Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, оператор L, воздействуя на любую матри-

цу А, взятую из множества A

, переводит ее спектр в множест-

во точек, содержащихся в множестве В

. Это значит, что все

собственные числа р

- матрицы В = L (А) будут принадлежать

кругу радиуса г с центром в начале координат.

Эту задачу можно интерпретировать так. Требуется ука-

зать такую аналитическую функцию р = / (s), которая пере-

водила бы границы множества A

на границы множества

. Тогда если спектр исходной матрицы А лежит внутри

области D то спектр матрицы В в результате функциональ-

ного преобразования будет расположен в круге радиуса г

с центром в начале координат.

Чтобы най*ги условия принадлежности спектра s

матрицы

А области D, требуется указать простые в алгоритмическом

отношении условия нахождения спектра матрицы В в круге.

Если спектр f D, то необходимо и достаточно, чтобы наи-

большее по абсолютной величине собственное число матрицы

В было по модулю меньше величины г. Если г — 1, то

\f(s)\ - Ы< 1

и в этом случае оценка выполняется относительно единичного

круга с центром в начале координат. Тогда, для того чтобы

Si £ D, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось ус-

ловие

lim [L(A)]*«0,

где 0 — нулевая матрица.

Аналитическая функция р = / (s) может иметь различную

структуру и отображать ббласть заданного расположения спек-

тра Si исходной матрицы А не только на единичный круг с

центром в начале координат, но и на области, ограниченные

алгебраическими кривыми высших порядков, вложенными в

единичный круг.

Отображение областей расположения спектра матрицы А

на круг с центром в начале координат или на фигуру, вложен-

ную в круг , позволяет решить задачу устойчивости линейных

систем по исходной матрице А без определения коэффициентов

характеристического уравнения. Различные отображения при-

водят к различным функциональным преобразованиям матриц.

Основы метода функционально-преобразованных матриц были

заложены В. И. Зубовым в 1959 г. [71.

Необходимые и достаточные условия расположения всех

собственных чисел Я* матрицы А в заданной области D

комплексной плоскости Я имеют вид

lim В* =,0, (6.8)

где В — один из видов функционально-преобразованных ма-

триц.

Выполнение условия (6.8) можно проверить по нормам и

модулю следа матрицы В, величине наибольшего по модулю

собственного числа шах а также другим неравенствам,

известным в высшей алгебре.

Рассмотрим способ анализа устойчивости линейных систем

по уравнениям переменных состояния без построения характе-

ристического полинома. В теории аналитических функций

широко известно дробно-линейное преобразование

s = (Р + l)f(p ~ 1). (6.9)

Оно обладает тем свойством, что левая полуплоскость ком-

плексного переменного s переводится им во внутренность еди-

ничного круга с центром в начале координат плоскости ком-

плексного переменного р, при этом мнимая ось, рассматривае-

мая как окружность бесконечного радиуса, переходит в еди-

ничную окружность. Если комплексная переменная s переме-

щается вдоль мнимой оси, то комплексная переменная р

движется вдоль окружности единичного радиуса. Каждой точ-

ке левой полуплоскости соответствует вполне определенная

точка, принадлежащая внутренности единичного круга, и

наоборот, т. е. это соответствие взаимно однозначно: р = (s +

+ l)/(s- 1).

Подставим значение s из (6.9). в характеристическое урав-

нение (6.4), тогда

А-Я±±Е

= 0.

р-1

После некоторых преобразований получим

|(—Е—А)—р(Е—А)| — 0. (6.Ю)

Умножим уравнение (6.10) на (Е— А)

-1

—А)(Е—А)

-1

—рЕ|=0. (6.11)

Матрицу (—Е — А) (Е— А)-

можно преобразовать:

(—

Е-—А

+ Е—Е) (Е— А)-

- [(Е

— А)

—2Ej (Е—А)-

= Е—2(Е—А)-

Характеристическое уравнение относительно новой пере-

менной р будет иметь вид

|В—рЕ|-=0, где В ~

—2 (Е —А)-

Легко видеть, что если все собственные числа s* исходной

матрицы коэффициентов А системы (6.7) лежат в левой полу-

плоскости комплексного переменного s, то все собственные

числа Pi построенной матрицы В находятся внутри круга

единичного радиуса с центром в начале координат плоскости

комплексного переменного р. Если хотя бы одно s окажется

в правой полуплоскости, среди р

найдется такое, для кото-

рого |р

|> 1.

Известно, что если собственные числа матрицы В суть

Pi» Рг> •••» Рп»

т0

собственные числа матрицы B

равны pj,

Р§» —» Т. е. при возведении матрицы В в степень в ту же

степень возводятся и ее собственные числа.

