Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

люсники с более слож-

ными передаточными

функциями.

Дифференцирую щ и й

трансформатор. Распро-

стр анен ным преобр азо-

вательным элементом

является трансформатор,

обеспечивающий диффе-

ренцирование сигнала постоянного тока. Его схема и ЛАЧХ

приведены на рис. 5.7, а передаточная функция равна

Рис. 5.7

/(Ts+ J),

(5.22)

где а = RJ(r

-f iR

); = wjw

— коэффициент трансфор-

мации; Т

= Li/^x + 7?i) к Г

+ R

) — постоянные

времени первичной и вторичной обмоток; Т = 7\ 4- Га.

Дифференцирующий трансформатор позволяет избежать

гальванической связи между цепями входного и выходного

сигналов, что иногда совершенно необходимо. Его часто ис-

пользуют в виде параллельного корректирующего устройства.

При этом в цепь вторичной обмотки может быть включен не-

обходимый пассивный четырехполюсник.

Пассивные четырехполюсники переменного тока. Такие че-

тырехполюсники преобразуют сигнал, являющийся модули-

рованным напряжением переменного тока. Выполняются они

из резисторов и конденсаторов и обеспечивают приближенное

дифференцирование сигнала (огибающей модулированного на-

пряжения) в некотором диапазоне частот. При этом частота <о

изменения сигнала должна быть значительно ( по крайней ме-

ре на порядок) меньше несущей частоты <о

, т. е. частоты пере-

менного тока. Недостаток этих четырехполюсников еще и в

том, что изменение

несущей частоты- ш

заметно влияет на их

динамические свой-

ства.

На рис. 5.8 приве-

дены схема и прибли-

женная эквивалент-

ная ЛАХЧ одного из

пассивных четырех-

полюсников перемен-

я.

и,

Рис. 5.8

ного тока. Его приближенная эквивалентная передаточная

функция

(5.23)

где Т = 2R

(С, + С

); а - R

(С

+ CJ/lR^ + R

X (Q + C

)l < 1.

Недостатки пассивных четырехполюсников переменного то-

ка и однообразие их свойств ведут к использованию в цепях

с модулированным сигналом пассивных четырехполюсников

постоянного тока. Этот вопрос рассматривался в §5.2.

Кроме рассмотренных электрических преобразовательных

элементов используются еще тахогенераторы и тахометриче-

ские мосты постоянного и переменного тока, дроссельные и

емкостные дифференциаторы переменного тока [7], а также

более сложные элементы.

§ 5.4. Повышение точности в установившихся

режимах

В системе регулирования по отклонению установившаяся

ошибка имеет три составляющие:

уст=*

* +

/ +

*ч.э»

(5.24)

где e

— ошибка воспроизведения задающего воздействия

•—

ошибка, вызываемая действием возмущений; е

чэ

— ошиб

ка чувствительного элемента, измеряющего рассогласование.

Составляющая е

зависит от физической природы и кон-

струкции чувствительного элемента. Она может быть уменьше-

на лишь использованием высокоточного элемента. При этом

может потребоваться снижение уровня сравниваемых сигна-

лов и, следовательно, увеличение передаточных коэффициен-

тов остальных элементов регулятора.

Как было показано в гл. 4, установившаяся ошибка может

быть представлена в виде ряда (4.3). При этом коэффициенты

ошибок воспроизведения С

, С

..., С

вычисляют по переда-

точной функции W

($)

замкнутой системы для ошибки вос-

произведения, а коэффициенты ошибки от возмущения С

lf>

..., C

— по передаточной функции W^ (s) замкнутой

системы для ошибки относительно возмущения по формулам

(4.7).

Нужно заметить, что в статической системе

-1/(1+ft); C

= V( 1+ft),

(5.25)

где k — передаточный коэффициент разомкнутой системы;

kf — передаточный коэффициент прямой цепи от возмущения

f до выходной координаты у.

Следовательно, уменьшение установившейся ошибки при

постоянных значениях задающего воздействия и возмущения

достигается увеличением передаточного коэффициента разом-

кнутой системы. Однако с увеличением статической точности

в большинстве случаев уменьшаются запасы устойчивости и

при значительном увеличении k система становится неустойчи-

вой.

Противоречие между статической точностью и устойчиво-

стью проиллюстрировано на рис. 5.9, где сплошными линиями

показаны логарифмические частотные характеристики разом-

кнутой системы с передаточной функцией

W = М(7> + 1) (T

s + I) (T

s + 1)1

(5.26)

при k = 20, T

= 0,5 с, Т

= 0,025 с, Т

= 0,01 с. Если пере-

даточный коэффициент увеличить до к = 60, то ЛАЧХ при-

нимает положение, показанное пунктиром. Чйстота среза уве-

личилась и запас устойчивости по фазе уменьшился с у = 26°

до у

= 3°. Столь малый запас по фазе совершенно недопустим.

