Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

Переходим к построению желаемой ЛАЧХ. ЛАЧХ неизменяемой

части имеет требуемый порядок астатизма и передаточный коэффици-

ент, поэтому низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ совпадает с

низкочастотной асимптотой ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Для заданного значения о — 30% по номограмме (см. рис. 5.24)

определяем

Ршах = 1,27 и /р~3,5л/со

р.

Вычисляем нижний предел частоты среза желаемой ЛАЧХ:

со

р1 = 3, 5я/*

= 3, 5я /0,5 = 22с-

По (5.39) находим верхний предел частоты среза;

<0cp2^Vw/g

УёоТбТГ = 22,4 с-

Выбираем со

= 22 с""

и через эту точку проводим среднечастотнук>

асимптоту желаемой ЛАЧХ с рекомендованным ранее наклоном

— 20 дБ/дек (рис. 5.28). Далее по кривым (см. рнс. 5.25) для Р

тах

—

= 1,27 определяем, что необходим избыток фазы у — 40° при ордина-

тах (со), лежащих в пределах = 14 дБ. Проводим прямую с ор-

динатой + 14 дБ и из точки пересечения ее со среднечастотной асимп-

тотой желаемой ЛАЧХ строим пробную сопрягающую асимптоту с на-

клоном — 40 дБ/дек.

Пусть высокочастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ будет высо-

кочастотная асимптота ЛАЧХ неизменяемой части системы. Сопряже-

ние среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ с высокочастотной

начинаем при частоте со

Теперь нужно проверить избыток фазы при контрольных частотах

со

и cog. Воспользуемся номограммой для подсчета фазы по асимптоти-

ческой ЛАЧХ, изображенной на рис. 5.26.

Подсчитываем фазу при частоте со

<Ра = —20 (2,25 —2,04) — 40 (2,04—0) — 20 (2,16—0)

— 40(2,2—2,16) — 60 (2,25 — 2,2) = — 133,6°.

Следовательно, избыток фазы

Ya = 180—133,6 = 46,4°.

Подсчитываем фазу при частоте cog:

фа

= —20 (2,25—2,22)— (40 (2,22—2,16) — 20 (2,16—0,24)—

— 40 (0,24+1,12)—60 (2,25—1,12) - — 163,6°.

Избыток фазы при этой частоте

Y6 = 180—163,6= 16,4°.

При частоте со

избыток фазы превышает требуемое значение на

6°. Допустимо, однако, лишь незначительное перемещение сопрягающей

асимптоты вправо. Оно не расширит сколько-нибудь заметно диапазон

пропускания нижних частот, поэтому останавливаемся ,иа выполнен-

ном сопряжении.

Избыток фазы прн частоте cog значительно меньше допустимого.

Для его увеличения высокочастотную асимптоту желаемой АЧХ нуж-

Рис. 5.29

но сместить вправо.

При этом усложнится

корректирующее устрой-

ство.

Попробуем прове-

рить качество системы

при составленной же-

лаемой ЛАЧХ и затем

будем решать вопрос о

целесообразности ее из-

менения.

По L

(со) составля-

ем передаточную функ-

цию разомкнутой скор-

ректированной системы:

k (s

/со а

+ 1)

S (s/C0

+ 1) (S/0)2+ 1) (s/0>4+ 1)

200 (0,24s+l)

s (2,17s+1) (0,01s+ 1) (0,00574s+ S)

где co

= 0,46c

—i

10-

= 4,2c-

; co

= 100c-

; co

=174c

Передаточная функция замкнутой системы

(s) = WWII + w (s)] = (0,24 S + l)/(6,25

+ 1,74- !0-

+0,01 ls?+ 0,245 s + 1).

Вещественная частотная характеристика, вычисленная по частот-

ной передаточной функции Wg (/со), представлена на рис. 5.29. Пост-

роенная по ней переходная характеристика показана на рис. 5.30.

Показатели качества а = 14% и 0,4 с удовлетворяют требо-

ваниям. Перерегулирование даже значительно меньше допустимого,

поэтому составленную желаемую ЛАЧХ можно ие изменять.

