Волкова Е.С. Сборник домашних контрольных работ
Подождите немного. Документ загружается.
60
ВАРИАНТ 21
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
(
)
3
2+= xy
.
2. Найти производные следующих функций:
а) )ln(cos
4
xxtgy −= ; б)
2
cos
log ( 5 )
x
yxx=+;
в)
arctg
(sin )
x
yx= ; г)
25
1
cos(3 )
x
x
xe
y
x
+−+
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
32
2
3
46
lim
43
x
xx x
xx
→−
+−+
++
; б)
3
0
arctg
lim
x
x
x
x
→
−
;
в)
0
sin
lim
cos 1
x
x
x
x
→
−
−
; г)
)1ln(lnlim
01
−
⋅
+→
xx
x
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если 13
22
=+ yxe
xy
.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
4
04,16
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 917)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
94)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
8
1242
)(
– функция
спроса,
130
ln9)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
6
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 13 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
61
ВАРИАНТ 22
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
x
y 5sin
=
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
22
1ln1 xxy −⋅+= ; б)
2
arcctg
11
x
y
x
=
+
−
;
в)
x
xy
cos
= ; г)
2
1
log (sin )
x
yx
+
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
x
x
x
4sin4sin
4cos4cos
lim
1
+
−
−→
; б)
(
)
00
lim sin ctg
x
x
x
→+
⋅
;
в)
2
lim 2 tg
cos
x
x
x
x
π
π
→
−⋅
; г)
(
)
tg 2
4
lim tg
x
x
x
π
→
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
22
sin( ) 4xxyy
+
+=.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
005,1.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D
−
=
27)(, функция предложения –
19)( +=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
1
322
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
160
ln2)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
t
A
4
7= . Актив можно продать в любой момент и положить вы-
рученные деньги в банк под 17 % годовых. Найти момент времени, в кото-
рый выгоднее всего продать актив.
62
ВАРИАНТ 23
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
3
xy = .
2. Найти производные следующих функций:
а)
4
2
2
1
1
sinlog
+
−
+=
x
x
xy ; б)
4
8
2
arctg
1
x
y
x
=
−
;
в)
(
)
arctg
x
yx= ; г)
2
sin 2
log (cos )
x
yx
+
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
)1ln(
lim
0
x
ee
xx
x
+
−
−
→
; б)
(
)
0
lim arcsin ctg
x
x
x
→
⋅
;
в)
−
−
→
xx
x
ln
1
1
1
lim
1
; г)
()
2
3
0
lim cos(2 )
x
x
x
→
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если 03
33
=−+ xyyx .
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
5
)03,1(.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 913)(
−
=
, функция предложения –
93)( +=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
1
262
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
130
ln2)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
9
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 12 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
63
ВАРИАНТ 24
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
1
4
y
x
=
+
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
24
24
1
1
ln
xx
xx
y
++
−+
=
; б) xexy
x
ln
2
2
= ;
в)
()
x
xy
cos
sin= ; г) )(sinlog
2
xy
x
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
)ln(
)4ln(
lim
4
4
ee
x
x
x
−
−
→
; б)
(
)
0
lim ctg( )
x
x
x
π
→
⋅
;
в)
−
−
−
→
34
1
1
3
1
4
lim
xx
x
; г)
()
1
2
0
lim 1 tg
x
x
x
→
+ .
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если 0sinsin =+
x
yy
x
.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала )97,0ln( .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 913)(
−
=
, функция предложения –
1)( +=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
9
1390
)(
– функция
спроса,
130
ln10)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
t
A
4
9= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 13 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
64
ВАРИАНТ 25
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если ln( 2)yx
=
+ .
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
2
2
9log xxy ++= ; б)
2
0,5tg
arccos 1 2 cos
xx
yex=−+⋅;
в)
()
x
xy
sin
= ; г) )(sinlog
2
cos
xy
x
= .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
3
2arctg
lim
1
x
x
x
e
π
→∞
−
−
; б)
(
)
0
lim 1 cos ctg
x
x
x
→
−
⋅
;
в)
0
1
lim ctg
x
x
x
→
−
; г)
()
x
x
x
x
1
2lim +
∞→
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
0
y
xy e x
+
−=.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
51,0arcsi
n
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 616)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
66)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
9
1290
)(
– функция
спроса,
120
ln10)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
8
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 15 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
65
ВАРИАНТ 26
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
3
xy = .