При повышении статической точности путем увеличения

передаточного коэффициента k разомкнутой системы необхо-

димы мероприятия для обеспечения достаточного запаса устой-

чивости. Они будут рассмотрены в следующем параграфе. Воз-

можно, вообще говоря, создание такой структуры системы, ко-

торая допускает неограниченное увеличение передаточного

коэффициента k разом- ^ ^

кнутой цепи [21.

Lj(u})

Другой путь повы-

шения статической точ-

ности — обеспечение ас-

татизма. В астатической

системе младшие коэф- -.QQ

фициенты ошибки имеют

следующие значения:

= 0; С

1 /ft

;

О; C

-г

Рис.

5.253

f где k

— передаточный ко-

у эффициент разомкнутой

системы, называемый в

данном случае добротно-

стью системы по скорости

Рис. 5.10 (или коэффициентом доб-

ротности по скорости).

Таким образом, в астатической системе отсутствует уста-

новившаяся ошибка от постоянного задающего воздействия и

постоянных возмущений.

Как было показано в гл. 4, асгатизм достигается введением

интегрирующего звена в прямую цепь системы . Для астатиз-

ма относительно возмущения интегрирующее звено должно

быть введено до точки, в которой приложено возмущение

(рис. 5.10).

Влияние интегрирующего звена на динамические свойства

системы приведено на рис. 5.11, где сплошными линиями пока-

заны логарифмические частотные характеристики системы с пе-

редаточной функцией (5.26). При введении в разомкнутую цепь

этой системы интегрирующего звена характеристики прини-

мают положение, показанное пунктиром. Фазочастотная харак-

теристика переместилась вниз на —90°, а амплитудно-частот-

ная характеристика повернулась вокруг точки а по направле-

нию часовой стрелки . В результате запас устойчивости по

фазе уменьшился с у = 26° до недопустимо малого значения

Yi = 6°. Система остается устойчивой, но переходный процесс

будет сильно колебательным. Кроме того, уменьшилась ча-

стота среза и переходные процессы будут более продолжитель-

ными.

Однако в других ситуациях введение интегрирующего зве-

на может не только не ухудшить, а даже улучшить динамиче-

ские свойства системы.

Пусть, например, посто-

янные времени системы

с передаточной функ-

цией (5.26) имеют сле-

дующие значения: Т

- 0,05 с, Т

= 0,0025

с и Т

~ 0,001 с. Лога-

рифмические частотные

характеристики разомк-

нутой системы показаны

на рис. 5.12 сплошными

Рис. 5.11

Рис. 5.12

линиями. При введе-

нии интегрирующего

звена характеристики

принимают положе-

ние, показанное пунк-

тирными линиями.

В данном случае ин-

тегрир ующге звено

уменьшило частоту - f801

среза, но запас устой-

чивости по фазе уве-

личился с у = 21°

до у

— 43°. Хотя быстродействие системы уменьшилось,

но уменьшилась и колебательность.

Таким образом, при повышении статической точности пу-

тем введения интегрирующего звена могут оказаться необхо-

димыми мероприятия по сохранению запасов устойчивости

САУ.

Значительно лучшие результаты получают при получении

астатизма с помощью изодромного звена, т. е. звена с переда-

точной функцией (s) — k

s + \)/s = 1 + kjs

где T

= — постоянная времени изодрома.

Если постоянная времени Т

достаточно велика, то запас

устойчивости может быть сохранен неизменным. Уменьшение

передаточного коэффициента разомкнутой системы должно

быть скомпенсировано увеличением коэффициента усиления

усилителя. Следует учитывать, что при большом значении Т

1Х

могут увеличиться старшие коэффициенты ошибки.

Астатизм САУ относительно задающего воздействия мож-

но обеспечить более простыми способами: неединичной обрат-

ной связью и масштабированием [3].

Структурная схема системы с неединичной обратной свя-

зью показана на рис. 5.13, а. В установившемся режиме регу-

лируемая координата связана с постоянным задающим воздей-

ствием соотношением

У=*Ь

/(l +k

(5.27)

где k

— передаточный коэффициент прямой цепи системы.

Если выполнить основную обратную связь системы с ко-

эффициентом k

= 1 — 1/&

, то у = g

и система относитель-

но задающего воздействия будет астатической.

Структурная схема системы с масштабированием входной

величины показана на рис. 5.13, б. Ее особенность — наличие

усилительного звена

с передаточным ко-

эффициентом т на

входе. В установив-

шемся режиме

y=mg

k/(l+k)

(5.28)

Рис 5.13

где k — передаточный коэффициент разомкнутой системы.

При т = I + Uk получаем у = g

и система является аста-

тической относительно, задающего воздействия.

