Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

Оценка качества

по показателю коле-

бательности. Опреде-

ление показателя ко-

лебательности М при-

ведено в § 4.4. Если

АЧХ системы при

нулевой частоте рав-

на 1 (Л

(0) - 1), то

показатель колеба-

тельности

М = А

max (<о)

W (/СО)

M-D,B3

(/О))

max

Рис« 4.38

Чтобы определить

показатель колеба-

тельности системы,

можно воспользоваться амплитудно-фазовой частотной харак-

теристикой разомкнутой системы W (/со) = и (со) + jv (со), где

= Re W (/со), v (со) = 1ш W (/<о).

Показатель колебательности можно вычислить так:

М-

(0>)

+ jv

(й>)

У и

(tt)+l/

(со)

1 + и (со) + Р (0>) !шах У[1 (0))]

+У

(о>)

Возведя в квадрат обе части равенства, получим

{[1 + и (со)]

+ и

(со)} - (со) + и

(со).

После алгебраических преобразований можно записать

[и

(со)

+ М

/(М

- I)]

(со)

- М

/(М

-1)

. (4.92)

Выражение (4.92) является уравнением окружности с ра-

диусом R = УИ/(Ж

— 1) и с центром, смещенным от начала

координат влево на величину С = М

/(М

— 1). Задаваясь

различными значениями М от 0 до оо, можно построить се-

мейство таких окружностей (рис. 4.38). При М =

окружность

вырождается в прямую (R оо, С-+ оо), параллельную мни-

мой оси и проходящую через точку (—0, 5, /0):

lim(C—R) - lim

[M*f(M

— 1) —

— 1)J =0,5.

Af-*1 1

W(j(o)

Рис. 4.39

При

< М < 1 окруж-

ности располагаются справа

от линии, соответствующей

М = 1, а при М > 1 — сле-

ва от нее. Если М оо, то

окружность вырождается в

точку с координатами [—-1,

/01. Номограммы можно ис-

пользовать для построения

амплитудно-частотной харак-

теристики замкнутой системы

A g

(о). Для этого на номограм-

му наносят амплитудно-фазо-

вую характеристику ра-

зомкнутой системы W

(jay),

далее по точкам пересечения

последней с окружностями определяют значения Л

(со). Ког-

да нужно оценить значение показателя колебательности М, то

строить амплитудно-фазовую характеристику не нужно, а не-

обходимо только оценить, какой наименьшей окружности

она коснется; значение М ~ const, соответствующее этой

окружности, и будет показателем колебательности.

При проектировании системы может быть поставлено усло-

вие, чтобы показатель колебательности М не превышал за-

данного значения. Это значение определяет ту запретную об-

ласть, куда не должна заходить амплитудно-фазовая характе-

ристика разомкнутой системы W (/со) (рис. 4.39). В том слу-

чае, когда М = 1, систему автоматического регулирования

можно рассматривать как колебательное звено. При этом пере-

даточная функция замкнутой системы

{s)^l/{\+2tTs + T*s*).

АЧ>,щд (У,%

Ю0

во

0,25 0.5

Рис. 4.40

м\

СГ%

•40

2,5

2,0 2,0

0,5

0,75 \0 £

W %25 U5 U7S 2,0 М

Рис. 4.41

Для этой передаточной функции можно найти зависимости

между перерегулированием о, показателем колебательности

запасом устойчивости по фазе Дер и параметром затухания

g. Эти кривые приведены на рис. 4.40. Для той же передаточ-

ной функции можно определить зависимость между перерегу-

лированием а и показателем колебательности (рис. 4.41).

§ 4.9. Чувствительность систем автоматического

управления

Параметры системы автоматического управления в про-

цессе работы не остаются равными расчетным значениям.

Это объясняется изменением внешних условий, неточностью

изготовления отдельных устройств системы, старением эле-

ментов и т. п. Изменение параметров САУ, т. е. изменение ко-

эффициентов уравнений системы, вызывает изменение стати-

ческих и динамических свойств системы.

Зависимость характеристик системы от изменения каких-

либо ее параметров оценивают чувствительностью. Под чув-

ствительностью понимают свойство системы изменять режим

работы вследствие отклонения каких-либо параметров от но-

минальных значений. Для числовой оценки чувствительности

используют функции чувствительности, определяемые как

частные производные от координат-системы или показателей

качества процессов управления по вариациям параметров:

= (dx

/da

)°

(4.93)

где х

— координаты системы; а^ — параметр системы.

Индекс 0 означает, что функция и

вычисляется при но-

минальных значениях параметров.

Система, значения параметров которой равны номиналь-

ным и не имеют вариаций, называется исходной системой, а

движение в ней — основным движением. Система, в которой

имеют место вариации параметров, называются варьирован-

ной системой, а движение в ней — варьированным движением.

Разность между варьированным и основным движениями на-

зывают дополнительным движением.