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
xx
eey ++= 1ln ; б)
6
6
12
arctg
1
x
yx
x
=−
+
;
в)
()
x
xy sin= ; г)
2
2
1
log ( )
x
yx
+
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
2
0
cos3 cos5
lim
tg
x
x
x
x
→
−
; б)
(
)
xx
x
lnsinlim
00
⋅
+→
;
в)
−
+
−
→
1
1
1
3
lim
3
1
xx
x
; г)
()
x
x
x
2
1
0
31lim +
→
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если yxe
y
+= .
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
04,0arcsi
n
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 8,12,25)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
6,06,15)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного
равновесия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
2
336
)(
– функция
спроса,
110
ln3)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
t
A
4
3= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 12 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
66
Решение варианта 26
1
. По определению для функции
3
)( xxf = получаем:
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
′
→∆→∆
x
xxx
x
xxx
xf
xx
3
0
3
0
0
3
0
3
0
0
0
)(
lim
)(
lim)(
2
0
2
00
2
0
2
00
2
0
3)33)((lim
)33)((
lim xxxxx
x
xxxxx
xx
=+∆+∆=
∆
+∆+∆∆
=
→∆→∆
.
Итак,
2
00
3)( xxf =
′
, для любого
0
x .
2. а)
(
)
(
)
xxx
xx
xx
x
x
x
eee
ee
ee
e
e
e
y
+++
++
=
++
+
+
=
′
112
112
1
12
;
б)
212
7
12
5
212
611125
)1(
12
1
6
)1(
12)1(6
x
x
x
x
x
xxxx
y
+
−
=
+
−
+
⋅−+
=
′
;
в)
()()
() ( )
ln sin ln sin
(sin ) lnsin (sin ) lnsin ctg
xxxxx x
x
eexxx xxx
′′
′
==⋅ =⋅+
;
г)
()
=
+
+
⋅
−
+
=
′
+
=
′
+
)1(ln
1
)ln(2)1ln(2
)1ln(
)ln(
)(log
22
2
22
2
2
2
1
2
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
)1(ln)1(
)ln(2)1ln()1(2
222
2222
++
⋅−++
=
xxx
xxxx
.
3. а)
22
00
cos3 cos5 0 (cos3 cos5 )
lim lim
tg 0 (tg )
xx
x
xxx
xx
→→
′
−−
== =
′
00
2
2
3sin 3 5sin5 0 ( 3sin 3 5sin5 )
lim lim
1
0
1
2tg
2tg
cos
cos
xx
x
xxx
x
x
x
x
→→
′
−+ −+
=== =
′
⋅
⋅
8
2
16
cos
sin
2
cos
1
2
5cos253cos9
lim
4
2
4
0
==
+
+−
=
→
x
x
x
xx
x
;
б)
()
[]
=
′
′
=
∞
∞
==∞⋅=⋅
−
+→
−
+→+→
)(sin
)(ln
lim
sin
ln
lim0lnsinlim
1
00
1
0000
x
x
x
x
xx
xxx
67
(
)
()
=
−
−=
′
′
−=
=−=
+→+→+→
xxx
xx
xx
x
xx
x
xxx
sincos
cossin2
lim
cos
sin
lim
0
0
cos
sin
lim
00
2
00
2
00
0
cossin
2sin
lim
00
=
−
=
+→
xxx
x
x
;
в)
[]
=
=
−
−−
=
−
−−−
=∞−∞=
−
+
−
→→→
0
0
1
2
lim
1
13
lim
1
1
1
3
lim
3
2
1
3
2
1
3
1
x
xx
x
xx
x
x
xxx
()
()
1
3
12
lim
1
2
lim
2
1
3
2
1
=
−
−−
=
′
−
′
−−
=
→→
x
x
x
xx
xx
;
г)
()
[]
===+
+
→
∞
→
)31ln(
2
1
0
2
1
0
lim131lim
x
x
x
x
x
ex
()
()
5,1
000
2
3
)31(2
3
lim
2
)31ln(
lim
0
0
2
)31ln(
lim e
x
x
x
x
x
xxx
=
=
+
=
′
′
+
=
=
+
=
→→→
.
