для получения уравнений оптимальной МСАР в явном виде, воспользуемся

правилом дифференцирования следа от произведения двух матриц

∂

}Sp{

. (4.14)

С учетом (4.11), применим его к произведению S

(p)R:

).()()()()()]()()[(

)()())((

)(

})({

pppppppp

ppp

nnss

−

=−=−+=

=+−−=

−∂

∂

QSRSΦRSRSSΦR

SΦRSΦER

(4.15)

Последнее равенство обычно записывают в транспонированном виде:

.)()()()(

−

=− pppp

QRSRΦS (4.16)

В более общем случае, когда входные сигналы МСАР s(

t) и n(t) коррелирова-

ны между собой, то уравнение оптимальной МСАР запишется так:

−

=− )()()()( pppp

QRSRΦS , (4.17)

где S

(p) – матрица взаимных спектральных плотностей сигналов r(t) и s(t).

Это уравнение Винера – Хопфа в комплексной области для определения опти-

мальной передаточной матрицы МСАР Ф(

p).

Так как R=diag{ρ

} не особая, то умножая обе части равенств (4.16) и (4.17)

справа на R

–1

, можно утверждать, что результат оптимизации МСАР не будет за-

висеть от выбора коэффициентов ρ

. Поэтому далее можно считать, что все ρ

= 1.

Если входные сигналы в

различных каналах некоррелированы между собой, то

матрицы S

(p) и S

(p) будут диагональными и, как следствие, искомая переда-

точная матрица Ф(

p) окажется также диагональной, а МСАР автономной.

В общем случае, матричное равенство (4.17) эквивалентно системе

nxn скалярных

уравнений, которая распадается здесь на

n независимых групп по n уравнений в

каждой. Каждая из них с фиксированным номером ν имеет вид

∑

=−Φ

−

νν

isrkrr

pqpSppS

iki

)()()()(; i = 1, 2, …, n; ν = 1, 2, …, n. (4.18)

При этом выход ν-го канала МСАР зависит только от передаточных функций,

расположенных в ν-й строке матрицы Ф(

p):

∑

νν

prpΦpy

)()()( .

В связи с этим факт распадения уравнений на n независимых групп означает,

что ошибки

(t) = s

(t) – y

(t) по каждому ν-му каналу оптимальной МСАР могут

рассматриваться независимо. Передаточные функции

νk

(p) при фиксированном

ν, т.е. ν-я строка матрицы Ф(

p), удовлетворяют при этом условию минимума дис-

персии ν-й составляющей вектора ошибки

)}({ teMD

e νν

. Отсюда следует, что

если за показатель качества взять

∑

νν e

, то оптимальные характеристики

системы не будут зависеть от выбора весовых коэффициентов ρ

Решение уравнений оптимальной системы даже в одномерном случае является

сложной задачей. Для многомерной МСАР эти трудности многократно возраста-

ют. В связи с этим, остановимся кратко на способах их решения.

В общем случае коррелированных входных сигналов элементы передаточной

матрицы {

νk

(p)} оптимальной системы определяются как решения уравнений

вида (4.18). Их можно записать в эквивалентном матричном виде:

)()()]()[(

pppp

−

=−

qSΦS , ν=1, 2, …, n, (4.19)

где – строка с номером ν матрицы Ф(p); и – столбцы с номе-

ром ν для матриц

)( p

−

(p) и Q

–

(p) соответственно.

В том случае, когда входы

j-го и k-го каналов некоррелированы, эта система

распадается на

независимых уравнений

)()()()(

pqpSppS

ksrkrr

kkk

−

νν

=−Φ

, k =1, 2, …, n; ν =1, 2, …, n. (4.20)

Каждое из этих уравнений служит для определения одного из элементов мат-

рицы

Ф(p). При этом решение задачи синтеза сводится к рассмотрению n

одно-

мерных случаев. Способы решения уравнений (4.20) хорошо известны. Один из

них основан на факторизации функции спектральной плотности входного сигнала

. Этот метод может быть обобщен и на многомерный случай. Однако для

решения уравнения оптимальной МСАР в общем случае более пригоден метод

неопределенных коэффициентов с предварительным определением полюсов [9].

