Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

№ Wgh

(/со)

— комплексный коэффициент усиления замкну-

той системы.

Таким образом, по (4.64) и (4.65) можно вычислить /

Выражение (4.64) есть формула Рэлея*.

Существуют таблицы расчета интеграла /

в функции ко-

эффициентов Ь

, ..., Ь

и а

, а

изображения по Лапласу

сигнала ошибки £

св

(s) для т = п — 1 и до п = 10. В табл. 4.1

приведены формулы для /

при п = 1 -г- 5.

где

Таблица 4.1

-f b

+ ... + b

~i s + b

Ecn (

) —

tl~ \ . /(

«0 •

n ==2. J

= (6f g

+ Ог)/(2«o

«1

«2)'

Q . _ bl g

-{- (61

— 26

) g

+61 g

ti —

;

o. J

20 —

( —% + «4 «3 «2) + —2^2 h) g

«3 g

И Г + ~26

) a

do +

(— a

a% -{-

)

n4 JgO™ - - —

«о (—a

a\ —a| a

«1

«2 «3)

1/20 =

^ [

4 + (6?

262 W mi +

26s

Щ 6

(^1

—

) m

1 1

= —

(«2 m

— (a

);

«о «6

—«5 «

-fa

;

= —m

) ;

= — a

+ a

;

= «5 (g

—g

-f- g

При выборе параметров системы по минимуму оценки /

часто получают нежелательную колебательность процесса,

так как приближение процесса h (t) к идеальному скачку вы-

зывает резкое увеличение начальной скорости, что, в свою

очередь, может вызвать высокое перерегулирование, умень-

* Эта формула была получена и Парсевалем, поэтому в литерату-

ре ее также называют и формулой Парсеваля.

шив при этом запас устойчивости. В обобщенных квадратич-

ных оценках /

, ..., /

2Л

накладывают ограничение не только

на величину отклонения е (£), но и на скорость отклонения

е (£) в /

, а также и на производные второго, третьего и выс-

ших порядков в /

,..., /

2П

, что означает приближение кривой

не к ступенчатой функций, а к экспоненте в случае /

и к бо-

лее плавной, но сложной кривой в случае использования

При выборе параметров САУ по минимуму /

существен выбор постоянных т

Х9

..., т

, определяю-

щих вес производных в обобщенных квадратичных оценках

(4.58), (4.59). Значительное увеличение т

, т

приводит к

отсутствию перерегулирования, но увеличивает время регули-

рования. При малых x

..., т

уменьшение колебательности

будет незначительным. Выбор

осуществляется с уче-

том постоянной времени экстремали, к которой целесообраз-

но приближать процесс.

Остановимся на методике расчета системы по минимуму

обобщенной квадратичной оценки:

оо

</21

- j [Есв (0 + есв (01 dt.

Этот интеграл можно представить в виде суммы двух интегра-

лов:

оо оо

J2i = j [е

св

(0 +

(*)l

dt— 2х

J е

св

(t) ё

св

(t) dt =

о о

оо оо

— 5 1

св

(0 +

4в (Of dt — 2x

j е

св

(t).

Если система устойчива, то lim е

св

(/) — 0, тогда

t—>оа

оо оо

2т

1 J «СВ (0

CB (0 = * 1 «Ь (0

= 8св (0).

Кроме того, интеграл J

будет иметь минимально возмож-

ное значение

Лип ш=-гхе&(0) (4.66)

при

св

<0+^(0-0. (4.67)

Если

(*)/Л + в

св

(0^0, (4.68)

то решение дифференциального уравнения (4.68)

св (0

—

св

(0) (4.69)

является оптимальным по минимуму (экстремальным) пере-

ходным процессом (где х

— постоянная времени этого про-

цесса).

При выборе параметров системы по минимуму /

обычно

имеет место отклонение /limin от наименьшего значения

*^21m!n*

* ^21 min J2lmin ~ S > 0.

А. А. Фельдбаумом [10] было показано, что переходный

процесс будет отличаться от экстремального на величину, мень-

шую ]/б/т

, т. е.

Аб

св

(t) I

Vsfh.

