Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 4

.МЕТОДЫ ОЦЕНКИ

— {КАЧЕСТВА

УРЕГУЛИРОВАНИЯ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 4.1. Общие положения

При исследовании систем автомати-

ческого регулирования приходится ре-

шать задачу обеспечения требуемых по-

казателей качества переходного процес-

са: быстродействия, колебательности,

перерегулирования, характеризующих

точность и плавность протекания про-

цесса. Будем, как и в предыдущих гла-

вах, предполагать, что система автома-

тического регулирования описывается

системой линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициен-

тами. При изменении воздействия g (О

на входе системы (рис. 4.1) выходную

величину х (f) можно записать так:

= *свЮ +*в(0. (4.1)

где х (t) — решение дифференциального

уравнения, описывающего систему;

*св (0 — свободная составляющая пере-

ходного процесса, соответствующая об-

щему решению однородного дифферен-

циального уравнения.

Если последнее не имеет кратных

корней, то

*св

(0= S

' <

где C

— постоянная интегрирования,

значение которой определяют парамет-

ры системы и начальные условия; s

—-

корни характеристического уравнения

замкнутой системы D (s) — 0; х

(/) —

вынужденная составляющая

переходного процесса, обус-

ловленная законом измене-

ния g (t).

Из (4.1) видно, что каче-

ство переходного процесса

можно оценить по его* со-

ставляющим х

св

(t) и х

(*)„

В этом смысле различают две группы показателей: первая

группа—показатели качества переходного процесса х

св

(t);

вторая — показатели, характеризующие вынужденную (уста-

новившуюся) составляющую х

(t), по которой определяют

точность системы.

Показатели качества, определяемые непосредственно по

кривой переходного процесса, называют прямыми оценками

качества. Кривая переходного процесса может быть получена

теоретически или экспериментально.

В тех случаях, когда расчет переходного процесса связан с

большими трудностями, используют косвенные оценки каче-

ства. Например, к косвенным оценкам качества можно отне-

сти запасы устойчивости по фазе и по амплитуде, рассмотрен-

ные в гл. 3.

§ 4.2. Оценка качества регулирования

в установившемся режиме

(коэффициенты ошибок)

Рассмотрим показатели качества, характеризующие вынуж-

денную составляющую ошибки е

(*) системы. Если на входе

системы (рис. 4.1) действует сигнал g (t)

то установившаяся

ошибка регулирования системы е

(f) «g(t)

—

(t), где

(0 — вынужденная составляющая регулируемой величины

<4.1).

Если g (t) дифференцируема во всем интервале 0 <11 ^ оо,

то ошибка системы е

(£) мо^кет быть представлена в виде ря-

да:

(t)

g (0 + С

dg (i)/dt + J~~C

c?g

(iО/Л

+ ... +

+-Lc

g(t)/dt

, (4-3)

x(t)

Рис. 4.1

где коэффициенты С

, С

, ... принято называть:коэффициен-

тами ошибок. Формула (4.3) получена следующим образом.

Передаточная функция замкнутой системы относительно

ошибки (рис. 4.1)

Wge (s) = 1/11 + w (s)l = E

(s)/G (s). (4.4)

Из (4.4) можно найти выражение для изображения ошиб-

ки:

(s) = G(s)/ll + W (s)l. (4.5)

Разложим передаточную функцию по ошибке W

($) в

ряд по возрастающим степеням s в окрестности точки s = О,

что соответствует большим значениям времени оо), т. е.

значению установившейся ошибки при заданном управляющем

воздействии.

В соответствии с (4.5) можно записать

jc(s). (4.6)

Если передаточная функция W

(s) является дробно-рацио-

нальной функцией

(s)

° *

т+bl sm

1 +

"*'

+ bm

y s + bm

«0S'

-f

-h

. .

