Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

нательном элементе необходимо иметь (v — v

) интегрирующих

звеньев. Так же легко определяется необходимое значение

передаточного коэффициента преобразовательно-усилитель-

ного элемента, равное k/k

Задача сводится, следовательно, к синтезу корректирую-

щего устройства, обеспечивающего необходимые динамиче-

ские свойства системы. При этом будем полагать, что переда-

точная функция неизменяемой части системы

(s)

- kR

(s)/[sv Q

(s)], (5.37)

так как уже выяснено, Какой передаточный коэффициент дол-

жен иметь усилительно-преобразовательный элемент и нуж-

ны ли в нем интегрирующие звенья.

Метод синтеза корректирующих устройств, разработанный

В. В. Солодовниковым [8], основывается на соответствии меж-

ду логарифмическими частотными характеристиками разом-

кнутой системы и ее статическими и динамическими свойст-

вами в замкнутом состоянии. Метод используется для систем

минимально-фазового типа, и поэтому достаточно рассматри-

вать лишь логарифмическую амплитудно-частотную характе-

ристику разомкнутой системы.

Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы. Асимпто-

тическую ЛАЧХ L

(<о) нужно строить по передаточной функ-

ции W

(s), определяемой (5.37). Предварительно каждый из

полиномов R

(s) и Q

(s) передаточной функции W

(s) следует

разложить на множители вида (7> + 1) и + 2Tfes + 1),

где 5 < 1.

Разложение это удобно осуществлять итерационным мето-

дом, предложенным О. М. Крыжановским. Изложение метода

с примерами его применения дано в [9].

Пусть имеется полином третьей степени

(s) =

€

-f

+ c

где

— а

/а

; c

= a

и c

= l/a

Вычисляем: а

= c

; p

= a

— a

); a

= c

I(c

— р

); P

(с

— a

); a

= c

/(c

—

); p

= a

—

) и т. д.

Если процесс сходящийся, т. е. с увеличением i значения щ ,и р$

стремятся соответственно к некоторым пределам а и р, то

(s)

= (s/a +

1) (actos

Ра

s + I).

Процесс вычисления щ и р

- может оказаться расходящимся. Тог-

да нужно делать такие вычисления:

а, —

c%Ic

—

fc\; а

/ (Ci—а

)

—с

/(с!—а

)

;

—

/(с

— а

) — с

!(с

— а

)

и т. д.

После определения предела а, к которому стремятся значения a

получаем

G (s) = (Ооsfr + 1) (rs

+ ars + 1),

где г — а

— а а

Пусть имеется полином четвертой степени

G (s) =а

+flf

+tf

s-\- I = a

+ £

s~hc

где c

= tfx/tfo»

<^2

— a

, c

= l/a

Вычисляем: a

= cjc

; Pj = а

— a

); y

= a

(<?

— Pj);

= c

/(c

— 7!); p

= a

(q — ct

); ~ ct

— p

) и т. д.

Если процесс сходящийся, то

G (s) = (sfa + 1) (asVc

+ Рs4c

+ ys/c

+ 1),

где а, р и у — пределы, к которым стремятся соответственно а

-, р* н

уi с увеличением i.

Полином третьей степени в полученном выражении в свою оче-

редь нужно разложить на множители.

Если же процесс вычисления р* и расходящийся, то нуж-

но вычислять

—c

/cl;

= a

(c^a^+cjc^

—Pi)— с

—Pi)

;

с = — а

) + с

/(с

— р

) и т.д.

В этом случае

б (s) - (a

s4г

+ r

s/r

+ I) (r

+ ar

s+ \),

где а и Р — пределы, к которым стремятся соответственно щ и р$;

rj = а

— аа

; г

= а

— ра

Порядок разложения иа множители полиномов пятого и шестого

Порядков дан в [9].