Недостаток этих способов в том, что астатизм обеспечива-

ется только при сохранении указанных соотношений между пе-

редаточными коэффициентами. Неточное определение переда-

точного коэффициента какого-либо элемента системы и его

изменение в процессе эксплуатации ведут к появлению стати-

ческой ошибки. Астатизм, достигнутый введением интегрирую-

щего или изодромного звена, сохраняется и при изменении па-

раметров системы. Однако нужно иметь в виду, что введение

двух интегрирующих звеньев в систему, состоящую из усили-

тельных, апериодических и колебательных звеньев, сделает ее

структурно-неустойчивой. Возможно обеспечение астатизма и

более высокого порядка. При этом из-за введения большого

числа интегрирующих или изодромных звеньев и мероприятий,

обеспечивающих требуемые динамические свойства, структура

САУ значительно усложняется.

Компенсация внешнего воздействия (обеспечение ковари-

антности). Рассмотренные выше способы улучшения статиче-

ских и динамических свойств системы связаны лишь с изме-

нениями параметров элементов САУ и структуры ее отдельных

участков, но при этом не затрагивают принципа действия си-

стемы.

Помимо принципа регулирования по отклонению сущест-

вует принцип регулирования по внешнему воздействию

(см. гл. I). Значительный эффект дает их одновременное ис-

пользование. В этом случае системы называются комбиниро-

ванными. Кроме замкнутого контура они имеют дополнитель-

ную цепь влияния внешнего воздействия — возмущения или

задающего.

Система комбинированного регулирования. Комбинирован-

ное регулирование используют в системах для уменьшения

влияния сильного возмущения. Это возможно в том случае,

если возмущение доступно измерению. При этом в системе со-

—щ

Рис. 5.14

здается дополнитель-

ная цепь воздействия

основного возмуще -

кия. На рис. 5.14 по-

каза на стр у кту р ная

схема такой системы.

Здесь W

— передаточные

функции регулируе-

мого объекта, исполнительного элемента и двух каскадов уси-

лителя; W

и W

— передаточные функции измерительного и

преобразовательного элементов дополнительной цепи воздей-

ствия возмущения /. Эта дополнительная цепь должна компен-

сировать влияние возмущения / на регулируемую координату

у, поэтому ее следует называть компенсирующей. Компенси-

рующую цепь обычно включают в прямую цепь системы между

каскадами усилителя или на вход последовательного корректи-

рующего устройства (если таковое имеется).

Составим передаточную функцию замкнутой системы

(рис. 5.14) относительно возмущения:

- W

(Г

-!)/(! + W),

(5.29)

где = W$W

— передаточная функция компенсирующей

цепи; W = W^zW^Wq — передаточная функция разомкну-

того контура.

Если

= U (5.30)

то передаточная функция системы относительно возмущения

f равна нулю и возмущение f не влияет на регулируемую ко-

ординату. В этом случае говорят, что регулируемая коорди-

ната у инвариантна (независима) от возмущения /.

Один из разделов теории автоматического управления изу-

чает принципы построения САУ, реализующие полную или

частичную инвариантность от внешних возмущений. Этот

принцип носит название принципа инвариантности. Большое

значение в развитии теории инвариантности и ее практическом

приложении имели работы В. С. Кулебакина, Н. Н. Лузина,

Б. Н. Петрова и др.

Равенство (5.30) является условием полной инвариантно-

сти от Полной (с точностью до переходной составляющей)

инвариантностью называют независимость регулируемой ко-

ординаты у от изменений возмущения f — независимость

функций у (t) от вида функции / (/). Однако начальные зна-

чения возмущения и его производных создают переходную со-

ставляющую регулируемой координаты. Если же и начальные

значения возмущения и его производных не влияют на регули-

руемую координату, то имеет место абсолютная инвариант-

ность, для достижения которой необходимо удовлетворение

дополнительных условий. Так, в рассматриваемой системе аб-

солютная инвариантность будет иметь место только при безы-

нерционных элементов W

И7

, W

и W

Удовлетворение условия полной инвариантности (5.30)

чаще всего сопряжено со значительными трудностями из-за

инерционности основных элементов. Пусть, например,

= kj{\ + 7»; W

= k

/(ris

+ 2lT

s + 1); W

= k

/(l + 7»; Г

= k

Подставив эти выражения в (5.30), получаем условие инвари-

антности:

Н^к.ц ^ I /(Гш WJ - £

(Г,

+ 1) (Tl S

+ 21Т

8+1) =

= *и.

[Ts

+ (П + 2|Т

)

+ (Т

2гт

)

где k

= (k

В данном случае для полной инвариатности преобразова-

тельный элемент компенсирующей цепи должен создавать пер-

вую, вторую и третью производные сигнала измерительного

элемента. Практически ограничиваются созданием производ-

ных не выше второй, так как многократное дифференцирова-

ние сигнала сложно, неточно и ведет к сильному повышению

уровня помех.

