Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

лебаний в ней, а также по нормам матрицы А или на основе

методов локализации. Слишком большие первоначальные зна-

чения радиуса приводят к аннулированию элементов матрицы

ввиду выхода числа за пределы разрядной сетки машины. На-

пример, если элементы матрицы А достаточно малы, то деле-

ние на большое значение R еще более уменьшает их, что и при-

водит в отдельных случаях к выходу числа за пределы раз-

рядной сетки. Тот предел, при котором происходит аннулиро-

вание отдельных элементов матрицы А, определяет верхнюю

границу величины радиуса R.

Большие значения радиусов удлиняют время решения зада-

чи, так как увеличивают число шагов при исследовании каж-

дой точки пространства параметров в log

R раз. Так, увеличе-

ние радиуса в 10

раз требует дополнительно 10 шагов, что

соответствует Юп

операциям умножения.

Центр круга, охватывающий область расположения всех

собственных чисел матрицы А, отнесен влево на величину

—R — к], поэтому касательные, проведенные из начала коорди-

нат к окружности, приближенно характеризуют колебатель-

ность в системе (рис. 6.1).

Показатель колебательности выражается тангенсом угла

наклона касательной

jx-tgcp-K/Z-/?/}/•(£

— R

= R/УЩТ*?.

Выполнив несложные преобразования, показатель колеба-

тельности можно представить как

li—T^zzr-v fVWTT,

1/2 Я/?]-И

где у — R/K).

Из формулы следует, что показатель колебательности за-

висит от отношения двух величин: радиуса круга R, охваты-

вающего все собственные числа матрицы А, и степени устойчи-

вости Г|.

В большей части практических расчетов на ЦВМ пределы

изменения показателя колебательности jm составляют от 1 до

Кругами подходящего радиуса можно ограничить интере-

сующую проектировщика область расположения всех собствен-

ных чисел Si и исходной матрицы коэффициентов А в левой

полуплоскости. Однако при возведении матрицы в степень

возможен колебательный характер сходимости. Этот эффект

имеет место тогда, когда какое-либо из собственных чисел s

матрицы А достаточно близко расположено от границы круга.

Для устранения этого нежелательного явления можно ис-

пользовать функционально-преобразованные матрицы, соот-

ветствующие нелинейному отображению охватывающего

спектр круга.

Рассмотрим матричный степенной ряд

A/R

= Е4-

3IR

-К..+

т\ R

0,1,2,.., .

(6.25)

Если для отображения круговой области расположения

всех собственных чисел матрицы А использовать три или четы-

ре члена ряда (6.25), то явление «колебательности» подавляет-

ся.

При использовании первых трех членов ряда (6.25) .функ-

ционально преобразованная матрица имеет вид

= E + > (6.26)

2 R

В этом случае оценивается принадлежность спектра матри-

цы кругу радиуса г = 0,5 с центром в точке [0,5; 01 комплекс-

ной плоскости р (рис. 6.2, а).

Для того чтобы спектр матрицы А системы (6.7) находил-

ся внутри круга радиуса R с центром в точке [—01 комплекс-

ной плоскости s, необходимо и достаточно, чтобы спектр ма-

трицы D

располагался внутри круга радиуса г — 0,5, вло-

женного в единичный круг с центром в начале координат.

Круг симметричен относительно оси абсцисс и имеет общую

точку [1, 0] с единичным кругом.

Рис. 6.2

При использовании четырех членов ряда (6.25) окружность

радиуса R комплексной плоскости s переходит в алгебраиче-

скую кривую третьего порядка, вложенную в единичный круг

комплексной плоскости р. Эта кривая пересекает оси ОХ в

точках [1/3, 0] и [1, 0] (рис. 6.2, б). Функционально-преобра-

зованная матрица имеет вид

Ds = E + — + — + т-0, 1,2,3. (6.27)

