Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

кого управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая

характеристика разомкнутой системы W (/со) не охватывает

точку (—1, /0).

Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутых стати-

ческих систем автоматического управления при изменение час-

тоты о) от—со до сообразуют замкнутый контур. У астати-

ческих разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие

звенья , амплитудно-фазовые характеристики не образуют зам-

кнутого контура. Для таких систем характеристическое урав-

нение разомкнутой системы имеет корни, равные нулю, и мо-

жет быть записано в виде

Q (s) -

(s) - 0, (3.73)

где v — порядок астатизма; Q

(s) — полином, не имеющий кор-

ней, равных нулю.

Частотная передаточная функция разомкнутой астатичес-

кой системы, содержащей интегрирующие звенья,

(/со)

- W

(s)

s==

/to

= R (S)/S

Qi (s) fs^/co =

~ R (/co)/[(/co)

(/со)].

(3.74)

При co= 0 частотная передаточная функция астатической

системы обращается в оо, а ее амплитудно-фазовая характе-

ристика претерпевает разрыв. Поэтому в этом случае трудно

решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как

неясно, охватывает ли амплитудно-фазовая характеристика

W (/со) точку (—1, /0).

Векторы /со при изменении частоты со от — оо до оо из-

меняют при переходе через начало координат фазовый угол

скачком с — я/2 до л/2, но в каком направлении происходит

их поворот в момент перехода через начало координат, сказать

невозможно. Чтобы освободиться от этой неопределенности,

идя по мнимой оси при изменении частоты со от—оо до оо,

обходят начало координат в плоскости корней справа по полу-

окружности бесконечно малого радиуса г (рис. 3.15), т. е. счи-

тают не s = 0, as = re

(г 0, — я/2 '^у^п/2).

Тогда все нулевые корни дадут точно такой же угол поворо-

та, как левые корни, т. е. каждый из векторов повернется на

я, и формулы (3.54) и (3.55) сохраняют свою силу.

Обходу начала координат по малой дуге г е'

в плоскости

корней соответствует передаточная функция разомкнутой си-

стемы

P(s) =

R(s)

(s)

s— 0

R( 0) 1

Qi (0) (re

)

-V

(3.75)

где b

и c

— свободные члены полиномов R (s) и Q

(s).

При r 0 модуль R

—>

оо, а аргумент

ij)

меняется от vn/2

до — vя/2 при изменении у от — я/2 до я/2. Таким образом,

во время движения по полуокружности бесконечно малого ра-

диуса в плоскости корней частотная передаточная функция

разомкнутой системы W (/со) может быть представлена в виде

вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на

комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный—

— vn (от vn/2 до —vn/2).

При изменении со от 0 до оо, т. е. при г 0 и 0 ^ у ^я/2,

частотная передаточная функция W (/со) будет изменяться по

дуге бесконечно большого радиуса, описывая угол от 0 до

— vя/2. На рис. 3.16 показана амплитудно-фазовая характе-

•

т со>0

/VW

w<0

W{jw)

N ^

и((D)

Рис. 3.15

Рис. 3.16

о)

I©

ристика разомкнутой аста-

тической системы с аста-

тизмом первого порядка

v - L

На основе сказанного

выше для определения ус-

тойчивости систем с аста -

тизмом любого порядка v

достаточно построить

одну ветвь амплитудно-фа-

зовой характеристики ра-

зомкнутой системы, соот-

ветствующую положитель-

ным частотам, дополнить

ее дугой — vn/2 окружно-

сти бесконечно большого

радиуса и затем приме- \

нить критерий устойчи-

вости Найквиста.

Например, если ра-

зомкнутая астатическая

система неустойчива, то

замкнутая система будет устойчива

частоты о) от 0 до оо

V«o)

W(JOD)

•bjo

*U(CD)

Рис. 3.17

'<!)>• 0

-i :n

jV(io)

W(j6))

I©

Рис. 3.18

если при изменении

амплитудно-фазовая характерис-

тика разомкнутой астатической системы W (/о), дополненная

дугой — vn/2 бесконечно большого радиуса, охватит точку

(—1, /0) в положительном направлении I/2, раз, где I — число

правых корней характеристического уравнения разомкнутой

системы.

На рис. 3.17 приведена амплитудно-фазовая характеристика

разомкнутой системы с астатизмом второго" порядка v = 2.

