Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

акцию системы при подаче на вход гармонического сигнала),

устраняются операции с комплексными числами, не нужно

вводить специальных мер для учета неминимально-фазовости,

резонансных свойств. Оказывается возможным упростить и

ускорить получение частотных характеристик системы между

любыми точками ее структуры как для замкнутых, так и для

разомкнутых контуров, а также в определенной степени рас-

пространить такой подход для анализа нелинейных систем.

. Особенность применения частотных методов применительно

к машинной постановке заключается в увеличении их информа-

ционной ценности. Можно строить не только сами частотные

годографы, но и выводить на печать данные анализа их, т. е.

строить линии равных значений запасов устойчивости по ам-

плитуде (изамплиты) и линии равных значений запасов по

фазе (изофазы) в зависимости от изменения параметров систе-

мы. Изамплиты и изофазы затем могут быть нанесены на обла-

сти заданного качества, в частности на области, построенные

при различных степенях устойчивости и показателях колеба-

тельности. Такое совмещение характеристик дает возможность

сразу указать значение запасов устойчивости по амплитуде и,

по фазе для любой интересующей проектировщика точки внутри

области устойчивости и, таким образом, существенно облег-

чить выбор параметров при синтезе системы автоматического

управления.

§ 6.9. Построение областей устойчивости

и динамического качества как задача

параметрического синтеза

Внедрение ЭВМ в практику проектирования систем различ-

ного назначения расширяет возможности инженера-проекти-

ровщика и позволяет повысить информационную ценность

многих традиционных и новых методов теории управления.

В частности, оказывается возможным поставить задачу нахож-

дения совокупности параметров, удовлетворяющих заданным

динамическим свойствам. Подобная задача, по существу, рав-

носильна нахождению области в пространстве параметров, вну-

три которой заданный функционал отвечает заранее постав-

ленным требованиям. Природа области может быть различной

и определяется видом функционала. В наиболее простом слу-

чае это область устойчивости. В дальнейшем в ней может быть

выделена область заданной колебательности, а также области

с другими динамическими свойствами.. При определенных спо-

собах введения функционала искомая область является «око-

лооптимальной» и можно условно говорить об оптимизации

множеством в пространстве параметров,.. , . '

Околооптимальное множество точ^к в пространстве пара-

метров представляет практический интерес, теоретическая ор-

т им а! л ьная точка может находиться внутри такой области. Кон-

цепция синтеза автоматических систем, основанная на нахрж-

дении й использований областей заданного динамического ка-

чества, представляет собой самостоятельную методологиче-

скую проблему.

Конкретизируем задачу применительно к линейным авто-

матическим системам. Рассмотрим дифференциальную систему

-<«

:-"i

Ax-f-F{t).

' г;

Пусть элементы матрицы А являются непрерывными функ-

циями параметров jn

..., ix

изменяющихся в некоторой ог-

раниченной области Q, определяемой неравенствами

• •

• * I I .

где a

..., а

; b

..., b

— заданные пределы изменения па-

раметров.

Пусть задан функционал G Qn

..., p-

), отражающий ка-

чественные характеристики системы. В качестве такого функ-

ционала могут быть использованы ближайшее к мнимой оси

собственное число (степень устойчивости), ограничения чисто

мнимых частей спектра матрицы А или другие показатели, при-

ближенно характеризующие динамические свойства переход-

ных процессов. В области допустимых значений Q требуется

найти границы такой подобласти со ci fi, внутри которой

введенный функционал отвечает условию

G (n

Hm)

<С

а вне этой области

G (fij, li

) > U

где I — некоторое заданное число.

Пусть, например, требуется осуществить построение гра-

ницы подмножества со с: Q так, чтобы спектр матрицы А рас-

полагался внутри заданной области D на плоскости комплекс-

ного переменного s. В частности, если область D есть вся ле-

вая полуплоскость^ то задача равносильна построению обыч-»

ной области

устойчивости. Если область D является полу-

плоскостью, расположенной левее мнимой оси на расстоянии

щ.