R 2R

6/?з '

v 7

При. использовании пяти членов ряда (6.25) осуществляет-

ся отображение круговой области отображения спектра на

внутренность области, ограниченной алгебраической кривой

четвертого порядка — конхоидой с круговым базисом (улит-

кой Паскаля). Эта кривая (рис. 6.2, е) имеет общую точку с

единичным кругом [1, 0] и целиком находится в правой его

половине. Функционально-преобразованная матрица имеет

вид

Д А 2 A3 А4

^ Е-f — -(—~ \— 1—~~—, т = 0, 1,2,3,4. (6.28)

R 2R* 6 Я

24Я* '

v 7

Функционально-преобразованным матрицам 0

, D

мо-

жет быть поставлен в соответствие скалярный ряд

Н S S

S3 Ч

р =

+ -£-+_£_ + .-£—

+ +

. (6.28а)

R 2\R* 3! /?« ^

ml R

При т = 1, т. е. при рассмотрении первых двух членов,

имеет место линейное преобразование. При т = 2, 3, ... име-

ет место нелинейное преобразование. Известно, что всякая

квадратная матрица является элементом кольца. Это позволя-

ет заменить скалярную величину s матрицей А. При такой за-

мене надо соблюдать два условия: 1) следить за порядком сле-

дования сомножителей, так как в общем случае кольцо матриц

некоммутативно; 2) следить за операцией деления, так как

не всякая матрица имеет свою обратную. В данном случае

каждая матрица коммутирует caaia с собой и со своей целой

произвольной положительной степенью и эти условия авто-

матически соблюдаются.

Можно показать, что функционально-преобразованные ма-

трицы D

, полученные при круговом охвате и отображении

спектральной области матрицы А, приближают матричную экс-

поненту exp (At), входящую в решение х (t) = ехр (АО х

однородной системы х = Ах.

Алгоритм построения процессов с равномерным шагом h

имеет вид

fc+1

, 0,1,2,...,. (6.29)

При использовании матрицы D

порядок ошибки состав-

ляет — 0 (к

Так, при введении матрицы D

порядок погрешности О (h

)

соответствует методу Эйлера, при введении матрицы D

со-

ответствует методу Эйлера—Коши, т. е. —О (Ъ

), при ис-

пользовании матрицы D

— методу Рунге—Кутта четвертого

порядка, т. е. порядок погрешности составляет О (/г

При построении процессов в однородной системе с прогрес-

сивно увеличивающимся шагом алгоритм имеет вид

~Dlx

, (6.29а)

где х

— вектор начальных условий.

Таким образом, в матричных критериях, основанных на

построении и исследовании функционально-преобразованных

матриц, заложены возможности не только анализа устойчиво-

сти, но и построения переходных процессов, удовлетворяющих

заданным начальным условиям. В определенной степени трудо-

емкость компенсируется увеличением полезной информации.

Алгоритм позволяет анализировать устойчивость нестацио-

нарных систем прямым построением процессов, а также выяв-

лять временную работоспособность системы на конечном ин-

тервале времени. В нестационарных системах функционально-

преобразованная матрица перестраивается на каждом шаге.

Алгоритм построения процессов в однородной нестационарной

системе имеет вид

1 = ^m (kh) Xfc,

где D

(kh) — функционально-преобразованная матрица, фор-

мируемая на каждом шаге

в соответствии с изменением исход-

ной матрицы A (kh).

Выбор шага h осуществляется по радиусу R круга, охват

тывающего все собственные числа матрицы А. Величина

h = l/R является шагом интегрирования, она может изменять-

ся в широких пределах, при этом основным условием являет-

ся нахождение всех собственных чисел матрицы внутри круга

радиуса R. Таким образом, увеличивая длину шага, мы можем

ускоренно строить переходные процессы, при этом вычисли-

тельная устойчивость сохраняется и качественная картина про-

цессов, несмотря на рост погрешности, не изменяется.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение алго-

ритмов.

Пример 6.2. Рассмотрим систему

ж.

dx-Jdt ~ x

;

dxjdt = — Ьх

— 2х%.