Замкнутая система в этом случае будет неустойчива, так как

амплитудно-фазовая характеристика W (/о), дополненная ду-

гой — vn/2 ~ — п бесконечно большого радиуса, всегда ох-

ватывает точку (—1, /0) в отрицательном направлении (по

часовой стрелке).

На рис. 3.18 приведена амплитудно-фазовая характерис-

тика разомкнутой системы с астатизмом второго порядка, кото-

рая после дополнения ее дугой — vn/2 = — п бесконечно

большого радиуса не охватывает точку (—1, /0) (число положи-

тельных и отрицательных переходов через отрезок (— оо, —1)

равно нулю). Следовательно, замкнутая система будет устой-

чива.

Одним из достоинств критерия.Найквиста является то, что

он может быть применен и в тех практически важных случаях,

когда неизвестны уравнения некоторых звеньев системы либо

даже неизвестно уравнение всей разомкнутой системы в целом,

но амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы

может быть получена экспериментально. Кроме того, крите-

рий Найквиста позволяет, как это будет показано ниже, до-

вольно просто исследовать устойчивость систем с запаздыва-

нием.

Так как параметры системы определяют обычно прибли-

женно и в процессе работы они могут изменять свое значение,

то важна оценка удаления амплитудно-фазовой характерис-

тики разомкнутой системы W (/со) от точки (—1, /0). Это уда-

ление определяет запас устойчивости, который характеризу-

ется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запа-

сом устойчивости по ам-

j \/(со)

плитуде.

Запас устойчивости по

ti*

) фазе определяют как вели-

чину угла ф = п —|я]} (со

для частоты со

, при ко-

торой

(со)с |

== 1; по ам-

плитуде — как величину

отрезка оси абсцисс ft, за-

ключенного между крити-

ческой точкой (—1, / 0) и ам-

шштудно-фазовой характе-

рна 3.19 ристикой (р

ис

- 3.19).

С ростом коэффициента

усиления разомкнутой си-

стемы модуль амплитудно-

фазовой характеристики

также растет и при неко-

тором значении коэффици-

ента усиления К = /<к

называемого критическим

коэффициентом усиления,

амплитудно-фазовая харак-

теристика пройдет через

точку (—I, /0), т. е. си-

стема будет на границе ус-

тойчивости. При К > Ккр

ИСе

з.20 система будет неустойчива.

V (со)

w>0

Однако встречаются системы (с внутренними обратными

связями), в которых потеря устойчивости может произойти не

только при увеличении коэффициента усиления, но также и

при его уменьшении. Этим случаям могут соответствовать так

называемые клювообразные амплитудно-фазовые характерис-

тики (рис. 3.20). В этих случаях запас устойчивости по амп-

литуде определяется величинами двух отрезков h оси абсцисс,

заключенных между критической точкой (—1, /0) и амплитуд-

но-фазовой характеристикой.

Чтобы система обладала требуемым запасом устойчивости

при заданных величинах h и <р, около критической точки (—1,

/0) вычерчивается некоторая запретная область в виде секто-

ра, ограниченного величинами -+Ji и в которую амплитуд»

но-фазовая характеристика W (/со) не должна входить

(рис. 3.20).

§ 3.7. Анализ устойчивости по логарифмическим

частотным характеристикам

В инженерной практике широкое применение получил ана -

лиз устойчивости систем автоматического управления, осно-

ванный на применении логарифмических частотных характе-

ристик разомкнутой системы. Это обусловлено прежде всего

тем, что построение логарифмических частотных характерис-

тик разомкнутых систем, особенно имптотических логариф-

мических частотных характеристик, значительно проще, чем

построение годографа амплитудно-фазовых характеристик.

Покажем, каким требованиям должны удовлетворять ло-

гарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) и

логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФХ) ра-

зомкнутой системы, при которых обеспечивалась бы устойчи-

вость системы в замкнутом состоянии.