(4.70)

По величине 6 можно оценить отклонение истинного пере-

ходного процесса е

св

(/) от экстремального (рис. 4.22). При

увеличении порядка системы увеличивается и ширина зоны

±|/6/т

, при этом уменьшается точность оценки качества си-

стемы (приближения переходного процесса к экстремали);

во избежание этого используют оценки вида (4.59). Величи-

ну т

задают по требуемому времени регулирования т. е.

*р/6 < т

< у3.

Следует заметить, что задача выбора параметров по мини-

муму /

или /

решается аналитически лишь в несложных

случаях для САУ невы-

сокого порядка. В про-

тивном случае расчеты

существенно усложня-

ются и задачу следуег

решать численно на

ЦВМ.

Рассмотрим примеры

выбора оптимального

значения какого-либо

параметра системы по

минимуму /

и /

Пример 4.4. Вычислить

значение коэффициента

усиления системы, миии-

мизирующее квадратичную интегральную оценку J

. Известна

передаточная, функция разомкнутой системы

W (s) = k/ls (1 + sT

) (1 + sT

)J,

где Т

= 0,01 с; Г

= 0,03 с.

Входной сигнал — единичная функция g (t) = I (/).

Изображение отклонения е

Св

(/) по Лапласу

св

(s) = U7 (s)

ёг

s \+W(s) s «(l+srjtl+srj+ife

где = + = 10~

; 6

==a

=l;

Воспользуемся формулами для вычисления J

, приведенными

в табл. 4.1 для п = 3:

Ь%

«о % + —26

6»)

Оо

«з «2 «з

—•

2а

—

Яо Оз)

aoa*—&а

—к 1 k (а

— с

)

«j

—

2ag

£2a

—

Определим частную производную:

(a\ —

) (% —

feflp)

— [ft (a? —c

)

+ oj

— 2g

ft)

dk ~~ 2 Pfa—kao)

Определим £ из dJ

/dk~ 0, т.е. k

(о

—

«о)

+ 2a

a\ k

—

«f

—

Подставляя числовые значения коэффициентов, получим

+ k 61,5 — 41-10

- О,

откуда «опт ~ 37.

Пример 4.5. Определить оптимальное значение коэффициента уси-

ления к, соответствующее минимуму обобщенной квадратичной оценки

21 *

Передаточная функция разомкнутой системы W (s) = k/[s (1 +

+ sT)]; Г = 0,1 с; т - 0,5 с.

Входной сигнал — единичная функция g (t) = 1 (0- Можно пред-

ставить J

в виде суммы:

ОО оо сю

=J [е=

(0 + т

ё|в(0 ] dt = J

св (0dt + т

J e

(/) dt.

Изображение отклонения t

(/) по Лапласу

1 111 s(l+sF)

Нсв (s)-

s s l + U

7(s) s

(\+sT)+l

sT + \ bps+bi

s*T

+ s+k a

s-j-o

где — a

- ^ = fli = П к.

Воспользуемся данными табл. 4.1 и определим значение /

для п = 2:

У20

(*>!

«оа

)/(2со ^ fl

) - (Г + Г

%(2ГЛ) =

+ ЛГ)/(2А).

Определим изображение производной е

Св

(t) из свойства преобра-

зований Лапласа:

ёсв (0 == (s) — 8

СВ

(О).

По теореме о предельном переходе,

_ Ь

-f- Ы

£ев (0)= lim е

св

(/) = lim s£

(s)=lim — — - I.

s~>00 s-и» ao s^-i-fl! s-j-a

Тогда L [e

(01 = №0 s

s)/(a

+ «2) — I =

= —

fc/(s

T + s+ fe) =

s+*i)/(«o

s + ce),

где = 0; bi = — c

= «i = 1; a

— k.

Теперь можно определить интеграл

оо

пользуясь формулой для J

о из табл. 4.1 для п — 2:

1 +

2 _ т

£/2*

Итак, = {I + кТ)/(2к) + TW2.

Определ

им /?опт из dJ dk — 0, т. е.

/dk «(—

2fc

)/(4£

) - (~

+ к

)/(2/г

) - О,

откуда к

=1; £

опт

« УТ/т

/т = 2с-

Оптимальный переходный процесс описывается в соответствии с

формулой (4.69) выражением

J-Tlx т

/т

Есв(0=ес

(0)е-^

е~

2<;

4ц mta= + = 0,55.