Допустим, что исходная система описывается системой не-

линейных дифференциальных уравнений

dXi/dt^fifa, х

; а

), (4.94)

Пусть в некоторый момент времени в системе произошли

вариации параметров До^, где / = 1, 2, т\ тогда пара-

метры станут равными а

- + Да

Если вариации параметров

не вызывают изменения порядка уравнения, то варьированное

движение описывается новой системой п уравнений первого

порядка

dXi/dt —fi^Xx, .... х

П9

+ Да

+Да

= 1, 2, п.

(4.95)

Разность решений уравнений (4.94) и (4.95) определяет допол-

нительное движение:

(0-*f<<)-~-*

<0- (4.96)

Если х

и х

дифференцируемы по (/ = 1, т), то до-

полнительное движение (4.96) можно разложить в ряд Тейлора

по степеням Да

-. При малых вариациях параметров ограничим-

ся в разложении лишь линейными членами. Нужно отметить,

что в случае конечных вариаций такое приближение недопу-

стимо. Итак, можно записать уравнения первого приближе-

ния для дополнительного движения:

AXi(t

Доь Да

)= V Да,, (4.97)

\ да] } о

Учитывая формулу (4.93), можно записать

ДXi(t, Да

, Да

)= 2

и(4.98)

/=1

Следовательно, располагая функциями чувствительности

и задаваясь вариациями параметров, можно определить пер-

вое приближение для дополнительного движения.

Продифференцируем уравнения исходной системы (4.94)

по а,:

JL= у Jh-u

daj \ dt ) dt \ das J

дх

+ Hfi-

i = i

2, ...,/г, / = 1, 2, т. (4.99)

daj

Полученные линейные дифференциальные уравнения (4.99)

называются уравнениями чувствительности. Решение их да-

ет функции чувствительности Следует заметить, что в си-

(5)

DCS)

лу сложности уравне-

ний (4.99) их решение

весьма затруднительно.

М. Л. Быховским пред-

ложен структурный ме- д

тод построения модели

для определения функ- Рис. 4.42

ций чувствительности

[13].

Для определения функций чувствительности можно исполь-

зовать уравнения системы или ее передаточные функции.

ПУСТЬ САУ описывается уравнением

D (р) х (t) = К (р) g (th

(4.100)

где D (р) ~ р

+ а

(а

, ..., а

) р

+ ... + а

(а

1э

)

— собственный оператор системы;

К (р) = р

+ Ь

(а

) р™-

+ ... + Ь

..., а

) —

оператор воздействия g (t); р = d/dt; п ^ /п.

Запишем уравнения чувствительности, продифференци-

ровав (4.100) по а

D (р) и

= L

(р) g — M

(р) х

(4.101)

при t = 0;

(p)

= dK (p)/da

; M

(p) - dD (p)/da

По уравнению (4.101) можно представить структурную схе-

му модели чувствительности для определения функции и

(рис. 4.42). Эту схему можно упростить.

Пусть общей частью операторов L

(р), L

(р) являет-

ся оператор L

(р), а операторов М

(р), М

(р) — опера-

тор M

(р). Тогда можно записать

(р) - L

(р) II (р);

(р)=Мъ(р)М1{р).

(4.102)

(4.103)

Подставляя выражения (4Л02) и (4.103) в (4.101), можно пере-

писать уравнение чувствительности так:

D (р) a

- L

(р) Ц (р) g -M

(р)

х. (4.104)

Структурная схема модели чувствительности в соответст-

вии с (4.104) показана на рис. 4.43. В этой модели выделена

Рис. 4.43

общая часть для определения всех функций u

(t). Дополни-

тельные блоки модели (рис. 4.43) реализуют операторы

(р) и

М%

(р), с общей частью они соединены переключате-

лем П. Как видно из схемы рис. 4.43, функция чувствитель-

ности координаты х определяется последовательно во времени

по всем параметрам. Для одновременного определения всех

функций чувствительности по параметрам а

используем пе-

редаточные функции системы [13].

Выходная координата системы х (t) связана с задающим

воздействием g (t) зависимостью

X(s)= W (s)G(s), (4.105)

где W (s) — К (s)fD (s) — передаточная функция системы;

X (s) и G (s) — изображение по Лапласу выходной и входной

величин.

Определим изображение функции чувствительности U

(s),

дифференцируя (4.105) по а

dW{s)

dW(s) X {s)

G(s)

a in w (s)

Рис. 4.44

W (s) dW

(s)

X X(s)-^SifL, (4.106)

где W

(s) — передаточная

функция элемента, парамет-

ром которого является a

_ ^ д In W (s) rr , ч

Обозначим общую часть ^ через H

(s), тогда

(s)

w h w

а для функции чувствительности можно записать

14 (S) = X (5) Н

(s) H

(s)

или

(s)=X(s)H

(s)m(s), где

На рис. 4.44 показана схема модели для одновременного

определения функций чувствительности по параметрам otj,

. Рассмотренный метод позволяет упростить модель

чувствительности за счет упрощения общей части модели, в

частности общая часть может быть представлена пропорцио-

нальным звеном. Подобное упрощение модели используется в

беспоисковых системах оптимизаций.