4. Так как yxe
y
+= , то )()( yxded
y
+= . Следовательно, dydxdye
y
+= .
Тогда
dxedy
y
=− )1(
, откуда находим
1
1
−
==
′
y
e
dx
dy
y .
5. xxfxfxxf
∆
⋅
′
+≈∆+ )()()(
000
– формула приближенных вычислений.
x
x
f
arcsin)( = ;
2
1
1
)(
x
xf
−
=
′
;
0
0
=
x
; 04,0004,0
=
−
=
∆
x
.
2
0
00
1
arcsin)arcsin(
x
x
xxx
−
∆
+≈∆+
⇒
04,0
01
04,0
0arcsin04,0arcsin =
−
+≈
.
Ответ.
04,0 .
6. Равновесная цена
0
p
определяется из уравнения
)()(
00
pSpD
=
:
00
6,06,158,12,25 pp
+
=− , 4
0
=
p .
Эластичность спроса определяется формулой
p
pD
pD
pE
D
⋅
′
=
)(
)(
)(
. Так как
8,1)( −=
′
pD
, получаем
14)(
)(
)(
−
=⋅
′
=
p
p
p
pD
pD
pE
D
.
68
Следовательно, 4,0)4( −=
D
E – эластичность спроса в точке рыночного рав-
новесия.
Ответ.
4,0−
.
7. Изменение цены, вызванное введением дополнительного налога
t
, опре-
деляется формулой
)()(
)(
00
0
pDpS
pSt
p
′
−
′
′
⋅
=∆ . (1)
Найдем равновесную цену из уравнения
)()(
00
pSpD
=
. Нетрудно убе-
диться, что 110
0
=p является решением этого уравнения. При 0>
p
функция спроса
p
pD
+
=
2
336
)(
убывает, а функция предложения
110
ln3)(
p
pS += возрастает. Следовательно, найденное решение единст-
венное. Находим, По формуле (1) находим, что
253,0
221
56
≈=∆p .
Ответ.
253,0
221
56
≈ .
8. Пусть )(
t
A
– стоимость некоторого актива
A
в некоторый момент вре-
мени
t
,
r
– доходность от вложения денег в другие активы. Так как мгно-
венная доходность актива
A
совпадает с темпом роста его стоимости, то
интервал времени, в который выгоднее всего купить или продать актив,
задается неравенством
()
rtA >
′
)(ln
. (2)
Решив неравенство (2) для
t
A
4
3
=
и 12,0
=
r
, получим 264,3350 <
≤
t
. Вы-
годнее всего продать актив в момент времени 335
=
t
.
Ответ. 335.
69
Контрольная работа № 3
В настоящей работе представлены варианты контрольной работы по
математическому анализу по теме «Исследование функции одной
переменной с помощью производной и построение графиков функции».
Для выполнения первого задания необходимо знать: достаточное ус-
ловие монотонности функции, определение критических точек, точек экс-
тремума, алгоритм исследования функции на экстремум.
Второе задание посвящено исследованию функции на выпуклость и
нахождение точек перегиба. Для выполнения этого задания потребуется
повторить: достаточное условие выпуклости функции, определение точек
перегиба и алгоритм их поиска.
В третьем задании необходимо провести полное исследование функ-
ции и построить ее график. В приведенном решении последнего варианта
описана подробная схема исследования функции.
Четвертое задание работы посвящено нахождению наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке. Необходимо вспомнить свой-
ства непрерывных функций на отрезке, алгоритм поиска наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке.
Для выполнения пятого задания необходимо: уметь строить графики
функций с помощью преобразований: параллельного переноса, сжатия и
растяжения относительно осей координат; знать графики основных эле-
ментарных функции.
Шестое задание – это задача экономического содержания. Для ее
решения нужно знать закон убывающей эффективности.
Для выполнения седьмого задания нужно повторить разложение
функции по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа
Необходимые понятия, определения и теоремы можно найти в рекомендо-
ванных пособиях [1], [2], [3], [5].