После разложения полиномов R

(s) и Q

(s) передаточной

функции W

(s) на элементарные полиномы можно строить

асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой части системы. При

этом нужно иметь в виду одно обстоятельство. В полиномах

(s) и Q

(s) могут оказаться сомножители с весьма малыми

постоянными времени Т

. Их влияние на свойства системы

(в частности, на ее устойчивость) незначительное, и при по-

строении характеристики L

(со) такие сомножители можно не

учитывать. Совершенно уверенно можно пренебречь двучле-

нами и трехчленами, у которых T

^ уоОсо^ '

где 0)00

—

частота, при которой характеристика L

(о>) пересекает ось

абсцисс (частота среза этой характеристики). Пользуясь реко-

мендациями, сделанными в [1], можно более точно определить

влияние малых постоянных времени и допустимость прене-

брежения ими.

Примерный вид характеристики L

(о>) системы с аста-

тизмом первого порядка показан на рис. 5.23.

Построение желаемой ЛАЧХ. Желаемой называют асим-

птотическую ЛАЧХ L

(to) разомкнутой системы, имеющей же-

лаемые (требуемые) статические и динамические свойства.

Желаемая ЛАЧХ (рис. 5.23) состоит из трех основных асимп-

тот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной.

Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые со-

единяют основные.

Строится желаемая ЛАЧХ на основании требований к си-

стеме. Ранее было выяснено, что низкочастотная асимптота

ЛАЧХ разомкнутой системы определяет статические свойст-

ва. Если передаточная функция (5.37) разомкнутой- системы

имеет передаточный коэффициент k и порядок астатизма v,

удовлетворяющие требованиям, то низкочастотной асимпто-

той желаемой ЛАЧХ L

(со) является низкочастотная асимп-

тота ЛАЧХ L

(со) неизменяемой части системы. На рис. 5.23

показан именно такой случай.

Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы

и ее сопряжение с низкочастотной определяют динамические

свойства системы — устойчивость и показатели качества пе-

реходной характеристики.

Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ

начинают с выбора частоты среза со

ср

. Для этого использует-

ся номограмма (рис. 5.24), составленная В. В. Солодовнико-

вым. Она определяет зависимость перерегулирования а и вре-

мени регулирования t

от максимума Р

тах

вещественной ча-

стотной характеристики замкнутой системы, причем время

регулирования t

дано в виде функции частоты среза со

ср

Номограмма используется следующим образом. По задан-

ному значению перерегулирования о определяют значение

х- Затем по Р

тах

определяют соотношение между t

(5.38)

<о

ср

, т. е

= сзт/со

ср'

На рис. 5.24 показано, как по значению о = 30% опреде-

лено Р

тах

= 1,27 и затем i

— 3,5я/со

ср'

Из (5.38) вычисляют частоту среза о

ср1

, при которой вре-

мя регулирования не превысит заданного значения. Если

при начальном рассогласовании g

ускорение регулируемой

координаты ограничивается значением w, то частота среза не

должна быть больше со

ср2

, т. е.

р2 = V W/g

(5 „39)

Частота среза со

СР2

соответствует оптимальному переходному

процессу при допустимом ускорении w.

Таким образом, частота среза должна быть выбрана по

одному из следующих условий:

со

сР

С0

СР1

или С0

СР1

О),

Чр

J к

<*>ср

0>ср

О)

1Фср<«ср2. (5.40)

Чем больше о

ср

, тем меньше время регулирования. Одна-

ко если со

ср2

< со

ср1

, то ©

ср

не должна быть больше со

ср2

В этом случае требование в отношении времени регулирова-

ния, возможно, не будет удовлетворено.

Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится

через точку со

ср

с наклоном —20 дБ/дек. При большем наклоне

трудно обеспечить необхо-

димый запас устойчивости

и допустимое перерегули-

рование.

Протяженность средне-

частотной асимптоты уста-

навливается исходя из не-

обходимого запаса устой-

чивости. Из этих же сооб-

ражений выбирают ее со-

пряжение с низкочастотной

асимптотой. Кроме того,

сопрягающую асимптоту

следует выбирать так, что-

бы характеристика L

(со)

возможно меньше отлича-

ис<

5.24 лась от L

(СО)

И коррек-

1 0

•

-f-

" Т"

iM i,t иг a и р,

max

- 30

50 -25

-го

го

-/5

20 -10

- 5

D - 0

-иг

1,0 1,1 uz 1

3 Г,4 us P.