Предположим, что компенсирующая цепь выполняется с

передаточной функцией

т. е. ее преобразовательный элемент создает только первую

производную от входного сигнала. Тогда из (5.29) получаем

W Z±1 №

±<11±

21т

]

(Тг s+

(Т\ s

+ 2gr

(T, s+ + k

При выбранной компенсирующей цепи возмущение и его

первая производная не будут влиять на регулируемую коор-

динату. Однако старшие производные возмущения, начиная

со второй, будут оказывать влияние на регулируемую коорди-

нату так же, как и при отсутствии компенсирующей цепи. В

данном случае будет достигнута частичная (до первой произ-

водной включительно) инвариантность у от /. Чем глаже функ-

ция f (t)j тем эффективнее ее компенсация. При частичной ин-

вариантности начальные значения возмущения и всех его про-

изводных будут создавать переходную составляющую у так

же, как и при полной инвариантности.

Однако выбранная передаточная функция компенсирующей

цепи не может быть реализована. Физически реализуема лишь

такая передаточная функция, у которой степень числителя не

выше степени знаменателя. Следовательно, в рассматриваемом

примере компенсирующая цепь может быть выполнена лишь

с передаточной функцией

ЦТ*

+ 21Т

)

1 У(Х8

+ I),

где т — достаточно малая постоянная времени.

Указанное обстоятельство препятствует точному удовлет-

ворению условия инвариантности. Такую же роль играют не-

точности в определении параметров реальных элементов и по-

грешности при выполнении элементов по выбранной переда-

точной функции (хотя она принципиально и может быть реа-

лизована). В результате передаточная функция системы отно-

сительно возмущения даже в лучшем случае (когда компенси-

рующей цепью создается нужное количество производных)

оказывается не равной нулю, но с достаточно малыми коэффи-

циентами числителя. Тогда и влияние возмущения на регули-

руемую координату оказывается весьма малым. Принято го-

ворить, что достигается инвариантность с точностью до малой

величины е.

Несмотря. на указанные трудности и даже, чаще всего, не-

возможность достижения полной и тем более абсолютной ин-

вариантности, комбинированное регулирование имеет большие

достоинства. Компенсирующая цепь практически устраняет

или хотя бы существенно уменьшает влияние основного воз-

мущения. Вследствие этого снижаются требования к замкну-

тому контуру регулирования. В системе стабилизации он мо-

жет иметь меньший передаточный коэффициент разомкнутой

цепи и уменьшаются трудности обеспечения его устойчивости

и достаточного запаса устойчивости. При наличии компенси-

рующей цепи по возмущению замкнутый контур менее сложен.

Следует заметить, что компенсирующая цепь не влияет на

устойчивость замкнутого контура. Однако сама компенсирую-

щая цепь должна быть устойчивой.

Рис. 5.15

Иногда вызывает

затруднения измере-

у ние возмущения. Тог-

^ да используют неко-

! торые приемы, позво-

ляющие приближать-

ся к инвариантности

регулируемой коор-

динаты от возмущения

без непосредственного измерения последнего [5]. В частности,

создается компаундирующая связь, т. е. дополнительная связь

внутри замкнутого контура регулирования по одной из его

промежуточных координат, зависящих от возмущения (не-

сущих информацию о возмущении).

Комбинированная следящая система. Основной целью

следящих систем является возможно более точное воспроизве-

дение регулируемой координатой изменяющегося задающе-

го воздействия. Этому способствует дополнительная цепь по

задающему воздействию. Следящую систему в этом случае

называют комбинированной следящей системой, ее типичная

структурная схема показана на рис. 5.15. Здесь замкнутый

контур такой же, как и на рис. 5.14, а — передаточная

функция дополнительной цепи.

Эта цепь улучшает воспроизведение регулируемой коор-

динатой задающего воздействия, так как форсирует переход-

ные процессы при изменении g, и ее следует называть форси-

рующей цепью. Она чаще всего состоит только из преобразова-

тельного

элемента.

Включается форсирующая цепь в замкнутый

контур так же, как и компенсирующая, т. е. обычно между

каскадами усилителя.

В комбинированной следящей системе воспроизведение

задающего воздействия обеспечивается главным образом фор-

сирующей цепью. Замкнутый контур играет в этом отношении

второстепенную роль. Его основная задача — уменьшение

влияния возмущений.

По структурной схеме комбинированной следящей систе-

мы (рис. 5.15) определяем передаточные функции относитель-

но задающего воздействия:

Wg - W (1 + uyr

)/(l + W) (5.31)

и для ошибки слежения:

=( 1 — WWrfWJf(l + IF), (5.32)

где W = W