Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

; Г

Для системы с весовой функцией w (t— т, т) таким свойст-

вом обладает функция

оо

W (/со, t) - J w (6, t —Э) e-

/0>e

dQ.

(2.99)

Это соотношение примем за определение частотной передаточ-

ной функции нестационарной линейной системы с весовой

функцией w (t — т, т). Для ее передаточной функции W (s, f)

из (2.99) получаем

оо

w (s, t) = J w (в, f —6) e~

dd. (2.100)

Передаточные функции W (/со, /) и W (s, /) называют парамет-

рическими.

Итак, параметрической частотной передаточной функцией

нестационарной линейной системы (с весовой функцией (до (£ —

— т)) называют функцию W (/со, £), определяемую соотноше-

нием (2.99). Параметрической передаточной функцией неста-

ционарной линейной системы (с весовой функцией w (t — т,т))

называют функцию W (s, t), определяемую соотношением

(2.100).

Докажем, что функция W (/со, t), определяемая соотноше-

нием (2.99), действительно обладает свойствами частотной пере-

даточной функции.

Пусть на вход нестационарной линейной системы с весовой

функцией w (t — т, т) подается гармонический сигнал и =

= и

cos соt. Представим его в виде суммы

и^и

+ и

=^ e

foyt

+ ^ е-/"'.

Используя (2.98)

y(t)= j w(t—т, r)u(x)dx

— оо

при и^щ = получим

У1

(0 = — f w{t —т, т)е'

0)Т

dx.

Сделаем замену переменной t — т = 6. Тогда

оо

Ух(0 = --

j* W(Q

f~e)eW-

>de =

оо

= ~ J w (6, /—6) е-'"

d0.

оо

Введем обозначение W

(jtо,

м/(в,

* —

0)e-/®

d0.

При этом последнее выражение для ^ (/) принимает вид

у'г

(0 - Г (/со, <) е** (2.101)

Аналогично, при и

—-

е~*

(0/

получим

(0 - «7 ( /со,

J^L

-/<* (2.102)

А»

где

оо

Щ —/со, 0 = |

ЬУ

(6, 6) е^

de.

Решения (2.101) и (2.102) можно переписать в виде

Ух

(0 =

& (со,

0 ^ еЯ"/+<р«*. 0);

(t)

Л (ю,

-я<о/+Ф<о>.

/)],

где

Л (со, t) = |IF (/со, 01; Ф (й, 0 = arg W (/со,/).

Пользуясь принципом суперпозиции, для выходной вели-

чины у При и = U

COS

со/ получим У = + Уъ = (со, /) X

X COS [со/ + ф (со, *)].

Таким образом, действительно модуль функции W (/со, /),

определяемой (2.99), равен отношению амплитуд выходного и

входного гармонических сигналов, а ее аргумент — сдвигу

фаз.

Установим зависимость между изображениями (Лапласа)

выходной и входной величинами.

Перепишем (2.98) у (£) = J w (t — т, т) и (т) dx, используя

— оо

замену переменной t — т = 0, в следующем виде:

оо

y(t)= f

(9, t — в)и((—в)(Ю. (2.103)

Представим входную величину с помощью обратного преобра-

зования Лапласа:

Ыв.

Cfo

+ /оо

(<)

- — Г и (s) e

ds,

2зт/ J

— /оо

где U (s) «= L {и (/)}, и подставим ее в (2.103):

оо г

Оо

4* /°°

t/(0=J Ш(0, t -в) UL j £/ (s) е«-в), ds

0 I

(То — /оо

Поменяв порядок интегрирования, получим

Go 4" /<*>

[ оо »

J f/(s)e

J а»(в,f — 0)e-

d0Ufs.

(У

—/оо

VO #

Очевидно, внутренний интеграл равен параметрической пере-

даточной функции UP (s, £). Поэтому можем записать

ffo-b/oo

У j i/(s)r(s, Oe^ds.

—/оо

Этот интеграл совпадает с обратным преобразованием Лапла-

са. Поэтому , обозначив Y (s, /) изображение выходной величи-

ны у (£), получим

У (s, t) = W (s, 0 £/(s). (2.104)

Из этого уравнения следует, что параметрическая передаточ-

ная функция равна отношению изображений выходной н вход-

ной величин.