от нее, то задача сводится к построению области, обеспечи-

вающей определенную степень устойчивости. Задавая различ-

ным образом границу области D, можно обеспечить определен-

ные качественные ограничения на переходные процессы. На-

хождение подмножества со сг Q £ со) представляет собой

бдну из задач параметрического синтеза, так как сводится к

подбору параметров исходя из условий расположения всех

собственных чисел матрицы А в заданной области D левой по-

луплоскости.

Методы нахождения искомой области в пространстве пара-

метров должны быть достаточно эффективны с точки зрения

машинной реализации. Для того чтобы определить границы

области, надо иайти надежные и экономичные способы построе-

ния границы на всем ее протяжении, исключая участки, вы-

ходящие за ограничения.

§ 6.10. Модифицированный метод D-разбиения.

Применение полиномов Чебышева

Применяемый в ручных расчетах при построении областей

устойчивости метод D-разбиения в принципе позволяет сразу

определить точные границы, несмотря на наличие посторон-

них линий, затрудняющих выделение искомой области. D-

разбиение широко применяется для построения областей устой-

чивости линейных систем в плоскости двух параметров, если

интересуЮщиё проектировщика параметры входят в коэффи-

циенты характеристического уравнения линейно. D-разбие-

ние может быть в значительной степени усовершенствовано и

лучше ориентировано на использование ЭВМ. Метод может

быть эффективно применен для построения областей с задан-

ным расположением корней характеристического уравнения

в левой полуплоскости (внутри угла, трапеции* и других фи-

гур), может быть распространен для построения областей

устойчивости в гармонически линеаризованных системах, а

также для областей с заданным расположением корней в им-

пульсных системах.

Одним из возможных путей усовершенствования метода

является использование полиномов Чебышева. Полиномы Че-

бышева обладают свойствами как ортогональных, так и гар-

монических функций. Все операции выполняются в веществен-

ной арифметике. На возможность модифицировать £)-разбие-

ние применительно к машинной постановке впервые, по-види-

мому, обратил внимание Д. Шилак, который создал методы

анализа и синтеза автоматических систем f20j. В дальнейшем

были продолжены исследования по усовершенствованию ме-

тода и расширению его возможностей [6].

Кратко изложим необходимые сведения о полиномах Чебы-

шева. Полиномы Чебышева имеют ряд существенных преиму-

ществ. Они выражаются через элементарные тригонометриче-

ские функции, обеспечивают наиболее сильную сходимость

при представлении функций, коэффициенты полинома всегда

суть целые числа, что важно с вычислительной точки зрения,

так как целые числа не вносят ошибок округления. Чебышев-

ские многочлены обладают всеми свойствами рядов Фурье.

Их и можно рассматривать как рады Фурье, замаскированные

с помощью преобразования переменной 6 = arccos х.

Рассмотрим простое тригонометрическое тождество

cos (п + 1) 6 + cos (п — 1) в = 2 cos в-cos лб (6.53)

и аналогичное ему

sin (п + 1) 6 + sin (п — 1) 6 = 2 cos 6-sin лв. (6.53а)

Тождества позволяют вычислить значения cos пв и sin п0

через предыдущие значения cos 6 и sin 6. Если положить

cos 6 = х и начать с cos 0 = 1 и cos 6 — я, то формула (6.53)

дает для cos 26 квадратный многочлен от х, для cos 36 —

кубический многочлен и т. д. Поэтому формулу (6.53) можно

переписать в виде

п+1

(х) = 2хТ

(х) (х), п-1, 2, .... (6.54)

В частности,

(х) - cos (0) - 1; Гз (х) 4*

—

3*;

(х) cos

х х\ Г

(х)

= 8х*-~8х

+\;

(х)^2Х

— 1;

Полиномы Т

(я) называются полиномами Чебышева 1-го

рода. По рекуррентной формуле (6.54) получаются те же зна-

чения cos п6, но в виде полиномов n-й степени относительно

переменной х = cos 6:

cos пб = Т

(ж).