Тогда, если все s

матрицы А системы (6.7) отрицательны,

последовательное возведение матрицы В в степень уменьшает

абсолютную величину собственных чисел pf, ибо все р^

лежат внутри единичного круга с центром в начале координат

и по модулю меньше единицы: |р*|< 1-

Критерий формулируется следующим образом: для того

чтобы система (6.7) была асимптотически устойчива, необхо-

димо и достаточно, чтобы для матрицы

В-Е—2(Е —А)-

(6.12)

выполнялось условие

->0 при k

—>•

оо, (6.13)

где 0 — нулевая матрица.

Можно доказать, что критерий справедлив во всех слу-

чаях, если матрица Е — А неособая, т. е. когда ее определи-

тель не вырождается в нуль. Если |Е —

А |

= 0, то не сущест-

вуют (Е — А)-

Могут быть построены функционально-преобразованные

Матрицы для всех практически важных случаев расположения

спектра матрицы А. Введем, например, степень устойчивости i]

Для того чтобы спектр s

матрицы А располагался левее

мнимой оси в области Res С г], необходимо и достаточно,

чтобы удовлетворялось условие

lim В* = О,

/г->оо

где

В—Е—2[(1 +rj) Е—А]

-1

Введем угол 2ф, соответствующий некоторому показателю

колебательности. Для того чтобы спектр матрицы А распола-

гался внутри угла раствора 2<р с центром в начале координат,

необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось требование

lim В* = О,

ft—>-оо

где В

—2[Е —/Ае~ '

]

-1

, или В

Е —

2(Е + iAe

«»)-

. '

Матрицы В

и Вф являются комплексно-сопряженными, по-

этому можно рассматривать лишь одну из них.

Аналогично могут быть сформированы функционально-

преобразованные матрицы В для других случаев расположе-

ния спектра s

матрицы А [6, 7].

Выполнимость необходимого и достаточного условия устой-

чивости можно установить по факту абсолютного убывания

элементов \Ь%\ матрицы B

. Возведение матрицы в степень

рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая

матрица являлась квадратом предыдущей, т

е. по закону

Тогда k-я степень матрицы B

находится через log

k шагов

(128-я степень матрицы В получается через семь, а 1024-я —

через десять возведений матрицы В в степень). В этом случае

в памяти машины не надо постоянно удерживать матрицу В,

так как каждый раз используются лишь полученные из нее

степени.

Изучение степени матрицы В* (k = 1, 2, 4, 2

) следует

вести до тех пор, пока не будет соблюдаться неравенство

Ш^Мп.

где

\Ь?>

| — элементы матрицы B

(г, /==1, п).

Более экономичная оценка возможна на основе рассмотре-

ния матричных норм и следов. Напомним, что нормой квад-

ратной матрицы В называют действительное число ||В||,

удовлетворяющее условиям:

а) ||В|| > 0, причем ||В|| = 0, тогда и только тогда, когда-

В = 0;

б) ||сВ|| = |^|• ||в|| (с— число), в частности |И| = |—ВЦ;

в) ||B4D|j^||Bl + |jD|j;

г) ||BD|<|B|-|D|.

Здесь В и D — матрицы, для которых соответствующие

операции имеют смысл. В частности, для квадратной матрицы

имеем ||В*|| ^ IIВЦ*, где k — натуральное число.

Рассмотрим следующие легко вычисляемые нормы:

ЦВ|i

—

max 2 \Ь

жЛ

\\ (6.14)

/= i

|В|ц-шах2 IM; (

)

! i=

Г~п

|В|и-|/ (6.16)

i.i

KJ,v = п шах | Ь

|. (6.17)

Для того

чтобы

система (6.7) была асимптотически устой-

чива и B

-> 0 при k ~> оо, достаточно, чтобы любая из

норм матрицы В была меньше единицы:

||В||<1, (6.18)

т. е. достаточно, чтобы выполнялось условие

min

(|| В Ць || В ||н, || В

||„ь

|| В

) < 1. (6.19)

Если условие (6.19) не соблюдается, то из этого не следу-

ет, что исследуемая точка пространства параметров системы

является неустойчивой. Вопрос об устойчивости должен быть

исследован дополнительно путем рассмотрения степеней ма-

трицы B

Пусть все собственные значения матрицы В лежат внутри

единичного круга с центром в начале координат (|р*|< 1,

I = 1, 2, п), а все нормы матрицы В больше единицы.