Как было показано выше, устойчивость связана с числом

переходов амплитудно-фазовой характеристики W (/со) отрез-

ка (— оо, —1) отрицательной вещественной полуоси. Когда

амплитудно-фазовая характеристика W

(jсо)

пересекает отри-

цательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из

линий rb я (2i + 1), где I = 0, 1,2, 3, ... (рис. 3.21). Переходы

через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если

они совершаются справа от точки (— 1, / 0), т. е. если при этом

модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы

(/«)I<1 и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрица-

тельны, т. е. Lm А (о) = 20 lg\W (/'со)|< 0. Поэтому область

отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости инте-

реса не представляет.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок

(—оо, —1) характеристики W (/со) соответствует пересечение

ЛФХ при Lm А (со) > 0 прямых + п (21 + 1) снизу вверх

(точка 2 на рис. 3.21), а отрицательному переходу — сверху

вниз (точка / на рис. 3.21).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к лога-

рифмическим частотным характеристикам может быть сформу-

лирован следующим образом: для

того чтобы система

автома-

тического

управления была устойчива,

необходимо

и достаточ-

но, чтобы разность между числом положительных и отрица-

тельных переходов логарифмической фазочастотной характе-

ристикой прямых ±z (2i -j- 1), i = 0,1, 2,..., во всех облас-

тях, где логарифмическая амплитудно-частотная характерис-

тика положительна hniA (со) > 0, была равна 1/2 (I — число

правых корней характеристического уравнения разомкнутой

системы).

На рис. 3.21 приведены для примера амплитудно-фазовая

характеристика разомкнутой системы W (/со) и соответствую-

щие ей ЛАХ и ЛФХ. Из анализа этих ЛАХ и ЛФХ видно, что

разность между числом положительных и отрицательных пере-

ходов ЛФХ прямых — п при Lm А (со) > 0 равна нулю. Та-

ким образом, если разомкнутая система была устойчива

(/ = 0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом за-

пасы устойчивости по амплитуде равны h

и h

, а запас устой-

чивости по фазе равен <р.

Рис. 3.21

§ 3.8. Построение областей устойчивости в плоскости

параметров системы

При исследовании устойчивости большое практическое зна-

чение имеет построение областей устойчивости в плоскости од-

ного или каких-либо двух параметров, влияние которых на

устойчивость исследуют, а также построение семейства облас-

тей устойчивости в плоскости двух параметров при различных

фиксированных значениях третьего параметра.

Уравнение границ областей устойчивости можно находить,

пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего

на практике применяют наиболее общий метод построения об-

ластей устойчивости, который был предложен Ю. И. Ней-

марком. и назван им методом D-разбиения.

Понятие о D-разбиении. Рассмотрим характеристическое

уравнение замкнутой системы п-ro порядка, которое делением

на коэффициент при переменном s с наивысшей степенью всег-

да может быть приведено к виду

(s)

= s" + а

~ Ч-... + а

- 0, а

- 1. (3.76)

Представим себе я-мерное пространство, по координатным

осям которого отложены коэффициенты уравнения (3.76).

Это пространство называют пространством коэффициентов.

Каждой точке пространства коэффициентов соответствуют кон-

кретные числовые значения коэффициентов уравнения (3.76)

и соответствующий им полином я-го порядка. Уравнение

(3.76) имеет п корней, расположение которых на комплексной

плоскости корней s зависит от числовых значений коэффици-

ентов a

Если изменять коэффициенты a

уравнения (3.76), то его

корни в силу их непрерывной зависимости схг коэффициентов

будут перемещаться в комплексной плоскости корней, опи-

сывая корневые годографы.

Чтобы представить сказанное выше геометрически, рассмот-

рим характеристическое уравнение третьего порядка (п =. 3)

D (s) — s

+ a

s + a

= 0. (3.77)

Если взять три взаимно перпендикулярные оси и отклады-

вать по ним значения коэффициентов а

, а

, то получим

трехмерное пространство коэффициентов, каждой точке кото-

рого соответствуют вполне определенный полином третьей сте-

пени и вполне определенные три корня в комплексной плоско-

сти корней s (рис. 3.22).

Например, точке М, имеющей координаты a

, а

м и а

вМ

соответствует полином Dm (s) = s

+ + cl^ms + а

м,

имеющий три корня s

m, s

M В плоскости корней (рис.

3.22, а). Другой точке, например N, имеющей координаты

N и а

л/, соответствует полином Dn (р) = s? + +

CI^nS

+ a

JV, корни которого SjN, S

iv и S

N и. т. д.