Если известна параметрическая передаточная функция и

изображение входной величины, то iio (2.104) можно опреде-

лить изображение выходной величины, а затем, пользуясь

таблицами или каким-либо другим способом, найти й саму вы-

ходную величину.

Параметрическую передаточную функцию можно отыскать,

пользуясь ее определением (2.100), если известна весовая

функция. Но проще ее можно определить по дифференциаль-

ному уравнению.

Пусть нестационарная линейная система описывается диф-

ференциальным уравнением

Q(P, t) у

{t).

- R {р, t) и (0,

где

Q (р, t) - я

(0 р» + а

(0Р

+•... + а

(0,

R (Р, 0 =

о (0 + (0 +... + ь

(/).

Тогда ее параметрическая передаточная функция подчиня-

ется дифференциальному уравнению

Q (s, t) W (s, t) + — — + — + — +

' ' ds dt 2! ds

. I d

Q /IF

.. /о inc4

4 = /), (2.105)

«* ds

где

Q -Q(s, /) - a

(/)+

/? (5, 0 - b

(t)

s<«

+ b

(f)

•-

-b..

•

+ b

(t)

(2.106)

Дифференциальное уравнение (2.105) для параметрической

передаточной функции имеет такой же порядок, что и диффе-

ренциальное уравнение системы. Него решение так же сложно,

как и решение исходного уравнения. Поэтому рассмотрим один

из приближенных методов решения уравнения (2.105).

Перепишем его в следующем виде:

Q (s, t) W (s, t) - R (s, t) + N {W (s, t)l (2.107)

где

N{W(s, /)>--

eft? gU? J d

Q rf

ds <W 2! ds

ctt

+ (2.Ю8)

«' ds" dt

Решение будем искать в виде ряда

W (s, t), = 1Г

(s, 0 + (s, 0 + ...

В качестве нулевого приближения примем

(s, t) = R (s, t)/Q (s, t). (2.109)

Это будет передаточной функцией системы с «замороженными»

коэффициентами. Для вычисления первой поправки W

(s, t)

подставим в правую часть уравнения (2.107) полученное нуле-

вое приближение, а в левую часть — сумму нулевого прибли-

жения и первой поправки. Тогда для W

(s, t) получим

fl^i (5, t) = N {W

t)}/Q (s, t). (2.110)

Аналогично для /-и поправки получим

(S, о /V {U^ (s, 0}/Q (s, о- (2.111)

Пример 2.9. Найдем параметрическую передаточную функцию не-

стационарной системы, которая описывается уравнением

В данном случае

Q (S, /) = + «1 + R (

. 0 ~ fro;

Q/ds

^ 0, ..

Уравнение (2.107) принимает вид

+ а

+ at) W (s, t)** b

-\- N {W (s, /)},

где N {W (s, 0}

—

dW/dt.

Для нулевого приближения и первой поправки на основании

(2.109) и (2.110) можем записать

(s, 0

—

/(a

+ а

(

0 = ««о V(«oS + а

+ at)

Пользуясь (2.Ill), можно вычислить последующие поправки. Но если

а мало, то можно ограничиться только первой поправкой и тогда

fro

(«о

s+а

at)

аа

W(s, t)~W

(s, 0 + lMs. 0 ~

(aoS

+ ai-)-а/)

Квазистациоиарные системы. Если коэффициенты уравне-

ния (2.92) нестационарной системы изменяются медленно, то

такую систему называют тазистационарной. При описании

квазистационарных систем широко используют метод заморо-

женных коэффициентов. Этот метод является приближенным,

и основан он на «замораживании» коэффициентов: в уравне-

нии нестационарной системы переменные коэффиценты at(t)

и bi (t) заменяются постоянными коэффициентами а* (Г) и

bi (£), равными значениями исходных коэффициентов в какой-

либо фиксированный момент времени t\ Передаточная функ-

ция системы с замороженными коэффициентами равна нулево-

му приближению (2.109) передаточной функции нестационар-

ной системы при фиксированном времени t = t\

Принимается что коэффициенты уравнения нестационар-

ной системы изменяются медленно (система квазистационарна),

если за время переходного процесса они изменяются незначи-

тельно. Здесь под временем переходного процесса понимает-

ся минимальное время; по истечении которого (с момента при-

ложения единичного импульса) абсолютные значения весовой

функции системы с замороженными коэффициентами не превы-

шают некоторой заданной достаточно малой положительной

величины.