Рассмотрим последовательность степеней

, В

,..., В

™

В силу того что все собственные числа

< 1, элементы

матрицы B

начиная с некоторого k убывают, стремясь к

нулю при k-+oo. Тогда на каком-либо шаге |[B

||<l.

Это условие является необходимым и достаточным при суж-

дении об устойчивости системы.

Таким образом, оценка устойчивости по нормам выполня-

ется в такой последовательности.

1. Строится матрица В по исходной матрице коэффициен-

тов А системы (6.7).

2. Вычисляется какая-либо из норм матрицы В или конт-

ролируется условие (6.19). Если |[В|[< 1, то исследуемая

точка пространства параметров принадлежит области

устойчивости.

3. Если соотношение (6.19) не выполняется, то матрицу

В следует возводить в степень и рассматривать нормы последо-

вательных степеней:

i|B

J, ||В

||, | В

||,..., |JB*||.

Если при некотором фиксированном k какая-либо из норм

стала меньше единицы ||В*||< 1, то условие устойчивости

(k оо) соблюдается.

Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример 6.1. Определим, является ли ' система к = Ах + F (О

асимптотически устойчивой. Матрица А имеет вид

[

—0.9 3,1 —0,2-j

—0,4 —2,5 3,2 .

1,1 —1,5 —3,1J

Функционально-преобразованная матрица В

—0,21792 —0,82742 —0,58638 т

—0,11957 0,49057 —0,39177 J.

—0,28302 —0,03561 0,49820 J

Вычислим нормы матрицы В:

j| В (f

= шах 2 1М = тах[0,21792 +0,82742 + 0,58638;

/= i *

0, И957 + 0,49057 + 0,39177; 0,28302+0,03561 + 0,49820J =

=шах 11,63172; 1,00191; 0,816831-1,63172;

|| в ||

—

шах 2 I by | = maх [0,21792+0,11957+0,28302;

0,82742 +0,49057 + 0,03561; 0,58638+0,39177 +0,49820]

- max [0,62051; 1,3536; 1,47635] = 1,47635;

|| В |

= УЛ,21792

+ 0,82742

+ 0,58б38

+ 0,11957

+ 0.49057

+ ""

+ 0

39177

+ 0,28302

+ 0,03561

+ 0,49820

У0,047489 + 0,6846238 + 0,34384 + 0,0142970 + 0,2406589+'"

0,1534837 + 0,0801003 + 0,001268 + 0.24882032

—

У 1,8139639 = ! ,34683.

При рассмотрении норм достаточное условие устойчивости не

удовлетворяется, т. е.

min (|| В

Hi";

ЦВ||

; || В Ц

) - <1,63172; 1,47635; 1,34683»!.

Возведем матрицу В в степень:

0,31238 —0,204712 0,15981-.

0,07828 0,35354 —0,31726 1.

—0,07506 0,19896 0,42811 J

Норма матрицы

|| меньше единицы, что указывает на факт выполне-

ния условия B

—> 0 при k—>оо:

// JB

{

= max [0,676902; 0,74908; 0,69773 =^0,74908 < 1.

Рассмотрим возможность оценки собственных чисел матри-

цы В по ее следу. Известно, что следы последовательных

степеней матрицы B

представляют собой суммы всех собствен-

ных чисел pi, взятых в той же степени, что и матрица B

т. е.

t= i

Если система устойчива и B

->»

0, то след Sp B

также стре-

мится к нулю при k -ъ оо.

Если сочетание параметров исследуемой точки пространст-

ва таково, что точка находится достаточно далеко от границы

устойчивости, то матрицу В можно не возводить в степень, а

воспользоваться достаточным критерием неустойчивости

* •

л »' .

|SpB|>ft. (6.20)

Можно показать, что если выполняется условие (6.20), то

среди р* найдется хотя бы одно, для которого справедливо

условие

|pj |

> 1. Это означает, что система является не-

устойчивой.

Если соотношение (6.20) не удовлетворяется, никаких вы-

водов относительно принадлежности исследуемой точки к

области неустойчивости сделать нельзя. В этом случае можно

рассмотреть поведение последовательности следов матрицы

, т. е.

| Sp В

1; JSp В

1;..„; |SpB*|.

Программу рекомендуется строить таким образом, чтобы

на каждом шаге возведения матрицы В в степень контроли-

ровать условия устойчивости и неустойчивости.

Неустойчивость

| SpB |>п;

|SpB

1 > ti]

| SpB

1 > и;

Устойчивость

«в||<1;

II в

II <1;

II в« || < 1;

II В

< I. |SpB

|>n,

—1,2,3, ...

