Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

Для определения области D (т), и в частности области ус

тойчивоети D (0), достаточно знать распределение корней (т.е.

число правых и левых корней) при каком-либо одном произ-

вольном значении параметра v = v

. Переходя в плоскости v от

этого параметра к любому другому, по числу пересечений гра-

ницы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно

определить значение D (т) в любой другой точке.

Претендентом на область устойчивости является область,

внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому со-

ответствует области с наибольшим числом 1евых корней. Что-

бы установить, является ли эта облас

ь действительно обла-

с/ '

стью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значе-

нием v

лежащим в этой области. Подставив v

в'характерис-

тическое уравнение, нужно, используя любой критерий устой-

чивости, установить, все ли корни характеристического урав-

нения будут при этом левыми. Если при этом не все корни бу-

дут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением

только параметра v нельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным чис-

лом; то из полученной области устойчивости выделяют только

отрезок устойчивости т. е. отрезок вещественной оси, лежа-

щий в области устойчивости, например отрезок АБ на рис.

3.24, б.

/^-разбиение по двум параметрам. На практике часто тре-

буется выяснить влияние на устойчивость не одного параметра,

а двух, которые линейно входят в характеристическое уравне-

ние замкнутой системы так, что характеристическое уравне-

ние можно привести к виду

D (s) = vN (s) +

M(s) + L (s) = 0, (3.83)

где N (s), M (s), L (s) — полиномы от s; v и \x — изменяемые

параметры, влиянием на устойчивость которых интересуются.

Подставляя в (3.83) s = /со, получим выражение для гра-

ницы D-разбиения в плоскости параметров:

D (/со) = vN (/со) + уМ (/со) + L (/со) - 0. (3.84)

Введем обозначения

a/(/co)-/V

(CO)+/W

М (/со) = Ml

(со)

+ /М

(со);

L (/со) = U

(со)

+ /L

(со)

(3.85)

и разобьем (3.84) на два уравнения, приравняв отдельно ве-

щественную и мнимую части нулю:

(со) + |iAf

(со) + L

(со) - 0;

(со) + |хМ

(со) + L

(со) = 0.

(3.86)

(3.87)

Решение системы уравнений (3.86) и (3.87) относительно

V И [А

V = Д

/Д; (3.88)

= А

/:\, (3.89)

где Д =

(со)

(СО) М

(со)

Ai =

•главный определитель системы;

(3.90>

—Li

(со)

— L

(CO)/M

(СО)

(со) -L

(co)

( о>) —L

(co)

(3.91)

(3.92)

— частные определители системы..

Так как N

(со), М

(со) и L

(со)— нечетные функции со,

то Д, Д

и Д

тайже нечетные функции со, a v и jx — четные

функции со.

Задавая различные значения

со

от — оо до оо, для каждого

со по параметрическим уравнениям (3.88) и (3.89) определяем

величины v и |х и строим границу D-разбиения в плоскости

этих параметров.

При этом возможны следующие три случая:

1. При заданной частоте co

определитель Д, а также опре-

делители Д

и Д

не равны нулю одновременно. Тогда (3.86)

и (3.87) совместны, а (3.88) и (3.89) определяют для заданного

значения щ точку в плоскости параметров v и JA. При

фиксированном co

(3.86) и (3.87) представляет собой в этом

случае в плоскости v и [х пересекающиеся прямые 1 и 2, пока-

занные на рис. 3.25, а.

2. При некотором значении co

определитель Д обращает-

ся в нуль, а определители Д

и Д

не равны нулю. Тогда (3.86)

и (3.87) несовместимы и не имеют конечных решений. Прямые

/ и 2 параллельны и не пересекаются, как это показано на

рис. 3.25, б.

Рис. 3.25

3. При некотором значении % определитель А и оба опре-

делителя А

и Д

равны нулю одновременно. Тогда v и ста-

новятся неопределенными. В этом случае, как известно, одно

из уравнений (3.86) и (3.87) становится следствием другого,

отличаясь от него на некоторый постоянный множитель. Пря-

мые / и 2 (рис. 3.25, в) сливаются друг с другом и, таким обра-

зом, в плоскости v и

{Л

для заданного % получается не точка,

а так называемая

особая

прямая, уравнение которой v

(%)+

+ (%) + L

) - 0.