Если промежуток времени, на котором рассматривают про-

цесс квазистационарной системы, является большим, то изме-

нения коэффициентов ее уравнения могут быть значительными.

Тогда при использовании метода замороженных коэффицен-

тов весь промежуток времени разбивают на несколько интер-

валов и на каждом интервале систему описывают уравнения-

ми с постоянными коэффициентами, равными значениям пере-

менных коэффициентов в какой-либо момент времени из

рассматривает мого интервала.

Формула Коши. В нормальной форме Коши уравнения од-

номерной или многомерной нестационарной линейной системы

в общем случаеимеют вид

п mj I

= 2 ct

(t)x

+ 2 МО

«о

+ Ц (О« =

/=i /=I

(2.112)

или в матричной записи

— А

(/) х +

(tyu +

(0 f. (2.113)

Здесь х обозначает фазовый вектор, и — вектор управления

или задающего воздействия, f — вектор возмущающих воздей-

ствий.

Пусть Ф (t) обозначает фундаментальную матрицу уравне-

ния

х®А(/) х, (2.114)

т. е. матрицу, столбцы которой образуют п линейно независи-

мых решений уравнения (2.114). Тогда матрица

х(/, д=Ф(г)Ф~Ч'о)

является нормированной фундаментальной матрицей. Если

известна фундаментальная матрица Х(£, t

), решение (2.113)

при начальном условии х (£

) — х® определяется формулой

Коши

оо

x(/)=X(f, t

) х° + JXtf, т) [В (т) и (т) +

(т) f

(t)] 4т.

Эта формула позволяет определить решение неоднородного

уравнения (2.113), если известна какая-либо система из п ли-

нейно независимых решений однородного уравнения (2.114).

§ 2Л0. САР напряжения генератора постоянного

тока. Математическое описание

Рассмотрим в качестве примера вывод дифференциальных

уравнений и передаточных функций системы автоматическо-

го регулирования (САР) напряжения генератора постоянного

тока, блок-схема которой приведена на рис. 2.29. Она состоит

из электронного усилителя У, двигателя постоянного тока с не-

зависимым возбуждением Д, являющегося исполнительным

элементом, генератора Г (объекта регулирования) и делителя

напряжения ДН, выходное напряжение м

которого в сравни-

вающем устройстве вычитается из заданного и

. Определим сна-

чала дифференциальные уравнения и передаточные функции

отдельных элементов, входящих в рассматриваемую систему.

Начнем с объекта регулирования.

Генератор. Управление генератора производится путем из-

менения переменного сопротивления R

, включенного в цепь

возбуждения (рис. 2.30, а). Обозначив через R

UtH

его номиналь-

ное значение, т. е. значение /?

, при котором ток i

в цепи воз-

буждения принимает номинальное значение г

, можно за-

писать

^п

^п-н +

Отклонение ДR переменного сопротивления пропорциональ-

но углу ф поворота- вала двигателя:

' Д/? = — с

ф. (2.115)

Здесь с

— положительная постоянная, знак минус указыва-

ет, что при повороте вала двигателя в положительном направ-

лении сопротивление R

уменьшается, в отрицательном —

увеличивается. Таким образом, входной (управляющей) ве-

личиной генератора является угол <р, а выходной — падение

ик £

"у

• ••>

—

"г

ЛЯ

Рис. 2.29

f ^

Г2

<Х

кг,

йи,

напряжения и

на на-

грузке.