Отметим, что функционально-преобразованные матрицы мо-

гут иметь различную структуру. Однако вэ ьсех случаях ал-

горитм должен строиться так, чтобы однозначно устанавлива-

лась принадлежность спектра р* матрицы В кругу радиуса

г = 1с центром в начале координат или некоторой области,

вложенной в круг.

Возведение матрицы в степень требует n

операций умно-

жения и л

(я — 1) операций сложения. Матричные операции

хорошо поддаются распараллеливанию, и современные ма-

тричные процессоры позволяют значительно сократить время

расчетов. Тем не менее существуют возможности уменьшения

трудоемкости за счет изменения вычислительной схемы. На-

пример, в некоторых ЭВМ для перемножения матриц приме-

няется алгоритм Штрассена, в котором число операций умно-

жения составляет

Хо

~ п

2,8

\ а число сложений 6/г

—

— я

. Практически алгоритм Штрассена более эффективен

лишь на высоких порядках матрицы.

§ 6.4. Матричный критерий устойчивости,

не связанный с обращением матрицы

Вычислительные трудности, связанные с нахождением ко-

эффициентов характеристического полинома по исходной ма-

трице А уравнений переменных состояний пробудили интерес

к машинно-ориентированным методам анализа устойчивости,

в которых отсутствуют не только операция построения харак-

теристического полинома, но и операция обращения матрицы.

Операции обращения, где это возможно, желательно избегать.

В матричном критерии (6.13) в функционально-преобразо-

ванную матрицу В входит обратная матрица. Ее появление

связано с использованием дробно-линейного преобразования

(6.9). Рассмотрим подход в общем случае, устраняющий опе-

рацию обращения.

Вообразим себе, что мнимая ось является окружностью

бесконечного радиуса. «Изогнув» ее, получим окружность ко-

нечного радиуса. Таким образом приходим к идее охвата об-

ласти расположения спектра s

матрицы А кругом. В дальней-

шем такой круг отображается на единичный круг с центром в

начале координат комплексной плоскости р или на некоторую

область, расположенную внутри этого круга.

Пусть на плоскости s имеется круг радиуса /?, в котором

содержатся все собственные числа матрицы А. Центр круга

находится на вещественной отрицательной полуоси в точке

I—/?, 01. Отобразим круг в левой полуплоскости на единичный

круг плоскости р с помощью функции

S =

(р_ 1). (6.21)

Подставим значение (6.21) в характеристическое уравнение

(6.7). После несложных преобразований получим

| В—рЕ | =0, (6 22)

где

В = Е +А//?. (6.23)

Тогда если все собственные числа s* матрицы А находятся

внутри круга радиуса R в левой полуплоскости комплексного

переменного s, то все собственные числа pi функционально-

преобразованной матрицы В лежат внутри круга единичного

радиуса с центром в начале координат на плоскости комплекс-

ного переменного р, т. е. |pj < 1 (i ~ 1, /г).

Имеет место следующее утверждение: для того чтобы все

собственные числа s

(i = 1, 2, ..., п) исходной матрицы ко-

эффициентов А системы (6.7) находились внутри заданного

круга радиуса R

расположенного в левой полуплоскбсти и

имеющего центр в точке I—R, 01, необходимо и достаточно,

чтобы выполнялось условие

lim В - 0,

k—>оо -

(6.24)

где В = Е 4 А//?; 0

-—

нулевая матрица.

Таким образом, условие принадлежности всех собственных

чисел матрицы А кругу радиуса /?, расположенному в левой

полуплоскости, сводится к возведению функционально-пре-

образованной

матрицы В в степень и к изучению последова-

тельности степеней по нормам и модулю следа. Аналогично

может быть построен критерий с учетом произвольной степе-

ни устойчивости Tj.

Пусть задан круг с центром в точке [—R — rj, 01, в котором

находятся все собственные числа s

матрицы А (рис. 6.1).

Отображая этот круг на единичный круг с центром в начале

координат, можно построить функционально-преобразован-

ную матрицу.

Для того чтобы все собственные числа s

матрицы А си-

стемы (6.7) лежали в левой полуплоскости внутри круга ра-

диуса R с центром в точке [—R — г), 01, необходимо и доста-

точно, чтобы удовлетворялось

требование

lim В? - 0,

k~>oo

где

о Res

Рис. 6.1

--К(А —чЕ)/R;

0 —нулевая матрица.

Первоначальное значение

радиуса может быть выбрано ис-

ходя из свойств конкретной ис-

следуемой системы, когда пред-

ставляется каким-либо образом

косвенно оценить частоту ко-