. +Gn-iS + Cn

то разложение в ряд W

(s) можно осуществить делением чис-

лителя на знаменатель, располагая члены полинома в поряд-

ке возрастания степеней. Переходя в (4.6) от изображений к

оригиналам, можно получить для е

(t) выражение (4.3).

Коэффициенты ошибок С

, С

, ... определяют по фор-

мулам разложения функции W

(s) в ряд Тейлора:

^rfli^l - с

L ** J

=o'

L as"

Js=o

(4.7)

Если g (t) = 1 (/), то все производные dg (t)/dt =

= d

g (t)/dt

= ...== = 0, тогда

Co-WV(O), a C

dg(t) __ C

d*g(t) _

В данном случае C

= Wge (0) — значение установившейся

ошибки в замкнутой системе.

Если g

(t)

= t, то dg (t)!dt = 1, a d

g (i)/dt

=...

—d

g (t) /dt

= 0; коэффициенты C

(0);

[

- ... - C

g(t)/dt

] = 0

s=0

И т. д.

Коэффициент С

называют коэффициентом статической или

позиционной ошибки; коэффициент С

— коэффициентом ско-

ростной ошибки, С

— коэффициентом ошибки от ускорения.

В статических системах коэффициент С

отличен от нуля.

В системах с астатизмом первого порядка С

— 0, С

Ф 0.

В системах с астатизмом второго порядка — 0;

Ф 0. Увеличение числа интегрирующих звеньев приводит

к повышению порядка астатизма системы, т. е. к нулевым

значениям нескольких коэффициентов ошибок, но при этом

усложняется обеспечение устойчивости системы. Если на си-

стему помимо задающего воздействия g (0 действует и возму-

щение f (t) (рис. 4.Й), то астатизм системы относительно g (t)

и f (t) зависит от места включения интегрирующего звена.

Пусть воздействия на САУ являются постоянными величи-

нами и равны g (t) = g

; f (t) ~ /

. Рассмотрим несколько слу-

чаев.

1. В системе отсутствуют интегрирующие звенья. Элемен-

ты 1 и 2 системы (рис. 4.2) являются инерционными звеньями

и соответственно рав-

ны

^ к(Ь)

(

(t)

W/s)

Рис. 4.2

(s) =k

/(1 -f s7\);

(s)=k

/(l+sT

(4.8)

Тогда на основании метода суперпозиции установившаяся

ошибка САУ

е (0 = (0 + е, (0, (4.9)

где £

(t) — ошибка отработки системой задающего воздейст-

вия:

(/) _ ошибка, вызванная действием помехи:

В данном случае САУ является статической относительно обо-

их воздействий, так как s

(t) Ф 0 и е

(/) ^ 0.

2. Допустим, что в элемент 2 рассматриваемой системы

(рис. 4.2) включено интегрирующее звено, а элемент / являет-

ся инерционным звеном, как и в случае 1. При этом передаточ-

ная функция элемента 2

(s) - k

/ls (1 + sT

Тогда составляющие e

(f) и е

(/) ошибки системы (4.9)

е (t

)

] а -Г ni+sT

l)(

) I

l-h^! (s)r

(s)Js =

L^i+

+ sTj) (IЧ-вГа)Js=!о

[ j±£i 1 f ^ fo ф0

Следовательно, САУ является астатической относительно за-

дающего воздействия g (t) и статической относительно возму-

щения f (t).

3. Пусть интегрирующее звено включено в элемент /,

передаточная функция его при этом равна

(s) - k

![s (1 + sT

Второе звено является инерционным звеном, а передаточная

функция его та же, что и в случае 1.

Рассчитаем составляющие ошибки г

(t) и (t):

% {t) =

[l+^i W wl (s) jL о

Яо =

Г s(l+sT x)(l+sr

) j

Ui + s

+ sTj)

+sr

)Js=

~ '

моЧ 1 /о»

Г ] f

Поскольку и e

(t) и

(t) = О, система является астати-

ческой и относительно воздействия g (/), и относительно воз-

мущения f (О»

Нужно отметить, что метод коэффициентов ошибок приме-

няется при сравнительно медленно меняющихся воздействиях.