2/т 2

Так как е

Св

(0) —1, то по (4.66) наименьшее значение оценки

=ат

св W) —0,5. Следовательно 6 = /

imm—^2imtn =0,05. Соглас-

но (4.70) Ae

(f)= ±Уб/т-= 1/0,05/0,5 ^ ±0,33 (рис. 4.2).

Интегральные оценки качества широко используются при

синтезе оптимальных САУ в качестве критерия оптимальности.

§ 4.8. Частотные методы оценки качества

регулирования

Частотные методы исследования систем управления широко

используют в инженерной практике. Они основаны на привыч-

ном для инженеров графическом изображении динамических

характеристик системы, поэтому нашли применение при рас-

четах систем автоматического управления и позволили раз-

работать ряд удобных инженерных методов анализа и синтеза

систем автоматического регулирования. В СССР большую роль

в пропаганде и развитии частотных методов сыграли работы

В. В. Солодовникова. В них приведены метод оценки качества

по вещественным частотным характеристикам, метод построе-

ния переходных процессов по вещественным трапецеидальным

характеристикам при ступенчатых воздействиях, а также ме-

тод синтеза корректирующих устройств. В работах была до-

казана возможность применения частотных методов к раз-

личным системам с распределенными параметрами и с запазды-

ванием. Применение этих методов позволяет определить та-

кие важные показатели качества, как быстродействие, перере-

гулирование, колебательность процесса. Эти вопросы хорошо

освещены в литературе, и имеется большое количество вспомо-

гательных таблиц и графиков, что в значительной степени

упростило инженерные расчеты.

Прежде всего остановимся на аналитической зависимости

между переходной характеристикой и частотными характери-

стиками системы. Если на линейную систему воздействует

гармонический сигнал, то и установившееся значение выход-

ной величины будет гармоническим:

X (/со) - W

(/со) G (/со), (4.71)

где X (/со) — изображение выходной величины х (t) по Фурье;

G (/со) — изображение входной величины g (0 по Фурье;

(/со) — комплексный коэффициент усиления замкнутой

системы.

При воздействии на систему единичной ступенчатой функ-

ции g (t) = 1 (/) выходная величина, являющаяся переходной

характеристикой системы h

(t)>

определяется через веществен-

ную частотную или мнимую частотную характеристику зам-

кнутой системы:

оо

X (f)

= h (t) — Г sin

orftfco,

(4.72)

jt J о

где P (со) — вещественная частотная характеристика замкну-

той САУ;

оо

Х(0=*Л(0= — f cosю<Ло + Р(0), (4.73)

ЗХ J О)

где Q (со) — мнимая частотная характеристика замкнутой си-

стемы.

Определение переходной характеристики по (4.72), (4.73)

возможно лишь численными методами с применением ЦВМ.

Но возможен и другой путь, связанный с аппроксимацией ве-

щественной и мнимой частотных характеристик линейно-ку-

сочными функцями. Это позволяет получить достаточно удоб-

ные выражения для приближенного построения переходной

характеристики.

Если на систему действует произвольное возмущение, то

переходный процесс определяется по обобщенным веществен-

ной и мнимой характеристикам:

HRe[^(/co)G(/co)];

Qoq

(<*>)=Im [W

(/со) G (/со)],

(4.74)

оо

где G (/со) — J g (t) dt — изображение входного воздей-

ствия g (t) по Фурье. При этом необходимо, чтобы полюсы

функции W (s) G (s) располагались слева от мнимой оси.

Рассмотрим основные свойства вещественных частотных

характеристик и соответствующих им переходных процессов.

Из (4.72) следуют основные свойства Р (со) и h (t). Приведем

их без доказательств.

1. Свойство линейности: если вещественную частотную ха-

рактеристику можно представить суммой

Р Н = 2 P

Н;

оо

оо j*

hi (t) = — Г sin Шы, \

Я J СО I

О J

(4.75)

то и переходный процесс h (/) может быть представлен суммой

составляющих:

h (t) = 2 h

(t). (4.76)

2. Соответствие масштабов по оси ординат для Р (со) и

h (t). Если умножить Р (со) на постоянный множитель а, то

соответствующие значения h (0 тоже умножаются на этот

множитель а.