так

тирующее устройство

Тч

град L

, ДБ

было возможно бо-

лее простым.

Для указанного

выбора по ранее най-

денному значению

тах

с помощью кри-

вых, показанных на

рис. 5.25, определяют

избыток фазы у и

предельные значения

логарифмических

амплитуд. Избыток

фазы у должен быть

обеспечен на том уча-

стке характеристики

(о), для которого

справедливо

(5.41)

Этот участок охватывает среднечастотную асимптоту и, возмож-

но, часть сопрягающей асимптоты.

Сначала нужно провести прямую с ординатой L

(пунктир

на рис. 5.23). Затем нанести сопрягающую асимптоту. Если

наклон низкочастотной асимптоты 0 или —20 дБ/дек, то на-

клон сопрягающей асимптоты выбирается равным —40 или

—60 дБ/дек. Начинать ее можно из точки среднечастотной

асимптоты с ординатой L

. После этого проверяют избыток

фазы Ya

ри частоте ю

, где ордината £

(ю) равна L

. Зна-

чение Ya подсчитывается по формуле

Та

—vn/2 — ^kn/2 — 2

/o)

j +

Рис. 5.25

+ ©Л).

(5.42)

где v — порядок астатизма; (o

— сопрягающие частоты мень-

ше (»

, при которых наклон L

(<о) увеличивается на 20 дБ/

/дек; k — число сопрягающих частот о*; to

- — сопрягающие

частоты, меньшие ю

, при которых наклон (о) уменьша-

ется на 20 дБ/дек; I — число сопрягающих частот со,.

Если фаза ср определяется каким-либо другим способом,

то избыток фазы определяют как

Та = 180° + ф, (5.43)

где ф < 0, /

Если избыток фазы у

оказывается меньше необходимого,

то сопрягающую асимптоту следует переместить влево. В про-

тивном случае (при слишком большом избытке фазы) сопря-

гающая асимптота перемещается вправо.

Чем.

больший диапа-

зон частот занимает низкочастотная асимптота, тем лучше

система воспроизводит низкочастотные изменения задающего

воздействия.

Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет

на свойства системы, поэтому ее следует выбирать так, чтобы

корректирующее устройство было возможно более простым.

Это достигается при совмещении высокочастотных асимптот

характеристик £

(<о)

и L

(со). Если совмещение не удается,

то высокочастотная асимптота L

(со) должна иметь тот же на-

клон, что и высокочастотная асимптота L

(со).

После выбора высокочастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ

и сопряжения ее со среднечастотной асимптотой проверяют

избыток фазы у

при частоте со

, где ордината характеристики

равна —£

, т. е.

Тб

= л —л<7

ср

/4 — ^ <°б/Ч> (5-44)

где <7ср — относительный наклон среднечастотной асимпто-

ты (при наклоне —20 дБ/дек q

cр

= 1); со — сопрягающие ча-

стоты, большие частоты среза со

ср

; т — число частот со

Если меньше требуемого значения, то высокочастотную

асимптоту желаемой ЛАЧХ нужно переместить вправо.

Для более точного подсчета фазы при частотах со

и соо исполь-

зуют номограмму (рис. 5.26). Номограмма должна быть расположена

так, чтобы ее ось относительных частот to/to

была параллельна оси час-

тот'характеристики L

(to). Стрелка номограммы должна быть совме-

щена с той частотой щ

для которой подсчитывается фаза ф

Затем для каждой асимптоты характеристики 1

(to) по номограм-

ме определяется Д5, т. е. приращение S иа данном участке частот, и

AS умножается на наклон асимптоты в дБ/дек (с учетом знака накло-

на). Сумма этих произведений есть значение фазы ф* в градусах.

Пример подсчета фазы с помощью номограммы показан на рис.

5.27. В данном случае <р =

о"

(2,25-1,5)—40 (1,5-0) - 20 (1,3 -0)+

+ 20 (2,25—1,3) = — 67 .