Пример 4.1. Для системы (рис. 4.1) определить значение устано-

вившейся .ошибки системы. Передаточная функция системы в разомк-

нутом состоянии

W (s) ~ k/ls (I + *Т

) (I + sT

)J,

где k = 10 tr-i; T

= 0,2 с; T

= 0,02 с.

Выходной сигнал меняется по закону g (t) = 5 + 2Ш + 20/

Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно

ошибки:

. , E(s) 1 S (I -J

s7\) (1 + S7'

)

ge w

G (s) 1+W (s) s (I +s7Y) (1 +sr

) + k

fnTt + fCTi+TJ + s+k

Коэффициенты ошибок С

и С

(С

— 0, так как система астати-

ческая) определяют по (4.7) или разложением в ряд по возрастающим

степеням s функции W

. (s) делением числителя на знаменатель:

(s) =Cis+C

+ ... -s/fe+s

(Т

+ Т

— l/k)Jk+... .

Коэффициенты C

, ... вычислять не имеет смысла, так как функция

(f)

имеет только две производные, ие равные нулю.

Определим первую и вторую производные входного воздействия

g (0=20+40/; £(0= 40.

Тогда 8

(0 = C

g(0 + C

^(0 = 2,48+4<.

§ 4.3. Оценка качества переходного процесса

при воздействии ступенчатой функции

Переходный процесс в системе зависит не только от свойств

САУ, но и от характера внешнего воздействия, которое в об-

щем случае может быть сложной функцией времени. Поведе-

ние системы рассматривают при следующих типовых воздейст-

виях: единичной ступенчатой функции 1 (t), импульсной б (t)

и гармонической функций. Прямые оценки качества получают

по кривой переходной характеристики h (t), т. е. при воздейст-

вии единичной ступенчатой функции

* <0-1(0 =

1 при t >0,

0 при 0

и нулевых начальных условиях.

Эту характеристику можно построить для выходной вели-

чины или для отклонения е

св

(0 (рис. 4.3, а, б). К прямым

оценкам качества относят:'

1. Время регулирования t

— минимальное время, по ис-

течении которого регулируемая величина будет оставаться

близкой к установившемуся значению с заданной точностью

Нсв(0К° при (4.10)

или

h (t) -h

ycT

< A,

где Д — постоянная величина, значение которой нужно ого-

варивать (задается величина Д в процентах от установившего-

ся значения выходной величины /г

уст

г-гл/о)

'ЯГО/,

"уст

tnax

j.'

Рис. 4.3

2. Перерегулирование о — максимальное отклонение пе-

реходной характеристики от установившегося значения вы-

ходной величины, выраженное в относительных единицах или

процентах:

0 — ^

MAX3L

^УСТ

/ly

где ft

maxl

— значение первого максимума, или

— I

(0 Imaxi |

QQ ___

ЕСВ

Imaxi

| QQ

йуст

св

(0) I

Допустимое значение перерегулирования в каждом кон-

кретном случае будет подсказано опытом эксплуатации систе-

мы, обычно 0 — 10 -т- 30 %, но в некоторых случаях допуска-

ется и до 70 Иногда перерегулирование недопустимо сов-

сем.

3. Частоту колебаний со = 2я/Т, где Т — период колеба-

ний для колебательных переходных характеристик.

4. Число колебаний п, которое имеет переходная характе-

ристика h (t) или е

св

(0 за время регулирования (/

При проектировании систем чаще всего допускают п =

= 1 4- 2, а иногда и до 3—4, но в некоторых случаях колеба-

ния в системе недопустимы.

5. Время достижения первого максимума £

тах

6. Время нарастания переходного процесса t

— абсцис-

су первой точки пересечения кривой переходной характери-

стики h (t) с уровнем установившегося значения Л

уст

или кри-

вой отклонения е

св

(*) с осью абсцисс.