Несоответствие показателей качества с их расчетными значения-

ми объясняется значительным отличием вида вещественной частотной

характеристики скорректированной системы (рис. 5.29) от типовой, по

которой составлены номограммы (см. рис. 5.24 и 5.25). *

Вычитая из желаемой ЛАЧХ

(со) ЛАЧХ L

(

) неизменяе-

мой части системы, получаем

ЛАЧХ последовательного кор-

ректирующего устройства L

(со)

(см. рис. 5.28). По этой ЛАЧХ

составляем полиномы R

(s) и

(s) числителя и знаменателя

передаточной функции корректи-

рующего устройства:

Як (S) = (s/co

+ 1) (s/щ + 1)=

= (0,24 s + 1) (0,05 s + 1);

(S) = (s/co

(s/щ + 1) =

= (2,17s + 1) (0,0 0574s + 1).

Рис. 5.30

вык

Рис. 5.31

Желаемую передаточную функцию корректирующего устройства

можно реализовать дифференцирующим и интегрирующим четырехпо-

люсниками с разделительным усилителем (рис. 5.31).

Передаточная функция дифференцирующего четырехполюсника

<s)

= V V\s+ \)/(7\s+l),

где T

- 0,05 RtCu Т

- 0,0574 - + Д

Значение R

должно быть выбрано при расчете усилителя. После

этого могут быть определены необходимые значения R

и С

и подсчи-

тано значение

Передаточная функция интегрирующего четырехполюсника

z(s) = (T

s+l)/0\s+\)

где Т

- 0,24 - /?

; Г

= 2,17 = (R

+ tf

) С

Выбираем С

10 мкФ. Тогда R

= 24 кОм и R

— 193 кОм.

Усилитель должен иметь коэффициент усиления Ку = k/k

Kti

где

— передаточный коэффициент регулируемого объекта и исполнитель-

ного элемента.

Приближенные соотношения. Изложенный метод синтеза —

это приближенный метод, поэтому рекомендуется [8] уточнять

желаемую ЛАЧХ с помощью номограмм.

Вместе с этим используют еще большие приближения, ко-

торые значительно упрощают построение желаемой ЛАЧХ

и синтез корректирующего устройства.

На рис. 5.32 показана типовая ЛАЧХ разомкнутой астати-

тической системы. Ей соответствует передаточная функция

w ~ k(T

s+\)

+ to

)

5(^5+1)^35+1)" Т

5(5 + 0)^ (S + C0

) '

где T

^> Т

;

coj

< со

; k — передаточный коэф-

фициент разомкнутой системы (добротность по скорости),

равный частоте со', при которой продолжение низкочастотной

асимптоты пересекает ось абсцисс (k — со').

Согласно [41, перерегулирование в системе не превзойдет

20—30%, если удовлетворяются неравенства

со3/со2 ^ 10; 2< 0>

/а>

ср

< 4. (5.48)

Рис. 5.32

При этом время регулирования с достаточной точностью оп-

ределяется по частоте среза:

^ п/о>

ср

. (5.49)

Следовательно, заданное значение k определяет частоту

со' и затем можно построить прямую, на которой будет лежать

низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ.

С другой стороны, заданное значение времени регулирова-

ния t

позволяет определить по (5.49) частоту среза со

ср

же-

лаемой ЛАЧХ. Остается выбрать частоту со

и ш

так, чтобы

удовлетворялись неравенства (5.48).

В результате оказываются известными желаемая ЛАЧХ

и передаточная функция разомкнутой системы. Зная переда-

точную функцию неизменяемой части системы, можно опреде-

лить необходимую передаточную функцию последовательно-

го корректирующего устройства.

Неравенства (5.48) определяют частоты со

и со

не одно-

значно. Поэтому удобно сразу же рассматривать несколько

вариантов значений со

и со

. Затем выбрать тот из них, при

котором система имеет требуемые показатели качества. Для

их определения необходимо, конечно, строить переходные ха-

рактеристики замкнутой системы.

Используют и другие приближенные соотношения для по-

строения желаемой ЛАЧХ. Иногда, особенно при предвари-

тельных расчетах, они оказываются весьма удобными.