Выбор корректирующих устройств. Передаточная функция

разомкнутой системы с последовательным корректирующим

Cr01 0,1 1 10

w/ft>

100

i Q

Рис. 5.26

устройством (см. рис. 5.1, a) W — W^O^KI, где =

и для ЛАЧХ справедливо соотношение L (со) = L

(со) +

+ L

(со). Желаемая ЛАЧХ L

(<д>)

есть ЛАЧХ разомкнутой

системы, которая должна быть получена введением последо-

вательного корректирующего устройства. Следовательно,

(со) —

(со)

+ L

(со);

(со)

— L

(со),

(5.45)

т. е. для определения ЛАЧХ последовательного корректирую-

щего устройства из желаемой ЛАЧХ нужно вычесть ЛАЧХ

неизменяемой части си- ^

стемы. Вычитание орди-

нат достаточно сделать

на всея* сопрягающих

частотах этих характе-

ристик. Затем получен-

ные точки соединить

прямыми (см. рис. 5.23).

По ЛАЧХ L

(со)

корректирующего уст-

ройства можно опреде-

лить полиномы (s)

Qm (

)

ег0

функции

Каждой сопрягающей

частоте со

при кото- Рис. 5.27

рой наклон ЛАЧХ увеличивается на 20 дБ/дек, соответ-

ствует множитель (s/<»i + 1) в полиноме Q

(s). Сопрягаю-

щей частоте (О/, при которой наклон ЛАЧХ уменьшается на

20 дБ/дек, соответствует множитель (s/coj + 1) в полиноме

j(s). Если при какой-то частоте щ или наклон ЛАЧХ

изменяется на 40 дБ/дек, то ей соответствует квадрат указан-

ного множителя.

Затем, пользуясь формулами (5.15), следует определить

передаточные функции Wи соответственно параллель-

ного и прямого параллельного корректирующих устройств,

эквивалентных требуемому последовательному корректирую-

щему устройству. Если передаточная функция W

сложная,

то по формулам (5.17) целесообразно выяснить, при каких

передаточных функциях WKI И требуемое последова-

тельное корректирующее устройство может быть заменено

двумя корректирующими устройствами: последовательным и

параллельным.

На основании полученных результатов

физических свойств

элементов неизменяемой части системы можно выбрать один

из вариантов включения корректирующего устройства, При

отсутствии очевидных и веских преимуществ одного или двух

из возможных вариантов следует рассматривать все варианты.

По виду передаточной функции корректирующего устройст-

ва может быть выбрана схема пассивного четырехполюсника

для реализации этой передаточной функции. Краткие сведе-

ния о пассивных четырехполюсниках даны в § 5.3. Более об-

ширные сведения можно, например, получить в [7, 81.

Легко реализуются передаточные функции с полиномами

RV (S) и QK (S) первой и второй степеней. При более высокой

степени этих полиномов следует использовать два пассивных

четырехполюсника, соединенных последовательно. Основные

соображения о такой возможности изложены в § 5.3.

После выбора электрической схемы необходимо вычислить

требуемые значения емкостей и сопротивлений и убедиться в

возможности физического выполнения этой схемы с необхо-

димыми параметрами ее передаточной функции. В частности,

не следует предусматривать пассивный четырехполюсник с

очень малым (менее 0,1—0,05) передаточным коэффициентом

или с весьма большими емкостями. Не следует также иметь в

одной схеме емкости (или сопротивления), значительно, на

2—3 порядка, отличающиеся друг от друга по величине.

Обычно требуемые значения параметров передаточной функ-

ции пассивного четырехполюсника можно иметь при несколь-

ких вариантах значений его элементов. Б корректирующих

устройствах используют и активные четырехполюсники

(см. § 5.3).

Следует указать на одно обстоятельство. Предположим, что

параллельное корректирующее устройство (см. рис. 5.1, б)

охватывает участок цепи с астатизмом v-ro порядка, т. е.

= k

(s)/[s

(s)i,

где /?

(s); Q2 [$) — полиномы от s с равным единице свобод-

ным членом.