8. Декремент затухания к, равный отношению модулей

двух смежных перерегулирований:

™ I

^maxl ^уст И

^шах2

^уст

I-

Перечисленные показатели качества могут быть дополне-

ны другими, но это обусловлено спецификой конкретной

системы.

Определение приведенных выше прямых оценок качества

переходного процесса проиллюстрировано на рис. 4.3, а, б.

Переходные процессы, возникающие в системах при скач-

кообразных воздействиях, принято делить на три группы:

монотонные, апериодические и колебательные. У монотонных

процессов первая производная выходной величины х (t) не

меняет знак (кривая а на рис. 4.4), у апериодических знак про-

изводной х (t) меняется не бо-

лее одного раза (кривая б на

рис. 4.4), а у колебательных —

первая производная х (t) ме-

няет свой знак периодически

(теоретически бесконечное число

раз) (кривая в на рис. 4.4).

Нужно отметить, что в на-

стоящее время при бурном раз-

витии вычислительной техники

трудности, связанные с расче-

том переходных процессов и выбором возможных вариаций

параметров системы, существенно уменьшаются, поэтому роль

прямых оценок качества при проектировании САУ возрастает

§ 4.4. Оценка качества регулирования

при гармонических воздействиях

При гармонических воздействиях качество системы приня-

то оценивать по амплитудно-фазовой, амплитудно-частотной,

фазочастдтной и логарифмическим частотным характеристи-

кам. Для оценки качества переходного процесса используются

следующие величины: показатель колебательности М, ре-

зонансная (собственная) частота со

, полоса пропускания си-

стемы со

, частота среза со

ср

, запасы устойчивости по модулю

и по фазе.

Показатель колебательности М — это отношение макси-

мального значения амплитудно-частотной характеристики

^зтах(^) замкнутой системы к ее значению при со = О

(рис. 4.5):

М-Л

зтах

ИМ

(0). (4.11)

при А

(0) — 1 показатель колебательности М = Л

3 тах

(со).

Показатель колебательности характеризует склонность си-

стемы к колебаниям. Чем выше М, тем менее качественна

система при прочих равных условиях. Считается допустимым,

если 1,1 < Af< 1,5.

Частоту (о

, при которой амплитудно-частотная харак-

теристика замкнутой САУ имеет максимум, называют резо-

нансной

частотой системы

(рис. 4.5); на этой частоте гармони-

Рис. 4.4

Рис. 4.5 Рис. 4.6

ческие колебания проходят через систему с наибольшим усиле-

нием.

Полоса пропускания системы (рис. 4.6) — это интервал

частот от со = 0 до со

, при котором выполняется условие

А>о)<0,707Л

(0) . (4.12)

или при Л

(0) — 1 величина А

(со

) 0,707. Полоса про-

пускания не должна быть слишком широкой, иначе система

будет воспроизводить высокочастотные помехи.

Частота среза со

ср

— частота, при которой амплитудно-

частотная характеристика системы принимает значение, рав-

ное 1, т. е. А

(о)

ср

) — 1. Эта частота косвенно характеризует

длительность переходного процесса. Время регулирования

обратно пропорционально частоте среза:

^(14-2)2л/со

ср

. (4.13)

Если переходный процесс имеет одно-два колебания, то время

достижения переходной характеристикой первого максимума

Склонность системы к колебаниям характеризуется вели-

чинами ее запасов устойчивости по модулю и по фазе, опреде-

ление которых дано в предыдущей главе. В хорошо демпфи-

рованных системах запас устойчивости по амплитуде колеблет-

ся в пределах от 6 до 20 дБ, а запас по фазе — от 30 до 60°.

Так как рассмотренные выше показатели косвенно опреде-

ляют быстродействие, перерегулирование и т. п., то их исполь-

зуют и для расчета систем, находящихся под воздействием не-

периодических возмущений.