Суть этого метода состоит в следующем. Сначала находится

формальное алгеб-

раическое решение

уравнений (4.19), которое используется только лишь для оп-

ределения

полюсов оптимальных ПФ Ф

)( pS

νk

(p). Это решение имеет следующий вид:

[]

)]()()[()(

pppp

rsrr

−

−ν

ΦqSΦ

. (4.21)

Поскольку решение задачи разыскивается в классе устойчивых и физически

реализуемых систем, то в качестве полюсов

νk

(p) принимаются все те полюсы

решений (4.21), которые расположены слева от мнимой оси. Такими

полюсами

будут являться «левые» нули μ

определителя матрицы S

(p) и «левые» полюсы γ

матрицы . Тогда решение уравнения (4.19) для

)( p

νk

(p) необходимо оты-

скивать в виде рациональных функций с полюсами μ

и γ

и неопределенными ко-

эффициентами полиномов

νk

(p) в числителе:

νk

(p)=

∏∏

γ−μ−

)()(

)(

. (4.22)

После подстановки (4.22) в исходные уравнения (4.20) левая часть полученных

равенств будет всегда содержать как «левые», так и «правые» полюсы. Для того

чтобы функции (4.22) были решениями уравнений (4.20), необходимо выбрать не-

определенные коэффициенты полиномов

νk

(p) так, чтобы в левых частях полу-

чившихся уравнений не было слагаемых с левыми полюсами. Это достигается

путем разложения левых частей равенств на элементарные дроби и

приравнива-

нием нулю

тех слагаемых, которые соответствуют «левым» полюсам.

Полученные в результате такой процедуры равенства представляют собой

систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно неоп-

ределенных коэффициентов полиномов

νk

(p). При этом число уравнений всегда

будет больше числа неизвестных коэффициентов (часть уравнений являются

следствием других), поэтому возникает дополнительная задача, связанная с отбо-

ром независимых уравнений.

После отыскания передаточной матрицы

Ф(p) оптимальной системы, задача

динамического синтеза МСАР сводится к выбору ее структурной схемы и опре-

делению передаточной матрицы корректирующего блока

(p). Обычно это

структура с последовательным корректирующим блоком (компенсатором) в цепи

ошибки. При этом, если все полюса и нули передаточной матрицы объекта

управления

(p) «левые», т.е. ОУ устойчивый и минимальнофазовый, то переда-

точная матрица

(p) определяется по известной формуле

)]()[()()(

−

−= pppp

ΦEΦWW . (4.23)

Структурная схема оптимальной МСАР приведена на рис. 4.3.

Ф(p)[E– Ф(p)]

–1

(p)]

–1

(p)

y*(t)

y(t)

ε(t)

Рис. 4.3. Оптимальная МСАР минимальнофазовым объектом

(p)

Из данной схемы видно, что такое корректирующее устройство полностью

компенсирует динамические особенности объекта управления. Результатом этого

будет полное сокращение нулей и полюсов

(p) с появлением вырожденной

части в математической модели МСАР. Для устойчивости замкнутой системы

требуется, чтобы были устойчивыми как вырожденная, так и невырожденная час-

ти системы. При этом устойчивость

невырожденной части МСАР обеспечивается

расположением полюсов передаточной матрицы

Ф(p) слева от мнимой оси.

Для обеспечения устойчивости вырожденной части системы принципиально

недопустима компенсация «правых» нулей и полюсов W

(p) корректирующим

блоком. Это условие накладывает дополнительные ограничения на вид оптималь-

ной (желаемой)

Ф(p) и на предельно достижимое значение показателя качества. В

рассмотренном выше случае это требование выполняется, так как при получении

уравнений оптимальной МСАР объект управления предполагался устойчивым и

минимальнофазовым.

4.3.2. Синтез МСАР неминимальнофазовым объектом

Рассмотрим более общий, чем ранее случай, когда объект управления ОУ яв-

ляется также устойчивым, но неминимальнофазовым, т.е. его передаточная мат-

рица

(p) имеет нули в правой полуплоскости. Тогда для устойчивости вырож-

денной части

достаточно [9], чтобы передаточная матрица замкнутой системы

Ф(p) удовлетворяла условию

Ф(p)= g

–

(p) Ф

(p)

(4.24)

где g

–

(p) – полином, корни которого, с учетом их кратности, равны правым нулям

(p), а Ф

(p)= – произвольная рациональная матрица с «левыми»

нулями и полюсами. При таком выборе

Ф(p), передаточная матрица корректи-

рующего звена

)()(

−

(p) не содержит полюсов, совпадающих с «правыми» нулями

100