Особая прямая не относится к кривой D-разбиения, так

как всем точкам этой прямой соответствует одно и то же значе-

ние частоты w = и направление движения по прямой при

изменении w установить невозможно.

В большинстве практических задач особые прямые получа-

ются при значениях со — О ию — оо.В этом случае хотя бы

один из коэффициентов v и входит в коэффициенты, соответ-

ствующие свободному а

и старшему а

членам характеристи-

ческого уравнения. Особая прямая при получается при-

равниванием нулю коэффициента а

особая прямая при

со

=со

получается приравниванием нулю коэффициента а

. Если а

не зависят от v и fx, то эти особые прямые отсутствуют.

После того как граница D-разбиения и особые прямые по-

строены, их необходимо заштриховать, пользуясь следующим

правилом: при возрастании

со

от — оо до оо граница D-разби-

ения штрихуется, слева, если А > 0, и справа, если А

<С

Поскольку, как было отмечено выше, v и р, являются чет-

ными функциями со, граница D-разбиения при положительных

и отрицательных значениях частоты совпадает. При измене-

нии (о от — оо до оо мы обходим кривую D-разбиения *деа

раза и поэтому она штрихуется всегда двойной штриховкой.

Штриховка

особых

прямых, к&к пршилб, одинарная и про-

изводится так, чтобы вблизи точки сопряжения особой прямой

и кривой D-разбиения заштрихованные и незаштрихованные

стороны прямой и кривой были направлены друг к другу

(рис. 3.26, а, б). В тех, сравнительно редких, случаях, когда

особая

прямая имеет место при некотором конечном значении

частоты

to = to

Ф 0 и при этом А проходит через нуль и ме-

няет знак, особая прямая штрихуется по приведенному выше

правилу, но двойной штриховкой (рис. 3.26, в). Если

же особая

прямая имеет место при & == to

Ф 0 и при этом А, проходя

через нуль, не меняет знака, то

особая

прямая не штрихует-

ся и исключается из рассмотрения (рис. 3.26, г).

Следует обратить внимание на то, что знак определителя

А, определяемого (3.90), зависит от порядка расположения чле-

нов в (3.86) и (3.87). Чтобы не допустить грубых ошибок при

нанесении штриховки, необходимо в (3.86) и (3.87) сначала на-

писать члены, содержащие параметр, откладываемый по оси

абсцисс, т. е. v, а затем члены, содержащие параметр, откла-

дываемый по оси ординат, т. е. ji.

После нанесения штриховки определяют область, претен-

дующую на область устойчивости, т. е. область, внутрь которой

направлена штриховка. Затем, выбирая любые значения v ==

= v

fi = fi

, лежащие в этой области, и подставляя их в ха-

рактеристическое уравнение, нужно с помощью любого из

рассмотренных ранее критериев устойчивости определить, все

ли корни характеристического уравнения будут при этом ле-

выми. Если при этом не все корни будут левыми, то в плоско-

Рис. 3.26

сти параметров VH|A области устойчивости нет, т. е. измене-

нием только v и сделать систему устойчивой нельзя. Если же

при этом все корни окажутся левыми, то рассматриваемая об-

ласть действительно является областью устойчивости D (0).

После этого можно разметить области D (т) в любой другой

точке плоскости параметров v и имея в виду, что пересече-

ние границы D-разбиения (или особой прямой с двойной штри-

ховкой) из заштрихованной зоны в незаштрихованную соответ-

ствует переходу двух комплексно-сопряженных корней из ле-

вой полуплоскости корней в правую и наоборот. Пересечение

особой прямой с одной штриховкой соответствует переходу

одного корня.

Пример 3.7. Пусть характеристическое уравнение замкнутой

системы автоматического управления

D(s) -

+ r

)(

+ r

s)(

+ r

s) + К - 0,

где К — коэффициент усиления разомкнутой системы; T\

7г, Т

— по-

стоянные времени отдельных динамических звеньев.

Требуется построить границу D-разбиення в плоскости коэффици-

ента усиления разомкнутой системы К.