При некотором значении коэффициентов уравнения (3.77)

один из корней попадает в начало координат или пара корней

попадает на мнимую ось, т. е. корни его будут иметь вид 0 или

± j(o

и, следовательно, соответствующая точка в простран-

стве параметров будет удовлетворять уравнению

D (/co

) - (jVkf+ctiUm)* + а

(}щ) + a

- 0. (3.78)

Этому уравнению при — оо < (о < оо соответствует

некоторая поверхность S, часть которой показана на рис. 3.22,

При изменении коэффициентов a

корни характеристичес-

кого уравнения также изменяются и попадают на мнимую ось

тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадет на

поверхность S. При пересечении такой поверхности S корни

переходят из одной полуплоскости корней в другую. Следова-

тельно, поверхность S разделяет пространство коэффициен-

тов на области, каждой точке которых соответствует опреде-

ленное одинаковое число правых и левых корней. Эти области

обозначают D (га), где т — число правых корней характерис-

тического уравнения. Разбиение пространства коэффициентов

на области с одинаковым числом правых корней внутри каж-

дой области и выделение среди полученных областей области

устойчивости называют методом D-разбиения.

б.

Рис. 3.22

13 W

-const

Для характеристического

уравнения третьего порядка

в пространстве коэффициен-

тов можно наметить четыре

области: D (3), D (2), D (1),

D (0). Последняя область

D (0) будет областью устой-

чивости.

Если изменяются не все ко- Рис. 3.23

эффициенты, а часть из них,

например два—а

и а

при a

= const, то вместо поверхности

получим линию, которая является сечением поверхности

S плоскостью а

— const. Эта линия разделит плоскость коэф-

фициентов

CLy

—

а%

ка области с одинаковым числом правых

корней (рис. 3.23).

Для уравнений более высокого порядка (п > 3) вместо

обычного трехмерного пространства получаются многомерное

пространство и гиперповерхности, разбивающие это простран-

ство на области, что сильно усложняет задачу, а рассмотрение

теряет наглядность.

Так как переход через границу D-разбиения в пространст-

ве коэффициентов соответствует переходу корней характерис-

тического уравнения через мнимую ось, то уравнение границы

D-разбиения в общем случае

XjHM = №

+ а

(/о)»™

+... + а

- 0. (3.79)

Из (3.79) видно, что уравнение границы D разбиения мо-

жет быть получено из характеристического уравнения систе-

,мы заменой s = /со. Границу D-разбиения можно строить не

только в пространстве коэффициентов a

характеристического

уравнения, но и в пространстве параметров системы (постоян-

ных времени, коэффициентов усиления и т. д.), от которых за-

висят коэффициенты характеристического уравнения.

£>-разбкение по одному (комплексному) параметру. Предпо-

ложим, что требуется выяснить влияние на устойчивость како-

го-либо параметра v, линейно входящего в характеристичес-

кое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравне-

ние приводят к виду

D (s) = S (s) + vN (s) = 0, (3.80)

где S (s) — полином, не зависящий от v; N (s) — полином, со-

держащий v множителем.

Граница D-разбиения определяется уравнением

D (/со) = 5 (/со) + vN (/со) - 0, (3.81)

откуда

v = — 5

(j<o)/N

(/со) - X (со) + [У (со). (3.82)

Так как изменяемый параметр v в линейных системах яв-

ляется не комплексным, а вещественным числом (коэффициент

усиления, постоянная времени и т. д.), то (3.82) следовало бы

дополнить условием У (со) = 0. Однако при первоначальном

построении не будем делать этого ограничения и будем времен-

но считать изменяемый параметр комплексной величиной v,

отмечая это чертой сверху, чтобы отличить ее от вещественного

значения v.

Давая со значения от—оо до оо, можно по (3.82) вычислить

X (со) и У (со) и построить на комплексной плоскости v границу

D-разбиения.

При построении границы D-разбиения достаточно постро-

ить ее для положительных значений со и затем дополнить зер-

кальным отображением построенного участка относительно

действительной оси (рис. 3.24, б).

Если при изменении со от

—

оо до оо в плоскости корней

двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева (рис. 3.24,а),

то такому движению в плоскости v соответствует движение по

границе D-разбиения, которую также .штрихуют слева по

обходу при изменении

со

от — оо до оо (рис. 3.24, 6).

Если в плоскости v пересекать границу D-разбиения по на-

правлению штриховки (стрелка 1), то в плоскости корней

один из корней переходит из правой полуплоскости в левую.

Если же в плоскости v пересекать границу D-разбиения против

штриховки (стрелка 2), то в плоскости корней, один из корней

переходит из левой полуплоскости в правую.

Если штриховка двойная (например, в точке пересечения

кривых), то мнимую ось пересекают два корня.

Рис. 3.24