Подобный результат имеем для формул (6.53а), если разде-

лить обе ее части на sin 6. В этом случае исходим из тождеств

sin 0

sin 2G

0 Л

м * 1; — = 2 cos

sin 8 sin6

sin 38

и получаем ^ в виде квадратного полинома относитель-

но х, — в виде кубического полинома, и т. д. Полином

n-й степени относительно переменной х = cos 6 мы получаем

sin (я+1)9

через значения <—\ ' • :

sin 8

t/,^

. (6.54а)

sin 8

Рекуррентная формула для U

(х) имеет вид

n+l

(x) = 2xU

(x)~U

(x)

]

/г

—

1, 2

В частности,

(х)

= == 1; С/а

<*>

= 8*

—4х;

sin в

у ^ _ 2sin8-cosв ^ t/

(x) = 16x*~12*

+l;

sin 8

= 2 cos 6 = 2r,

(x)^ 4х

--1;

Полиномы (Л;) называются полиномами Чебышева 2-го

рода.

Преобразование х = cos в можно рассматривать как про-

екции пересечений полукруга с прямыми, имеющими равные

углы между собой. Неравномерное расположение прямых,

которое сгущается к концам интервала

—1

^ х ^ 1, определя-

ет область задания полиномов Чебышева 1-го и 2-го родов.

Следующая формула связывает полиномы Чебышева 2-го

рода при отрицательных и положительных значениях аргу-

мента:

Полиномы Чебышева 1-го и 2-го родов связаны следующим

образом:

(х)

- xU

(х) + Т

(х), откуда Т

(х)

- U

(x) —xU

(х).

Рассмотрим теперь использование полиномов Чебышева для

перестроения D-разбиения. Пусть характеристическое урав-

нение имеет вид

Яо+ + - 2 a

= 0. (6.55)

Л — о

Корни характеристического уравнения могут быть различны-

ми. Исследуем случаи комплексных, вещественных и чисто

мнимых корней уравнения. Рассмотрим случай комплексных

корней, представив их в тригонометрической форме:

s=o) (cos 0 + j sin 0). (6.56)

Аргумент 0 изменяется в промежутке [0, зх]. Это будет соот-

ветствовать сопряженным корням, расположенным в верхней

и нижней полуплоскостях

Область устойчивости соответствует значениям аргумента

в промежутке [л/2, к]. По формуле Муавра имеем

= o>

(cos £0 .+ j sin kQ).

Подставим выражение (6.56) в характеристическое уравнение

(6.55) и приравняем нулю вещественные и мнимые части. По-

лучим

2 cos £0 = 0: (6.57)

2 sin £0=0. (6.58)

Отметим, что в равенстве (6.58) счет начинается с k = 1, так

как слагаемые, соответствующие значению k = 0, равны нулю.

Положим cos 0 = Используя полиномы Чебышева, получим

cos kQ - T

(Ъ);

sin kQ = sin 6U

(I) (sin 0 ф 0).

Это соответствует случаю определения корней характеристи-

ческого уравнения с ненулевой мнимой частью. Равенства

(6.57) и (6.58) запишутся соответственно в виде

2 a

<sfiT

(Q=0; (6.59)

-И

2 СО*

(Б)

= 0. (6.59а)

Сокращая на со, получим

2 en-**»*-

iws-o.

Искомая область находится в левой полуплоскости, что соот-

ветствует отрицательным значениям аргумента £ из промежут-

ка [—1,0]. Чтобы иметь дело со значениями полиномов Чебы-

шева от положительного аргумента (что удобно с вычислитель-

ной точки зрения), в равенствах (6.59) и (6.59а) заменим пере-

менную £ на —

2 (-1)* вп-*

со*

(£) =

(6.60)

k=Q

2 вт-Н®*"

0. (6.61)

В равенствах (6.60) и (6.61) области устойчивости соответст-

вуют значениям £ из промежутка [0, Я.