Составим уравнение

динамики генератора

без учета влияния ги-

стерезиса, вихревых то-

ков и т. п. На рис. 2.30, б

приведена эквивалент-

ная электрическая схема

генератора. На ней г

— активное и индук-

тивное сопротивления

обмотки возбужден ия,

— э. д. с. генератора,

—

активное сопротив-

ление обмотки якоря

(его индуктивным со-

противлением пренебре-

гаем), — сопротив-

ление нагрузки (нагруз-

ка предполагается ак-

тивной). Э. д. с. генера-

тора связана с током

возбужден и я нелиней-

ной зависимостью

e*=F(i

), (2-116)

Рис. 2.30

примерный график ко-

торой приведен на рис.

2.30, в. Дополнительное сопротивление /?

выбирается таким,

что током через него по сравнению с током нагрузки можно

пренебречь. С учетом сказанного можно записать:

для цепи возбуждения

ОГв

+ яп.н +

&R) <В

dijdt; (2.117)

для

якорной цепи

-(Гя + fle) in\ "г^

Rh in-

(2.118)

В статическом режиме при номинальных значениях токов воз-

буждений /

и якоря i

n>н

эти уравнения принимают вид

(2.119)

. (2.120)

н>

г-н (^я ^н.н) "г-н

/?„.„

Я.Н"

Произведем линеаризацию в рабочей точке, соответствую-

щей номинальным значениям токов возбуждения и якоря.

Подставим в (2.117) i

= i

+ Д/

и выражение (2.115). От-

брасывая малый член ^Д^вф более высокого порядка, чем Дг

и ф, и учитывая (2.119), получим

+ А/

= К

или в символической форме

(Т

р +1) Дг

- (2.121)

где

= Lj(r

+ Я

); k

- с

.J{r

+ /?

Произведя линеаризацию (2.116), получим

^е

+ с

В9

(2.122)

где

—

д1

в i =/

в в.н

Используя это выражение для e

и уравнение статики (2.120),

уравнения (2.118) можно преобразовать к виду

ЪЫ в= /-—^—4-1 ) Ды

Д#

. (2.123)

Исключив из (2.121) и (2.123) Дг

, окончательно получим одно

уравнение, связывающее входную (управляющую) ф и вы-

ходную Ды

величины и возмущение f ~ А/^я генератора;

(Т

р ^l)Au^k

vl4

> + k,

p + l)f

(2.124)

где

=^1С

/(г

//?

+ 1); 6

г2

-г

/(г

+ /?

В изображениях Лапласа это уравнение принимает вид

(Г

s + 1) U

(5) - k

Ф (s) 4- k^ (Т

s + l)F (s),

где U

(s) = L{Au

}; Ф (s) = L {ф}; F (s) = L {/}. К генерато-

ру приложены два внешних воздействия (ф и /), и он описы-

вается двумя передаточными функциями: передаточной функ-

цией Wy по управляющему воздействию и передаточной

функцией W

по возмущению. Для них имеем:

в операторной форме

(р) = k

/(T

p + 1); W

(р) = й

Г2

QUO

ТяТэмР

+ТэмР + 1

г?

мР

ТэмР+1

Рис. 2.31

и в изображениях Лапласа W

(s) = k

/(T

s +1); W

(s)=

На рис. 2.30, г изображена структурная схема генерато-

ра. Математическая модель генератора представляет собой по

возмущению пропорциональное звено, а по управляющему

воздействию — апериодическое звено (первого порядка).

Двигатель» Принципиальная схема двигателя с независи-

мым возбуждением приведена на рис. 2.3!, а. При управле-

нии со стороны якорной цепи напряжение возбуждения и =

= const. На рис. 2.31, б приведена эквивалентная электри-

ческая схема цепи якоря, где г'

и L

— активное и.индуктив-

ное сопротивления обмотки якоря, 1'

— ток якоря» е

—

э. д.с., наводимая в обмотке якоря при его вращении. Здесь

делают такие же упрощающие предположения, что и при вы-

воде уравнения генератора.

Запишем уравнение для цепи якоря:

diL

г я in

~Ъ

^д

(2.125)

Э. д. с. е

пропорциональна угловой скорости вала двигателя:

= c

dq>fdt Значение постоянной c

зависит От тока воз-

буждения и конструкции двигателя. Уравнение (2.1Я5) с

учетом последнего уравнения можно преобразовать к виду

-Мя +

d,p 1

di'n