3. Соответствие масштабов по оси абсцисс для Р (со) и

h (t). Если аргумент со в соответствующем выражении частот-

ной характеристики умножить на постоянное число (рис.

4.23, а), то аргумент и в соответствующем выражении переход-

ного процесса будет делиться на это число (рис. 4.23, б), т. е.

оо

h (t/a) = —

LiS^L sin

cofctco.

(4.77)

Л J О)

4. Начальное значение вещественной частотной характе-

ристики равно конечному значению переходкой характери-

стики:

lim Р (со) = lim х

(t)

= lim h (t).

<d-*0 oo t—> oo

Начальное значение мнимой частотной характеристики

Q (0) - 0.

5. Конечное значение вещественной частотной характери-

стики равно начальному значению оригинала переходной ха-

рактеристики:

lim Р (со) = lim х

(t) -----

lim h (t).

€»->-оо >0

Представляют интерес

разрывы непрерывности и

пики в вещественной частот-

ной характеристике. Пред-

положим, что при со = со

вещественная частотная ха-

рактеристика имеет разрыв

непрерывности Р (со

) = оо,

при этом характеристическое

уравнение системы будет

иметь мнимый корень =

Рис. 4.24 Рис. 4.25

= ±/co

т. е. в системе устанавливаются незатухающие гар-

монические колебания, если остальные корни левые. Характе-

ристика для этого случая показана на рис. 4.24, а. По-види-

мому, высокий и острый пик частотной характеристики, за

которым Р (со) переходит через нуль, при частоте, близкой к

o>i, соответствует медленно затухающим колебаниям

(рис. 4.24, б).

6. Чтобы переходная характеристика системы имела пере-

регулирование, не превышающее 18 % (а 18 %), вещест-

венная частотная характеристика должна быть положитель-

ной невозрастающей функцией частоты (рис. 4.25), т. е.

Р (со) > 0, dP (<o)/doj < 0.

7. Условия монотонного протекания переходного процес-

са. Чтобы переходный процесс имел монотонный характер,

достаточно, чтобы соответствующая

ему вещественная частотная характе-

ристика Р (со) была положительной,

непрерывкой функцией частоты с от-

рицательной, убывающей по абсо-

лютному значению производной (рис.

4.26, а

б), т. е.

Р (со) > 0, ЫР (co)/dco] < 0.

8. Определение наибольшего зна-

чения перерегулирования а

тах

пере-

ходного процесса по максимуму ве-

щественной частотной характеристи-

ки Р (со) (рис. 4!27):

шах Р

(0)\/Р

(0)

(4.78)

где Р

тах

— максимальное значение

Р (со); Р (0) — начальное значение

Р (со = 0). Рис. 4.26

Рис. 4.27

Рис. 4.28

9. Если вещественная частотная характеристика близка

к трапецеидальной, т. е. может быть аппроксимирована тра-

пецией с диапазоном частот со

коэффициентом наклона к =

= ьу

/со

(рис. 4.28), то время регулирования переходного

процесса системы заключено в пределах зх/со

С t

<С 4п/оз

Оценить время регулирования t

и перерегулирование

можно по кривым, приведенным на рис. 4.29. Это применимо

для систем с невозрастающей вещественной частотной харак-

теристикой.

Если вещественная частотная характеристика Р (со) име-

ет максимум Р

таХУ

то перерегулирование а в и время регули-

рования оценивают по- кривым рис. 4.30, а, б в зависимости

от отношения P

JP (0). При этом время регулирования за-

ключено в пределах Зя/со

.< t

< 8л;/со

Остановимся на приближенном методе построения графи-

ков переходных процессов в системе по вещественным частот-

ным характеристикам при воздействии единичной функции

0 0,2 OA 0,6 0,8

10 гс

с координатными осями,

третья параллельна оси аб-

g (t) = i (t) и нулевых на-

чальных условиях.

Метод трапеций. В инже-

нерной практике широко

применяют метод разложения

частотной характеристики на

сумму трапеций, предложен-

ный В. В. Солодовниковым.

Две стороны единичной тра-

пеции Б (рис. 4.31) совпадают

Рис. 4.29

сцисс, а четвертая имеет