Заметим, что

I = —cos 0 = cos

Ф;

(6.62)

s -

со

(—I + / КГ=Т

). (6.62а)

Пусть коэффициенты характеристического уравнения за-

висят от двух параметров и линейно:

-к =

<*n~-h

+ Рn-h

+ 1W (6.63)

Подставляя выражение (6.63) в равенства (6.60) и (6.61), по-

лучим систему относительно параметров и щ с коэффициен-

тами, являющимися функциями со и ,

Ci<<0, Ю

0; V

(664)

Ма(®, 0 + РвЭаК £) +

(СО,

0=o,f

где

Л= S (-1)*»»-*®

(l)\

.ч; •

= 2 <-!)*&»-*«*

(6);

fc^O

= 2 (— I)*-

CO»-«t/fc-!<g);

(6.65)

= 2 (-^-'Yn-fc®*-

^-!©.

Решая систему (6.64) при условии, что

А=ЛВ

- А

Вгф0

получим

Л B

- A

' fi

- Л

Формулы (6.65) для коэффициентов системы (6.64) можно

упростить, если вместо полиномов Чебышева ввести в рассмо-

трение функции

(6.65а)

Qjco,

(6.66)

(6.67)

Для этих функций могут быть получены рекуррентные форму-

лы. Умножая (6.66) на (—l)

ft+1

to*

, получим

(. -1)*+1 со*+

TV*

(Е)

- (- 1)*+

2£co

+ ®)-

или

(СО,

Б) - --2<о|Р*

(со,

—со

(со, ft - 1, 2,...,

причем

(со, Б)

- Г

Ш - 1;

Рг (о),

I) - -co7V

(g)

= _

cog.

Аналогично, умножая (6.67) на (—l)

ft+l

fc+1

, получим

или

(«>,

I) = -2&DQ» (со,

£)

—to

Qb-! (ш, k = 1,2,..., (6.68)

где Qo(<о,

(E)

= 1; Q

(ю, 1) = (g) - -2co|.

Таким образом, вместо (6.65) можно применять формулы

2 «П-*-РЙ(<». I); 4г= 2 «п-ftQfc-i(«>, !);

ft—О fe=l

п п

2 I); 2 l);

k—0

П п

Сг= 2 1); с

= ^ Тп-л

Qfc-i (w,

I).

Л— 0

Л=г1

Используя связь между полиномами Чебышева 1-го рода

и 2-ГО рода U

формулы можно сделать еще проще. Пе-

рейдем от функций P

к функциям Q

Умножая на (—l)

, получим

(®>

I) (со, I) +

gcoQft-x (со,

6). (6.69)

Подставим теперь выражение (6.69) в формулу для А

Получим

л «

се

+ 2 (со, £) = а

+- 2

(<»>

I) +

i i

+&» 2

n-*-Q*-i(®. Е)

/г=

или (так как Q

— 1)

Л = 2 Б)+

к—о

Аналогично можно получить

Tn-ftQft(®.S)

+ №

i = 2

Vn-ftQfc(w,I)

Введем обозначения

k~0 k=>0

ct= 2 Vn-

{o>,g).

k— о

iVi.

Тогда

=^A\+ L<OA

B^B\ + %A>B

\ СГ=С\ + £G>C

. (6.70)

Подставляя выражения (6.70) в первое уравнение системы

(6.64), получим

или

МЛ!

4- £о>Л

)+щ (В!

+ + С\+

£<оС

- 0

AI + щ

ВТ

С!

+ |(о (^ А

+щ В

)

- 0.

Так как последнее слагаемое равно нулю (в скобках стоит ле-

вая часть второго уравнения системы (6.64)), то первое урав-

нение этой системы равносильно уравнению

Hi А\ +

|л

BI + CI-0.

Таким образом, в системе (6.64) можно считать, что

k—0

-kQh(«>, 1);

Вг

= 2

ft—0

-ftQhK 6);

Сг

== 2 Vn-

k^O

-ftQftK I);

= 2«п-

•ft-i Qft

(«. 5);

Вг

tt" 1

= 2Рп-

-tQ

(<o, I);

tt-i

- 2 Yw-

fe— 0

л-i

(«. 5).

(6.71)