Начальные условия х

(0) = 1; х

(0) = 0,5. *

Требуется найти решение, которое определяет собственное дви-

жение (устойчивость) системы. В качестве матрицы D

выберем матри-

цу

Матрица А и вектор начальных условий х

имеют вид

Круг радиуса с

А || , где |] А [( — норма матрицы, примем равным

10. Шаг h = i/R = 0,1- Если шаг принять равным h = 0,01 (R =

= 100), то масштаб времени уменьшается и потребуется большее ко-

личество вычислений. При h = 0,1 матрица D

имеет вид

-Б b'UJ]

1 1 0,0001 Г 5 121

12J

24 [—60 —19}

0,97668 0,08988 1

—0,44941 0,796919J

Для получения решения можно использовать любую из формул

Решение в момент времени t — kh — 0,1 с имеет внд

Г 0,9^668 0,089881 Г1 ] Г 1,021621

Xl = X(

°'

~ [-0,44941 0,79691 J [o,5J [-0,05094J'

В момент времени i — 0,2

Г 0,993221

Х2= *

(0,2)

—

—о,49973J

и далее

j -

*а

Г 0,925141 Г 0,827661 _

0,718081

84461

[-1,004421 ** 1.-1,17239]'

Г 0,595961 Г 6,344031 [-0,201801

e==

|_| ,2570!J* L—' ,22888]* *

[-0,09570j'

Решение системы приведена на рис. 6.3.

Рис. 6.3

Пример 8.3. Рассмотрим однородную нестационарную систему

х = А (/) х,

где

А (/) -

Вектор начальных условий

Ао-

L-1 —ю<]

[о,б]'

Требуется построить решение системы на промежутке (О; 1] се-

кунд, используя функционально-преобразованную матрицу D

(kh).

Положим h = 0,1. При k = I

Рис. 6.4

имеем

£>2

(ftA)=E+A(ftft)A-f

+ у [A (kh)h\*-

-П

—0,5 о,п

—0,1 -

—0.1J

0,12 -

-0,03]

0,03

6 J

Г 0,62

0,07

[ 0,07

0,9

15 t с

Выполним вычисления в

соответствии с алгоритмом:

1 2

В моменты времени t = khc значения вектора х& следующие:

m г, /аы Г °>

°'

1Г П f0,6551

= х(0,

1) — D

(kh) Хо —

—0,07 0,9 ][о,5^0,38 }

= х (0,2)= Г °'

0,0657 ГО,6557 ГО,4308 7

[—0,065 0,815J [о,38 J [0,267125]'

=х(0,3, = [ °'

0.06Т Г0.4308 1 ГО,2831235.

[—0,06 0,74j [о,267125J [o,1718245j

х =ж>0 «

= Г °'

62 0,55

1 Г

2831235

]

ГО, 184986911

' [—0,055 0,675J [0,l7i8245j [о,10040982J*

Дальнейший ход процессов изображен на рис. 6.4.

§ 6.5. Векторные методы построения переходных

процессов в линейных системах

Анализ устойчивости путем формирования и возведения в

степень функционально-преобразованных матриц, а также с

помощью других эффективных способов аппроксимации матри-

цы ехр (А /) таит в себе скрытые возможности построения

переходных процессов. За счет увеличенного шага можно полу-

чать семейство процессов относительно всех переменных со-

стояния. Слишком большие значения шага увеличивают по-

грешность в решении, однако качественная сторона процессов в

решении сохраняется.

Рассмотрим автоматическую систему, описываемую урав-

нением

х = Ах + F (t)

(6.30)

где F (t) — вектор внешних возмущений.

Решение системы х (0 при начальных условиях х (0) =

— х

может быть точно представлено в аналитическом виде:

(/) ехр (At) х

+ j ехр [A (t

—%)] F

(т) dx. (6.31)

Ставится задача найти аппроксимацию точной записи решения

(6.31) уравнения (6.30).

Положим

=kh\ x

^x(t

)\ k^0,1.2,...,

где ft — шаг построения процессов.

Из (6.31) получаем

= exp (Nik) x

+ J exp [A (kh —т)] F (т) dr.