Корректирующее устройство не изменит порядок астатиз-

ма этого участка цепи, если его передаточная функция

- К* Я

к2

(s) SV[QM (S>L £ AFI)

где R

(

)> QK2 (

) — полиномы от s с равным единице сво-

бодным членом.

Действительно, при таком корректирующем устройстве

передаточная функция рассматриваемого участка цепи

—•

Qfri

1 + ^2 W

(S) Q

(S) + k

ЬK2 R

(S) TF

(S) I s

т. е. астатизм участка остался прежним.

Заключительные этапы синтеза. При построении желаемой

ЛАЧХ предполагалось что неизменяемая часть системы с уси-

лителем имеет необходимый передаточный коэффициент. Пос-

ле выбора корректирующего устройства передаточный коэф-

фициент разомкнутой системы, как правило, изменяется.

И теперь нужно окончательно определить необходимое зна-

чение передаточного коэффициента усилителя. На этом син-

тез системы закончен.

Однако построение желаемой ЛАЧХ основано на опреде-

ленных допущениях. Кроме того, могла иметь место прибли-

женная реализация требуемой ЛАЧХ корректирующего уст-

ройства. Поэтому совершенно необходима проверка качест-

ва синтезированной системы. С этой целью строится переход-

ная характеристика замкнутой системы и определяются пока-

затели ее качества. Если система третьего порядка, то пере-

ходную характеристику удобнее строить операционным мето-

дом. Методика определения корней данного полинома изло-

жена в начале данного параграфа. При более высоком поряд-

ке системы нужно пользоваться методом вещественных ча-

стотных характеристик (трапецеидальных или треугольных).

При аппроксимации вещественной частотной характеристики

отрезками прямых необходимо учитывать следующее: аппрок-

симацию начинать из начальной точки характеристики; при

не слишком сложной форме характеристики достаточно заме-

нить ее четырьмя-пятью трапециями (или треугольниками);

«хвост» характеристики, т. е. ее конечный участок с ордината-

ми менее 0, 1 от начальной, можно отбросить.

При существенном невыполнении требований к системе —

при перерегулировании и времени регулирования больше до-

пустимых значений — необходимо выяснить и устранить при-

чины неудачного решения.

Кроме ошибок в расчете могут быть неточной реализа-

ция требуемой передаточной функции коррректирующего

устройства и недостаточным избыток фазы при контрольных

частотах со

и со

Возможно также значительное отличие вещественной ча-

стотной характеристики синтезированной системы от типовой,

для которой справедливы номограммы (см. рис. 5.24 и 5.25),

положенные в основу расчета. В этом последнем случае р ас-

счет следует повторить, задавшись значениями о и t

меньше

требуемых.

Пример 5.2. Регулируемый объект и исполнительный элемент при-

борной следящей системы описываются передаточной функцией

(s) = k/ls (0,005s + I) (0,01 s + l)j.

Требуется выбрать последовательное корректирующее устройство,

обеспечивающее при k = 200 с

-1

и v — 1 следующие показатели каче-

ства: о 30% и 0,5 с. Допустимое ускорение регулируемой ко-

ординаты w = 50 рад/с

при начальном рассогласовании g

=0,1 рад.

Прежде чем начать расчет, заметим, что при k = 200 система без

корректирующего устройства неустойчива. Действительно, в этом

случае ее характеристическое уравнение

0,0005s

+ 0,06 s

-f s

+ 200 = 0

и определитель Гурвица

—

G0G3

= 0,06

—

—0,1 = — 0,04 < 0.

Расчет начинаем с

построения ЛАЧХ неиз-

меняемой части систе-

мы. При со=1 вычисля-

ем ординату 20 lg k =

= 20 lg 200 = 46 дБ;

сопрягающие частоты

со

= 1/0,05 = 20 с-

;

СО

- 1/0,01 = ЮОС-

ЛАЧХ неизменяемой ча-

сти системы L

(СО)

со-

стоит из трех асимптот

и построена на рис. 5.28.

}

дВ

Рис. 5.28