Запишем характеристическое уравнение в виде D (s) = S (s) +

+~N (s) = 0, где S (s) = (1 + T

) (1 + T

s) (1 + 7»; N (s) - 1;

v = К. Подставляя в характеристическое уравнение s = /со, получа-

ем выражение для границы D-разбиения:

D (/со) (1

+ /соГ

)

/соГ

) (1

+/Т

) +К = S (/о)) + vN

(/о>)

-0,

откуда

х = —S

(i«>)JN

(/ю) = -(1 +/©Т

) (1 + /соГ

) (I + /юГ

) =

<о>)+/Т (со),

где

X (ю) -Г

+ Т

+ Г

)

со

—I;

Y (со) =

со

[Г

со*—(7\ + Т

+Т

)].

Задаваясь различными значениями частоты со > 0, определяем

X (со) и К (со) и строим на комплексной плоскости кривую D-разбие-

ния, соответствующую положительным частотам (сплошная линия на

рис. 3.27). Ветвь кривой D-разбиения, соответствующую отрицатель-

ным частотам ю < 0, находим как зеркальное отображение относитель-

ной вещественной оси построенного участка для со > 0 (пунктирная ли-

ния на рис. 3.27). Затем кривую D-разбиения штрихуем слева по обхо-

ду при изменении частоты со от —оо до оо.

Кривая D-разбиення делнт плоскость на три области: /, II и

III. Претендентом на область устойчивости является область /, так

как к ией направлена штриховка. Чтобы проверить, действительно ли

эта ^область является областью устойчивости, задаемся значением

v = v

= 0, лежащим в этой области, подставляем его в характер нети-

Г tk

JY(o>)- Jmtf

Рис. 3.27

ческое уравнение и опре-

деляем корни получаю-

щегося при этом харак-

теристического уравне-

ния D (s) = (1 -f 7\s)X

X (1 + T

s) (1 + T

s) =

= О, все корни которого

Si =

— 1/7Y,

-— 1/

н s

= —1/7^3 являются

левыми; следовательно,

область / является об-

ластью устойчивости

Так как Коэффици-

ент усиления К не яв-

ляется комплексной величиной, то нас будет интересовать только

отрезок устойчивости А Б, совпадающий с действительной осью, на-

ходящейся в области устойчивости.

Система будет устойчива, если значение К изменяется в пределах

—1 < К < /С

кр

. Отрицательным значениям К соответствует положи-

тельная обратная связь. Для нахождения /С

кр

следует определить сна-

чала значение со, при котором У (о) — 0. Если корень этого уравнения

о = со

, ТО /С

кр

= X (со

). Производя вычисления, получаем

©J-tn + ^ + rj/tnr.T,);

Ккр=Х(0)о) =

(1+Т2+Тз)(1

+ 1/Т

+1/Т

)-1,

где т

= TJT

\ т

= Т

/Т

На рис. 3.27 показаны области D (0), D (1) и D (2). Область £><3)

в данном случае отсутствует. Это означает, что прн положительных

значениях Т

, Т

и Т

и любом значении К невозможно, чтобы все три

корня характеристического уравнения одновременно были правыми.

Пример 3,8. Рассмотрим теперь ту же систему, но будем интере-

соваться влиянием постоянной времени Т

на устойчивость.

Запишем характеристическое уравнение в виде

•

£>(s)

[(l

+ r

s)(l+r

)4-/(n-7'

[

(l-|-7'

)(l+r

s)l =

= S(s)+v7V(s),

где S(s) = (H-r

s)(l+r

s)+/C; JV(s) =s(1+ Г

s) (l+^s);

v=7\.

Подставляя в характеристическое уравнение s = /со, получаем вы-

ражение для границы D-разбиення:

(/со) (/со)-ИЛ'

(/со)

+/соГ

) (1+/соГ

) +

- К + Т

/©

/со

)

+ /со Г

) = 0,

откуда

v-7\= -[(1 +/соГ

)

(1 +/соГ

)

К]/[/со (1

+/соГ

)

(1 +/о>^

—X

(со)

+ jY (со).

Задаваясь различными значениями частоты со, можио вычислить X (со)

и У (о>), а затем построить границу D-разбиення, которая показана на

рис. 3.28. Эта кривая также штрихуется слева по обходу прн измене-

нии частоты со от —оо до оо.