I r.T.v.-;;::

МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

МЕТОДОВ ТЕОРИИ

АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

§6.1. Математические модели

автоматических систем и особенности

реализации их на ЭВМ

Возможности современной вычисли-

тельной техники позволяют значи-

тельно ускорить сроки проектиро-

вания автоматических систем управле-

ния объектами различного назначе-

ния. Успех в решении задачи в зна-

чительной степени зависит от основных

факторов: математической изученности

управляемого объекта, т. е. от того, на-

сколько адекватно составлено математи-

ческое описание функционирования

объекта, эффективности прикладных ме-

тодов теории автоматического управле-

ния, уровня развития вычислительных

методов, наличия высококачественного

программного обеспечения, от того, на-

сколько успешно используется творче-

ский потенциал исследователя-проекти-

ровщика. При этом решающей фактор

остается за человеком, который может

решать многие неформализованные зада-

чи. Именно этот фактор стимулирует

развитие диалогового проектирования.

Основа автоматизированного проек-

тирования — математическое описание

функционирования системы. В настоя-

щее время преобладают и широко ис-

пользуются три способа математическо-

го описания автоматических систем: 1)

метод передаточных функций и тесно

связанные с ними частотные характе-

ристики;

метод переменных состояния;

3) структурно-топологические методы.

Метод передаточных функций, по существу, представляет

собой применение преобразования Лапласа и частотной теории

для изучения качественного поведения решений обыкновенных

дифференциальных уравнений. Созданные для проектирова-

ния систем с одним входом и одним выходом передаточные

функции и частотная теория до сих пор являются основными

инженерными методами со сложившейся методологией. Непо-

средственное изучение исходных дифференциальных уравнений

с заданными начальными условиями заменяется в этих методах

исследованием алгебраических свойств некоторых функций,

порождаемых системой дифференциальных уравнений. На-

пример, критерий Михайлова и Найквиста основаны на изу-

чении именно таких функций.

На разработку и усовершенствование Частотных методов

были затрачены десятилетия; несмотря на «машинный век»,

они не утратили своего значения и не исчерпали всех возмож-

ностей. Многолетние исследования показали, что по глубине

и степени завершенности частотные методы во многих случаях

не имеют вполне эквивалентный замены, а модификация их

применительно к ЭВМ позволяет получать весьма ценную ин-

формацию о проектируемой системе в сжатые сроки. В 70-е

годы Г. Розенброком [19] был создан метод «размытых» частот-

ных характеристик, предназначенный для автоматизирован-

ного проектирования систем с несколькими входами и выхо*-

дами. Дальнейшее развитие метода было осуществлено

В. В. Солодовниковым и его учениками [131.

В основе метода переменных состояния лежит представле-

ние дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши,

которое дополняется алгебраическими уравнениями, связы-

вающими выходные переменные с переменными состояния

x-Ax + Bu;

(б1)

у-=Сх,

где А, В, С — матрицы коэффициентов размерности п X п,

п X т, г X п соответственно; и — вектор возмущающих воз-

действий; т — число входов; г — число выходов.

Математическим аппаратом метода переменных состояния

(МПС) являются матричное исчисление и вычислительные ме-

тоды линейной алгебры. Метод переменных состояния содей-

ствовал значительному развитию теории управления. На язы-

ке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному уп-

равлению, фильтрации, оцениванию. В настоящее время в те-

ории автоматических систем управления наметилось плодо-

творное сочетание метода переменных состояния с частотными

методами. Оба способа описания взаимосвязаны и дополняют

друг друга.

Топологические методы опираются на использование мето-

дов теории графов. Они получают все большее распростра-

нение, однако эффективность их применения во многом зависит

от принципиальных результатов, полученных в теории гра-

фов.

С точки зрения автоматизации проектирования систем уп-

равления с помощью топологических методов представляет

интерес задача формирования передаточных функций по струк-

турным схемам. Если структура системы выбрана, то, исполь-

зуя передаточные функции динамических звеньев и известные

правила преобразования структурных схем, можно сравни-

тельно легко составить программу получения передаточной

функции разомкнутой или замкнутой системы при управляю-

щих или возмущающих воздействиях. Программа нахождения.