Глава 5

ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ,

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА

Л РЕГУЛИРОВАНИЯ

\И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 5Л. Общие положения

Первой проблемой, которая решалась

теорией автоматического регулиро-

вания, было обеспечение устойчивости

автоматических систем. Позднее цен-

тральной задачей стало достижение не-

обходимого качества регулирования. Си-

стематизация и обобщение накопленных

знаний привели к созданию методов на-

учного проектирования (синтеза) систем

с заданными показателями точности ре-

гулирования и быстродействия.

В настоящей главе излагаются ос-

новные сведения о способах и средствах

улучшения свойств линейных систем ав-

томатического регулирования. Затем

рассматриваются наиболее употребитель-

ные методы их синтеза.

Проблема обеспечения требуемых

свойств линейных автоматических си-

стем весьма сложна. В ней могут быть

выделены прежде всего следующие ча-

стные задачи: обеспечение устойчивости

(стабилизация); повышение запаса ус-

тойчивости (демпфирование); повышение

точности регулирования в установивших-

ся режимах (уменьшение или устранение

статической ошибки воспроизведения за-

дающего воздействия, уменьшение или

устранение влияния постоянных возму-

щений); улучшение переходных процес-

сов (увеличение быстродействия, макси-

мальное уменьшение динамических оши-

бок воспроизведения воздействия и от

возмущений).

Иногда несколько частных задач могут быть решены сов-

местно, в других случаях они оказываются противоречивыми.

В зависимости от назначения системы и предъявляемых к ней

требований одни задачи становятся основными, а другие ото-

двигаются на второй план или снимаются.

Всякая система автоматического регулирования должна

быть устойчивой. Однако запас устойчивости в системе стаби-

лизации (с постоянным или редко изменяемым задающим воз-

действием) может быть значительно меньше, чем в следящей

системе (с непрерывно или часто изменяющимся задающим воз-

действием). Если параметры регулируемого объекта опреде-

лены приближенно или могут изменяться в процессе эксплу-

атации системы, то необходим больший запас устойчивости,

чем при точно установленных и неизменных параметрах.

В системах стабилизации обеспечивается максимально воз-

можное или хотя бы необходимое уменьшение влияния возму-

щений. В следящих системах, кроме того, обеспечивается мак-

симально возможное или необходимое быстродействие и умень-

шение как статических, так и динамических ошибок воспро-

изведения задающего воздействия.

Требования в отношении быстродействия должны соот-

ветствовать мощности исполнительного элемента регулятора.

Использование элементов для нужных преобразований сигнала

управления не должно приводить к существенному повышению

тоовня помех, присутствующих в задающем воздействии,

f Когда устойчивость и необходимое качество не могут быть

достигнуты простым изменением параметров системы (коэффи-

циентов передачи, постоянных времени отдельных звеньев),

тогда эта задача решается введением в систему дополнитель-

ных устройств, называемых корректирующими.

5.2. Корректирующие устройства

Корректирующее устройство включают в систему автома-

тического регулирования по-разному. Возможно последова-

тельное включение корректирующего устройства в прямую

цепь системы (рис. 5.1, а), в этом случае оно называется по-

следовательным корректирующим устройством. Его переда-

точная функция на рис. 5.1, а обозначена W

Последовательное корректирующее устройство включают

непосредственно после датчика рассогласования или же пос-

ле предварительного усилителя. Второй вариант включения ис-

пользуют чаще. Дело в том, что уровень сигнала рассогласо-

вания обычно весьма мал и корректирующее устройство сни-

жает чаще всего уровень сигнала, поэтому при первом вариан-

те включения последовательного корректирующего устройст-

ва потребуется иметь предварительный усилитель значитель-

но более высокой чувствительности, чем при втором варианте.

Применение последовательных корректирующих устройств

наиболее удобно в системах, у которых сигнал управления

представляет собой напряжение постоянного тока. В этих слу-

чаях корректирующее устройство выполняют обычно из пас-

сивных электрических четырехполюсников, обеспечивающих

разнообразное преобразование сигнала. Еще большие возмож-

ности дают активные электрические четырехполюсники по-

стоянного тока.

В системах, у которых сигналом управления является мо-

дулированное напряжение переменного тока, последователь-

ные корректирующие устройства менее удобны по той причине,

что электрические четырехполюсники переменного тока имеют

существенные недостатки (см. § 5.3) и применяются редко, для

использования же пассивных четырехполюсников постоянно-

го тока оказываются необходимыми дополнительные элементы

(рис. 5.2). Модулированный сигнал переменного тока сначала

выпрямляется фазочувствительным демодулятором ФД и за-

тем фильтром Ф от-

фильтр о вы в а юте я

высшие гармоники.

Только после этого

осуществляется соот-

ветствующее преоб-

разование сигнала

четырехполюсн и к о м

постоянного тока.

Преобразованный сиг-

нал постоянного то-

ка вновь превращает-

ся модулятором М

в модулированный

сигнал переменного

тока, если это необхо-

димо для действия

последующих элемен-

Рис. 5.1 тов системы.

А.

J2LJ

wк.

J2LJ

wк.

—1

•4