Введем обозначения

= exp

(Akh)x

;

= J exp

{A (&ft —т)1

F (т) dr,

тогда

+ (6.32)

Будем вычислять интеграл z

приближенно по формуле пря-

моугольников с шагом h — MR. Используя значения подынте-

гральной функции на левых концах частичных промежутков»

получим

kh k-1

exp [A (kh

—T)]

(T)

dr = h 2

exp[A(fcft—ih)]F(ih)

= h exp [Aft (k —01F (to).

i =

В качестве exp (Ah) выберем функционально-преобразованную

матрицу D

(см. § 6.4). Имеем

; - ft D*T' F

(eft).

г — 0

Учитывая (6.32), получим

+ ft 2

«*)• (

Соотношение (6.33) запишем следующим образом:

Преобразуем правую часть этого равенства:

/i+

i =

Dm E)

+ ЛВ

ГО

2 (Л)+Р(ЛЛ) U

«=о J

+ 2 Dm"' F (Й) + ftF (kh) 1.

0 j

Сравнение с уравнением (6.33) позволяет алгоритм построения

переходных процессов представить в виде

+i==D

+ ftF(M)], й^О, 1, 2, .... (6.34)

Если использовать точность построения переходных про-

цессов, соответствующую точности усовершенствованного ме-

тода Эйлера, то формула (6.34) принимает вид

ft+1

- (Е + Ah + [x

ЛР

(kh)

}

. (6.35)

Последовательные значения искомого вектора переходных про-

цессов находятся таким образом:

- (Е + АЛ + ) [х

+ ЛР (0)];

= (Е +

АЛ

+ [х

+ h?(2h)]\ ....

Алгоритм (6.34) может использоваться для построения

переходных процессов в линейных системах при внешних воз-

действиях, меняющихся в широком диапазоне. Последние

могут быть достаточно интенсивными, иметь разрывы. Значе-

ния функции F (kh) могут определяться по ходу вычислений

или вводиться таблично.

Алгоритм (6.34) не накладывает каких-либо принципиаль-

ных ограничений на шаг построения процессов, кроме усло-

вия нахождения спектра s

матрицы А внутри круга с центром

в точке [—R

0] в левой полуплоскости. Процесс будет числен-

но устойчив, если шаг выбрать кратным величине h. Пусть

вначале вычисления осуществляются с шагом h до точки

ih (/ шагов длиной

Л),

а затем вычисления продолжаются с

шагом в р раз больше, т. е. равным ph. Рекуррентная формула

для такого способа вычисления имеет вид

Х/_|_р

(s+

1) ™ Е^го

/+ps

+ phF[(I -hps)

A]};

s = 0, 1, 2, .... (6.36)

При р = I вычисления ведутся с шагом h и формула (6.36)

переходит в формулу (6.34). Матрица D

, согласованная по

точности с приведенным способом вычисления, имеет вид

=E+A

Более высокая точность приближения матричной экспонен-

ты ехр (At) начиная с т = 4 входит в противоречие со способом

аппроксимации интеграла в уравнении (6.31), отражающего

влияние внешнего-воздействия F (t). В этих условиях требует-

ся повышение точности вычисления интеграла. Аппроксими-

руем интеграл

{k+\)h

j ехр [A (kh —

T)JF (T)

(6.37)

используя правило трапеций. Алгоритм построения переход-

ных процессов в окончательном виде будет

= ехр (Ah)

+ (h/2) F

(kh)]

+ ^-Fl(k+\)hl (6.38)

Вместо ехр (Ah) можно подставить функционально-преоб-

разованную матрицу (ФП-матрицу) D

или D

. Порядок по-

грешности при таком способе построения процессов составляет

О (Л

). Дальнейшее повышение точности построения переход-

ных процессов с помощью ФП-матриц D

может быть достиг-

нуто с помощью параболической аппроксимации интеграла

(6.37). Построим алгорим для такого способа вычисления век-

тора переходных процессов. Имеем

- ехр

(Akh)

-h J ехр [А (АЛ—т)] F

(т)

dx. (6.39)

Положим, как и прежде, t

= k/R = kh. Заменяя в выра-

жении (6.39) k на 2k, получим

2 kh

- ехр (2Akh) х

+ j ехр [А (2kh— т)] F (т) dx.