Кривая разбивает плоскость на четыре области: /, //, III и IV.

Претендентами на область устойчивости являются области I а II. Про-

верим, является ли область I действительно областью устойчивости.

При 7\ — 0 характеристическое уравнение D (s) = (T

s + 1) (T

s +

+ 1) + К = 0 является уравнением второго порядка с положитель-

ными коэффициентами; следовательно, оно имеет все левые корни.

Строго говоря, область I соответствует Т

ф 0 и при этом характе-

ристическое уравнение имеет третью степень. Прн уменьшении Т

одни

из корней характеристического уравнения перемещается в плоскости

корней влево н при Т

= 0 становится отрицательным бесконечно боль-

шим. Исходя из теоремы о непрерывной зависимости корней от коэф-

фициентов уравнения можно утверждать, что система будет оста-

ваться устойчивой не только при Т

= О, но и в некоторой области ма-

лых значений Т

. Следовательно, область I является областью устой-

чивости D (0).

Далее, пересекая кривую D-разбнения по числу штриховок и нх

направлению, размечаем области D (1) и D (2). Заметим, что в данном

случае имеются две области устойчивости D (0).

Система будет устойчива прн 0 < Т

< и при 7\ > Т

. Систе-

ма будет неустойчива при

Т<*

< Т

Пример 3.9. Рассмотрим ту же самую систему, что и в примере

3.8, но будем считать, что два параметра системы — коэффициент уси-

ления разомкнутой системы К и постоянная времени 7\ — могут варьи-

роваться одновременно.

Для определения влияния изменения этих параметров на устой-

чивость построим границу D-разбиения в плоскости двух параметров:

и К.

Перепишем характеристическое уравнение в виде

D (s) - v [Т

Т^ + (Т

+ Т

) s* + s] + & + Т

s* + (Т

+ Т

) s + 1 = 0,

где v = Т

; [Л — Я.

Подставляя в характеристическое уравнение s~j со, получаем вы-

ражение для границы D-разбиения D (/со) -- vN (/со) 4- u,M (fro) 4-

L (/со) — Т

(]&)*+{Т

+Т

) (/со)-Ь

1 -

jY(w)

-3m T

Ф&яМ

Рнс. 3.28

Приравняв нулю действительную и мнимую части, получим сле-

дующую систему двух уравнений:

-v (Т

<о

-со) + + Г

)

<о

= 0

Решаем эти уравнения относительно v и JA;

v = (r

)/(7-

sft

)

-l); р^Г.ш*-

Главный определитель системы

-(Г

+ ГЗ)

8 1

—

a>0— (О) О

= (Г

<о< 1) со.

Кривую D-разбиення можно построить, задаваясь значениями ча-

стоты со от 0 до оо и вычисляя v н р, для фиксированных значений ча-

стоты. Однако на практике для облегчения построения сначала строят

кривую D-разбиення качественно. Для этого качественно строят зави-

симость v и jx от со (или со

), а затем, пользуясь имн и исключая со, стро-

ят качественную границу D-разбиения. Качественное построение v =

— / (со) и fx = / (to), а также граница D-разбиения показаны на

рис. 3.29.

Особые прямые находим, приравнивая нулю свободный член н ко-

эффициент прн старшей степени s характеристического уравнения.

Особую прямую, соответствующую со — оо, находят нз выражении

щ — Т

Тз = vT

— 0, откуда уравнение особой прямой v = 0.

Особую прямую, соответствующую со — 0, находят из выражения

~ 1+ К = 1 + ДО = О, откуда уравнение особой прямой

= —1.

Кривую D-разбиения штрихуют двойной штриховкой при измене-

нии частоты со от 0 до оо слева по обходу, если главный определитель

А >- 0, и справа по обходу, если главный определитель Д < О. Особые

2*3

JUL -К

DU)

й Л.

1 л™

к я 1(2) $

1 jf

ш Ш

<*>' 7 п(г)

Ь ш BO)

Рис. 3.29

прямые в данном случае штрихуют одинарной штриховкой, причем

заштрихованные стороны прямых и кривой D-разбнення направлены

друг к другу.