передаточной функции сводится к раскрытию скобок, приведе-

нию подобных членов и упорядочиванию коэффициентов по

убывающим степеням полинома. Такая программа часто явля-

ется основной при машинных исследованиях (анализ устойчи-

вости, построение частотных характеристик, построение обла-

стей устойчивости, D-разбиение в плоскости параметров и т. д.).

Автоматизация формирования передаточных функций позволя-

ет вести параметрический синтез и анализировать различные

структуры. Такие программы успешно применялись для по-

строения передаточных функций сложных систем с перекре-

щивающимися обратными связями. Уязвимое место таких про-

грамм — частые случаи переполнения разрядной сетки ввиду

плохой «обусловленности» полинома. Кроме того, существуют

технические трудности при программировании, так как неко-

торые алгоритмические языки (АЛГОЛ ФОРТРАН) не при-

способлены для обработки буквенно-символьной информации.

Решение подобных задач стало эффективным на основе тополо-

гических методов. Так, использование методов теории графов

в сочетании со структурными числами дает возможность полу-

чать передаточные функции по любой структуре на языке

ФОРТРАН.

Метод переменных состояния ориентирован на вычисли-

тельные методы теории матриц. Если требуется выполнить

анализ устойчивости по уравнениям переменных состояния

(6.1), то традиционные способы требуют предварительного

приведения матрицы А к характеристическому урав-

нению

| А — sE |

—

(—

)

+ s

+... + а

) = 0 (6.2)

с последующим применением критериев устойчивости или кор-

невых методов. Существующие критерии устойчивости (Рау-

са, Гурвица, Льенара—Шипара, Михайлова) могут применять-

ся только непосредственно к коэффициентам характеристиче-

ского уравнения замкнутой системы. Методы локализации соб-

ственных чисел матрицы А (Гершгорина, Островского, Бра-

узра и др.) дают лишь достаточные условия и малопригодны

для широкого использования.

Получение коэффициентов характеристического уравнения

часто связано с серьезными трудностями вычислительного

характера, несмотря на наличие стандартных программ, по-

строенных на известных методах. Применительно к задачам

машинного анализа и синтеза сложных автоматических систем

многие методы не вполне подходят из-за чувствительности к

«частным особенностям» матрицы или потери точности из-за

роста погрешности вследствие накопления ошибок округле-

ния.

В последнее время были созданы способы определения всех

собственных чисел матрицы А, не связанные с операцией вы-

числения коэффициентов характеристического уравнения. Они

основаны на представлении матрицы А в виде произведения

ортогональной и почти треугольной форм. Наибольшей уни-

версальностью обладают QR- и QL-алгоритмы. Сущность QR:

алгоритма состоит в представлении исходной матрицы А в ви-

де произведения двух матриц: ортогональной Q и верхней

треугольной R (нижней треугольной L в случае (^-алгорит-

ма). Предварительно матрица А преобразуется к форме Хассен-

берга Н, а QjR-алгоритм всегда предполагает, что такое при-

ведение выполнено. Матрица Н является верхней треуголь-

ной матрицей, но с наличием субдиагональных элементов. На-

пример, матрица Хассенберга размерности (4 X 4) имеет вид

О * * *

о о * *

Процедура метода предусматривает построение матрицы,

подобной матрице А, но имеющей клеточную треугольную

структуру с диагональными блоками 1X1 или 2X2 и теми же

(6.3)

собственными числами, что и исходная матрица А. Приведе-

ние исходной матрицы А к матрице Хассенберга Н осущест-

вляется для сокращения числа операций и экономии машин-

ного времени. Различные способы (например, метод Хаусхол-

дера и метод Гивенса) приведения к матрице Н рассматривают-

ся в работах по линейной алгебре.