Итак, главный определитель Д < 0 при 0 < со <

Д > 0 при (о > У 1/<Г

Кривая D-разбиення и особые прямые делят плоскость (v, jw) на

шесть областей: /, //, IV, V и VI. Претендентами на область ус-

тойчивости являются области I и IV. Рассмотрим точки, принадлежа-

щие полупрямой fx = К — О при v — Т

;> О, т. е. положительную

часть оси абсцисс.

При К = 0 и любом Т

> 0 характеристическое уравнение

D (s) - (1 + T

) (1 + T

s) (1 + T

s) = 0;

следовательно, все три корня характеристического уравнения при

этом будут левыми, т. е. = —\/Т

\ s

^ —

и s

5=3

— l/TV

Таким образом, положительная часть оси абсцисс принадлежит

области устойчивости D (0), а поэтому и вся область I являетси об-

ластью устойчивости.Переходя из этой области в другие через границу

D-разбиения или особую прямую, размечаем остальные области D (1)

и D (2). Заметим, что в данном случае имеются две области устойчиво-

сти D (0), однако нас будет интересовать только область устойчивости

D (0), соответствующая физически осуществимым положительным зна-

чениям постоянной времени 7\ >• О.

Построение границы D-разбиення в плоскости двух параметров

дает полную картину влияния этих параметров на устойчивость систе-

мы. При малых значениях коэффициента усиления К система устойчи-

ва прн любых значениях Т

. При больших значениях К система устой-

чива лишь при достаточно малых либо достаточно больших значениях

7*1, что совпадает с результатами, полученными в примере 3.8.

§ 3.9. Устойчивость систем с запаздыванием

и систем с иррациональными звеньями

Системы автоматического управления могут содержать

звенья, и которых зависимость между входной и (#) и выход-

ной у (t) величинами имеет вид

у (0 = и (t — т), (3.93)

где т — постоянная величина, называемая временем запазды-

вания. Такие звенья называют запаздывающими, так как они

воспроизводят изменения входной величины без искажения,

но с некоторым постоянным запаздыванием т.

Передаточная функция запаздывающего звена (см. § 2.6)

ап (s)«e-« (3.94)

Звенья с чистым запаздыванием часто встречаются в различ-

ных технологических процессах, когда материал перемещает-

ся из одной точки в другую с помощью ленточных транспор-

теров; в системах регулирования толщины листа при прокат-

ке; в системах магнитной записи и воспроизведения и т. д.

Системы автоматического управления, содержащие хотя

бы одно запаздывающее звено, называют системами с запазды-

ванием. Процессы в системах с запаздыванием описываются

дифференциально-разностными уравнениями.

Во многих тепловых процессах, а также прн передаче сигналов

на расстояние по длинным электрическим, гидравлическим и другим

линиям наблюдается запаздывание, распределенное по всей длине ли-

нии, которое в отличие от чистого запаздывания приводит к искажению

передаваемых сигналов. Системы, содержащие звенья с распределен-

ным запаздыванием, требуют для своего описания дифференциальных

уравнений в частных производных. Во многих случаях в результате

решения указанных уравнений в частных производных с учетом гра-

ничных условий после некоторых упрощающих предположений для си-

стемы автоматического управления в целом получают дифференциаль-

но-разностные уравнения такого же типа, как и для систем с чистым

запаздыванием.

На практике широко применяют аппроксимацию передаточных

функций сложных систем с распределением параметрами с помощью

передаточных функций систем с сосредоточенными параметрами и эк-

вивалентных постоянных времени чистого запаздывания. Иногда слож-

ные системы высокого порядка с сосредоточенными параметрами, со-

держащие большое количество инерционных звеньев, также мож-

но заменить для приближенного исследования более простой системой

низкого порядка, но содержащей звенья с чистым запаздыванием.

В дальнейшем будем рассматривать только системы с чистым за-

паздыванием.

Структурная схема одноконтурной системы автоматическо-

го управления, содержащей одно запаздывающее звено, может

быть представлена либо так, как показано на рис. 3.30, а,

если запаздывающее звено находится в прямой цепи, либо так,

как показано на рис. 3.30, б, если запаздывающее звено нахо-

дится в цепи обратной связи.