В теоретическом отношении QR- и QL-алгоритмы мало раз-

личаются. <2#~алгоритмы эффективнее использовать, когда

большие элементы матрицы сосредоточены в нижнем правом

углу, a QL-алгоритм — когда большие элементы матрицы со-

средоточены в левом верхнем углу. При правильной реализа-

ции алгоритма на ЭВМ ошибки округления во многих случа-

ях не оказывают большого влияния на точность нахождения

собственных чисел матрицы А. Описание и особенности машин-

ной реализации QR- и QL-алгоритмов более подробно изло-

жены в [4, 5, 14, 151.

Особенности машинных вычислений в задачах автоматиче-

ского управления. Успех в решении задач автоматизирован-

ного проектирования автоматических систем во многом опре-

деляется тем, как в действительности осуществляются дейст-

вия над числами в ЭВМ. Существенная особенность машинных

вычислений — влияние ошибок округления. Как бы точно ни

осуществлялись операции над числами, для их представления

отводится конечное число знаков и они должны быть округ-

лены.

В современных цифровых ЭВМ расчеты, как правило, вы-

полняются в режиме с плавающей запятой. Это связано с пред-

ставлением чисел, сильно различающихся по абсолютной вели-

чине. Число разрядов в мантиссе достигает 15 и выше (в деся-

тичных знаках), и все же встречаются задачи, где такой точ-

ности недостаточно.

Иногда возникает вопрос, почему вообще нужна такая

точность вычислений, как 10~

и выше, В большей части за-

дач науки и техники исходные данные в лучшем случае имеют

точность 10~

—10 а часто она не достигает и 10~

или бы-

вает еще ниже. На раннем этапе создания цифровых вычисли-

тельных машин Дж. Нейман показал, что для получения точ-

ности конечного результата, равной 10~

, требуется точность

промежуточных вычислений в арифметических операциях

10~

. Кроме того, существует эффект усиления ошибок, обра-

зовавшихся от предшествующих операций. Это усиление в

принципе может быстро покрыть любой разрыв. Например,

отношение 10~

и 10~

образуют разрыв 10

. Дж. Нейман

привел пример, когда 425 последовательных операций, каж-

дая из которых усиливает ошибку только на 5%, заполняют

этот разрыв. Разумеется, приведенный пример лишь иллю-

стрирует важность проблемы получения верных результатов

в условиях накопления ошибок округления. В действитель-

ности в реальных машинах результаты округления не столь

неблагоприятны. Все же при решении сложных задач прихо-

дится считаться с ошибками накопления в результате округ-

ления.

В режиме с плавающей запятой почти во всех случаях

происходит округление и в окончательных результатах могут

наблюдаться существенные, искажения. Результаты округле-

ний, какими бы малыми они ни были, меняют свойства арифме-

тических операций. Свойства ассоциативности и дистрибутив-

ности не выполняются на существующих ЭВМ. Произведение

сомножителей, отличных от нуля, может оказаться равным

нулю (это явление известно как «возникновение машинного

нуля при умножении»). Свойство коммутативности соблюдает-

ся лишь в том случае, если имеет место «правильное» округле-

ние [4, 51.

Формирование процесса правильного округления в совре-

менных ЭВМ, работающих в двоичной системе счисления, за-

труднительно. В системе счисления с четным основанием ок-

ругление реализуется неоднозначно. Считается невозможным

построить процесс округления в «классическом» виде, основан-

ный лишь на анализе конца мантиссы, таким образом, чтобы

ошибки компенсировали друг друга. Следовательно, на ЭВМ,

по существу, реализуются новые операции, лишь приближен-

но изображающие обычные арифметические операции. Отме-

ченные особенности не могут быть устранены техническими

средствами, хотя точность может быть значительно уве-

личена. Существуют большие возможности увеличения точ-

ности. Они заключаются в применении переменной длины ман-

тиссы, в использовании сокращенных систем счисления (на-

пример, троичной). -

Распространенным способом анализа точности является

решение задачи с обычной и удвоенной точностью. Совпадение

результатов указывает на отсутствие ошибок округления, по-

этому считается, что остальные вычисления в сходных зада-

чах можно вести с обычной точностью. Такой подход распро-

странен и часто дает удовлетворительные результаты.

Другой подход заключается в использовании специальных

программ, позволяющих записывать числа и выполнять one-